Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

• proširivanje i produbljivanje razumijevanja učenika o problemima rješavanim aritmetičkom progresijom; organiziranje aktivnosti pretraživanja učenika pri izvođenju formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije;
• razvijanje sposobnosti za samostalno sticanje novih znanja i korištenje već stečenih znanja za postizanje zadatog zadatka;
• razvijanje želje i potrebe za uopštavanjem dobijenih činjenica, razvijanje samostalnosti.

Zadaci:

• sumirati i sistematizovati postojeća znanja na temu „Aritmetička progresija“;
• izvesti formule za izračunavanje sume prvih n članova aritmetičke progresije;
• naučiti kako primijeniti dobijene formule pri rješavanju različitih zadataka;
• skrenuti pažnju učenika na postupak nalaženja vrijednosti brojevnog izraza.

Oprema:

• kartice sa zadacima za rad u grupama i parovima;
• evaluacijski papir;
• prezentacija"Aritmetička progresija."

I. Ažuriranje osnovnih znanja.

1. Samostalni rad u parovima.

1. opcija:

Definirajte aritmetičku progresiju. Zapišite formulu ponavljanja koja definira aritmetičku progresiju. Navedite primjer aritmetičke progresije i navedite njegovu razliku.

2. opcija:

Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Pronađite 100. član aritmetičke progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
U ovom trenutku, dva učenika na poleđini ploče pripremaju odgovore na ista pitanja.
Učenici ocjenjuju rad svog partnera tako što ga provjeravaju na tabli. (Liste sa odgovorima se predaju.)

2. Trenutak igre.

Vježba 1.

Učitelju. Mislio sam na neku aritmetičku progresiju. Postavite mi samo dva pitanja kako biste nakon odgovora mogli brzo imenovati 7. član ove progresije. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pitanja studenata.

1. Koji je šesti termin progresije i koja je razlika?
2. Koji je osmi termin progresije i koja je razlika?

Ako više nema pitanja, nastavnik ih može stimulisati - „zabrana“ na d (razliku), odnosno nije dozvoljeno pitati čemu je razlika jednaka. Možete postavljati pitanja: čemu je jednak 6. član progresije, a čemu 8. član progresije?

Zadatak 2.

Na tabli je napisano 20 brojeva: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji leđima okrenut tabli. Učenici prozivaju broj, a nastavnik odmah proziva sam broj. Objasnite kako to mogu učiniti?

Nastavnik pamti formulu za n. član a n = 3n – 2 i, zamjenom navedenih vrijednosti n, pronalazi odgovarajuće vrijednosti a n.

II. Postavljanje zadatka za učenje.

Predlažem da rešim drevni problem koji datira iz 2. milenijuma pre nove ere, koji je pronađen u egipatskim papirusima.

zadatak:“Neka vam se kaže: podijelite 10 mjera ječma na 10 ljudi, razlika između svakog čovjeka i njegovog susjeda je 1/8 mjere.”

• Kako je ovaj problem povezan s aritmetičkom progresijom teme? (Svaka sljedeća osoba dobija 1/8 mjere više, što znači da je razlika d=1/8, 10 osoba, što znači n=10.)
• Šta mislite da znači broj 10 mjera? (Zbroj svih uslova progresije.)
• Šta još trebate znati da biste lako i jednostavno podijelili ječam prema uvjetima problema? (Prvi period napredovanja.)

Cilj lekcije– dobijanje zavisnosti zbira članova progresije od njihovog broja, prvog člana i razlike i provera da li je problem u antičko doba bio ispravno rešen.

Prije nego što zaključimo formulu, pogledajmo kako su stari Egipćani riješili problem.

I to su riješili na sljedeći način:

1) 10 mjera: 10 = 1 mjera – prosječan udio;
2) 1 takt ∙ = 2 takta – udvostručen prosjek dijeliti.
Udvostručeno prosjek udio je zbir udjela 5. i 6. lica.
3) 2 takta – 1/8 takta = 1 7/8 takta – duplo više od petog lica.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – dio petine; i tako dalje, možete pronaći udio svake prethodne i sljedeće osobe.

Dobijamo slijed:

III. Rješavanje problema.

1. Rad u grupama

Grupa I: Pronađite zbir 20 uzastopnih prirodnih brojeva: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Uglavnom

II grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 100 (Legenda o malom Gausu).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

zaključak:

III grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 21.

Rješenje: 1+21=2+20=3+19=4+18…

zaključak:

IV grupa: Pronađite zbir prirodnih brojeva od 1 do 101.

zaključak:

Ova metoda rješavanja razmatranih problema naziva se “Gaussova metoda”.

2. Svaka grupa predstavlja rješenje problema na tabli.

3. Generalizacija predloženih rješenja za proizvoljnu aritmetičku progresiju:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Nađimo ovaj zbir koristeći slično rezonovanje:

4. Jesmo li riješili problem?(Da.)

IV. Primarno razumijevanje i primjena dobijenih formula pri rješavanju zadataka.

1. Provjera rješenja starog problema pomoću formule.

2. Primjena formule u rješavanju različitih problema.

3. Vježbe za razvijanje sposobnosti primjene formula pri rješavanju zadataka.

A) Ne. 613

Dato: ( a n) – aritmetička progresija;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Pronađite: S 1500

Rješenje: , a 1 = 1 i 1500 = 1500,

B) Dato: ( a n) – aritmetička progresija;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Pronađite: n
Rješenje:

V. Samostalan rad uz međusobnu provjeru.

Denis je počeo da radi kao kurir. Prvog mjeseca njegova plata iznosila je 200 rubalja, u svakom narednom mjesecu povećavala se za 30 rubalja. Koliko je ukupno zaradio za godinu dana?

Dato: ( a n) – aritmetička progresija;
a 1 = 200, d=30, n=12
Pronađite: S 12
Rješenje:

Odgovor: Denis je za godinu dobio 4380 rubalja.

VI. Instrukcije za domaći rad.

1. Odjeljak 4.3 – naučite izvođenje formule.
2. №№ 585, 623 .
3. Napravite problem koji se može riješiti korištenjem formule za zbir prvih n članova aritmetičke progresije.

VII. Sumiranje lekcije.

1. Rezultatski list

2. Nastavite rečenice

• Danas na času sam naučio...
• Naučene formule...
• Vjerujem da …

3. Možete li pronaći zbir brojeva od 1 do 500? Koju metodu ćete koristiti za rješavanje ovog problema?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Udžbenik za opšteobrazovne ustanove. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Prosvetljenje“, 2009.

Prvi nivo

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019)

Redoslijed brojeva

Dakle, hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi, i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Redoslijed brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu ne postoje tri sekundna broja. Drugi broj (kao i ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. veku i shvaćen je u širem smislu kao beskonačan numerički niz. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Jasno? Uporedimo naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Možemo dodati broj progresije na prethodnu vrijednost dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako bismo trebali pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili prilikom sabiranja brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji nije potrebno dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pogledajte pobliže nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami pronaći vrijednost člana date aritmetičke progresije na ovaj način.

Jesi li izračunao? Uporedite svoje beleške sa odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti uzastopno dodavali termine aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - stavimo je u opći oblik i dobijemo:

Jednačina aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunavanju termina u rastućem i opadajućem terminu aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva: Provjerimo koliki će biti th broj ove aritmetičke progresije ako koristimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tada:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th članove ove aritmetičke progresije.

Uporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo problem - izvešćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počinjete brojati prema formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite grešku u proračunima.
Sada razmislite o tome da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da, i to je ono što ćemo sada pokušati da iznesemo.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njeno pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, Zatim:

• prethodni termin progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Hajde da sumiramo prethodni i naredni termin progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresijskog člana sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, trebate ih sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredovanje, to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da saznamo samo jednu formulu, koju je, prema legendi, lako zaključio jedan od najvećih matematičara svih vremena, “kralj matematičara” - Karl Gauss...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, zadala je sljedeći zadatak u razredu: „Izračunaj zbir svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo.” Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (ovo je bio Karl Gauss) minut kasnije dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina drznika iz razreda, nakon dugih proračuna, dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je određeni obrazac koji i vi možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od --tih članova: Moramo pronaći zbir ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbira njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pogledajte pobliže istaknute brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Šta ste primetili? Tačno! Njihove sume su jednake

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobijamo da je ukupan zbir jednak:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku progresije. Pokušajte zamijeniti formulu th-og člana u formulu zbira.
šta si dobio?

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gausu: izračunajte sami čemu je jednak zbir brojeva koji počinju od -tog i zbiru brojeva koji počinju od -tog.

Koliko si dobio?
Gauss je otkrio da je zbir članova jednak i zbir članova. Jesi li tako odlučio?

Zapravo, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, i sve to vreme, duhoviti ljudi su u potpunosti koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Stari Egipat i najveći građevinski poduhvat tog vremena - izgradnju piramide... Na slici je prikazana jedna njena strana.

Gdje je tu napredak, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožju. Nadam se da nećete brojati dok prelazite prstom po monitoru, sjećate se posljednje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Jasno? Bravo, savladali ste zbir n-ih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor je blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko puta će Maša raditi čučnjeve u sedmici ako je radila čučnjeve na prvom treningu?
2. Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je temelj zidanja trupac?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (sedmice = dani).

   odgovor: Za dvije sedmice, Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je pola, međutim, provjerimo ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Prisjetimo se problema s piramidama. Za naš slučaj, a , budući da je svaki gornji sloj smanjen za jedan log, onda ukupno postoji gomila slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   odgovor: U zidovima su trupci.

Hajde da sumiramo

1. - brojevni niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Vi član aritmetičke progresije piše se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbir članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČAN NIVO

Redoslijed brojeva

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Redoslijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to jedinstvenim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja redoslijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

Formula n-ti član

Formulu nazivamo rekurentnom u kojoj, da biste saznali th pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći ovu formulu, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, da li je sada jasno koja je formula?

U svakom redu dodajemo, pomnoženo nekim brojem. Koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo zgodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Rješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo šta:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbir drugog i pretposljednjeg broja isti, zbir trećeg i trećeg sa kraja isti, itd. Koliko ukupno ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

primjer:
Pronađite zbroj svih dvocifrenih višekratnika.

Rješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki naredni broj se dobija dodavanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji termin progresije će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svakog dana sportista pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u sedmici, ako je prvog dana pretrčao km m?
2. Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko dana mu je potrebno da pređe kilometar? Koliko će kilometara preći tokom posljednjeg dana svog putovanja?
3. Cijena frižidera u trgovini svake godine se smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se smanjila cijena frižidera svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodat za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
   .
   odgovor:
2. Ovdje je dato: , mora se naći.
   Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, tako da je odgovor.
   Izračunajmo put koji smo prešli u posljednjem danu koristeći formulu th člana:
   (km).
   odgovor:

3. Dato: . Pronađite: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (rub).
   odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-og člana aritmetičke progresije

zapisuje se po formuli, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućava vam da lako pronađete člana progresije ako su poznati njegovi susjedni članovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbir članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete iznos:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Koncept niza brojeva podrazumijeva da svaki prirodni broj odgovara nekoj realnoj vrijednosti. Takav niz brojeva može biti ili proizvoljan ili imati određena svojstva - progresiju. U potonjem slučaju, svaki sljedeći element (član) niza može se izračunati korištenjem prethodnog.

Aritmetička progresija je niz brojčanih vrijednosti u kojima se susjedni članovi razlikuju jedni od drugih za isti broj (svi elementi niza, počevši od 2., imaju slično svojstvo). Ovaj broj - razlika između prethodnog i narednog pojma - je konstantan i naziva se razlika progresije.

Razlika u progresiji: definicija

Razmotrimo niz koji se sastoji od j vrijednosti A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pripada skupu prirodnih brojeva N. Aritmetika progresija, prema svojoj definiciji, je niz, u kojem je a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vrijednost d je željena razlika ove progresije.

d = a(j) – a(j-1).

Istaknite:

• Rastuća progresija, u kom slučaju je d > 0. Primjer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Smanjenje progresije, zatim d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresija razlike i njeni proizvoljni elementi

Ako su poznata 2 proizvoljna člana progresije (i-ti, k-ti), tada se razlika za dati niz može odrediti na osnovu odnosa:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, što znači d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Razlika u progresiji i njenom prvom terminu

Ovaj izraz će pomoći u određivanju nepoznate vrijednosti samo u slučajevima kada je poznat broj elementa niza.

Razlika progresije i njen zbir

Zbir progresije je zbir njegovih članova. Da biste izračunali ukupnu vrijednost njegovih prvih j elemenata, koristite odgovarajuću formulu:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ali pošto a(j) = a(1) + d(j – 1), tada je S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Šta je glavna suština formule?

Ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .

Naravno, morate znati i prvi pojam a 1 i razlika u napredovanju d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određenu progresiju.

Pamtiti (ili plakati) ovu formulu nije dovoljno. Morate razumjeti njegovu suštinu i primijeniti formulu u raznim problemima. I takođe da ne zaboravim u pravom trenutku, da...) Kako ne zaboravi- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti Ako bude potrebno, svakako ću Vas savjetovati. Za one koji završe lekciju do kraja.)

Dakle, pogledajmo formulu za n-ti član aritmetičke progresije.

Šta je uopšte formula – zamišljamo.) Šta je aritmetička progresija, broj članova, razlika progresije – jasno je objašnjeno u prethodnoj lekciji. Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje da se shvati šta je to n-ti termin.

Progresija se općenito može zapisati kao niz brojeva:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član, a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo a 5, ako sto dvadeseti - s a 120.

Kako to možemo definisati uopšteno? bilo kojičlan aritmetičke progresije, sa bilo koji broj? Veoma jednostavno! Volim ovo:

a n

To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Slovo n sakriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4, itd.

A šta nam takav zapis daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ova notacija nam daje moćan alat za rad sa aritmetičkom progresijom. Koristeći notaciju a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti gomilu drugih problema s progresijom. Videćete dalje.

U formuli za n-ti član aritmetičke progresije:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- članski broj.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1 ; d I n. Svi problemi progresije se vrte oko ovih parametara.

Formula n-tog pojma se također može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je progresija specificirana uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može biti ćorsokak... Nema ni niza ni razlike... Ali, upoređujući stanje sa formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 =5 i d=2.

A može biti još gore!) Ako uzmemo isti uslov: a n = 5 + (n-1) 2, Da, otvorite zagrade i ponesite slične? Dobijamo novu formulu:

a n = 3 + 2n.

Ovo Samo ne općenito, već za konkretan napredak. Ovdje vreba zamka. Neki ljudi misle da je prvi mandat trojka. Iako je u stvarnosti prvi rok pet... Malo niže ćemo raditi sa ovako izmijenjenom formulom.

U problemima progresije postoji još jedna notacija - a n+1. Ovo je, kao što ste pogodili, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj veći od broja n za jedan. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo a n onda peti mandat a n+1 biće šesti član. itd.

Najčešće oznaka a n+1 nalazi u formulama recidiva. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Recimo da nam je data aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. Kako da odmah prebrojimo, recimo, dvadeseti rok? a 20? Ali nema šanse!) Dok ne saznamo 19. termin, 20. ne možemo računati. Ovo je fundamentalna razlika između rekurentne formule i formule n-tog člana. Rekurentni radi samo kroz prethodni pojam, a formula n-tog člana je kroz prvo i dozvoljava odmah pronađite bilo kojeg člana po broju. Bez izračunavanja čitavog niza brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji, lako je povratnu formulu pretvoriti u regularnu. Izbrojte par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi pojam a 1, napišite formulu u njenom uobičajenom obliku i radite s njom. Takvi zadaci se često susreću u Državnoj akademiji nauka.

Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo direktnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

Zadana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj problem se može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na osnovu značenja aritmetičke progresije. Dodajte i dodajte... Sat ili dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možeš da odmeriš vreme.) Hajde da odlučimo.

Uvjeti pružaju sve podatke za korištenje formule: a 1 =3, d=1/6. Ostaje da shvatimo šta je jednako n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Pa pišemo:

Molimo obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se određeni broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je smisao n= 121 zamenićemo dalje u formulu, u zagradama. Zamjenjujemo sve brojeve u formulu i izračunavamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je sve. Jednako brzo se mogao naći petsto deseti pojam, a hiljadu treći, bilo koji. Stavili smo umjesto toga nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradama, i računamo.

Dozvolite mi da vas podsjetim na poentu: ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji termin aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .

Hajde da riješimo problem na lukaviji način. Hajde da naletimo na sledeći problem:

Pronađite prvi član aritmetičke progresije (a n), ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako budete imali poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Zapišite rukama, direktno u svoju svesku:

a n = a 1 + (n-1)d

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a šta nedostaje? Dostupan d=-0,5, ima sedamnaesti član... Je li to to? Ako mislite da je to to, onda nećete riješiti problem, da...

Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 =-2 skriveno dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). One. n=17. Ova „sitnica“ često prođe pored glave, a bez nje (bez „sitnice“, a ne glave!) problem se ne može rešiti. Mada... i bez glave.)

Sada možemo jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamijenimo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je u osnovi sve. Ostaje da izrazimo prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunamo ga. Odgovor će biti: a 1 = 6.

Ova tehnika - zapisivanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - je od velike pomoći u jednostavnim zadacima. Pa, naravno, morate znati izraziti varijablu iz formule, ali šta učiniti!? Bez ove vještine, matematika se možda uopće ne bi izučavala...

Još jedna popularna zagonetka:

Naći razliku aritmetičke progresije (a n), ako je a 1 =2; a 15 =12.

Šta mi radimo? Iznenadit ćete se, pišemo formulu!)

a n = a 1 + (n-1)d

Hajde da razmotrimo šta znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (posebno ću istaći!) n=15. Slobodno zamijenite ovo u formulu:

12=2 + (15-1)d

Radimo aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je tačan odgovor.

Dakle, zadaci za a n, a 1 I d odlučila. Ostaje samo naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamjenjujemo nam poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled ovde postoje dve nepoznate količine: a n i n. Ali a n- ovo je neki član progresije sa brojem n...A mi poznajemo ovog člana progresije! To je 99. Ne znamo njegov broj. n, Dakle, ovaj broj je ono što trebate pronaći. Zamjenjujemo termin progresije 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Odredite da li je broj 117 član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Hajde da ponovo napišemo formulu. Šta, nema parametara? Hm... Zašto su nam date oči?) Vidimo li prvi član progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete sa sigurnošću napisati: a 1 = -3,6. Razlika d Možete li reći iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Dakle, uradili smo najjednostavniju stvar. Ostaje samo da se pozabavimo nepoznatim brojem n i nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku se barem znalo da je zadan termin progresije. Ali ovde ni ne znamo... Šta da radimo!? Pa, kako biti, kako biti... Uključite svoje kreativne sposobnosti!)

Mi pretpostavimo da je 117, na kraju krajeva, član našeg napredovanja. Sa nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. One. pišemo formulu (da, da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobijamo:

Ups! Broj se ispostavio fractional! Sto jedan i po. I razlomci u progresijama ne može biti. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan našeg napredovanja. To je negdje između sto prvog i sto drugog pojma. Ako je broj ispao prirodan, tj. je pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: br.

Zadatak zasnovan na pravoj verziji GIA:

Aritmetička progresija je data uslovom:

a n = -4 + 6.8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Nekakva formula... Dešava se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona takođe dozvoljava pronađite bilo kojeg člana progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri je fatalna greška!) Zato što je formula u zadatku modifikovana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriveno. U redu je, sada ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim problemima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Evo! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Deseti pojam tražimo na isti način:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je sve.

A sada, za one koji su pročitali ove redove, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji Državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Sjećam se nečega, ali nekako nesigurno... Ili n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Miran! Ovu formulu je lako izvesti. Nije jako striktno, ali svakako je dovoljno za samopouzdanje i pravu odluku!) Da biste zaključili, dovoljno je zapamtiti elementarno značenje aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo treba da nacrtate sliku. Radi jasnoće.

Nacrtajte brojevnu pravu i označite prvu na njoj. drugi, treći itd. članovi. I primjećujemo razliku d između članova. Volim ovo:

Gledamo sliku i mislimo: čemu je jednak drugi član? Sekunda jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Šta je treći termin? Treće pojam je jednak prvom članu plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

Da li shvatate? Nije uzalud neke riječi podebljano. U redu, još jedan korak).

Šta je četvrti mandat? Četvrto pojam je jednak prvom članu plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da je broj praznina, tj. d, Uvijek jedan manji od broja člana kojeg tražite n. Odnosno na broj n, broj razmakaće n-1. Stoga će formula biti (bez varijacija!):

a n = a 1 + (n-1)d

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih matematičkih problema. Nemojte zanemariti slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućava vam da povežete čitav moćni arsenal matematike na rješenje - jednadžbe, nejednačine, sisteme itd. Ne možete ubaciti sliku u jednačinu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Pronađite 3.

Savjet: prema slici, problem se može riješiti za 20 sekundi... Prema formuli ispada teže. Ali za savladavanje formule, korisnije je.) U odjeljku 555, ovaj problem je riješen korištenjem i slike i formule. Osjetite razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Pronađite a 3 .

Šta, ne želite da nacrtate sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da...

3. Aritmetička progresija je data uslovom:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite sto dvadeset peti član ove progresije.

U ovom zadatku, napredovanje je specificirano na ponavljajući način. Ali računajući do sto dvadeset i petog člana... Nije svako sposoban za takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Pronađite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uslovima zadatka 4, naći zbir najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.

6. Proizvod petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije jednak je -2,5, a zbir trećeg i jedanaestog člana jednak je nuli. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da...) Metoda "vrh prsta" ovdje neće raditi. Morat ćete napisati formule i riješiti jednačine.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Desilo se? Lijepo je!)

Nije sve u redu? Dešava se. Usput, postoji jedna suptilna tačka u posljednjem zadatku. Biće potrebna pažnja prilikom čitanja problema. I logika.

Rješenje svih ovih problema je detaljno razmotreno u Odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilna tačka za šesti, i opći pristupi rješavanju bilo kojeg problema koji uključuje formulu n-og člana - sve je opisano. Predlažem.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Ili je aritmetika vrsta uređenog numeričkog niza čija se svojstva proučavaju u školskom kursu algebre. Ovaj članak detaljno razmatra pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije.

Kakva je ovo progresija?

Prije nego što pređemo na pitanje (kako pronaći zbir aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu govorimo.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, kada se prevede na matematički jezik, ima oblik:

Ovdje je i serijski broj elementa reda a i. Dakle, znajući samo jedan početni broj, lako možete vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da za niz brojeva koji se razmatra vrijedi sljedeća jednakost:

a n = a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, trebate dodati razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Što je zbir aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, morate pronaći njihov zbir. Budući da je u progresiji (10) malo članova, moguće je problem riješiti direktno, odnosno sabrati sve elemente po redu.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vrijedi razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki član razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d = 1, onda će parno zbrajanje prvog sa desetim, drugog sa devetim i tako dalje dati isti rezultat. stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, ovih suma je samo 5, odnosno tačno dva puta manje od broja elemenata serije. Zatim pomnožite broj zbroja (5) sa rezultatom svakog zbroja (11), doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generalizujemo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n, kao i ukupan broj pojmova n.

Vjeruje se da je Gauss prvi pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje za problem koji mu je dao učitelj: zbroj prvih 100 cijelih brojeva.

Zbir elemenata od m do n: formula

Formula data u prethodnom pasusu odgovara na pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije (prvi elementi), ali je često u zadacima potrebno sabrati niz brojeva u sredini progresije. Kako uraditi?

Najlakši način da se odgovori na ovo pitanje je razmatranjem sljedećeg primjera: neka je potrebno pronaći zbir članova od m-tog do n-og. Da biste riješili problem, trebali biste dati segment od m do n progresije prikazati u obliku novog brojevnog niza. U ovoj reprezentaciji, m-ti član a m će biti prvi, a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za zbroj, dobit će se sljedeći izraz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbir njegovih članova, počevši od 5. i završavajući sa 12.:

Dati brojevi označavaju da je razlika d jednaka 3. Koristeći izraz za n-ti element, možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Poznavajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, kao i znajući koje brojeve u nizu oni zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom odlomku. Ispostaviće se:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vrijedi napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbir prvih 12 elemenata koristeći standardnu ​​formulu, zatim izračunajte zbir prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbira.