Ako konstruiramo dvije međusobno okomite numeričke ose na ravni: OX I OY, tada će biti pozvani koordinatne ose. Horizontalna os OX pozvao x-osa(osa x), vertikalna osa OY - y-osa(osa y).

Dot O, koji stoji na sjecištu osi, naziva se porijeklo. To je nulta tačka za obe ose. Pozitivni brojevi su prikazani na x-osi sa tačkama desno, a na y-osi sa tačkama nagore od nulte tačke. Negativni brojevi su predstavljeni tačkama lijevo i dolje od početka (tačke O). Zove se ravan na kojoj leže koordinatne ose koordinatna ravan.

Koordinatne ose dijele ravan na četiri dijela, tzv u četvrtima ili kvadrantima. Uobičajeno je da se ove četvrti numerišu rimskim brojevima onim redom kojim su numerisane na crtežu.

Koordinate tačke na ravni

Ako uzmemo proizvoljnu tačku na koordinatnoj ravni A i povuci okomice iz njega na koordinatne ose, tada će osnove okomica pasti na dva broja. Broj na koji se poziva vertikalna okomita tačka apscisa tačka A. Broj na koji je horizontalna okomita tačka - ordinata tačke A.

Na crtežu, apscisa tačke A jednaka je 3, a ordinata je 5.

Apscisa i ordinata se nazivaju koordinate date tačke na ravni.

Koordinate tačke se pišu u zagradama desno od oznake tačke. Prvo se ispisuje apscisa, a zatim ordinata. Dakle snimajte A(3; 5) znači da je apscisa tačke A jednaka je tri, a ordinata je pet.

Koordinate tačke su brojevi koji određuju njen položaj na ravni.

Ako tačka leži na x-osi, tada je njena ordinata nula (na primjer, tačka B sa koordinatama -2 i 0). Ako tačka leži na ordinatnoj osi, tada je njena apscisa jednaka nuli (na primjer, tačka C sa koordinatama 0 i -4).

Porijeklo - tačka O- ima i apscisu i ordinatu jednake nuli: O (0; 0).

Ovaj koordinatni sistem se zove pravougaona ili Kartezijanski.

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je na kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu

Uvod

U govoru odraslih možda ste čuli sljedeću frazu: „Ostavite mi svoje koordinate“. Ovaj izraz znači da sagovornik mora ostaviti svoju adresu ili broj telefona na kojem se može naći. Oni od vas koji su igrali "pomorske bitke" koristili su odgovarajući koordinatni sistem. Sličan koordinatni sistem se koristi u šahu. Sedišta u bioskopskoj sali su određena sa dva broja: prvi broj označava broj reda, a drugi broj sedišta u ovom redu. Ideja o određivanju položaja tačke na ravni pomoću brojeva nastala je u antičko doba. Koordinatni sistem prožima cijeli praktični život čovjeka i ima ogromne praktične primjene. Stoga smo odlučili kreirati ovaj projekat kako bismo proširili naše znanje o temi „Koordinatna ravan“

Ciljevi projekta:

upoznati se sa istorijom nastanka pravougaonog koordinatnog sistema na ravni;

istaknute ličnosti uključene u ovu temu;

pronaći zanimljive istorijske činjenice;

dobro percipiraju koordinate na uho; izvoditi konstrukcije jasno i precizno;

pripremiti prezentaciju.

Poglavlje I. Koordinatna ravan

Ideja o određivanju položaja tačke na ravni pomoću brojeva nastala je u antičko doba - prvenstveno među astronomima i geografima prilikom sastavljanja zvjezdanih i geografskih karata i kalendara.

§1. Porijeklo koordinata. Koordinatni sistem u geografiji

200 godina prije nove ere, grčki naučnik Hiparh uveo je geografske koordinate. Predložio je crtanje paralela i meridijana na geografskoj karti i označavanje širine i dužine brojevima. Koristeći ova dva broja, možete precizno odrediti položaj otoka, sela, planine ili bunara u pustinji i ucrtati ih na kartu ili globus Nakon što su naučili odrediti geografsku širinu i dužinu lokacije broda na otvorenom svijetu. bili u mogućnosti da odaberu smjer koji im je potreban.

Istočna geografska dužina i sjeverna geografska širina označene su brojevima sa znakom plus, a zapadna geografska dužina i južna geografska širina su označene brojevima sa znakom minus. Dakle, par potpisanih brojeva jedinstveno identifikuje tačku na globusu.

Geografska širina? - ugao između viska u datoj tački i ravni ekvatora, mjeren od 0 do 90 na obje strane ekvatora. Geografska dužina? - ugao između ravni meridijana koja prolazi kroz datu tačku i ravni početka meridijana (vidi Griniški meridijan). Geografske dužine od 0 do 180 istočno od početka meridijana nazivaju se istočnim, a zapadno - zapadnim.

Da biste pronašli određeni objekat u gradu, u većini slučajeva dovoljno je znati njegovu adresu. Poteškoće nastaju ako trebate objasniti gdje se, na primjer, nalazi vikendica ili mjesto u šumi. Geografske koordinate su univerzalno sredstvo za označavanje lokacije.

Kada se suoči s hitnom situacijom, prva stvar koju osoba mora učiniti je biti u stanju navigirati područjem. Ponekad je potrebno odrediti geografske koordinate vaše lokacije, na primjer, prenijeti spasilačkoj službi ili u druge svrhe.

Moderna navigacija koristi svjetski koordinatni sistem WGS-84 kao standard. Svi GPS navigatori i veliki kartografski projekti na Internetu rade u ovom koordinatnom sistemu. Koordinate u sistemu WGS-84 se uobičajeno koriste i svi razumiju kao i univerzalno vrijeme. Općenito dostupna preciznost pri radu sa geografskim koordinatama je 5 - 10 metara na tlu.

Geografske koordinate su označeni brojevi (širina od -90° do +90°, geografska dužina od -180° do +180°) i mogu se pisati u različitim oblicima: u stepenima (ddd.dddd°); stepeni i minute (ddd° mm.mmm"); stepeni, minute i sekunde (ddd° mm" ss.s"). Forme za snimanje se mogu lako pretvoriti jedna u drugu (1 stepen = 60 minuta, 1 minut = 60 sekundi ) Za označavanje znaka koordinata često se koriste slova, prema nazivima kardinalnih pravaca: N i E - sjeverna geografska širina i istočna dužina - pozitivni brojevi, S i W - južna geografska širina i zapadna dužina - negativni brojevi.

Oblik zapisa koordinata u DEGREES je najpogodniji za ručni unos i poklapa se sa matematičkom notacijom broja. Forma snimanja koordinata u STEPENIMA I MINUTAMA je poželjna u mnogim slučajevima. Ovaj format je standardno postavljen u većini GPS navigatora i standardno se koristi u avijaciji i na moru. Klasični oblik bilježenja koordinata u STEPENIMA, MINUTAMA I SEKUNDAMA zapravo ne nalazi mnogo praktične upotrebe.

§2. Koordinatni sistem u astronomiji. Mitovi o sazvežđima

Kao što je gore spomenuto, ideja o određivanju položaja tačke na ravni pomoću brojeva nastala je u drevnim vremenima među astronomima prilikom sastavljanja mapa zvijezda. Ljudima je bilo potrebno računati vrijeme, predviđati sezonske pojave (plime, sezonske kiše, poplave) i kretati se po terenu dok putuju.

Astronomija je nauka o zvijezdama, planetama, nebeskim tijelima, njihovoj strukturi i razvoju.

Hiljade godina su prošle, nauka je napredovala, ali ljudi i dalje ne mogu da odvoje pogled od lepote noćnog neba.

Sazviježđa su područja zvjezdanog neba, karakteristične figure formirane od sjajnih zvijezda. Čitavo nebo podijeljeno je na 88 sazviježđa, što olakšava navigaciju među zvijezdama. Većina imena sazvežđa potiče iz antike.

Najpoznatije sazviježđe je Veliki medvjed. U starom Egiptu zvali su ga "Hippopotamus", a Kazahstanci su ga zvali "Konj na uzici", iako spolja sazviježđe ne podsjeća ni na jednu ni na drugu životinju. kako je to?

Stari Grci su imali legendu o sazvežđima Velikog i Malog medveda. Svemogući bog Zevs odlučio je da oženi prelepu nimfu Kalisto, jednu od sluškinja boginje Afrodite, protivno njenoj želji. Da bi spasio Kalisto od progona boginje, Zeus je pretvorio Kalisto u Velikog medvjeda, njenog voljenog psa u Malog medvjeda i odveo ih u raj. Prenesite sazviježđa Veliki i Mali medvjed sa zvjezdanog neba u koordinatnu ravan. . Svaka od zvijezda u Velikom medvjedu ima svoje ime.

URSA GREAT

Prepoznajem ga po KOFI!

Ovdje blista sedam zvijezda

Evo kako se zovu:

DUBHE obasjava tamu,

MERAK gori pored njega,

Sa strane je FEKDA sa MEGRETZ-om,

Odvažan momak.

Iz MEGRETZ-a za polazak

ALIOT se nalazi

A iza njega - MITZAR sa ALCOR-om

(Ova dvojica sijaju uglas.)

Naša kutlača se zatvara

Neuporedivo BENETNASH.

On pokazuje na oko

Put do sazviježđa ČIZME,

Tamo gdje lijepi ARCTURUS sija,

Sada će ga svi primetiti!

Jednako lijepa legenda o sazviježđima Kefej, Kasiopeja i Andromeda.

Etiopijom je nekada vladao kralj Kefej. Jednog dana njegova žena, kraljica Kasiopeja, imala je nerazboritost da pokaže svoju ljepotu stanovnicima mora - Nereidama. Potonji se, uvrijeđen, požalio bogu mora Posejdonu, a vladar mora, razbješnjen Kasiopejinom drskošću, pustio je morsko čudovište, kita, na obale Etiopije. Kako bi spasio svoje kraljevstvo od uništenja, Cepheus je, po savjetu proročišta, odlučio žrtvovati čudovište i dati mu svoju voljenu kćer Andromedu da bude progutana. Okovao je Andromedu za obalnu stenu i ostavio je da čeka odluku svoje sudbine.

I u ovo vrijeme, na drugom kraju svijeta, mitski heroj Persej izvršio je hrabar podvig. Ušao je na osamljeno ostrvo na kojem su živele gorgone - neverovatna čudovišta u obliku žena na čijim su glavama bile zmije umesto kose. Pogled gorgona bio je toliko strašan da se svako koga su pogledali istog trena pretvorio u kamen.

Iskoristivši san ovih čudovišta, Persej je odsjekao glavu jednom od njih, Gorgoni Meduzi. U tom trenutku je konj Pegaz izleteo iz odsečenog Meduzina tela. Persej je zgrabio glavu meduze, skočio na Pegaza i pojurio kroz vazduh u svoju domovinu. Kada je leteo iznad Etiopije, video je Andromedu prikovanu lancima za stenu. U ovom trenutku, kit je već izronio iz morskih dubina, spremajući se da proguta svoju žrtvu. Ali Persej je, jureći u smrtnu bitku s Keithom, pobijedio čudovište. Pokazao je Keithu glavu meduze, koja još nije izgubila snagu, a čudovište se okamenilo, pretvorivši se u ostrvo. Što se tiče Perseja, nakon što je oslobodio Andromedu, vratio ju je njenom ocu, a Kefej je, oduševljen srećom, dao Andromedu za ženu Perseju. Tako je sretno završila ova priča, čije su glavne likove stari Grci smjestili na nebo.

Na zvjezdanoj mapi možete pronaći ne samo Andromedu s ocem, majkom i mužem, već i čarobnog konja Pegaza i krivca svih nevolja - čudovište Keitha.

Sazviježđe Cetus se nalazi ispod Pegaza i Andromede. Nažalost, nije obilježen nikakvim karakterističnim sjajnim zvijezdama i stoga spada u broj manjih sazviježđa.

§3. Koristeći ideju pravokutnih koordinata u slikarstvu.

Tragovi primjene ideje pravokutnih koordinata u obliku kvadratne mreže (palete) prikazani su na zidu jedne od grobnih komora starog Egipta. U grobnoj komori piramide oca Ramzesa, na zidu je mreža kvadrata. Uz njihovu pomoć, slika se prenosi u uvećanom obliku. Renesansni umjetnici su također koristili pravokutnu mrežu.

Riječ "perspektiva" je latinski za "vidjeti jasno". U likovnoj umjetnosti, linearna perspektiva je prikaz predmeta u ravnini u skladu s prividnim promjenama njihove veličine. Osnovu moderne teorije perspektive postavili su veliki umjetnici renesanse - Leonardo da Vinci, Albrecht Durer i drugi. Jedna od Durerovih gravura (sl. 3) prikazuje metodu crtanja iz života kroz staklo sa nanesenom kvadratnom mrežom. Ovaj proces se može opisati na sljedeći način: ako stojite ispred prozora i, ne mijenjajući svoju tačku gledišta, zaokružite na staklu sve što je vidljivo iza njega, onda će rezultirajući crtež biti perspektivna slika prostora.

Egipatske metode dizajna za koje se čini da su bile zasnovane na kvadratnim mrežastim obrascima. Brojni su primjeri u egipatskoj umjetnosti koji pokazuju da su umjetnici i skulptori prvo nacrtali mrežu na zidu, koja je morala biti oslikana ili isklesana kako bi se zadržale utvrđene proporcije. Jednostavni numerički odnosi ovih mreža čine srž svih velikih umjetničkih djela Egipćana.

Istu metodu koristili su mnogi renesansni umjetnici, uključujući Leonarda da Vincija. U starom Egiptu, ovo je bilo utjelovljeno u Velikoj piramidi, koja je pojačana njenom bliskom vezom s uzorkom na Marlborough Downu.

Na početku rada, egipatski umjetnik je obložio zid mrežom pravih linija, a zatim pažljivo prenio figure na njega. Ali geometrijska sređenost ga nije spriječila da rekreira prirodu s detaljnom preciznošću. Izgled svake ribe, svake ptice je prenošen s takvom istinitošću da moderni zoolozi lako mogu odrediti njihovu vrstu. Na slici 4 prikazan je detalj kompozicije sa ilustracije - drvo sa pticama uhvaćenim u Khnumhotepovu mrežu. Pokret umjetnikove ruke bio je vođen ne samo rezervama njegovog umijeća, već i okom, osjetljivim na obrise prirode.

Sl.4 Ptice na bagremu

Poglavlje II. Koordinatna metoda u matematici

§1. Primena koordinata u matematici. Zasluge

francuski matematičar René Descartes

Dugo je samo geografski „opis zemljišta” koristio ovaj divni izum, a tek u 14. veku je francuski matematičar Nicolas Oresme (1323-1382) pokušao da ga primeni na „merenje zemlje” - geometriju. Predložio je da se ravan prekrije pravougaonom mrežom i nazove geografsku širinu i dužinu ono što sada zovemo apscisa i ordinata.

Na osnovu ove uspješne inovacije nastala je koordinatna metoda koja povezuje geometriju s algebrom. Glavne zasluge za stvaranje ove metode pripadaju velikom francuskom matematičaru Rene Descartesu (1596 - 1650). U njegovu čast, takav koordinatni sistem se naziva kartezijanskim, što ukazuje na lokaciju bilo koje tačke na ravnini na udaljenostima od ove tačke do "nulte geografske širine" - osi apscise i "nulti meridijan" - ordinatne osi.

Međutim, ovaj briljantni francuski naučnik i mislilac 17. veka (1596 - 1650) nije odmah našao svoje mesto u životu. Rođen u plemićkoj porodici, Descartes je stekao dobro obrazovanje. Godine 1606. otac ga je poslao u jezuitski koledž La Flèche. S obzirom na Descartesovo loše zdravstveno stanje, u strogom režimu ove obrazovne ustanove dali su mu neke ustupke, na primjer, bilo mu je dozvoljeno da ustane kasnije od ostalih. Stekavši mnoga znanja na koledžu, Descartes je istovremeno postao prožet antipatijom prema sholastičkoj filozofiji, koju je zadržao cijeli život.

Nakon što je završio fakultet, Descartes je nastavio školovanje. Godine 1616., na Univerzitetu u Poitiersu, diplomirao je pravo. Godine 1617. Descartes se prijavio u vojsku i mnogo je putovao po Evropi.

Ispostavilo se da je 1619. godina bila ključna godina za Descartesa u naučnom smislu.

U to vrijeme, kako je i sam zapisao u svom dnevniku, otkriveni su mu temelji nove „najnevjerovatnije nauke“. Najvjerovatnije je Descartes imao na umu otkriće univerzalne naučne metode, koju je potom plodonosno primjenjivao u raznim disciplinama.

1620-ih Descartes je upoznao matematičara M. Mersennea, preko kojeg je dugi niz godina „održavao kontakt” sa cijelom evropskom naučnom zajednicom.

Godine 1628. Descartes se nastanio u Holandiji na više od 15 godina, ali se nije nastanio ni u jednom mjestu, već je oko dvadesetak puta promijenio mjesto boravka.

Godine 1633, nakon što je saznao za osudu Galileja od strane crkve, Descartes je odbio objaviti svoje prirodno filozofsko djelo "Svijet", koje je iznijelo ideje prirodnog porijekla svemira prema mehaničkim zakonima materije.

Godine 1637. na francuskom je objavljeno Descartesovo djelo “Rasprava o metodi” s kojim je, kako mnogi vjeruju, započela moderna evropska filozofija.

Descartesovo posljednje filozofsko djelo, Strasti duše, objavljeno 1649. godine, također je imalo veliki utjecaj na evropsku misao. Iste godine, na poziv švedske kraljice Christine, Descartes odlazi u Švedsku. Oštra klima i neobičan režim (kraljica je prisilila Descartesa da ustaje u 5 ujutro kako bi joj držala lekcije i obavljala druge zadatke) narušili su Descartesovo zdravlje, a nakon što se prehladio, on je

umrla od upale pluća.

Prema tradiciji koju je uveo Descartes, „širina“ tačke označava se slovom x, „dužina“ slovom y.

Mnogi načini označavanja mjesta temelje se na ovom sistemu.

Na primjer, na kino ulaznici postoje dva broja: red i sjedište - oni se mogu smatrati koordinatama sjedišta u kinu.

Slične koordinate su prihvaćene u šahu. Umjesto jednog od brojeva uzima se slovo: vertikalni redovi ćelija su označeni slovima latinice, a horizontalni redovi brojevima. Tako je svakom polju na šahovskoj tabli dodijeljen par slova i brojeva, a šahisti mogu snimati svoje partije. Konstantin Simonov piše o upotrebi koordinata u svojoj pesmi „Sin artiljerca“.

Celu noc hodajuci kao klatno,

Major nije sklopio oči,

Zbogom na radiju ujutro

Stigao je prvi signal:

„U redu je, stigao sam,

Nemci su levo od mene,

Koordinate (3;10),

Pucajmo uskoro!

Puške su napunjene

Major je sve sam izračunao.

I uz urlik prvi rafali

Udarili su u planine.

I opet signal na radiju:

"Nemci su u pravu od mene,

Koordinate (5; 10),

Uskoro više vatre!

Zemlja i kamenje lete,

Dim se dizao u koloni.

Činilo se da sada odatle

Niko neće otići živ.

Treći radio signal:

"Nemci su oko mene,

Koordinate (4; 10),

Ne štedite na vatri.

Major je problijedio kad je čuo:

(4;10) - samo

Mesto gde je njegova Ljonka

Moram sada sjesti.

Konstantin Simonov "Sin artiljerca"

§2. Legende o pronalasku koordinatnog sistema

Postoji nekoliko legendi o pronalasku koordinatnog sistema, koji nosi ime Descartes.

Legenda 1

Ova priča je stigla do naših vremena.

Posjećujući pariska pozorišta, Descartes se nikada nije umorio od iznenađenja konfuzijom, prepirkama, a ponekad i izazovima na dvoboj uzrokovan nedostatkom elementarnog poretka raspodjele publike u gledalištu. Sistem numeracije koji je predložio, u kojem je svako sjedište dobilo broj reda i serijski broj s ruba, odmah je uklonio sve razloge za svađu i napravio pravu senzaciju u pariskom visokom društvu.

Legend2. Jednog dana je Rene Descartes ležao u krevetu po ceo dan, razmišljajući o nečemu, a muva je zujala okolo i nije mu dala da se koncentriše. Počeo je razmišljati kako da matematički opiše položaj muve u bilo kojem trenutku kako bi mogao da je udari bez promašaja. I... smislio je kartezijanske koordinate, jedan od najvećih izuma u ljudskoj istoriji.

Markovtsev Yu.

Jednom davno u nepoznatom gradu

Stigao je mladi Descartes.

Strašno ga je mučila glad.

Bio je hladan mjesec mart.

Odlučio sam da kontaktiram prolaznika

Descartes, pokušavajući smiriti drhtavicu:

Gdje je hotel, reci mi?

A gospođa je počela da objašnjava:

- Idi do prodavnice mleka

Onda u pekaru, iza nje

Ciganka prodaje igle

I otrov za pacove i miševe,

Sigurno ćete ih naći

Sirevi, keksi, voće

I šarene svile...

Slušao sam sva ova objašnjenja

Descartes, drhteći od hladnoće.

Zaista je htio jesti

- Iza prodavnica je apoteka

(tamošnji farmaceut je brkati Šveđanin),

I crkva gde je početkom veka

Izgleda da se moj deda oženio...

Kada je dama na trenutak utihnula,

Odjednom je njen sluga rekao:

- Hodajte pravo tri bloka

I dva desno. Ulaz iz ugla.

Ovo je treća priča o incidentu koji je Descartesu dao ideju o koordinatama.

Zaključak

Kreirajući naš projekat, saznali smo o upotrebi koordinatne ravni u raznim oblastima nauke i svakodnevnog života, neke podatke iz istorije nastanka koordinatne ravni i matematičare koji su dali veliki doprinos ovom pronalasku. Materijal koji smo prikupili tokom pisanja rada može se koristiti na nastavi školskog kluba, kao dodatni materijal za nastavu. Sve to može zainteresirati školarce i uljepšati proces učenja.

I željeli bismo završiti ovim riječima:

„Zamislite svoj život kao koordinatnu ravan. Y-osa je vaš položaj u društvu. X os se kreće naprijed, prema cilju, prema vašem snu. A kao što znamo, beskrajno je... možemo pasti dole, ići sve dalje i dalje u minus, možemo ostati na nuli i ne raditi ništa, apsolutno ništa. Možemo se dići, možemo pasti, možemo ići naprijed ili nazad, a sve zato što je cijeli naš život koordinatna ravan i ovdje je najvažnije koja je vaša koordinata...”

Bibliografija

Glazer G.I. Istorija matematike u školi: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 str., ilustr.

Lyatker Ya A. Descartes. M.: Mysl, 1975. - (Mislioci prošlosti)

Matvievskaya G. P. Rene Descartes, 1596-1650. M.: Nauka, 1976.

A. Savin. Koordinate Quantum. 1977. br. 9

Matematika - prilog lista “Prvi septembar”, br. 7, br. 20, br. 17, 2003, br. 11, 2000.

Siegel F.Yu. Zvjezdana abeceda: Priručnik za studente. - M.: Prosveta, 1981. - 191 str., iluz.

Steve Parker, Nicholas Harris. Ilustrovana enciklopedija za djecu. Tajne univerzuma. Kharkov Belgorod. 2008

Materijali sa stranice http://istina.rin.ru/

Razumijevanje koordinatne ravni

Svaki objekat (na primjer, kuća, mjesto u gledalištu, tačka na karti) ima svoju uređenu adresu (koordinate) koja ima numeričku ili slovnu oznaku.

Matematičari su razvili model koji vam omogućava da odredite položaj objekta i koji se zove koordinatna ravan.

Da biste konstruirali koordinatnu ravan, morate nacrtati okomite prave linije od $2$, na čijem kraju su strelicama označeni smjerovi "nadesno" i "gore". Podjele se primjenjuju na linije, a tačka presjeka linija je nulta oznaka za obje skale.

Definicija 1

Horizontalna linija se zove x-osa i označava se sa x, a vertikalna linija se zove y-osa i označava se sa y.

Dvije okomite x i y ose sa podjelama čine pravougaona, ili Kartezijanski, koordinatni sistem, koji je predložio francuski filozof i matematičar Rene Descartes.

Koordinatna ravan

Koordinate tačaka

Tačku na koordinatnoj ravni definiraju dvije koordinate.

Da biste odredili koordinate tačke $A$ na koordinatnoj ravni, potrebno je da kroz nju povučete prave linije koje će biti paralelne sa koordinatnim osa (označene isprekidanom linijom na slici). Presek prave sa x-osom daje $x$ koordinatu tačke $A$, a presek sa y-osom daje y-koordinatu tačke $A$. Prilikom pisanja koordinata tačke prvo se upisuje koordinata $x$, a zatim koordinata $y$.

Tačka $A$ na slici ima koordinate $(3; 2)$, a tačka $B (–1; 4)$.

Da biste nacrtali tačku na koordinatnoj ravni, postupite obrnutim redoslijedom.

Konstruisanje tačke na određenim koordinatama

Primjer 1

Na koordinatnoj ravni konstruirajte tačke $A(2;5)$ i $B(3; –1).$

Rješenje.

Izgradnja tačke $A$:

• stavite broj $2$ na osu $x$ i nacrtajte okomitu liniju;
• Na y-osi crtamo broj $5$ i crtamo pravu liniju okomitu na osu $y$. Na presjeku okomitih linija dobijamo tačku $A$ sa koordinatama $(2; 5)$.

Konstrukcija tačke $B$:

• Nacrtajmo broj $3$ na osu $x$ i nacrtamo pravu liniju okomitu na osu x;
• Na osi $y$ crtamo broj $(–1)$ i nacrtamo pravu liniju okomitu na osu $y$. Na presjeku okomitih linija dobijamo tačku $B$ sa koordinatama $(3; –1)$.

Primjer 2

Konstruisati tačke na koordinatnoj ravni sa datim koordinatama $C (3; 0)$ i $D(0; 2)$.

Rješenje.

Konstrukcija tačke $C$:

• stavite broj $3$ na osu $x$;
• koordinata $y$ je nula, što znači da će tačka $C$ ležati na osi $x$.

Konstrukcija tačke $D$:

• stavite broj $2$ na osu $y$;
• koordinata $x$ jednaka je nuli, što znači da će tačka $D$ ležati na $y$ osi.

Napomena 1

Dakle, na koordinati $x=0$ tačka će ležati na $y$ osi, a na koordinati $y=0$ tačka će ležati na $x$ osi.

Primjer 3

Odredite koordinate tačaka A, B, C, D.$

Rješenje.

Odredimo koordinate tačke $A$. Da bismo to uradili, crtamo prave linije kroz ovu tačku $2$ koje će biti paralelne sa koordinatnim osa. Presek prave sa x-osom daje koordinate $x$, presek prave sa ordinatom daje koordinatu $y$. Tako dobijamo da je tačka $A (1; 3).$

Odredimo koordinate tačke $B$. Da bismo to uradili, crtamo prave linije kroz ovu tačku $2$ koje će biti paralelne sa koordinatnim osa. Presek prave sa x-osom daje koordinate $x$, presek prave sa ordinatom daje koordinatu $y$. Nalazimo tu tačku $B (–2; 4).$

Odredimo koordinate tačke $C$. Jer nalazi se na $y$ osi, tada je $x$ koordinata ove tačke nula. Koordinata y je $–2$. Dakle, tačka $C (0; –2)$.

Odredimo koordinate tačke $D$. Jer nalazi se na $x$ osi, tada je $y$ koordinata nula. Koordinata $x$ ove tačke je $–5$. Dakle, tačka $D (5; 0).$

Primjer 4

Konstruirajte tačke $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Rješenje.

Izgradnja tačke $E$:

• stavite broj $(–3)$ na osu $x$ i nacrtajte okomitu liniju;
• na osi $y$ crtamo broj $(–2)$ i nacrtamo okomitu liniju na osu $y$;
• na presjeku okomitih linija dobijamo tačku $E (–3; –2).$

Konstrukcija tačke $F$:

• koordinata $y=0$, što znači da tačka leži na $x$ osi;
• Nacrtajmo broj $5$ na osu $x$ i dobijemo tačku $F(5; 0).$

Konstrukcija tačke $G$:

• stavite broj $3$ na osu $x$ i nacrtajte okomitu liniju na osu $x$;
• na osi $y$ crtamo broj $4$ i nacrtamo okomitu liniju na osu $y$;
• na presjeku okomitih linija dobijamo tačku $G(3; 4).$

Konstrukcija tačke $H$:

• koordinata $x=0$, što znači da tačka leži na $y$ osi;
• Nacrtajmo broj $(–4)$ na osi $y$ i dobijemo tačku $H(0;–4).$

Izgradnja tačke $O$:

• obje koordinate tačke su jednake nuli, što znači da tačka leži istovremeno i na osi $y$ i na osi $x$, dakle ona je tačka preseka obeju ose (početak koordinata).

Pravougaoni koordinatni sistem na ravni

Pravougaoni koordinatni sistem na ravni formiraju dve međusobno okomite koordinatne ose X’X i Y’Y. Koordinatne ose se sijeku u tački O, koja se zove ishodište, na svakoj osi se bira pozitivan smjer. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90°, njegov pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom Y'Y ose. Četiri ugla (I, II, III, IV) formirana od koordinatnih ose X'X i Y'Y ​​nazivaju se koordinatni uglovi (vidi sliku 1).

Položaj tačke A na ravni određen je sa dvije koordinate x i y. Koordinata x je jednaka dužini segmenta OB, koordinata y jednaka je dužini segmenta OC u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti OB i OC su definisani linijama povučenim iz tačke A paralelno sa Y'Y i X'X osama, respektivno. Koordinata x naziva se apscisa tačke A, koordinata y se naziva ordinata tačke A. Piše se na sledeći način: A(x, y).

Ako tačka A leži u koordinatnom uglu I, tada tačka A ima pozitivnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu II, tada tačka A ima negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu III, tada tačka A ima negativnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu IV, tada tačka A ima pozitivnu apscisu i negativnu ordinatu.

Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru formiraju tri međusobno okomite koordinatne ose OX, OY i OZ. Koordinatne ose se sijeku u tački O, koja se naziva ishodište, na svakoj osi je odabran pozitivan smjer, označen strelicama, i jedinica mjerenja segmenata na osi. Mjerne jedinice su iste za sve ose. OX - apscisa osa, OY - ordinatna osa, OZ - aplikatna osa. Pozitivan smjer osi se bira tako da kada se os OX zarotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90°, njen pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom ose OY, ako se ova rotacija promatra iz pozitivnog smjera OZ ose. Takav koordinatni sistem se naziva desnoruki. Ako se palac desne ruke uzme kao X smjer, kažiprst kao Y smjer, a srednji prst kao Z smjer, tada se formira desnoruki koordinatni sistem. Slični prsti lijeve ruke čine lijevi koordinatni sistem. Nemoguće je kombinovati desni i levi koordinatni sistem tako da se odgovarajuće ose poklapaju (vidi sliku 2).

Položaj tačke A u prostoru određen je sa tri koordinate x, y i z. Koordinata x je jednaka dužini segmenta OB, koordinata y je dužina segmenta OC, koordinata z je dužina segmenta OD u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti OB, OC i OD definisani su ravninama povučenim iz tačke A paralelno sa ravnima YOZ, XOZ i XOY, respektivno. Koordinata x naziva se apscisa tačke A, y koordinata se naziva ordinata tačke A, z koordinata se naziva aplikata tačke A. Piše se na sledeći način: A(a, b, c).

Orty

Pravougaoni koordinatni sistem (bilo koje dimenzije) je takođe opisan skupom jediničnih vektora poravnatih sa koordinatnim osa. Broj jediničnih vektora jednak je dimenziji koordinatnog sistema i svi su okomiti jedni na druge.

U trodimenzionalnom slučaju takvi jedinični vektori se obično označavaju i j k ili e x e y e z. U ovom slučaju, u slučaju desnorukog koordinatnog sistema, važe sledeće formule sa vektorskim proizvodom vektora:

• [i j]=k ;
• [j k]=i ;
• [k i]=j .

Priča

Pravougaoni koordinatni sistem prvi je uveo Rene Descartes u svom djelu “Rasprava o metodi” 1637. godine. Stoga se pravougaoni koordinatni sistem naziva i - Dekartov koordinatni sistem. Koordinatna metoda opisivanja geometrijskih objekata označila je početak analitičke geometrije. Pierre Fermat je također doprinio razvoju metode koordinata, ali su njegovi radovi prvi put objavljeni nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo na ravni.

Koordinatni metod za trodimenzionalni prostor prvi je upotrebio Leonhard Euler još u 18. veku.

vidi takođe

Linkovi

Wikimedia Foundation. 2010.

Pogledajte šta je "koordinatna ravan" u drugim rječnicima:

reznu ravninu- (Pn) Koordinatna ravan tangentna na reznu ivicu u tački koja se razmatra i okomita na glavnu ravan. [...

U topografiji, mreža zamišljenih linija koje okružuju globus u širinskim i meridijanskim smjerovima, uz pomoć kojih možete precizno odrediti položaj bilo koje točke na zemljinoj površini. Geografske širine se mjere od ekvatora - velikog kruga ... ... Geografska enciklopedija

U topografiji, mreža zamišljenih linija koje okružuju globus u širinskim i meridijanskim smjerovima, uz pomoć kojih možete precizno odrediti položaj bilo koje točke na zemljinoj površini. Geografske širine se mjere od ekvatora velikog kruga, ... ... Collier's Encyclopedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Fazni dijagram. Fazna ravan je koordinatna ravan u kojoj su bilo koje dvije varijable (fazne koordinate) iscrtane duž koordinatnih osa, koje na jedinstven način određuju stanje sistema... ... Wikipedia

glavna rezna ravan- (Pτ) Koordinatna ravan okomita na presjek glavne ravnine i ravnine reza. [GOST 25762 83] Teme: obrada rezanja Opšti pojmovi: sistemi koordinatnih ravni i koordinatnih ravni... Vodič za tehnički prevodilac

instrumentalna glavna rezna ravan- (Pτi) Koordinatna ravan okomita na presek instrumentalne glavne ravni i ravni sečenja. [GOST 25762 83] Teme: obrada rezanja Opšti pojmovi: sistemi koordinatnih ravni i koordinatnih ravni... Vodič za tehnički prevodilac

ravan za sečenje alata- (Pni) Koordinatna ravan tangentna na reznu ivicu u tački koja se razmatra i okomita na instrumentalnu glavnu ravan. [GOST 25762 83] Predmeti obrade rezanja Opšti uslovi sistema koordinatnih ravni i ... ... Vodič za tehnički prevodilac