Referentne tačke pri proučavanju funkcija i konstruisanju njihovih grafova su karakteristične tačke - tačke diskontinuiteta, ekstrema, prevoji, preseci sa koordinatnim osama. Koristeći diferencijalni račun moguće je utvrditi karakteristične karakteristike promjena funkcija: povećanje i smanjenje, maksimume i minimume, smjer konveksnosti i konkavnosti grafa, prisutnost asimptota.

Skica grafa funkcije se može (i treba) nacrtati nakon pronalaženja asimptota i ekstremnih tačaka, a zgodno je popuniti zbirnu tabelu proučavanja funkcije kako studija napreduje.

Obično se koristi sljedeća shema proučavanja funkcija.

1.Pronađite domen definicije, intervale kontinuiteta i tačke prekida funkcije.

2.Ispitajte funkciju za parnost ili neparnost (aksijalna ili centralna simetrija grafa.

3.Pronađite asimptote (vertikalne, horizontalne ili kose).

4.Naći i proučavati intervale povećanja i smanjenja funkcije, njene ekstremne tačke.

5.Naći intervale konveksnosti i konkavnosti krive, njene prevojne tačke.

6.Pronađite točke presjeka krive sa koordinatnim osa, ako postoje.

7.Sastavite zbirnu tabelu studije.

8.Grafikon se konstruiše, uzimajući u obzir proučavanje funkcije koje se izvodi prema gore opisanim tačkama.

Primjer. Funkcija istraživanja

i izgradi njegov graf.

7. Sastavimo zbirnu tabelu za proučavanje funkcije u koju ćemo unijeti sve karakteristične tačke i intervale između njih. Uzimajući u obzir paritet funkcije, dobijamo sledeću tabelu:

				Chart Features
[-1, 0[			Povećanje	Konveksna
				(0; 1) – maksimalni bod
]0, 1[			Silazno	Konveksna
				Tačka savijanja formira se sa osom Ox tupi ugao

Provedite potpunu studiju i nacrtajte funkciju

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Opseg funkcije. Pošto je funkcija razlomak, moramo pronaći nule nazivnika.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Isključujemo jedinu tačku x=1x=1 iz domene definicije funkcije i dobijamo:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Proučimo ponašanje funkcije u blizini tačke diskontinuiteta. Nađimo jednostrane granice:

Pošto su granice jednake beskonačnosti, tačka x=1x=1 je diskontinuitet druge vrste, prava linija x=1x=1 je vertikalna asimptota.

3) Odredimo točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.

Nađimo tačke presjeka sa ordinatnom osom OyOy, za koje izjednačavamo x=0x=0:

Dakle, tačka preseka sa OyOy osom ima koordinate (0;8)(0;8).

Nađimo tačke preseka sa apscisnom osom OxOx, za koje postavljamo y=0y=0:

Jednačina nema korijena, tako da nema tačaka presjeka sa OxOx osom.

Imajte na umu da je x2+8>0x2+8>0 za bilo koje xx. Dakle, za x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), funkcija y>0y>0 (uzima pozitivne vrijednosti, grafik je iznad x-ose), za x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija nije ni parna ni neparna jer:

5) Hajde da ispitamo funkciju za periodičnost. Funkcija nije periodična, jer je razlomka racionalna funkcija.

6) Hajde da ispitamo funkciju na ekstreme i monotonost. Da bismo to učinili, nalazimo prvi izvod funkcije:

Izjednačimo prvi izvod sa nulom i pronađemo stacionarne tačke (u kojima je y′=0y′=0):

Dobili smo tri kritične tačke: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Podijelimo cijelu oblast definicije funkcije na intervale sa ovim tačkama i odredimo predznake derivacije u svakom intervalu:

Za x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) izvod y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Za x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivaciju y′>0y′>0, funkcija raste na ovim intervalima.

U ovom slučaju, x=−2x=−2 je lokalna minimalna tačka (funkcija se smanjuje pa raste), x=4x=4 je lokalna tačka maksimuma (funkcija raste, a zatim opada).

Nađimo vrijednosti funkcije u ovim točkama:

Dakle, minimalna tačka je (−2;4)(−2;4), maksimalna tačka je (4;−8)(4;−8).

7) Ispitujemo funkciju za kinkove i konveksnost. Nađimo drugi izvod funkcije:

Izjednačimo drugi izvod sa nulom:

Rezultirajuća jednačina nema korijen, tako da nema prevojnih tačaka. Štaviše, kada je x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0, odnosno funkcija je konkavna, kada je x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) zadovoljava y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Hajde da ispitamo ponašanje funkcije na beskonačnosti, to jest, na .

Pošto su granice beskonačne, ne postoje horizontalne asimptote.

Pokušajmo odrediti kose asimptote oblika y=kx+by=kx+b. Izračunavamo vrijednosti k,bk,b koristeći poznate formule:

Otkrili smo da funkcija ima jednu kosu asimptotu y=−x−1y=−x−1.

9) Dodatne točke. Izračunajmo vrijednost funkcije u nekim drugim tačkama kako bismo što preciznije konstruirali graf.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Na osnovu dobijenih podataka konstruisaćemo graf, dopuniti ga asimptotama x=1x=1 (plava), y=−x−1y=−x−1 (zelena) i označiti karakteristične tačke (ljubičasti presek sa ordinatom osa, narandžasti ekstremi, crne dodatne tačke):

Zadatak 4: Geometrijski, ekonomski problemi (nemam pojma šta, evo okvirnog izbora zadataka sa rješenjima i formulama)

Primjer 3.23. a

Rješenje. x I y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Kako je x = a/4 jedina kritična tačka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz ovu tačku. Za xa/4 S " > 0, a za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primjer 3.24.

Rješenje.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Primjer 3.22. Naći ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rješenje. Pošto je f"(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), tada su kritične tačke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremi mogu biti samo na Ove tačke, dakle, pri prolasku kroz tačku x 1 = 2 derivacija menja svoj predznak sa minusa na plus, dakle u tački x 2 = 3 funkcija ima minimum Nakon što su izračunate vrijednosti funkcije u tačkama
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f(2) = 14 i minimum f(3) = 13.

Primjer 3.23. Kod kamenog zida potrebno je izgraditi pravougaoni prostor tako da je sa tri strane ograđen žičanom mrežom, a četvrta strana uz zid. Za ovo postoji a linearnih metara mreže. U kom omjeru stranica će imati najveću površinu?

Rješenje. Označimo strane platforme sa x I y. Površina lokacije je S = xy. Neka y- ovo je dužina stranice uz zid. Tada, pod uslovom, mora vrijediti jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x(a - 2x), gdje je
0 ≤ x ≤ a/2 (dužina i širina jastučića ne mogu biti negativne). S " = a - 4x, a - 4x = 0 na x = a/4, odakle
y = a - 2×a/4 =a/2. Kako je x = a/4 jedina kritična tačka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz ovu tačku. Za xa/4 S " > 0, a za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primjer 3.24. Potrebna je proizvodnja zatvorenog cilindričnog rezervoara kapaciteta V=16p ≈ 50 m 3 . Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara (radijus R i visina H) da se za njegovu izradu koristi najmanja količina materijala?

Rješenje. Ukupna površina cilindra je S = 2pR(R+H). Znamo zapreminu cilindra V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . To znači S(R) = 2p(R 2 +16/R). Nalazimo derivaciju ove funkcije:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 za R 3 = 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Povezane informacije.

Proučimo funkciju \(y= \frac(x^3)(1-x) \) i napravimo njen graf.

1. Obim definicije.
Područje definicije racionalne funkcije (razlomka) će biti: nazivnik nije jednak nuli, tj. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domena $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Tačke prekida funkcije i njihova klasifikacija.
Funkcija ima jednu tačku prekida x = 1
Hajde da ispitamo tačku x= 1. Nađimo granicu funkcije desno i lijevo od tačke diskontinuiteta, desno $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ i lijevo od tačke $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Ovo je tačka diskontinuiteta druge vrste jer jednostrane granice su jednake \(\infty\).

Prava linija \(x = 1\) je vertikalna asimptota.

3. Paritet funkcija.
Provjeravamo paritet \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funkcija nije ni parna ni neparna.

4. Nule funkcije (tačke presjeka s osom Ox). Intervali konstantnog predznaka funkcije.
nule funkcije ( tačka preseka sa osom Ox): izjednačavamo \(y=0\), dobijamo \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kriva ima jednu tačku preseka sa Ox osom sa koordinatama \((0;0)\).

Intervali konstantnog predznaka funkcije.
Na razmatranim intervalima \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) kriva ima jednu tačku preseka sa Ox osom, tako da ćemo razmatrati domen definicije na tri intervala.

Odredimo predznak funkcije na intervalima domene definicije:
interval \((-\infty; 0) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj tački \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \((0; 1) \) nalazimo vrijednost funkcije u bilo kojoj tački \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), na ovom intervalu funkcija je pozitivno \(f(x ) > 0 \), tj. nalazi se iznad ose Ox.
interval \((1;+\infty) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj tački \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Točke sjecišta sa Oy osom: izjednačavamo \(x=0\), dobijamo \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinate tačke preseka sa Oy osom \((0; 0)\)

6. Intervali monotonije. Ekstremi funkcije.
Hajde da pronađemo kritične (stacionarne) tačke, za to pronađemo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))((1-x)^2) $$ jednako 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Nađimo vrijednost funkcije u ovoj tački \( f(0) = 0\) i \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Dobili smo dvije kritične tačke sa koordinatama \((0;0)\) i \((1.5;-6.75)\)

Intervali monotonije.
Funkcija ima dvije kritične tačke (moguće ekstremne tačke), pa ćemo monotonost razmatrati na četiri intervala:
interval \((-\infty; 0) \) pronađite vrijednost prvog izvoda u bilo kojoj tački u intervalu \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
interval \((0;1)\) nalazimo vrijednost prvog izvoda u bilo kojoj tački u intervalu \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcija raste u ovom intervalu.
interval \((1;1.5)\) nalazimo vrijednost prvog izvoda u bilo kojoj tački intervala \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcija raste u ovom intervalu.
interval \((1.5; +\infty)\) pronađite vrijednost prvog izvoda u bilo kojoj tački intervala \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Ekstremi funkcije.

Proučavanjem funkcije dobile smo dvije kritične (stacionarne) tačke na intervalu domene definicije. Hajde da utvrdimo da li su ekstremi. Razmotrimo promjenu predznaka derivacije pri prolasku kroz kritične tačke:

tačka \(x = 0\) derivacija mijenja predznak sa \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - tačka nije ekstrem.
tačka \(x = 1.5\) derivacija mijenja predznak sa \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - tačka je maksimalna tačka.

7. Intervali konveksnosti i konkavnosti. Pregibne tačke.

Da bismo pronašli intervale konveksnosti i konkavnosti, nalazimo drugi izvod funkcije i izjednačavamo ga sa nulom $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ Jednako nuli $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija ima jednu kritičnu tačku druge vrste sa koordinatama \((0;0)\) .
Definirajmo konveksnost na intervalima domene definicije, uzimajući u obzir kritičnu tačku druge vrste (tačku moguće fleksije).

interval \((-\infty; 0)\) pronađite vrijednost drugog izvoda u bilo kojoj tački \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval \((0; 1)\) nalazimo vrijednost druge derivacije u bilo kojoj tački \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), na ovom intervalu drugi izvod funkcije je pozitivan \(f""(x) > 0 \) funkcija je konveksna prema dolje (konveksna).
interval \((1; \infty)\) pronađite vrijednost druge derivacije u bilo kojoj tački \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Pregibne tačke.

Razmotrimo promjenu predznaka druge derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste:
U tački \(x =0\), drugi izvod mijenja predznak sa \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), grafik funkcije mijenja konveksnost, tj. ovo je tačka pregiba sa koordinatama \((0;0)\).

8. Asimptote.

Vertikalna asimptota. Graf funkcije ima jednu vertikalnu asimptotu \(x =1\) (vidi paragraf 2).
Kosa asimptota.
Da bi graf funkcije \(y= \frac(x^3)(1-x) \) na \(x \to \infty\) imao nagnutu asimptotu \(y = kx+b\) , potrebno je i dovoljno , tako da postoje dvije granice $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ nalazimo ga $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ i druga granica $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, jer \(k = \infty\) - ne postoji kosa asimptota.

Horizontalna asimptota: da bi horizontalna asimptota postojala, potrebno je da postoji granica $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ hajde da je nađemo $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Ne postoji horizontalna asimptota.

9. Grafikon funkcija.

Proučavanje funkcije se izvodi po jasnoj shemi i zahtijeva od studenta solidno poznavanje osnovnih matematičkih pojmova kao što su domen definicije i vrijednosti, kontinuitet funkcije, asimptota, tačke ekstrema, parnost, periodičnost itd. . Učenik mora biti sposoban da slobodno razlikuje funkcije i rješava jednačine, koje ponekad mogu biti vrlo složene.

Odnosno, ovaj zadatak testira značajan sloj znanja, svaki jaz u kojem će postati prepreka za dobivanje ispravnog rješenja. Posebno često se javljaju poteškoće sa konstruisanjem grafova funkcija. Ova greška je odmah uočljiva nastavniku i može uveliko oštetiti vašu ocjenu, čak i ako je sve ostalo ispravno urađeno. Ovdje možete pronaći problemi istraživanja online funkcija: primjeri učenja, preuzimanje rješenja, narudžbe.

Istražite funkciju i nacrtajte graf: primjeri i rješenja na mreži

Pripremili smo za vas mnoštvo gotovih studija funkcija, kako plaćenih u knjizi rješenja tako i besplatnih u rubrici Primjeri studija funkcija. Na osnovu ovih riješenih zadataka moći ćete se detaljno upoznati sa metodologijom za obavljanje sličnih zadataka, te po analogiji provesti svoje istraživanje.

Nudimo gotove primjere kompletnog istraživanja i crtanja funkcija najčešćih tipova: polinoma, razlomka-racionalnih, iracionalnih, eksponencijalnih, logaritamskih, trigonometrijskih funkcija. Svaki riješeni problem prati gotov graf sa istaknutim ključnim tačkama, asimptotama, maksimumima i minimumima rješavanje se izvodi pomoću algoritma za proučavanje funkcije.

U svakom slučaju, riješeni primjeri će vam biti od velike pomoći jer pokrivaju najpopularnije vrste funkcija. Nudimo vam stotine već riješenih zadataka, ali, kao što znate, u svijetu postoji beskonačan broj matematičkih funkcija, a nastavnici su veliki stručnjaci u izmišljanju sve škakljivijih zadataka za siromašne učenike. Dakle, dragi studenti, kvalifikovana pomoć vam neće naškoditi.

Rješavanje problema istraživanja prilagođenih funkcija

U tom slučaju, naši partneri će Vam ponuditi drugu uslugu - online istraživanje pune funkcije naručiti. Zadatak će za vas biti obavljen u skladu sa svim zahtjevima za algoritam za rješavanje ovakvih problema, što će uvelike zadovoljiti vašeg nastavnika.

Uradićemo kompletnu studiju funkcije za vas: naći ćemo domen definicije i domen vrednosti, ispitati kontinuitet i diskontinuitet, uspostaviti parnost, proveriti periodičnost vaše funkcije i pronaći tačke preseka sa koordinatnim osa . I, naravno, dalje korištenjem diferencijalnog računa: naći ćemo asimptote, izračunati ekstreme, točke pregiba i konstruirati sam graf.