U geometriji, ključni pojmovi su ravan, tačka, prava linija i ugao. Koristeći ove pojmove, možete opisati bilo koju geometrijsku figuru. Poliedri se obično opisuju u terminima jednostavnijih figura koje leže u istoj ravni, kao što su krug, trokut, kvadrat, pravougaonik itd. U ovom članku ćemo pogledati što je paralelepiped, opisati vrste paralelepipeda, njegova svojstva, od kojih elemenata se sastoji, a također ćemo dati osnovne formule za izračunavanje površine i volumena za svaku vrstu paralelepipeda.

Definicija

Paralelepiped u trodimenzionalnom prostoru je prizma, čije su sve strane paralelogrami. Prema tome, može imati samo tri para paralelnih paralelograma ili šest lica.

Da biste vizualizirali paralelepiped, zamislite običnu standardnu ​​ciglu. Cigla je dobar primjer pravokutnog paralelepipeda koji čak i dijete može zamisliti. Drugi primjeri uključuju višekatne panelne kuće, ormare, posude za skladištenje hrane odgovarajućeg oblika, itd.

Sorte figura

Postoje samo dvije vrste paralelepipeda:

1. Pravougaona, čije su sve bočne strane pod uglom od 90° u odnosu na osnovu i predstavljaju pravougaonike.
2. Kosi, čije se bočne ivice nalaze pod određenim uglom u odnosu na bazu.

Na koje elemente se ova figura može podijeliti?

• Kao iu svakoj drugoj geometrijskoj figuri, u paralelepipedu se svaka 2 lica sa zajedničkim rubom nazivaju susjednim, a one koje ga nemaju su paralelne (na osnovu svojstva paralelograma, koji ima parove paralelnih suprotnih strana).
• Vrhovi paralelepipeda koji ne leže na istoj površini nazivaju se suprotni.
• Segment koji povezuje takve vrhove je dijagonala.
• Duljine tri ivice kvadra koje se sastaju u jednom vrhu su njegove dimenzije (odnosno, njegova dužina, širina i visina).

Svojstva oblika

1. Uvijek se gradi simetrično u odnosu na sredinu dijagonale.
2. Točka sjecišta svih dijagonala dijeli svaku dijagonalu na dva jednaka segmenta.
3. Suprotne strane su jednake po dužini i leže na paralelnim linijama.
4. Ako zbrojite kvadrate svih dimenzija paralelepipeda, rezultirajuća vrijednost će biti jednaka kvadratu dužine dijagonale.

Formule za proračun

Formule za svaki pojedinačni slučaj paralelepipeda bit će različite.

Za proizvoljni paralelepiped, istina je da je njegov volumen jednak apsolutnoj vrijednosti trostrukog skalarnog proizvoda vektora triju strana koji izlaze iz jednog vrha. Međutim, ne postoji formula za izračunavanje zapremine proizvoljnog paralelepipeda.

Za pravougaoni paralelepiped primjenjuju se sljedeće formule:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - zapremina figure;
• Sb - bočna površina;
• Sp - ukupna površina;
• a - dužina;
• b - širina;
• c - visina.

Drugi poseban slučaj paralelepipeda u kojem su sve strane kvadrati je kocka. Ako je bilo koja od strana kvadrata označena slovom a, tada se za površinu i volumen ove figure mogu koristiti sljedeće formule:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - površina figure,
• V je zapremina figure,
• a je dužina lica figure.

Posljednji tip paralelepipeda koji razmatramo je ravan paralelepiped. Koja je razlika između pravog paralelepipeda i kvadra, pitate se. Činjenica je da osnova pravokutnog paralelepipeda može biti bilo koji paralelogram, ali osnova ravnog paralelepipeda može biti samo pravougaonik. Ako obim osnove, jednak zbroju dužina svih strana, označimo kao Po, a visinu slovom h, imamo pravo koristiti sljedeće formule za izračunavanje volumena i površina ukupnog i bočne površine.

Ciljevi lekcije:

1. Obrazovni:

Upoznati pojam paralelepipeda i njegove vrste;
- formulisati (koristeći analogiju sa paralelogramom i pravougaonikom) i dokazati svojstva paralelepipeda i kvadra;
- ponoviti pitanja vezana za paralelizam i okomitost u prostoru.

2. Razvojni:

Nastaviti razvoj kognitivnih procesa kod učenika kao što su percepcija, razumijevanje, mišljenje, pažnja, pamćenje;
- podsticati razvoj elemenata kreativne aktivnosti kod učenika kao kvaliteta mišljenja (intuicija, prostorno razmišljanje);
- razviti kod učenika sposobnost izvođenja zaključaka, uključujući i analogiju, što pomaže u razumijevanju unutarpredmetnih veza u geometriji.

3. Obrazovni:

Doprinijeti razvoju organizacije i navika sistematskog rada;
- doprinose formiranju estetskih vještina prilikom pisanja bilješki i crtanja.

Vrsta lekcije: lekcija - učenje novog materijala (2 sata).

Struktura lekcije:

1. Organizacioni momenat.
2. Ažuriranje znanja.
3. Proučavanje novog gradiva.
4. Sumiranje i postavljanje domaće zadaće.

Oprema: posteri (slajdovi) sa dokazima, modeli raznih geometrijskih tijela, uključujući sve vrste paralelepipeda, grafički projektor.

Tokom nastave.

1. Organizacioni momenat.

2. Ažuriranje znanja.

Saopštavanje teme časa, formulisanje ciljeva i zadataka zajedno sa učenicima, pokazivanje praktičnog značaja proučavanja teme, ponavljanje prethodno proučenih pitanja vezanih za ovu temu.

3. Proučavanje novog gradiva.

3.1. Paralelepiped i njegove vrste.

Demonstrirani su modeli paralelepipeda, identificirajući njihove karakteristike, koji pomažu u formuliranju definicije paralelepipeda koristeći koncept prizme.

definicija:

paralelepiped naziva se prizma čija je osnova paralelogram.

Napravljen je crtež paralelepipeda (slika 1), navedeni su elementi paralelepipeda kao posebnog slučaja prizme. Prikazan je slajd 1.

Šematski zapis definicije:

Formulisani su zaključci iz definicije:

1) Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma, a ABCD paralelogram, onda je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelepiped.

2) Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelepiped, tada je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma, a ABCD paralelogram.

3) Ako ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nije prizma ili ABCD nije paralelogram, tada
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne paralelepiped.

4) . Ako je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne paralelepiped, tada ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nije prizma ili ABCD nije paralelogram.

Zatim se razmatraju posebni slučajevi paralelepipeda sa konstrukcijom klasifikacione šeme (vidi sliku 3), demonstriraju se modeli, naglašavaju karakteristična svojstva ravnih i pravokutnih paralelepipeda i formuliraju se njihove definicije.

definicija:

Paralelepiped se naziva ravnim ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu.

definicija:

Paralelepiped se zove pravougaona, ako su njegove bočne ivice okomite na osnovu, a osnova je pravougaonik (vidi sliku 2).

Nakon što se definicije zabilježe u šematskom obliku, formuliraju se zaključci iz njih.

3.2. Svojstva paralelepipeda.

Potražite planimetrijske figure čiji su prostorni analozi paralelepiped i kuboid (paralelogram i pravougaonik). U ovom slučaju imamo posla s vizualnom sličnošću figura. Koristeći pravilo zaključivanja po analogiji, tabele se popunjavaju.

Pravilo zaključivanja po analogiji:

1. Od prethodno proučavanih figura odaberite figuru sličnu ovoj.
2. Formulirajte svojstvo odabrane figure.
3. Formulirajte slično svojstvo originalne figure.
4. Dokažite ili opovrgnite formulisanu tvrdnju.

Nakon formuliranja svojstava, dokaz svakog od njih provodi se prema sljedećoj shemi:

• rasprava o planu dokaza;
• demonstracija slajda sa dokazima (slajdovi 2 – 6);
• učenici popunjavaju dokaze u svojim sveskama.

3.3 Kocka i njena svojstva.

Definicija: Kocka je pravougaoni paralelepiped u kojem su sve tri dimenzije jednake.

Po analogiji s paralelepipedom, učenici samostalno prave šematski zapis definicije, izvode posljedice iz nje i formulišu svojstva kocke.

4. Sumiranje i postavljanje domaće zadaće.

Zadaća:

1. Koristeći napomene iz udžbenika geometrije za 10-11 razred, L.S. Atanasyan i drugi, proučite Poglavlje 1, §4, stav 13, Poglavlje 2, §3, stav 24.
2. Dokazati ili opovrgnuti osobinu paralelepipeda, tačka 2 tabele.
3. Odgovorite na sigurnosna pitanja.

Kontrolna pitanja.

1. Poznato je da su samo dvije bočne strane paralelepipeda okomite na osnovu. Koja vrsta paralelepipeda?

2. Koliko bočnih strana pravougaonog oblika može imati paralelepiped?

3. Da li je moguće imati paralelepiped sa samo jednom bočnom stranom:

1) okomito na osnovu;
2) ima oblik pravougaonika.

4. U desnom paralelepipedu sve su dijagonale jednake. Da li je pravougaona?

5. Da li je tačno da su kod pravog paralelepipeda dijagonalni presjeci okomiti na ravni baze?

6. Navedite teoremu suprotnu teoremi o kvadratu dijagonale pravokutnog paralelepipeda.

7. Koje dodatne karakteristike razlikuju kocku od pravougaonog paralelepipeda?

8. Hoće li paralelepiped biti kocka u kojoj su sve ivice na jednom od vrhova jednake?

9. Navedite teoremu o kvadratu dijagonale kvadra za slučaj kocke.

Paralelepiped je četvorougaona prizma sa paralelogramima u osnovi. Visina paralelepipeda je udaljenost između ravnina njegovih baza. Na slici je visina prikazana segmentom . Postoje dvije vrste paralelepipeda: ravni i nagnuti. Po pravilu, nastavnik matematike prvo daje odgovarajuće definicije za prizmu, a zatim ih prenosi na paralelepiped. I mi ćemo učiniti isto.

Dozvolite mi da vas podsjetim da se prizma naziva ravnom ako su njene bočne ivice okomite na osnovice, ako nema okomitosti, prizma se naziva nagnuta; Ovu terminologiju nasljeđuje i paralelepiped. Pravi paralelepiped nije ništa drugo do vrsta ravne prizme, čija se bočna ivica poklapa s visinom. Sačuvane su definicije pojmova kao što su lice, ivica i vrh, koji su zajednički za cijelu porodicu poliedara. Pojavljuje se koncept suprotnih lica. Paralelepiped ima 3 para suprotnih strana, 8 vrhova i 12 ivica.

Dijagonala paralelepipeda (dijagonala prizme) je segment koji spaja dva vrha poliedra i ne leži ni na jednoj njegovoj strani.

Dijagonalni presjek - presjek paralelepipeda koji prolazi kroz njegovu dijagonalu i dijagonalu njegove baze.

Svojstva nagnutog paralelepipeda:
1) Sve njegove strane su paralelogrami, a suprotne strane su jednaki paralelogrami.
2)Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele se u ovoj tački.
3)Svaki paralelepiped se sastoji od šest trouglastih piramida jednake zapremine. Da bi ih pokazao učeniku, nastavnik matematike mora odsjeći polovicu paralele s dijagonalnim presjekom i podijeliti ga posebno na 3 piramide. Njihove baze moraju ležati na različitim stranama originalnog paralelepipeda. Nastavnik matematike će pronaći primjenu ovog svojstva u analitičkoj geometriji. Koristi se za izvođenje volumena piramide kroz mješoviti proizvod vektora.

Formule za zapreminu paralelepipeda:
1) , gdje je površina osnove, h visina.
2) Zapremina paralelepipeda jednaka je proizvodu površine poprečnog presjeka i bočne ivice.
Tutor matematike: Kao što znate, formula je zajednička za sve prizme i ako je učitelj to već dokazao, nema smisla ponavljati istu stvar za paralelepiped. Međutim, kada se radi sa učenikom prosječnog nivoa (formula nije korisna slabom učeniku), savjetuje se da nastavnik postupi upravo suprotno. Ostavite prizmu na miru i izvršite pažljiv dokaz za paralelepiped.
3) , gdje je zapremina jedne od šest trouglastih piramida koje čine paralelepiped.
4) Ako , onda

Površina bočne površine paralelepipeda je zbir površina svih njegovih strana:
Ukupna površina paralelepipeda je zbir površina svih njegovih strana, odnosno površina + dvije površine baze: .

O radu nastavnika sa nagnutim paralelepipedom:
Predavači matematike često ne rade na problemima koji uključuju nagnute paralelepipede. Vjerovatnoća da će se pojaviti na Jedinstvenom državnom ispitu je prilično mala, a didaktika je nepristojno loša. Manje ili više pristojan problem o volumenu nagnutog paralelepipeda izaziva ozbiljne probleme povezane s određivanjem lokacije točke H - osnove njegove visine. U ovom slučaju, nastavniku matematike se može savjetovati da odsiječe paralelepiped na jednu od svojih šest piramida (o kojima se govori u svojstvu br. 3), pokuša pronaći njegovu zapreminu i pomnožiti je sa 6.

Ako bočna ivica paralelepipeda ima jednake uglove sa stranicama baze, tada H leži na simetrali ugla A osnove ABCD. A ako je, na primjer, ABCD romb, onda

Zadaci za nastavnike matematike:
1) Lica paralelepipeda su jednaka jedna drugoj sa stranicom od 2 cm i oštrim uglom. Pronađite zapreminu paralelepipeda.
2) U kosom paralelepipedu bočna ivica je 5 cm. Presjek okomit na njega je četverougao sa međusobno okomitim dijagonalama dužine 6 cm i 8 cm.
3) U kosom paralelepipedu je poznato da je , a u ABCD osnova je romb sa stranicom od 2 cm i kutom . Odrediti zapreminu paralelepipeda.

Tutor matematike, Aleksandar Kolpakov