Skoro jednak Klub od 12 stolica Gotovo jednak IRONIČNA PROZA Smrt je stigla jednom siromahu. I bio je prilično gluv. Tako normalan, ali pomalo gluv... I slabo je vidio. Nisam vidio skoro ništa. - Oh, imamo goste! Molim vas prođite. Smrt kaže: "Čekaj da se raduješ,"

Neke diskusije me neizmerno zabavljaju...

Zdravo šta radiš?
-Da, rešavam probleme iz časopisa.
-Wow! Nisam to očekivao od tebe.
– Šta niste očekivali?
-Da ćeš se spustiti na zagonetke. Delujete pametno, ali verujete u svakakve gluposti.
- Izvinite što ne razumem. Šta nazivaš glupostima?
-Da, sva ova tvoja matematika. Očigledno je da je to potpuno sranje.
-Kako to možeš reći? Matematika je kraljica nauka...
- Samo da izbegnemo ovaj patos, zar ne? Matematika uopšte nije nauka, već jedna neprekidna gomila glupih zakona i pravila.
-Šta?!
-Ma nemoj da ti oči budu tako velike, znaš i sam da sam u pravu. Ne, ne tvrdim, tablica množenja je sjajna stvar, odigrala je značajnu ulogu u formiranju kulture i ljudske istorije. Ali sada sve ovo više nije relevantno! I zašto onda sve komplikovati? U prirodi ne postoje integrali ili logaritmi, sve su to izumi matematičara.
-Sačekaj minutu. Matematičari nisu ništa izmislili, otkrili su nove zakone interakcije brojeva, koristeći provjerene alate...
-Da naravno! I vjerujete li u ovo? Zar ne vidite o kakvim glupostima stalno pričaju? Možete li mi dati primjer?
-Da, molim te budi ljubazan.
-Da molim! Pitagorina teorema.
– Pa, šta nije u redu sa tim?
-Nije baš tako! „Pitagorine pantalone su jednake na sve strane“, razumete. Jeste li znali da Grci za vrijeme Pitagore nisu nosili pantalone? Kako je Pitagora uopće mogao govoriti o nečemu o čemu nije imao pojma?
-Sačekaj minutu. Kakve ovo veze ima sa pantalonama?
-Pa, izgleda da su pitagorejci? Ili ne? Da li priznajete da Pitagora nije imao pantalone?
- Pa, u stvari, naravno, nije bilo...
-Aha, to znači da postoji očigledna neslaganja u samom nazivu teoreme! Kako onda možete ozbiljno shvatiti ono što je tamo rečeno?
-Samo minut. Pitagora nije ništa rekao o pantalonama...
-Priznaješ, zar ne?
-Da... Dakle, mogu li da nastavim? Pitagora nije ništa rekao o pantalonama, a ne treba mu pripisivati ​​tuđu glupost...
-Da, i sami se slažete da su sve ovo gluposti!
- Nisam to rekao!
- Upravo sam to rekao. Ti si u suprotnosti.
-Pa. Stani. Šta kaže Pitagorina teorema?
-Da su sve pantalone jednake.
-Prokletstvo, jesi li ti uopšte pročitao ovu teoremu?!
-Znam.
-Gde?
-Ja čitam.
-Šta si pročitao?!
-Lobačevski.
*pauza*
-Izvinite, ali kakve veze ima Lobačevski sa Pitagorom?
- Pa, Lobačevski je takođe matematičar, i čini se da je još veći autoritet od Pitagore, zar ne?
*uzdah*
-Pa, šta je Lobačevski rekao o Pitagorinoj teoremi?
-Da su pantalone jednake. Ali ovo je glupost! Kako uopšte možeš da nosiš takve pantalone? A osim toga, Pitagora uopšte nije nosio pantalone!
-Lobačevski je rekao?!
*druga pauza, sa samopouzdanjem*
-Da!
-Pokaži mi gde piše.
- Ne, pa nije tamo tako direktno napisano...
-Kako se zove ova knjiga?
- Da, ovo nije knjiga, ovo je članak u novinama. O činjenici da je Lobačevski zapravo bio agent nemačke obaveštajne službe... pa, to nije bitno. To je ono što je vjerovatno rekao. On je takođe matematičar, što znači da su on i Pitagora u isto vreme.
-Pitagora nije rekao ništa o pantalonama.
-Pa da! O tome pričamo. Sve je ovo sranje.
-Idemo redom. Kako vi lično znate šta kaže Pitagorina teorema?
-Ma daj! Svi to znaju. Pitajte bilo koga, odmah će vam odgovoriti.
-Pitagorine pantalone nisu pantalone...
-Oh, naravno! Ovo je alegorija! Znate li koliko sam puta ovo već čuo?
-Pitagorina teorema kaže da je zbir kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze. I TO JE SVE!
-Gde su pantalone?
-Da, Pitagora nije imao pantalone!!!
- Pa vidite, to vam i govorim. Sva tvoja matematika je sranje.
-Ali to nije sranje! Pogledajte sami. Evo trougla. Evo hipotenuze. Evo nogu...
-Zašto su odjednom ovo noge, a ovo hipotenuza? Možda je obrnuto?
-Ne. Noge su dvije strane koje formiraju pravi ugao.
-Pa, evo još jednog pravog ugla za tebe.
-On nije strejt.
-Kakav je on, pokvaren?
-Ne, oštar je.
-Ova je takođe ljuta.
-Nije oštro, pravo je.
-Znaš, nemoj me zavaravati! Nazovite stvari kako vama odgovara, samo da biste rezultat prilagodili onome što želite.
-Dve kratke stranice pravouglog trougla su noge. Duga strana je hipotenuza.
-A ko je niži - ta noga? I hipotenuza se, dakle, više ne kotrlja? Poslušajte sebe spolja o kakvim glupostima pričate. Ovo je 21. vek, vrhunac demokratije, ali vi ste u nekoj vrsti srednjeg veka. Njegove strane su, vidite, nejednake...
-Ne postoji pravougli trougao sa jednakim stranicama...
-Jesi li siguran? Dozvoli da ti nacrtam. Evo pogledajte. Pravougaona? Pravougaona. I sve strane su jednake!
-Nacrtao si kvadrat.
-Pa šta?
-Kvadrat nije trougao.
-Oh, naravno! Čim nam ne odgovara, odmah "nije trougao"! Nemoj me zavaravati. Računajte sami: jedan ugao, dva ugla, tri ugla.
-Četiri.
-Pa šta?
- To je kvadrat.
-Je li to kvadrat, a ne trougao? On je gori, zar ne? Samo zato što sam ga nacrtao? Postoje li tri ugla? Postoji, a postoji čak i jedan rezervni. Pa, nema tu ništa loše, znaš...
-Dobro, ostavimo ovu temu.
-Da, da li već odustaješ? Ima li što prigovoriti? Da li priznajete da je matematika sranje?
– Ne, ne priznajem.
-Pa, evo nas opet - odlično! Upravo sam ti sve detaljno dokazao! Ako je osnova sve vaše geometrije Pitagorino učenje i, izvinjavam se, potpuna besmislica... o čemu onda uopće dalje?
- Pitagorino učenje nije glupost...
- Pa, naravno! Nisam čuo za Pitagorinu školu! Oni su se, ako hoćete, upustili u orgije!
- Kakve ovo veze ima sa...
-A Pitagora je zapravo bio peder! On je sam rekao da mu je Platon prijatelj.
-Pitagora?!
-Nisi znao? Da, svi su bili pederi. I tri-kucnuo po glavi. Jedan je spavao u buretu, drugi je gol trčao po gradu...
-Diogen je spavao u buretu, ali je bio filozof, a ne matematičar...
-Oh, naravno! Ako se neko popne u bure, onda više nije matematičar! Zašto nam je potreban dodatni stid? Znamo, znamo, prošli smo. Ali ti mi objasniš zašto bi svakakvi pederi koji su živjeli prije tri hiljade godina i trčali bez pantalona trebali biti autoritet za mene? Zašto bih, pobogu, prihvatio njihovo gledište?
-Dobro, ostavi...
- Ne, slušaj! Na kraju sam i ja tebe poslušao. Ovo su vaše računice, kalkulacije... Svi znate da brojite! I ako vas nešto suštinski pitam, odmah i tada: „ovo je količnik, ovo je varijabla, a ovo su dvije nepoznanice“. A ti mi reci generalno, bez pojedinosti! I bez ikakvog nepoznatog, nepoznatog, egzistencijalnog... Muka mi je od ovoga, znaš?
-Shvati.
-Pa, objasni mi zašto su dva i dva uvek četiri? Ko je ovo smislio? I zašto sam dužan da to uzimam zdravo za gotovo i da nemam prava da sumnjam?
- Da, sumnjaj u to koliko hoćeš...
-Ne, ti mi objasni! Samo bez ovih tvojih sitnica, ali normalno, ljudski, da bude jasno.
-Dva puta dva je četiri, jer dva puta dva je četiri.
-Ulje ulje. Šta si mi novo rekao?
-Dva puta dva je dva pomnožena sa dva. Uzmi dva i dva i spoji ih...
-Dakle, zbrajajte ili množite?
- To je isto...
- Oba! Ispada da ako saberem i pomnožim sedam i osam, takođe ispada ista stvar?
-Ne.
-I zašto?
-Zato što sedam plus osam nije jednako...
-A ako pomnožim devet sa dva, da li ću dobiti četiri?
-Ne.
-I zašto? Pomnožio sam dva i upalilo je, ali odjednom je bila nevolja sa devet?
-Da. Dvaput devet je osamnaest.
- Šta je sa dvaput sedam?
-Četrnaest.
-A dva puta je pet?
-Deset.
-To jest, četiri ispadne samo u jednom konkretnom slučaju?
-Upravo.
-Sada razmislite sami. Kažete da postoje neki strogi zakoni i pravila množenja. O kakvim zakonima se tu uopće može govoriti ako se u svakom konkretnom slučaju dobije drugačiji rezultat?!
-To nije sasvim tačno. Ponekad rezultati mogu biti isti. Na primjer, dvaput šest jednako je dvanaest. I četiri puta tri - takođe...
-Još gore! Dva, šest, tri četiri - ništa zajedničko! I sami vidite da rezultat ni na koji način ne zavisi od početnih podataka. Ista odluka se donosi u dvije radikalno različite situacije! I to uprkos činjenici da ista dva, koju stalno uzimamo i ne mijenjamo ni za što, uvijek daje drugačiji odgovor sa svim brojevima. Gdje je, pita se, logika?
-Ali ovo je logično!
-Za tebe - možda. Vi matematičari uvijek vjerujete u svakakva luda sranja. Ali ove tvoje kalkulacije me ne uvjeravaju. A znate li zašto?
-Zašto?
-Zato što ja Znam, zašto je vaša matematika zapravo potrebna. Na šta se sve to svodi? "Kata ima jednu jabuku u džepu, a Miša pet. Koliko jabuka Miša treba da da Katji da imaju isti broj jabuka?" A znaš li šta ću ti reći? Misha ne duguj nikome ništa Dati! Katya ima jednu jabuku i to je dovoljno. Zar ona nije dovoljna? Neka se trudi i pošteno zarađuje za sebe, pa makar i za jabuke, čak i za kruške, čak i za ananas u šampanjcu. A ako neko želi da ne radi, već samo da rešava probleme, neka sedne sa svojom jednom jabukom i ne pravi se!

Pitagorine hlače Komični naziv za Pitagorinu teoremu, koji je nastao zbog činjenice da kvadrati izgrađeni na stranicama pravokutnika i koji se razilaze u različitim smjerovima podsjećaju na kroj hlača. Voleo sam geometriju... a na prijemnom na fakultetu sam čak dobio pohvalu od profesora matematike Čumakova za objašnjavanje osobina paralelnih linija i pitagorinih pantalona bez table, crtajući po vazduhu rukama(N. Pirogov. Dnevnik starog doktora).

Frazeološki rečnik ruskog književnog jezika. - M.: Astrel, AST. A. I. Fedorov. 2008.

Pogledajte šta su “pitagorine pantalone” u drugim rječnicima:

Pitagorine pantalone- ... Wikipedia

Pitagorine pantalone- Zharg. škola Šalim se. Pitagorina teorema, koja uspostavlja odnos između površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i kateta pravokutnog trokuta. BTS, 835… Veliki rječnik ruskih izreka

Pitagorine pantalone- Šaljivi naziv za Pitagorinu teoremu, koja uspostavlja odnos između površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i krakova pravouglog trougla, koji izgleda kao kroj pantalona na slikama... Rječnik mnogih izraza

Pitagorine pantalone (izumiti)- stranac: o nadarenom čovjeku sri. Ovo je nesumnjivo mudrac. U davna vremena, verovatno bi izmislio pitagorejske pantalone... Saltykov. Šarena slova. Pitagorine pantalone (geom.): u pravokutniku kvadrat hipotenuze jednak je kvadratima nogu (učenje ... ... Michelsonov veliki eksplanatorni i frazeološki rječnik

Pitagorine pantalone su jednake sa svih strana- Broj dugmadi je poznat. Zašto je kurac zategnut? (nepristojno) o pantalonama i muškom spolnom organu. Pitagorine pantalone su jednake sa svih strana. Da bismo ovo dokazali, potrebno je ukloniti i pokazati 1) o Pitagorinoj teoremi; 2) o širokim pantalonama... Živi govor. Rječnik kolokvijalnih izraza

Izmislite pitagorine pantalone- Pitagorine pantalone (izmisliti) monah. o nadarenoj osobi. sri Ovo je nesumnjivo mudrac. U davna vremena, verovatno bi izmislio pitagorejske pantalone... Saltykov. Šarena slova. Pitagorine pantalone (geom.): u pravougaoniku se nalazi kvadrat hipotenuze ... ... Michelsonov veliki eksplanatorni i frazeološki rječnik (izvorni pravopis)

Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima- Šaljivi dokaz Pitagorine teoreme; takođe kao šala o širokim pantalonama prijatelja... Rječnik narodne frazeologije

Adj., nepristojno...

PITAGORIJENE PALTAĆE SU JEDNAKVE NA SVE STRANE (ZNA SE BROJ DUGUMČIĆA. ZAŠTO JE TESKO? / DA BI TO DOKAZALI, MORATE DA JE SKINUTE I POKAŽETE)- prilog, nepristojno... Objašnjavajući rječnik savremenih kolokvijalnih frazeoloških jedinica i poslovica

pantalone- imenica, množina, korišteno uporedi često Morfologija: pl. Šta? pantalone, (ne) šta? pantalone, šta? pantalone, (vidi) šta? pantalone, šta? pantalone, šta je sa? o pantalonama 1. Pantalone su komad odece koji ima dve kratke ili duge nogavice i pokriva donji deo..... Dmitriev's Explantatory Dictionary

Knjige

• Kako je Zemlja otkrivena, Saharnov Svyatoslav Vladimirovič. Kako su putovali Feničani? Na kojim brodovima su Vikinzi plovili? Ko je otkrio Ameriku i ko je prvi oplovio svijet? Ko je sastavio prvi atlas Antarktika na svetu i ko je izmislio...

Potencijal za kreativnost obično se pripisuje humanističkim naukama, ostavljajući prirodne nauke analizi, praktičnom pristupu i suhoparnom jeziku formula i brojeva. Matematika se ne može svrstati u humanistički predmet. Ali bez kreativnosti nećete dogurati daleko u "kraljici svih nauka" - ljudi to već dugo znaju. Od Pitagorinog vremena, na primjer.

Školski udžbenici, nažalost, obično ne objašnjavaju da je u matematici važno ne samo nagurati teoreme, aksiome i formule. Važno je razumjeti i osjetiti njegove osnovne principe. I u isto vrijeme pokušajte osloboditi svoj um od klišea i elementarnih istina - samo u takvim uvjetima se rađaju sva velika otkrića.

Takva otkrića uključuju ono što danas poznajemo kao Pitagorinu teoremu. Uz nju ćemo pokušati pokazati da matematika ne samo da može, već i treba da bude uzbudljiva. I da ova avantura ne odgovara samo štreberima sa debelim naočalama, već i svima koji su jaki umom i jaki duhom.

Iz istorije problema

Strogo govoreći, iako se teorema naziva "Pitagorina teorema", sam Pitagora je nije otkrio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su mnogo prije njega. Postoje dva polarna gledišta po ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pitagora je bio prvi koji je pronašao potpuni dokaz teoreme. Prema drugom, dokaz ne pripada Pitagorinom autorstvu.

Danas više ne možete provjeriti ko je u pravu, a ko nije. Ono što se zna je da Pitagorin dokaz, ako je ikada postojao, nije preživio. Međutim, postoje sugestije da poznati dokaz iz Euklidovih elemenata možda pripada Pitagori, a Euklid ga je samo zabilježio.

Danas je također poznato da se problemi o pravokutnom trokutu nalaze u egipatskim izvorima iz vremena faraona Amenemhata I, na babilonskim glinenim pločama iz vladavine kralja Hamurabija, u staroindijskoj raspravi “Sulva Sutra” i starokineskom djelu “ Zhou-bi suan jin”.

Kao što vidite, Pitagorina teorema je zaokupljala umove matematičara od davnina. To potvrđuje oko 367 različitih dokaza koji danas postoje. U tome se nijedna druga teorema ne može takmičiti s njom. Među poznatim autorima dokaza možemo se prisjetiti Leonarda da Vincija i dvadesetog američkog predsjednika Jamesa Garfielda. Sve ovo govori o izuzetnoj važnosti ove teoreme za matematiku: većina teorema geometrije je izvedena iz nje ili je na neki način povezana s njom.

Dokazi Pitagorine teoreme

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali suština teoreme je u geometriji, pa hajde da prvo razmotrimo one dokaze čuvene teoreme koji se zasnivaju na ovoj nauci.

Dokazi 1

Za najjednostavniji dokaz Pitagorine teoreme za pravougaoni trougao, morate postaviti idealne uslove: neka trougao bude ne samo pravougli, već i jednakokraki. Postoji razlog za vjerovanje da su drevni matematičari prvobitno razmatrali upravo ovakav trokut.

Izjava "Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na njegovim katetama" može se ilustrovati sledećim crtežom:

Pogledajte jednakokraki pravougaoni trougao ABC: Na hipotenuzi AC možete konstruisati kvadrat koji se sastoji od četiri trokuta jednaka originalnom ABC. A na stranama AB i BC izgrađen je kvadrat, od kojih svaki sadrži dva slična trokuta.

Inače, ovaj crtež je bio osnova brojnih šala i karikatura posvećenih Pitagorinoj teoremi. Najpoznatija je vjerovatno "Pitagorine pantalone su jednake u svim pravcima":

Dokazi 2

Ova metoda kombinuje algebru i geometriju i može se smatrati varijantom drevnog indijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

Konstruirajte pravougao trokut sa stranicama a, b i c(Sl. 1). Zatim konstruirajte dva kvadrata sa stranicama jednakim zbroju dužina dva kraka - (a+b). U svakom od kvadrata napravite konstrukcije kao na slikama 2 i 3.

U prvom kvadratu izgradite četiri trokuta slična onima na slici 1. Rezultat su dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu, konstruirana četiri slična trokuta formiraju kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi c.

Zbir površina konstruisanih kvadrata na slici 2 jednak je površini kvadrata koji smo konstruisali sa stranicom c na slici 3. To se lako može provjeriti izračunavanjem površine kvadrata na Sl. 2 prema formuli. A površina upisanog kvadrata na slici 3. oduzimanjem površina četiri jednaka pravokutna trokuta upisana u kvadrat od površine velikog kvadrata sa stranicom (a+b).

Zapisujući sve ovo, imamo: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Otvorite zagrade, izvršite sve potrebne algebarske proračune i dobijete to a 2 +b 2 = a 2 +b 2. U ovom slučaju, područje upisano na sl. 3. kvadrat se također može izračunati korištenjem tradicionalne formule S=c 2. One. a 2 +b 2 =c 2– dokazali ste Pitagorinu teoremu.

Dokazi 3

Sam drevni indijski dokaz opisan je u 12. veku u raspravi „Kruna znanja“ („Siddhanta Shiromani“), a kao glavni argument autor koristi apel upućen matematičkim talentima i veštinama zapažanja učenika i sledbenika: „ Pogledaj!”

Ali ovaj dokaz ćemo detaljnije analizirati:

Unutar kvadrata napravite četiri pravokutna trougla kao što je prikazano na crtežu. Označimo stranu velikog kvadrata, također poznatu kao hipotenuza, With. Nazovimo noge trougla A I b. Prema crtežu, stranica unutrašnjeg kvadrata je (a-b).

Koristite formulu za površinu kvadrata S=c 2 za izračunavanje površine vanjskog kvadrata. I u isto vrijeme izračunajte istu vrijednost dodavanjem površine unutrašnjeg kvadrata i površina sva četiri pravokutna trokuta: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Možete koristiti obje opcije za izračunavanje površine kvadrata kako biste bili sigurni da daju isti rezultat. I ovo vam daje pravo da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kao rezultat rješenja, dobit ćete formulu Pitagorine teoreme c 2 =a 2 +b 2. Teorema je dokazana.

Dokaz 4

Ovaj neobični drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestina stolica" - zbog figure nalik stolici koja proizlazi iz svih konstrukcija:

Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. A unutrašnji kvadrat sa stranom c konstruiran je na isti način kao u drevnom indijskom dokazu koji je dat gore.

Ako mentalno odsiječete dva zelena pravokutna trokuta sa crteža na slici 1, pomaknete ih na suprotne strane kvadrata sa stranom c i pričvrstite hipotenuze na hipotenuze lila trokuta, dobit ćete figuru koja se zove “mladenčina stolica” (Sl. 2). Radi jasnoće, isto možete učiniti s papirnim kvadratima i trokutima. Pobrinut ćete se da "mladenkina stolica" bude formirana od dva kvadrata: malih sa stranom b i veliki sa stranom a.

Ove konstrukcije omogućile su drevnim kineskim matematičarima i nama, prateći ih, da dođemo do zaključka da c 2 =a 2 +b 2.

Dokazi 5

Ovo je još jedan način da se pomoću geometrije nađe rješenje Pitagorine teoreme. Zove se Garfildova metoda.

Konstruišite pravougao trougao ABC. Moramo to dokazati BC 2 = AC 2 + AB 2.

Da biste to učinili, nastavite nogu AC i konstruisati segment CD, što je jednako kraku AB. Spustite okomicu AD linijski segment ED. Segmenti ED I AC su jednaki. Povežite tačke E I IN, i E I WITH i dobijete crtež kao na slici ispod:

Da bismo dokazali toranj, ponovo pribjegavamo metodi koju smo već isprobali: nalazimo površinu rezultirajuće figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedni s drugima.

Pronađite površinu poligona KREVET može se uraditi sabiranjem površina tri trougla koji ga čine. i jedan od njih, ERU, nije samo pravougaona, već i jednakokračna. Ne zaboravimo ni to AB=CD, AC=ED I BC=SE– ovo će nam omogućiti da pojednostavimo snimanje i ne preopterećujemo ga. dakle, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2VS 2.

Istovremeno, očigledno je da KREVET- Ovo je trapez. Stoga izračunavamo njegovu površinu pomoću formule: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Za naše proračune je zgodnije i jasnije predstaviti segment AD kao zbir segmenata AC I CD.

Zapišimo oba načina izračunavanja površine figure, stavljajući znak jednakosti između njih: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Koristimo jednakost segmenata koji su nam već poznati i gore opisani da pojednostavimo desnu stranu notacije: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Sada otvorimo zagrade i transformirajmo jednakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nakon što smo završili sve transformacije, dobili smo upravo ono što nam je potrebno: BC 2 = AC 2 + AB 2. Teoremu smo dokazali.

Naravno, ova lista dokaza je daleko od potpune. Pitagorina teorema se također može dokazati korištenjem vektora, kompleksnih brojeva, diferencijalnih jednadžbi, stereometrije itd. Pa čak i fizičari: ako se, na primjer, tekućina izlije u kvadratne i trokutaste zapremine slične onima prikazanim na crtežima. Ulivanjem tekućine možete dokazati jednakost površina i samu teoremu kao rezultat.

Nekoliko riječi o Pitagorinim trojkama

Ovo pitanje se malo ili uopšte ne proučava u školskom programu. U međuvremenu, veoma je zanimljiv i od velikog je značaja u geometriji. Pitagorine trojke se koriste za rješavanje mnogih matematičkih problema. Njihovo razumijevanje može vam biti od koristi u daljem obrazovanju.

Dakle, šta su pitagorine trojke? Ovo je naziv za prirodne brojeve skupljene u grupe po tri, od kojih je zbir kvadrata dva jednak trećem broju na kvadratu.

Pitagorine trojke mogu biti:

• primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
• nije primitivno (ako se svaki broj trojke pomnoži sa istim brojem, dobićete novu trojku, koja nije primitivna).

Još prije naše ere, stari Egipćani su bili fascinirani manijom za brojevima pitagorejskih trojki: u problemima su smatrali pravougli trokut sa stranicama od 3, 4 i 5 jedinica. Usput, svaki trougao čije su stranice jednake brojevima iz Pitagorine trojke je po defaultu pravougaonik.

Primjeri pitagorinih trojki: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična primjena teoreme

Pitagorina teorema se koristi ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo, o konstrukciji: Pitagorina teorema se široko koristi u problemima različitih nivoa složenosti. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Označimo širinu prozora kao b, tada se radijus glavnog polukruga može označiti kao R i izraziti kroz b: R=b/2. Poluprečnik manjih polukrugova može se izraziti i kroz b: r=b/4. U ovom problemu nas zanima radijus unutrašnjeg kruga prozora (nazovimo ga str).

Pitagorina teorema je samo korisna za izračunavanje R. Da bismo to učinili, koristimo pravokutni trokut, koji je na slici označen isprekidanom linijom. Hipotenuza trougla sastoji se od dva poluprečnika: b/4+p. Jedna noga predstavlja poluprečnik b/4, druga b/2-p. Koristeći Pitagorinu teoremu, pišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Zatim otvaramo zagrade i dobivamo b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Hajde da transformišemo ovaj izraz u bp/2=b 2 /4-bp. I onda podijelimo sve pojmove sa b, predstavljamo slične za nabavku 3/2*p=b/4. I na kraju to nađemo p=b/6- što nam je trebalo.

Koristeći teoremu, možete izračunati dužinu rogova za zabatni krov. Odredite koliko je visok toranj mobilne komunikacije potreban da bi signal stigao do određenog naseljenog područja. Čak i održivo postaviti božićno drvce na gradskom trgu. Kao što vidite, ova teorema ne živi samo na stranicama udžbenika, već je često korisna u stvarnom životu.

Pitagorina teorema je u književnosti inspirisala pisce još od antike i nastavlja da to čini i u naše vreme. Na primjer, njemački pisac iz devetnaestog vijeka Adelbert von Chamisso bio je inspiriran da napiše sonet:

Svjetlo istine neće uskoro nestati,
Ali, nakon što je zablistao, malo je vjerovatno da će se raspršiti
I, kao i pre hiljadama godina,
Neće izazvati sumnju ili kontroverzu.

Najmudriji kada dotakne tvoj pogled
Svetlost istine, hvala bogovima;
I sto bikova, zaklanih, lažu -
Povratni poklon od srećnog Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek je uzbunio pleme bikova
Ovdje se spominje događaj.

Čini im se da će doći vrijeme,
I oni će ponovo biti žrtvovani
Neka sjajna teorema.

(prevod Viktor Toporov)

A u dvadesetom veku, sovjetski pisac Jevgenij Veltistov, u svojoj knjizi „Avanture elektronike“, posvetio je čitavo jedno poglavlje dokazima Pitagorine teoreme. I još pola poglavlja priče o dvodimenzionalnom svijetu koji bi mogao postojati kada bi Pitagorina teorema postala temeljni zakon, pa čak i religija za jedan svijet. Živjeti tamo bi bilo mnogo lakše, ali i mnogo dosadnije: na primjer, tamo niko ne razumije značenje riječi „okruglo“ i „puhasto“.

A u knjizi “Avanture elektronike” autor, kroz usta nastavnika matematike Taratara, kaže: “Glavna stvar u matematici je kretanje misli, novih ideja.” Upravo taj kreativni let misli dovodi do Pitagorine teoreme – nema zalud što ima toliko različitih dokaza. Pomaže vam da pređete granice poznatog i sagledate poznate stvari na novi način.

Zaključak

Ovaj članak je kreiran tako da možete pogledati dalje od školskog nastavnog plana i programa matematike i naučiti ne samo one dokaze Pitagorine teoreme koji su dati u udžbenicima "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i "Geometrija 7" - 11” (A.V. Pogorelov), ali i druge zanimljive načine dokazivanja čuvene teoreme. I također pogledajte primjere kako se Pitagorina teorema može primijeniti u svakodnevnom životu.

Prvo, ove informacije će vam omogućiti da se kvalificirate za više ocjene na časovima matematike - informacije o ovoj temi iz dodatnih izvora su uvijek visoko cijenjene.

Drugo, htjeli smo vam pomoći da osjetite koliko je matematika zanimljiva. Potvrdite konkretnim primjerima da uvijek ima prostora za kreativnost. Nadamo se da će vas Pitagorina teorema i ovaj članak inspirisati da samostalno istražujete i donosite uzbudljiva otkrića u matematici i drugim naukama.

Recite nam u komentarima da li su vam dokazi predstavljeni u članku bili zanimljivi. Da li vam je ova informacija bila korisna u vašim studijama? Napišite nam šta mislite o Pitagorinoj teoremi i ovom članku - rado ćemo o svemu tome razgovarati s vama.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

1 od 8

Prezentacija na temu: Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima

Slajd br. 1

Opis slajda:

Slajd broj 2

Opis slajda:

Ova zajedljiva primjedba (koja u cijelosti ima nastavak: da biste je dokazali, morate je ukloniti i pokazati), koju je izmislio neko očito šokiran unutrašnjim sadržajem jedne važne teoreme euklidske geometrije, otkriva što je moguće preciznije polazište od koje lanac potpuno jednostavne misli brzo vodi do dokaza teoreme, kao i do još značajnijih rezultata. Ova teorema, pripisana starogrčkom matematičaru Pitagori sa Samosa (6. stoljeće prije Krista), poznata je gotovo svakom školarcu i zvuči ovako: kvadrat hipotenuze pravokutnog trougla jednak je zbiru kvadrata kateta.

Slajd broj 3

Opis slajda:

Možda će se mnogi složiti da se geometrijska figura, nazvana šifrom "Pitagorine pantalone jednake na sve strane", zove kvadrat. Pa, sa osmehom na licu, dodajmo bezazlenu šalu zarad šta se podrazumevalo pod nastavkom šifrovanog sarkazma. Dakle, "da biste to dokazali, morate to snimiti i pokazati." Jasno je da "ovo" - zamjenica je značila samu teoremu, "ukloniti" - to znači doći u ruke, uzeti imenovanu figuru, "pokazati" - mislila se riječ "dodirnuti", unošenje nekih dijelova figure u kontakt. Općenito, “pitagorine pantalone” je naziv za grafički dizajn koji po izgledu podsjeća na pantalone, koji je dobijen na Euklidovom crtežu tokom njegovog vrlo složenog dokaza Pitagorine teoreme. Kada je pronađen jednostavniji dokaz, možda je neki rimovač sastavio ovu zbrku jezika da ne zaboravi početak pristupa dokazu, a popularna glasina već ju je pronijela svijetom kao praznu izreku.

Slajd broj 4

Opis slajda:

Dakle, ako uzmete kvadrat i stavite manji kvadrat u njega tako da im se centri poklapaju i rotirate manji kvadrat dok njegovi uglovi ne dodirnu stranice većeg kvadrata, tada ćete na većoj figuri pronaći 4 identična pravokutna trokuta istaknuta stranicama manjeg kvadrata. Odavde već leži prava linija put do dokaza poznate teoreme. Neka je stranica manjeg kvadrata označena sa c. Stranica većeg kvadrata je a+b, a tada je njegova površina (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Ista površina se može definirati kao zbir površine manjeg kvadrata i površine 4 identična pravougaona trougla, odnosno kao 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. Stavimo znak jednakosti između dva proračuna iste površine: a 2 +2ab+b 2 =2ab+ c 2. Nakon svođenja članova 2ab dobijamo zaključak: kvadrat hipotenuze pravouglog trougla jednak je zbiru kvadrata kateta, odnosno a 2 + b 2 =c 2.

Slajd br.5

Opis slajda:

Neće svi odmah shvatiti korist ove teoreme. Sa praktične tačke gledišta, njegova vrijednost leži u tome što služi kao osnova za mnoge geometrijske proračune, kao što je određivanje udaljenosti između tačaka na koordinatnoj ravni. Neke vrijedne formule su izvedene iz teoreme; njene generalizacije dovode do novih teorema koje premošćuju jaz između proračuna u ravnini i proračuna u prostoru. Posljedice teoreme prodiru u teoriju brojeva, otkrivajući pojedinačne detalje strukture niza brojeva. I još mnogo toga, previše za nabrajanje.

Slajd broj 6

Opis slajda:

Pogled iz ugla dokone radoznalosti demonstrira prezentaciju zabavnih problema teoremom, koji su formulisani na krajnje jasan način, ali su ponekad tvrd orah. Kao primjer, dovoljno je navesti najjednostavniji od njih, takozvano pitanje o Pitagorinim brojevima, koje se svakodnevno postavlja na sljedeći način: da li je moguće izgraditi prostoriju po dužini, širini i dijagonali na podu? istovremeno mjeriti samo u cijelim brojevima, recimo u koracima? I najmanja promjena po ovom pitanju može učiniti zadatak izuzetno teškim. I shodno tome, biće onih koji žele, čisto iz naučnog entuzijazma, da se okušaju u razbijanju sledeće matematičke slagalice. Još jedna promjena u pitanju - i još jedna zagonetka. Često, u toku traženja odgovora na takve probleme, matematika se razvija, stiče nove poglede na stare koncepte, stiče nove sistematske pristupe itd., što znači da Pitagorina teorema, kao i svako drugo vrijedno učenje, nije ništa manje korisna od ovu tačku gledišta.

Slajd broj 7

Opis slajda:

Matematika Pitagorinog vremena nije prepoznavala druge brojeve osim racionalnih (prirodni brojevi ili razlomci s prirodnim brojiocem i nazivnikom). Sve se mjerilo u cijelim količinama ili dijelovima cijelih količina. Zato je toliko razumljiva želja da se sve više rade geometrijske proračune i rješavaju jednadžbe prirodnim brojevima. Ovisnost o njima otvara put u nevjerovatan svijet misterije brojeva, od kojih se neki u geometrijskoj interpretaciji u početku pojavljuju kao prava linija s beskonačnim brojem oznaka. Ponekad ovisnost između nekih brojeva u nizu, “linearna udaljenost” između njih, proporcija odmah upada u oči, a ponekad nam najsloženije mentalne konstrukcije ne dopuštaju da ustanovimo kojim obrascima podliježe distribucija određenih brojeva. Ispada da u novom svijetu, u ovoj „jednodimenzionalnoj geometriji“, stari problemi ostaju na snazi, samo se mijenja njihova formulacija. Na primjer, varijanta zadatka o Pitagorinim brojevima: "Otac od kuće napravi x koraka od x centimetara svaki, a zatim hoda još koraka od y centimetara. Sin ide iza njega z koraka od z centimetara svaki. Šta treba bude veličina njihovih koraka tako da je na z-tom koraku dijete pratilo očev trag?"

Slajd broj 8

Opis slajda:

Da budemo pošteni, treba napomenuti da je pitagorina metoda razvoja misli pomalo teška za matematičara početnika. Ovo je poseban stil matematičkog razmišljanja, na njega se morate naviknuti. Jedna zanimljiva stvar. Matematičari vavilonske države (nastala je mnogo prije Pitagorinog rođenja, skoro hiljadu i po godina prije njega) također su očito poznavali neke metode traženja brojeva, koji su kasnije postali poznati kao Pitagorini brojevi. Pronađene su klinaste ploče na kojima su babilonski mudraci zapisali trojke takvih brojeva koje su identificirali. Neke trojke su se sastojale od prevelikih brojeva, pa su naši savremenici počeli pretpostavljati da su Babilonci imali dobre, a vjerovatno čak i jednostavne metode za njihovo računanje. Nažalost, ništa se ne zna o samim metodama niti o njihovom postojanju.