Suština, modeli, granice primjene metode proizvodne funkcije. Koncept proizvodne funkcije

Proizvodnja ne može stvoriti proizvode ni iz čega. Proizvodni proces uključuje potrošnju različitih resursa. Resursi obuhvataju sve što je potrebno za proizvodne aktivnosti - sirovine, energiju, radnu snagu, opremu i prostor.

Da bismo opisali ponašanje kompanije, potrebno je znati koliko proizvoda može proizvesti koristeći resurse u određenim količinama. Polazićemo od pretpostavke da preduzeće proizvodi homogen proizvod čija se količina meri prirodnim jedinicama - tonama, komadima, metrima itd. naziva se proizvodna funkcija.

Ali preduzeće može da sprovodi proizvodni proces na različite načine, koristeći različite tehnološke metode, različite mogućnosti organizovanja proizvodnje, pa količina proizvoda dobijenog uz isti utrošak resursa može biti različita. Menadžeri firmi bi trebali odbaciti proizvodne opcije koje daju niži učinak ako se veći učinak može postići uz iste troškove svake vrste resursa. Isto tako, trebali bi odbiti opcije koje zahtijevaju više inputa od najmanje jednog ulaza bez povećanja prinosa ili smanjenja unosa drugih inputa. Opcije koje su odbijene iz ovih razloga nazivaju se tehnički neefikasnim.

Recimo da vaša kompanija proizvodi frižidere. Da biste napravili tijelo, potrebno je izrezati željezni lim. Ovisno o tome kako je standardni lim željeza označen i rezan, iz njega se može izrezati više ili manje dijelova; U skladu s tim, za proizvodnju određenog broja hladnjaka bit će potrebno manje ili više standardnih limova željeza.

Istovremeno, potrošnja svih ostalih materijala, rada, opreme i električne energije će ostati nepromijenjena. Ovu proizvodnu opciju, koja bi se mogla poboljšati racionalnijim rezanjem gvožđa, treba smatrati tehnički neefikasnom i odbaciti.

Tehnički efikasne su proizvodne opcije koje se ne mogu poboljšati ni povećanjem proizvodnje proizvoda bez povećanja potrošnje resursa, ni smanjenjem troškova bilo kojeg resursa bez smanjenja proizvodnje i bez povećanja troškova drugih resursa.

Proizvodna funkcija uzima u obzir samo tehnički efikasne opcije. Njegova vrijednost je najveća količina proizvoda koju preduzeće može proizvesti s obzirom na obim potrošnje resursa.

Razmotrimo prvo najjednostavniji slučaj: preduzeće proizvodi jednu vrstu proizvoda i troši jednu vrstu resursa.

Primjer takve proizvodnje prilično je teško pronaći u stvarnosti. Čak i ako uzmemo u obzir preduzeće koje pruža usluge po domovima klijenata bez upotrebe bilo kakve opreme i materijala (masaža, podučavanje) i koristi samo rad radnika, morali bismo pretpostaviti da radnici obilaze klijente pješice (bez korištenja prijevoza). usluge) i pregovarati sa klijentima bez pomoći pošte i telefona. Dakle, preduzeće, trošeći resurs u količini x, može proizvesti proizvod u količini q.

Proizvodna funkcija:

uspostavlja vezu između ovih veličina. Imajte na umu da su i ovdje, kao i na drugim predavanjima, sve volumetrijske veličine veličine protočnog tipa: volumen ulaznog resursa mjeri se brojem jedinica resursa po jedinici vremena, a volumen izlaza mjeri se brojem jedinica proizvoda po jedinici vremena.

Na sl. 1 prikazuje graf proizvodne funkcije za slučaj koji se razmatra. Sve tačke na grafikonu odgovaraju tehnički efektivnim opcijama, posebno tačkama A i B. Tačka C odgovara neefikasnoj opciji, a tačka D nedostižnoj opciji.

Rice. 1.

Proizvodna funkcija tipa (1), koja uspostavlja zavisnost obima proizvodnje od obima troškova jednog resursa, može se koristiti ne samo u ilustrativne svrhe. Također je korisno kada se potrošnja samo jednog resursa može promijeniti, a troškove svih ostalih resursa iz ovog ili onog razloga treba smatrati fiksnim. U ovim slučajevima je od interesa zavisnost obima proizvodnje od troškova jednog varijabilnog faktora.

Mnogo veća raznolikost se pojavljuje kada se razmatra proizvodna funkcija koja zavisi od količine dva utrošena resursa:

q = f(x 1, x 2) (2)

Analiza takvih funkcija olakšava prelazak na opći slučaj kada broj resursa može biti bilo koji.

Osim toga, proizvodne funkcije dvaju argumenata se široko koriste u praksi kada istraživača zanima ovisnost obima proizvodnje proizvoda od najvažnijih faktora - troškova rada (L) i kapitala (K):

q = f(L, K). (3)

Graf funkcije dvije varijable ne može se prikazati na ravni.

Proizvodna funkcija tipa (2) može se predstaviti u trodimenzionalnom kartezijanskom prostoru, čije su dvije koordinate (x 1 i x 2) ucrtane na horizontalne ose i odgovaraju troškovima resursa, a treća (q) je ucrtana na vertikalnoj osi i odgovara izlazu proizvoda (slika 2) . Graf proizvodne funkcije je površina "brda", koja raste sa svakom od koordinata x 1 i x 2. Konstrukcija na sl. 1 se može smatrati vertikalnim presjekom "brda" ravninom koja je paralelna s x 1 osi i koja odgovara fiksnoj vrijednosti druge koordinate x 2 = x * 2.

Rice. 2.

Horizontalni dio “brda” kombinuje proizvodne opcije koje karakterizira fiksni izlaz proizvoda q = q* sa različitim kombinacijama ulaza prvog i drugog resursa. Ako se horizontalni presjek površine "brda" prikaže odvojeno na ravnini s koordinatama x 1 i x 2, dobit će se krivulja koja kombinuje takve kombinacije unosa resursa koje omogućavaju dobivanje zadanog fiksnog volumena proizvodnje ( Slika 3). Takva kriva se naziva izokvanta proizvodne funkcije (od grčkog isoz - isto i latinskog quantum - koliko).

Rice. 3.

Pretpostavimo da proizvodna funkcija opisuje output u zavisnosti od inputa rada i kapitala. Ista količina outputa može se dobiti različitim kombinacijama inputa ovih resursa.

Možete koristiti mali broj mašina (tj. snaći se sa malim ulaganjem kapitala), ali ćete morati potrošiti veliku količinu rada; Moguće je, naprotiv, mehanizirati određene operacije, povećati broj strojeva i time smanjiti troškove rada. Ako za sve takve kombinacije najveći mogući izlaz ostane konstantan, tada su te kombinacije predstavljene točkama koje leže na istoj izokvanti.

Fiksiranjem obima proizvodnje proizvoda na drugom nivou, dobijamo drugu izokvantu iste proizvodne funkcije.

Izvođenjem niza horizontalnih presjeka na različitim visinama, dobijamo takozvanu mapu izokvante (slika 4) - najčešći grafički prikaz proizvodne funkcije dvaju argumenata. Slično je geografskoj karti, na kojoj je teren prikazan konturnim linijama (inače poznatim kao izohipse) - linijama koje spajaju tačke koje leže na istoj visini.

Rice. 4.

Lako je vidjeti da je proizvodna funkcija na mnogo načina slična funkciji korisnosti u teoriji potrošnje, izokvanti krivulji indiferencije i mapi izokvante mapi indiferencije. Kasnije ćemo vidjeti da svojstva i karakteristike proizvodne funkcije imaju mnogo analogija u teoriji potrošnje. I to nije stvar jednostavne sličnosti. U odnosu na resurse, firma se ponaša kao potrošač, a proizvodna funkcija karakteriše upravo ovu stranu proizvodnje – proizvodnju kao potrošnju. Ovaj ili onaj skup resursa je koristan za proizvodnju utoliko što omogućava dobijanje odgovarajućeg obima proizvodnje proizvoda. Možemo reći da vrijednosti proizvodne funkcije izražavaju korisnost za proizvodnju odgovarajućeg skupa resursa. Za razliku od potrošačke korisnosti, ova „korisnost“ ima potpuno određenu kvantitativnu mjeru - određena je količinom proizvedenih proizvoda.

Činjenica da se vrijednosti proizvodne funkcije odnose na tehnički efikasne opcije i karakteriziraju najveći učinak pri potrošnji datog skupa resursa također ima analogiju u teoriji potrošnje.

Potrošač može koristiti kupljenu robu na različite načine. Korisnost kupljenog skupa dobara određena je načinom na koji se koriste u kojem potrošač ostvaruje najveće zadovoljstvo.

Međutim, unatoč svim uočenim sličnostima između potrošačke korisnosti i „korisnosti“ izražene vrijednostima proizvodne funkcije, ovo su potpuno različiti koncepti. Sam potrošač, samo na osnovu svojih preferencija, određuje koliko mu je koristan ovaj ili onaj proizvod - kupovinom ili odbijanjem.

Skup proizvodnih resursa će u konačnici biti koristan u onoj mjeri u kojoj potrošač prihvati proizvod koji je proizveden korištenjem tih resursa.

Budući da proizvodna funkcija ima najopćenitija svojstva funkcije korisnosti, možemo dalje razmotriti njena glavna svojstva bez ponavljanja detaljnih argumenata datih u dijelu II.

Pretpostavit ćemo da nam povećanje troškova jednog od resursa uz održavanje stalnih troškova drugog omogućava povećanje proizvodnje. To znači da je proizvodna funkcija rastuća funkcija svakog od svojih argumenata. Kroz svaku tačku ravni resursa sa koordinatama x 1, x 2 postoji jedna izokvanta. Sve izokvante imaju negativan nagib. Izokvanta koja odgovara većem prinosu proizvoda nalazi se desno i iznad izokvante za manji prinos. Konačno, sve izokvante ćemo smatrati konveksnim u smjeru početka.

Na sl. Na slici 5 prikazane su neke izokvantne karte koje karakterišu različite situacije koje nastaju tokom proizvodne potrošnje dva resursa. 5a odgovara apsolutnoj međusobnoj zamjeni resursa. U slučaju prikazanom na sl. 5b, prvi resurs se može u potpunosti zamijeniti drugim: izokvantne točke koje se nalaze na x2 osi pokazuju količinu drugog resursa koji omogućava da se dobije određeni proizvodni učinak bez korištenja prvog resursa. Korištenje prvog resursa omogućava vam da smanjite troškove drugog, ali je nemoguće u potpunosti zamijeniti drugi resurs prvim.

Rice. 5 ,in prikazuje situaciju u kojoj su potrebna oba resursa i nijedan od njih ne može biti potpuno zamijenjen drugim. Konačno, slučaj prikazan na sl. 5d, karakterizira apsolutna komplementarnost resursa.

Rice. 5.

Proizvodna funkcija, koja zavisi od dva argumenta, ima prilično jasnu reprezentaciju i relativno je jednostavna za izračunavanje. Treba napomenuti da ekonomija koristi proizvodne funkcije različitih objekata - preduzeća, industrije, nacionalne i svjetske ekonomije. Najčešće su to funkcije oblika (3); ponekad se dodaje i treći argument - cijena prirodnih resursa (N):

q = f(L, K, N). (3)

Ovo ima smisla ako je količina prirodnih resursa uključenih u proizvodne aktivnosti promjenjiva.

Primijenjena ekonomska istraživanja i ekonomska teorija koriste različite vrste proizvodnih funkcija. Njihove karakteristike i razlike biće razmatrane u odeljku 3. U primenjenim proračunima, zahtevi praktične izračunljivosti primoravaju nas da se ograničimo na mali broj faktora, a ovi faktori se smatraju uvećanim – „rad“ bez podele na profesije i kvalifikacije, „ kapital” bez uzimanja u obzir njegovog specifičnog sastava, itd. d. U teorijskoj analizi proizvodnje mogu se zanemariti poteškoće praktične izračunljivosti. Teorijski pristup zahtijeva da se svaka vrsta resursa smatra apsolutno homogenom. Sirovine različitih kvaliteta treba posmatrati kao različite vrste resursa, kao i mašine različitih marki ili rada koji se razlikuje po profesionalnim i kvalifikacionim karakteristikama.

Dakle, proizvodna funkcija koja se koristi u teoriji je funkcija velikog broja argumenata:

q = f(x 1, x 2, ..., x n). (4)

Isti pristup korišten je iu teoriji potrošnje, gdje broj vrsta potrošene robe nije ni na koji način ograničen.

Sve što je prethodno rečeno o proizvodnoj funkciji dva argumenta može se prenijeti na funkciju oblika (4), naravno, uz rezervu u pogledu dimenzionalnosti.

Izokvante funkcije (4) nisu ravne krive, već n-dimenzionalne površine. Ipak, nastavićemo da koristimo „ravne izokvante“ – i u ilustrativne svrhe i kao zgodno sredstvo analize u slučajevima kada su troškovi dva resursa promenljivi, a ostali se smatraju fiksnim.

Federalna agencija za obrazovanje Ruske Federacije

Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja

"South Ural State University"

Mašinsko-matematički fakultet

Katedra za primijenjenu matematiku i informatiku

Proizvodna funkcija preduzeća: suština, vrste, primena.

OBJAŠNJENJE ZA NASTAVNI RAD (PROJEKT)

u disciplini (specijalizacija) "Mikroekonomija"

SUSU–080116 . 2010.705.PZ KR

Rukovodilac, vanredni profesor

V.P. Borodkin

Učenik grupe MM-140

N.N. Basalaeva

2010

Rad (projekat) zaštićen

sa ocjenom (slovima, brojevima)

___________________________

2010

Čeljabinsk 2010

UVOD……………………………………………………………………………………………..3

POJAM PROIZVODNJE I PROIZVODNE FUNKCIJE…..7

2.1. Cobb-Douglas proizvodna funkcija………………………………..13

2.2. Proizvodna funkcija CES-a………………………………………………………13

2.3. Proizvodna funkcija sa fiksnim proporcijama…………14

2.4. Proizvodna input-output funkcija (Leontiefova funkcija)……14

2.5. Proizvodna funkcija analize metoda proizvodne djelatnosti……………………………………………………………………………………14

2.6. Linearna proizvodna funkcija…………………………………………………………………15

2.7. Izokvanta i njeni tipovi………………………………………………………….16

PRAKTIČNA PRIMJENA PROIZVODNE FUNKCIJE.

3.1 Modeliranje troškova i dobiti preduzeća (firme)…………...21

3.2 Metode obračuna naučnog i tehnološkog napretka…………………………..28

ZAKLJUČAK…………………………………………………………………………...34

Bibliografija………………………………………………………35

UVOD.

Ekonomsku djelatnost mogu obavljati različiti subjekti – pojedinci, porodica, država itd., ali glavne proizvodne funkcije u privredi odnose se na preduzeće ili firmu. S jedne strane, firma je složen materijalni, tehnološki i društveni sistem koji osigurava proizvodnju ekonomskih dobara. S druge strane, to je sama djelatnost organizovanja proizvodnje raznih dobara i usluga. Kao sistem koji proizvodi ekonomska dobra, firma je integralna i djeluje kao nezavisna reprodukcijska jedinica, relativno izolirana od drugih jedinica. Preduzeće samostalno obavlja svoje aktivnosti, upravlja proizvedenim proizvodima i ostvarenom dobiti, koja ostaje nakon plaćanja poreza i drugih plaćanja.

Dakle, šta je proizvodna funkcija? Pogledajmo rječnik i dobićemo sljedeće:

PROIZVODNA FUNKCIJA je ekonomsko-matematička jednačina koja povezuje varijabilne vrijednosti troškova (resursa) sa vrijednostima proizvodnje (outputa). Proizvodne funkcije se koriste za analizu utjecaja različitih kombinacija faktora na obim proizvodnje u određenom trenutku (statička verzija proizvodne funkcije) i za analizu i predviđanje omjera volumena faktora i obima proizvodnje u određenom trenutku. različite trenutke (dinamička verzija proizvodne funkcije) na različitim nivoima ekonomije - od firme (preduzeća) do nacionalne ekonomije u cjelini (agregatna proizvodna funkcija u kojoj je output pokazatelj ukupnog društvenog proizvoda ili nacionalnog prihodi itd.). U pojedinačnoj firmi, korporaciji, itd., proizvodna funkcija opisuje maksimalnu količinu outputa koju su u stanju proizvesti za svaku kombinaciju korištenih faktora proizvodnje. Može se predstaviti mnogim izokvanti povezanim sa različitim nivoima izlaza.

Ova vrsta proizvodne funkcije, kada se uspostavi eksplicitna ovisnost obima proizvodnje o dostupnosti ili potrošnji resursa, naziva se izlazna funkcija.

Konkretno, izlazne funkcije se široko koriste u poljoprivredi, gdje se koriste za proučavanje utjecaja faktora na prinos kao što su, na primjer, različite vrste i sastavi đubriva i metode obrade tla. Uz slične proizvodne funkcije, koriste se funkcije troškova proizvodnje inverzne njima. Oni karakterišu zavisnost troškova resursa od obima proizvodnje (strogo govoreći, inverzni su samo proizvodnim funkcijama sa zamenljivim resursima). Posebni slučajevi proizvodnih funkcija mogu se smatrati funkcijom troškova (odnos između obima proizvodnje i troškova proizvodnje), investicionom funkcijom (ovisnost potrebnih kapitalnih ulaganja od proizvodnog kapaciteta budućeg preduzeća) itd.

Matematički, proizvodne funkcije mogu biti predstavljene u različitim oblicima - od jednostavnih kao što je linearna zavisnost proizvodnog rezultata od jednog faktora koji se proučava, do vrlo složenih sistema jednačina koji uključuju rekurentne relacije koje povezuju stanja objekta koji se proučava u različitim periodima. od vremena.

Najšire korišteni su multiplikativni oblici moći predstavljanja proizvodnih funkcija. Njihova posebnost je sljedeća: ako je jedan od faktora jednak nuli, onda rezultat postaje nula. Lako je vidjeti da to realno odražava činjenicu da su u većini slučajeva svi analizirani primarni resursi uključeni u proizvodnju i bez ijednog od njih proizvodnja je nemoguća. U svom najopćenitijem obliku (koji se zove kanonska), ova funkcija se piše na sljedeći način:

Ovdje koeficijent A prije znaka množenja uzima u obzir dimenziju koja ovisi o odabranoj jedinici mjerenja ulaza i izlaza. Faktori od prvog do n-og mogu imati različit sadržaj u zavisnosti od toga koji faktori utiču na ukupni rezultat (output). Na primjer, u proizvodnoj funkciji, koja se koristi za proučavanje ekonomije u cjelini, može se uzeti obim finalnog proizvoda kao efektivni indikator, a faktori su broj zaposlenih x 1, zbir fiksnih i obrtna sredstva x 2, a površina korišćenog zemljišta x 3. U Cobb-Douglas funkciji postoje samo dva faktora uz pomoć kojih se pokušalo procijeniti odnos faktora kao što su rad i kapital sa rastom nacionalnog dohotka SAD u 20-30-im godinama. XX vijek:

N = A L α K β,

gdje je N nacionalni dohodak; L i K su zapremine primenjenog rada i kapitala, respektivno.

Koeficijenti snage (parametri) multiplikativne funkcije proizvodnje snage pokazuju udio u procentu povećanja finalnog proizvoda kojem svaki od faktora doprinosi (ili za koliko procenata će se proizvod povećati ako se troškovi odgovarajućeg resursa povećaju za jedan posto); oni su koeficijenti elastičnosti proizvodnje u odnosu na troškove odgovarajućeg resursa. Ako je zbir koeficijenata 1, to znači da je funkcija homogena: povećava se proporcionalno povećanju broja resursa. Ali mogući su i slučajevi kada je zbir parametara veći ili manji od jedan; ovo pokazuje da povećanje inputa dovodi do nesrazmjerno većeg ili nesrazmjerno manjeg povećanja outputa (ekonomija obima).

U dinamičkoj verziji koriste se različiti oblici proizvodnih funkcija. Na primjer, (u slučaju 2 faktora): Y(t) = A(t) L α (t) K β (t), gdje se faktor A(t) obično povećava tokom vremena, odražavajući opći porast efikasnost proizvodnih faktora tokom vremena.

Uzimanjem logaritma i zatim razlikovanjem ove funkcije s obzirom na t, može se dobiti odnos između stope rasta finalnog proizvoda (nacionalnog dohotka) i rasta faktora proizvodnje (stopa rasta varijabli se ovdje obično opisuje kao postotak ).

Dalja „dinamizacija“ proizvodnih funkcija može uključivati korištenje promjenjivih koeficijenata elastičnosti.

Odnosi koje opisuje proizvodna funkcija su statističke prirode, odnosno pojavljuju se samo u prosjeku, u velikoj masi opservacija, budući da u stvarnosti na proizvodni rezultat ne utječu samo analizirani faktori, već i mnogi neuračunati. Osim toga, primijenjeni indikatori i troškova i rezultata su neizbježno proizvodi složene agregacije (na primjer, generalizovani indikator troškova rada u makroekonomskoj funkciji uključuje troškove rada različite produktivnosti, intenziteta, kvalifikacija itd.).

Poseban problem predstavlja uzimanje u obzir faktora tehničkog napretka u makroekonomskim proizvodnim funkcijama. Uz pomoć proizvodnih funkcija proučava se i ekvivalentna zamjenjivost faktora proizvodnje, koja može biti konstantna ili promjenjiva (tj. ovisi o obimu resursa). Shodno tome, funkcije se dijele na dva tipa: sa konstantnom elastičnošću zamjene (CES - Constant Elasticity of Substitution) i sa varijabilnom (VES - Variable Elasticity of Substitution).

U praksi se koriste tri glavne metode za određivanje parametara makroekonomskih proizvodnih funkcija: na osnovu obrade vremenskih serija, na osnovu podataka o strukturnim elementima agregata i na distribuciji nacionalnog dohotka. Posljednja metoda se zove distributivna.

Prilikom konstruisanja proizvodnih funkcija potrebno je osloboditi se fenomena multikolinearnosti parametara i autokorelacije – inače su neizbježne grube greške.

Evo nekoliko važnih proizvodnih funkcija

Linearna proizvodna funkcija:

P = a 1 x 1 + ... + a n x n,

gdje su a 1, ..., a n procijenjeni parametri modela: ovdje se faktori proizvodnje zamjenjuju u bilo kojoj proporciji.

CES funkcija:

P = A [(1 – α) K - b + αL - b ] - c / b ,

u ovom slučaju, elastičnost supstitucije resursa ne zavisi ni od K ni od L i stoga je konstantna:

Odatle dolazi naziv funkcije.

Funkcija CES, kao i Cobb-Douglasova funkcija, temelji se na pretpostavci konstantnog smanjenja granične stope supstitucije korištenih resursa. U međuvremenu, elastičnost zamjene kapitala za rad i, obrnuto, rada za kapital u Cobb-Douglasovoj funkciji, jednaka jedan, ovdje može poprimiti različite vrijednosti koje nisu jednake jedinici, iako je konstantna. Konačno, za razliku od Cobb-Douglasove funkcije, uzimanje logaritma CES funkcije ne dovodi je do linearnog oblika, što prisiljava korištenje složenijih metoda nelinearne regresione analize za procjenu parametara.

1. POJAM PROIZVODNJE I PROIZVODNE FUNKCIJE.

Proizvodnja se odnosi na bilo koju aktivnost koja uključuje korištenje prirodnih, materijalnih, tehničkih i intelektualnih resursa za sticanje materijalnih i nematerijalnih koristi.

Sa razvojem ljudskog društva, priroda proizvodnje se mijenja. U ranim fazama ljudskog razvoja dominirali su prirodni, prirodni, prirodni elementi proizvodnih snaga. I sam je čovjek u to vrijeme u velikoj mjeri bio proizvod prirode. Proizvodnja u ovom periodu nazivala se prirodnom.

Sa razvojem sredstava za proizvodnju počinju da prevladavaju istorijski stvoreni materijalno-tehnički elementi proizvodnih snaga. Ovo je doba kapitala. Trenutno su od presudne važnosti znanje, tehnologija i intelektualni resursi same osobe. Naše doba je doba informatizacije, doba dominacije naučnih i tehničkih elemenata proizvodnih snaga. Posjedovanje znanja i novih tehnologija je ključno za proizvodnju. U mnogim razvijenim zemljama postavljen je cilj univerzalne informatizacije društva. Svjetska kompjuterska mreža Internet se razvija neverovatnom brzinom.

Tradicionalno, ulogu opšte teorije proizvodnje ima teorija materijalne proizvodnje, shvaćena kao proces transformacije proizvodnih resursa u proizvod. Glavni proizvodni resursi su radna snaga ( L) i kapital ( K). Metode proizvodnje ili postojeće proizvodne tehnologije određuju koliki je proizvod proizveden sa datim količinama rada i kapitala. Matematički, postojeće tehnologije su izražene kroz proizvodna funkcija. Ako volumen proizvodnje označimo sa Y, onda se proizvodna funkcija može napisati

Y= f(K, L).

Ovaj izraz znači da je output funkcija količine kapitala i količine rada. Proizvodna funkcija opisuje skup tehnologija koje trenutno postoje. Ako se izmisli bolja tehnologija, onda se sa istim inputima rada i kapitala povećava proizvodnja. Posljedično, promjene u tehnologiji mijenjaju proizvodnu funkciju. Metodološki, teorija proizvodnje je na mnogo načina simetrična teoriji potrošnje. Međutim, ako se u teoriji potrošnje glavne kategorije mjere samo subjektivno ili još uopće nisu predmet mjerenja, onda glavne kategorije teorije proizvodnje imaju objektivnu osnovu i mogu se mjeriti u određenim prirodnim ili troškovnim jedinicama.

Uprkos činjenici da se pojam proizvodnje može činiti veoma širokim, nejasno izraženim, pa čak i nejasnim, jer se u stvarnom životu proizvodnja podrazumeva kao preduzeće, gradilište, poljoprivredno gazdinstvo, transportno preduzeće i veoma velika organizacija kao što je npr. grana nacionalne ekonomije, međutim, ekonomsko-matematičko modeliranje ističe nešto zajedničko svim ovim objektima. Ova uobičajena stvar je proces pretvaranja primarnih resursa (proizvodnih faktora) u krajnje rezultate procesa. Stoga, glavni početni koncept u opisu ekonomskog objekta postaje tehnološki metod, koji se obično predstavlja kao vektor troškova proizvodnje. v, koji uključuje listu količina utrošenih resursa (vektor x) i informacije o rezultatima njihove transformacije u finalne proizvode ili drugim karakteristikama (profit, profitabilnost, itd.) (vektorski y):

v= (x; y).

Dimenzija vektora x I y, kao i metode njihovog mjerenja (u prirodnim ili troškovnim jedinicama) značajno zavise od problema koji se proučava, od nivoa na kojem se postavljaju određeni zadaci ekonomskog planiranja i upravljanja. Skup vektora tehnoloških metoda koji mogu poslužiti kao opis (sa prihvatljivom tačnošću sa stanovišta istraživača) proizvodnog procesa koji je stvarno izvodljiv na određenom objektu naziva se tehnološkim skupom. V ovog objekta. Da budemo konkretni, pretpostavićemo da je dimenzija vektora troškova x jednak N i vektor oslobađanja y respektivno M. Dakle, tehnološka metoda v je vektor dimenzije ( M+ N), i tehnološki set VCR + M + N. Među svim tehnološkim metodama koje se primjenjuju u objektu, posebno mjesto zauzimaju metode koje su povoljne u odnosu na sve ostale po tome što zahtijevaju ili niže troškove za isti učinak, ili odgovaraju većem outputu za iste troškove. Oni od njih koji zauzimaju, u određenom smislu, graničnu poziciju u skupu V, su od posebnog interesa jer predstavljaju opis izvodljivog i marginalno isplativog stvarnog proizvodnog procesa.

Recimo da je vektor ν (1) =(x (1) ;y (1) ) poželjniji od vektora ν (2) =(x (2) ;y (2) ) sa oznakom ν (1) > ν (2) ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1) at i (1) ≥ y i (2) (i=1,…,M);

2) x j (1) ≤ x j (2) (j=1,...M);

i dogodi se barem jedna od dvije stvari:

a) postoji takav broj i 0 šta at i 0 (1) > y i 0 (2)

b) postoji takav broj j 0 šta x j 0 (1) x j 0 (2)

Tehnološki metod ۷ se naziva efektivnim ako pripada tehnološkom skupu V i ne postoji drugi vektor ν Ê V koji bi bio poželjniji od ۷. Gornja definicija znači da se one metode smatraju efikasnim koje se ne mogu poboljšati u bilo kojoj komponenti troškova ili u bilo kojoj poziciji proizvedenog proizvoda, a da pritom ne prestanu biti prihvatljive. Skup svih tehnološki efikasnih metoda će biti označen sa V*. To je podskup tehnološkog skupa V ili se poklapa sa njim. U suštini, zadatak planiranja ekonomske aktivnosti proizvodnog pogona može se tumačiti kao zadatak odabira efektivne tehnološke metode koja najbolje odgovara određenim eksternim uslovima. Prilikom rješavanja takvog problema izbora, ideja o samoj prirodi tehnološkog skupa pokazuje se vrlo bitnom. V, kao i njegov efektivni podskup V*.

U nizu slučajeva se ispostavlja da je moguće u okviru fiksne proizvodnje dopustiti mogućnost zamjenjivosti pojedinih resursa (različitih vrsta goriva, mašina i radnika itd.). Istovremeno, matematička analiza takvog postupka zasniva se na premisi o kontinuiranoj prirodi skupa V, i stoga, o fundamentalnoj mogućnosti predstavljanja varijanti međusobne zamjene korištenjem kontinuiranih i čak diferencibilnih funkcija definiranih na V. Ovaj pristup je dobio najveći razvoj u teoriji proizvodnih funkcija.

Koristeći koncept efektivnog tehnološkog skupa, proizvodna funkcija se može definirati kao mapiranje

y= f(x),

Gdje ν=(x;y) ÊV*.

Navedeno preslikavanje je, općenito govoreći, višeznačno, tj. gomila f(x) sadrži više od jedne tačke. Međutim, za mnoge realne situacije, proizvodne funkcije su nedvosmislene i čak, kao što je već spomenuto, diferencibilne. U najjednostavnijem slučaju, proizvodna funkcija je skalarna funkcija N argumenti:

y = f(x 1 ,…, x N ).

Evo vrijednosti y Po pravilu je troškovne prirode, izražavajući obim proizvedenih proizvoda u novčanim iznosima. Argumenti su količine resursa utrošenih prilikom implementacije odgovarajuće efektivne tehnološke metode. Dakle, gornji odnos opisuje granicu tehnološkog skupa V,pošto za dati vektor troškova ( x 1 , ..., x N) proizvode proizvode u količinama većim od y, je nemoguće, a proizvodnja proizvoda u količinama manjim od navedenih odgovara neefikasnoj tehnološkoj metodi. Izraz za proizvodnu funkciju može se koristiti za procjenu efektivnosti metoda upravljanja usvojenog u datom preduzeću. Zapravo, za dati skup resursa moguće je odrediti stvarni učinak i uporediti ga s onim izračunatim od strane proizvodne funkcije. Rezultirajuća razlika pruža koristan materijal za procjenu efikasnosti u apsolutnom i relativnom smislu.

Proizvodna funkcija je vrlo koristan aparat za planiranje proračuna, pa je stoga razvijen statistički pristup konstruiranju proizvodnih funkcija za određene poslovne jedinice. U ovom slučaju obično se koristi određeni standardni skup algebarskih izraza, čiji se parametri pronalaze metodama matematičke statistike. Ovaj pristup u suštini znači procjenu proizvodne funkcije na osnovu implicitne pretpostavke da su promatrani proizvodni procesi efikasni. Među različitim tipovima proizvodnih funkcija najčešće se koriste linearne funkcije oblika

jer se za njih lako rješava problem procjene koeficijenata iz statističkih podataka, kao i funkcija stepena

za koje se zadatak nalaženja parametara svodi na procjenu linearnog oblika prelaskom na logaritme.

Pod pretpostavkom da je proizvodna funkcija diferencibilna u svakoj tački skupa X moguće kombinacije utrošenih resursa, korisno je razmotriti neke količine povezane s proizvodnom funkcijom.

Konkretno, diferencijal

predstavlja promjenu cijene autputa pri prelasku sa troškova skupa resursa x=(x 1 , ..., x N) za postavljanje x+dx=(x 1 +dx 1 ,..., x N +dx N) pod uslovom da se zadrži efikasnost odgovarajućih tehnoloških metoda. Zatim vrijednost parcijalnog izvoda

može se tumačiti kao marginalna (diferencijalna) produktivnost resursa ili, drugim riječima, koeficijent granične produktivnosti, koji pokazuje za koliko će se proizvodnja povećati zbog povećanja cijene broja resursa j po maloj jedinici. Vrijednost granične produktivnosti nekog resursa može se tumačiti kao gornja granica cijene str j, koji proizvodni pogon može platiti za dodatnu jedinicu j- taj resurs kako ne bi bio na gubitku nakon njegovog sticanja i korišćenja. Zapravo, očekivano povećanje proizvodnje u ovom slučaju će biti

a samim tim i omjer

omogućiće vam dodatni profit.

Kratkoročno, kada se jedan resurs smatra konstantnim, a drugi varijabilnim, većina proizvodnih funkcija ima svojstvo smanjenja graničnog proizvoda. Granični proizvod varijabilnog resursa je povećanje ukupnog proizvoda zbog povećanja upotrebe datog varijabilnog resursa za jednu jedinicu.

Granični proizvod rada može se zapisati kao razlika

MPL= F(K, L+ 1) - F(K, L),

Gdje MPL granični proizvod rada.

Granični proizvod kapitala se takođe može zapisati kao razlika

MPK= F(K+ 1, L) - F(K, L),

Gdje MPK granični proizvod kapitala.

Karakteristika proizvodnog objekta je i vrijednost prosječne produktivnosti resursa (produktivnost proizvodnog faktora)

ima jasan ekonomski smisao količine proizvedenih proizvoda po jedinici upotrebljenog resursa (proizvodni faktor). Recipročna vrijednost efikasnosti resursa

obično se naziva intenzitet resursa jer izražava količinu resursa j potrebna za proizvodnju jedne jedinice proizvoda u vrijednosti. Veoma uobičajeni i razumljivi pojmovi su kapitalni intenzitet, materijalni intenzitet, energetski intenzitet i radni intenzitet, čiji se rast obično povezuje sa pogoršanjem stanja privrede, a njihov pad smatra se povoljnim rezultatom.

Količnik diferencijalne produktivnosti podijeljen sa prosjekom

naziva se koeficijent elastičnosti proizvoda prema proizvodnom faktoru j i daje izraz za relativno povećanje proizvodnje (u procentima) sa relativnim povećanjem faktorskih troškova za 1%. Ako E j 0, tada dolazi do apsolutnog smanjenja proizvodnje sa povećanjem potrošnje faktora j; Ova situacija se može dogoditi kada se koriste tehnološki neprikladni proizvodi ili načini rada. Na primjer, prekomjerna potrošnja goriva dovest će do pretjeranog povećanja temperature i hemijska reakcija potrebna za proizvodnju proizvoda neće se dogoditi. Ako je 0 E j 1, onda svaka naredna dodatna jedinica utrošenog resursa uzrokuje manji dodatni porast proizvodnje od prethodne.

Ako E j> 1, tada vrijednost inkrementalne (diferencijalne) produktivnosti prelazi prosječnu produktivnost. Dakle, dodatna jedinica resursa povećava ne samo obim proizvodnje, već i prosječnu karakteristiku efikasnosti resursa. Dakle, proces povećanja kapitalne produktivnosti nastaje kada se puste u rad veoma progresivne, efikasne mašine i uređaji. Za linearnu proizvodnu funkciju koeficijent a j brojčano jednak vrijednosti diferencijalne produktivnosti j- tog faktora, a za funkciju stepena eksponent a j ima značenje koeficijenta elastičnosti j- taj resurs.

2. VRSTE PROIZVODNIH FUNKCIJA.

2.1. Cobb-Douglas proizvodna funkcija.

Prvo uspješno iskustvo u konstruisanju proizvodne funkcije kao regresione jednačine na osnovu statističkih podataka stekli su američki naučnici – matematičar D. Cobb i ekonomista P. Douglas 1928. godine. Funkcija koju su predložili u početku je izgledala ovako:

gdje je Y obim proizvodnje, K je vrijednost proizvodnih sredstava (kapitala), L su troškovi rada, - numeričke parametre (broj skale i indeks elastičnosti). Zbog svoje jednostavnosti i racionalnosti, ova funkcija se i danas široko koristi, te je dobila daljnje generalizacije u različitim smjerovima. Ponekad ćemo pisati Cobb-Douglasovu funkciju kao

Lako je to provjeriti

Osim toga, funkcija (1) je linearno homogena:

Dakle, Cobb-Douglasova funkcija (1) ima sva navedena svojstva.

Za multifaktorsku proizvodnju, Cobb-Douglasova funkcija ima oblik:

Da bi se uzeo u obzir tehnički napredak, u Cobb-Douglasovu funkciju se uvodi poseban množitelj (tehnički napredak), gdje je t vremenski parametar, konstantan broj koji karakterizira brzinu razvoja. Kao rezultat, funkcija poprima "dinamičan" oblik:

gde nije potrebno. Kao što će biti pokazano u sljedećem paragrafu, eksponenti u funkciji (1) imaju značenje elastičnosti outputa u odnosu na kapital i rad.

2.2. Proizvodna funkcijaCES(sa konstantnom elastičnošću zamjene)

Izgleda kao:

Gdje je koeficijent skale, je koeficijent distribucije, je koeficijent zamjene, je stepen homogenosti. Ako su ispunjeni uslovi:

tada funkcija (2) zadovoljava nejednakosti i . Uzimajući u obzir tehnološki napredak, funkcija CES-a je zapisana:

Naziv ove funkcije proizilazi iz činjenice da je za nju elastičnost zamjene konstantna.

2.3. Proizvodna funkcija sa fiksnim proporcijama. Ova funkcija se dobija iz (2) na i ima oblik:

2.4. Proizvodna input-output funkcija (Leontiefova funkcija) dobijeno iz (3) sa:

Ovdje je količina ulaznog tipa k potrebna za proizvodnju jedne jedinice izlaza, a y je izlaz.

2.5. Proizvodna funkcija analize metoda proizvodne aktivnosti.

Ova funkcija generalizira input-output proizvodnu funkciju na slučaj kada postoji određeni broj (r) osnovnih procesa (metoda proizvodne aktivnosti), od kojih se svaki može odvijati sa bilo kojim nenegativnim intenzitetom. Ima oblik "problema optimizacije"

Gdje (5)

Ovdje je izlaz na jediničnom intenzitetu j-tog osnovnog procesa, nivo intenziteta i iznos troškova tipa k potrebnih za jedinični intenzitet metode j. Kao što se može vidjeti iz (5), ako su poznati izlaz proizveden na jediničnom intenzitetu i potrebni troškovi po jedinici intenziteta, tada se ukupni output i ukupni troškovi nalaze zbrajanjem outputa i troškova, respektivno, za svaki osnovni proces na odabranim intenzitetima. Imajte na umu da je problem maksimiziranja funkcije f u (5) pod datim nejednačinama model za analizu proizvodnih aktivnosti (maksimiziranje outputa sa ograničenim resursima).

2.6. Linearna proizvodna funkcija(funkcija sa međusobnom zamjenom resursa)

Koristi se kada postoji linearna zavisnost proizvodnje od troškova:

Gdje je stopa troškova k-te vrste za proizvodnju jedinice proizvoda (granični fizički proizvod troškova).

Među ovdje navedenim proizvodnim funkcijama, najčešća je funkcija CES.

Analizirati proizvodni proces i njegove različite pokazatelje zajedno sa marginalnim proizvodima,

(gornje linije označavaju fiksne vrijednosti varijabli), prikazujući iznose dodatnih prihoda dobivenih korištenjem dodatnih iznosa troškova, koriste se koncepti prosječnih proizvoda.

Prosječni proizvod za k-tu vrstu troškova je obim proizvodnje po jedinici troškova k-te vrste na fiksnom nivou troškova ostalih vrsta:

Popravimo troškove drugog tipa na određenom nivou i uporedimo grafove tri funkcije:

Fig.1. Krive otpuštanja.

Neka graf funkcije ima tri kritične tačke (kao što je prikazano na slici 1): - prevojnu tačku, - tačku tangente sa zrakom iz početka, - maksimalnu tačku. Ove tačke odgovaraju tri faze proizvodnje. Prva faza odgovara segmentu i karakteriše je superiornost graničnog proizvoda nad prosekom: Shodno tome, u ovoj fazi je preporučljiva implementacija dodatnih troškova. Druga faza odgovara segmentu i karakteriše je superiornost prosječnog proizvoda nad graničnim proizvodom: (dodatni troškovi nisu preporučljivi). U trećoj fazi, dodatni troškovi dovode do suprotnog efekta. To se objašnjava činjenicom da je to optimalan iznos troškova i da je njihovo dalje povećanje nerazumno.

Za određene vrste resursa prosječne i maksimalne vrijednosti poprimaju značenje specifičnih ekonomskih pokazatelja. Razmotrimo, na primjer, Cobb-Douglasovu funkciju (1), gdje je kapital i rad. Prosječni proizvodi

imaju smisla, respektivno, prosječne produktivnosti rada i prosječne kapitalne produktivnosti (prosječne kapitalne produktivnosti). Može se vidjeti da prosječna produktivnost rada opada sa rastom radnih resursa. To je i razumljivo, budući da proizvodna sredstva (K) ostaju nepromijenjena, pa se novoprivučena radna snaga ne obezbjeđuje dodatnim sredstvima za proizvodnju, što dovodi do smanjenja produktivnosti rada. Slično razmišljanje vrijedi i za kapitalnu produktivnost kao funkciju kapitala.

Za funkciju (1) marginalni proizvodi

imaju smisla prema graničnoj produktivnosti rada i graničnoj produktivnosti kapitala (granična produktivnost kapitala). U mikroekonomskoj teoriji proizvodnje smatra se da je granična produktivnost rada jednaka nadnici (cijeni rada), a granična produktivnost kapitala jednaka plaćanju rente (cijeni usluga kapitalnih dobara). Iz uslova proizlazi da uz konstantna osnovna sredstva (troškovi rada) povećanje broja radnika (obim osnovnih sredstava) dovodi do pada granične produktivnosti rada (granične kapitalne produktivnosti). Može se vidjeti da su za Cobb-Douglasovu funkciju granični proizvodi proporcionalni prosječnim proizvodima i manji od njih.

2.7. Izokvanta i njene vrste

Prilikom modeliranja potražnje potrošača, isti nivo korisnosti različitih kombinacija potrošačkih dobara grafički se prikazuje pomoću krivulje indiferencije.

U ekonomskim i matematičkim modelima proizvodnje, svaka tehnologija može biti grafički predstavljena tačkom, čije koordinate odražavaju minimalne potrebne troškove resursa K i L za proizvodnju datog obima proizvodnje. Skup takvih tačaka formira liniju jednakog izlaza, ili izokvantu. Dakle, proizvodna funkcija je grafički predstavljena familijom izokvanti. Što se izokvanta nalazi dalje od izvora, to odražava veći obim proizvodnje. Za razliku od krive indiferencije, svaka izokvanta karakterizira kvantitativno određeni volumen proizvodnje.

Fig.2. Izokvante koje odgovaraju različitim količinama proizvodnje

Na sl. Na slici 2 prikazane su tri izokvante koje odgovaraju zapremini proizvodnje od 200, 300 i 400 jedinica proizvodnje. Možemo reći da su za proizvodnju 300 jedinica proizvodnje potrebne K 1 jedinica kapitala i L 1 jedinica rada ili K 2 jedinice kapitala i L 2 jedinice rada, ili bilo koja druga njihova kombinacija iz skupa predstavljenog izokvantom Y 2 = 300.

U opštem slučaju, u skupu X dozvoljenih skupova proizvodnih faktora identifikuje se podskup, koji se naziva izokvanta proizvodne funkcije, koju karakteriše činjenica da je za bilo koji vektor jednakost

Dakle, za sve skupove resursa koji odgovaraju izokvanti, količine izlaza su jednake. U suštini, izokvanta je opis mogućnosti međusobne zamjene faktora u procesu proizvodnje proizvoda koji osiguravaju konstantan obim proizvodnje. S tim u vezi, pokazalo se da je moguće odrediti koeficijent međusobne zamjene resursa korištenjem diferencijalnog omjera duž bilo koje izokvante

Stoga je koeficijent ekvivalentne zamjene para faktora j i k jednak:

Rezultirajući odnos pokazuje da ako se proizvodni resursi zamjene u omjeru jednakom omjeru inkrementalne produktivnosti, tada količina proizvodnje ostaje nepromijenjena. Mora se reći da nam poznavanje proizvodne funkcije omogućava da okarakterišemo razmjere mogućnosti međusobne zamjene resursa na učinkovite tehnološke načine. Za postizanje ovog cilja koristi se koeficijent elastičnosti supstitucije resursa za proizvode

koji se izračunava duž izokvante na konstantnom nivou troškova ostalih faktora proizvodnje. Vrijednost s jk je karakteristika relativne promjene koeficijenta međusobne zamjene resursa kada se promijeni odnos između njih. Ako se omjer zamjenjivih resursa promijeni za s jk posto, tada će se koeficijent zamjene sjk promijeniti za jedan posto. U slučaju linearne proizvodne funkcije, koeficijent međusobne supstitucije ostaje nepromijenjen za bilo koji omjer korištenih resursa i stoga možemo pretpostaviti da je elastičnost s jk = 1. Prema tome, velike vrijednosti s jk ukazuju da je moguća veća sloboda u zamjeni proizvodnih faktora duž izokvante i, istovremeno, glavne karakteristike proizvodne funkcije (produktivnost, koeficijent razmjene) će se vrlo malo promijeniti.

Za proizvodne funkcije po stepenu za bilo koji par izmjenjivih resursa vrijedi jednakost s jk = 1. U praksi predviđanja i predplanskih proračuna često se koriste funkcije konstantne elastičnosti supstitucije (CES), koje imaju oblik:

Za takvu funkciju koeficijent elastičnosti supstitucije resursa

i ne mijenja se u zavisnosti od obima i omjera utrošenih resursa. Pri malim vrijednostima s jk resursi se mogu zamijeniti samo u neznatnoj mjeri, a u granici pri s jk = 0 gube svojstvo zamjenjivosti i pojavljuju se u proizvodnom procesu samo u konstantnom omjeru, tj. su komplementarne. Primjer proizvodne funkcije koja opisuje proizvodnju u uvjetima korištenja komplementarnih resursa je funkcija oslobađanja troškova, koja ima oblik

gdje je a j konstantni koeficijent produktivnosti resursa j faktora proizvodnje. Lako je vidjeti da proizvodna funkcija ovog tipa određuje output na uskom grlu skupa korištenih proizvodnih faktora. Na grafikonu su prikazani različiti slučajevi ponašanja izokvanti proizvodnih funkcija za različite vrijednosti elastičnosti koeficijenata supstitucije (Sl. 3).

Predstavljanje efektivnog tehnološkog skupa pomoću skalarne proizvodne funkcije je nedovoljno u slučajevima kada je nemoguće proći samo jednim indikatorom koji opisuje rezultate proizvodnog pogona, već je potrebno koristiti nekoliko (M) indikatora izlaza. Pod ovim uslovima može se koristiti funkcija proizvodnje vektora

Rice. 3. Razni slučajevi izokvantnog ponašanja

Važan koncept granične (diferencijalne) produktivnosti uvodi relacija

Sve ostale glavne karakteristike skalarnih proizvodnih funkcija dozvoljavaju sličnu generalizaciju.

Poput krivulja indiferencije, izokvante se također klasificiraju u različite tipove.

Za linearnu proizvodnu funkciju oblika

gdje je Y obim proizvodnje; A, b 1, b 2 parametri; K, L troškovi kapitala i rada, te potpuna zamjena jednog resursa drugim, izokvanta će imati linearni oblik (slika 4).

Za funkciju proizvodnje po stepenu

izokvante će izgledati kao krive (slika 5).

Ako izokvanta odražava samo jednu tehnološku metodu proizvodnje datog proizvoda, tada su rad i kapital kombinovani u jedinoj mogućoj kombinaciji (slika 6).

Rice. 6. Izokvante sa strogom komplementarnošću resursa

Rice. 7. Slomljene izokvante

Takve izokvante se ponekad nazivaju izokvante Leontijevskog tipa po američkom ekonomisti V.V. Leontijev, koji je koristio ovu vrstu izokvante kao osnovu za metodu input-outputa koju je razvio.

Slomljena izokvanta pretpostavlja prisustvo ograničenog broja tehnologija F (slika 7).

Izokvante slične konfiguracije koriste se u linearnom programiranju za potkrepljenje teorije optimalne alokacije resursa. Izlomljene izokvante najrealnije predstavljaju tehnološke mogućnosti mnogih proizvodnih pogona. Međutim, u ekonomskoj teoriji oni tradicionalno koriste uglavnom zakrivljene izokvante, koje se dobijaju iz isprekidanih linija kada se broj tehnologija povećava i u skladu s tim se povećavaju tačke prekida.

3. PRAKTIČNA PRIMJENA PROIZVODNE FUNKCIJE.

3.1 Modeliranje troškova i dobiti preduzeća (firme)

Osnova za konstruisanje modela ponašanja proizvođača (pojedinačnog preduzeća ili firme, udruženja ili industrije) je ideja da proizvođač nastoji da postigne stanje u kojem bi mu se obezbedio najveći profit u trenutnim tržišnim uslovima, tj. Prije svega, s obzirom na postojeći sistem cijena.

Najjednostavniji model optimalnog ponašanja proizvođača u uslovima savršene konkurencije ima sledeći oblik: neka preduzeće (firma) proizvede jedan proizvod u količini y fizičke jedinice. Ako str egzogeno zadata cijena ovog proizvoda i firma prodaje svoj proizvod u cijelosti, tada dobija bruto prihod (prihod) u iznosu

U procesu stvaranja ove količine proizvoda, firma snosi troškove proizvodnje C(y). Istovremeno, prirodno je to pretpostaviti C"(y) > 0, tj. troškovi rastu kako se povećava obim proizvodnje. Takođe se obično veruje da C""(y) > 0. To znači da se dodatni (granični) troškovi proizvodnje svake dodatne jedinice proizvodnje povećavaju kako se povećava obim proizvodnje. Ova pretpostavka proizilazi iz činjenice da se uz racionalno organizovanu proizvodnju, sa malim obimima, mogu koristiti najbolje mašine i visokokvalifikovani radnici, koji više neće biti na raspolaganju preduzeću kada se poveća obim proizvodnje. Troškovi proizvodnje sastoje se od sljedećih komponenti:

1) materijalni troškovi C m, što uključuje troškove za sirovine, materijale, poluproizvode itd.

Razlika između bruto prihoda i materijalnih troškova naziva se dodanu vrijednost(uslovno čisti proizvodi):

2) troškovi rada C L ;

Rice. 8. Linije prihoda i troškova preduzeća

3) troškovi u vezi sa korišćenjem i popravkom mašina i opreme, amortizacija, tzv. plaćanje kapitalnih usluga C k ;

4) dodatni troškovi C r, vezano za proširenje proizvodnje, izgradnju novih objekata, pristupnih puteva, komunikacionih linija itd.

Ukupni troškovi proizvodnje:

Kao što je gore navedeno,

međutim, ova zavisnost od izlaznog volumena ( at) razlikuje se za različite vrste troškova. Naime, postoje:

a) fiksni troškovi C 0, koji praktično ne zavise od y, uklj. plaćanje administrativnog osoblja, zakupnina i održavanje zgrada i prostorija, amortizacija, kamate na kredite, komunikacione usluge itd.;

b) troškovi proporcionalni obima proizvodnje (linearni) C 1, ovo uključuje materijalne troškove C m, naknade proizvodnog osoblja (dio C L), troškovi održavanja postojeće opreme i mašina (dio C k) i tako dalje.:

Gdje A generalni pokazatelj troškova ovih vrsta po proizvodu;

c) super-proporcionalni (nelinearni) troškovi WITH 2, koji uključuju nabavku novih mašina i tehnologija (tj WITH r), plata za prekovremeni rad itd. Za matematički opis ove vrste troškova obično se koristi odnos stepena

Dakle, model se može koristiti za predstavljanje ukupnih troškova

(Imajte na umu da su uslovi C"(y) > 0, C""(y) > 0 za ovu funkciju su zadovoljeni.)

Razmotrimo moguće opcije ponašanja preduzeća (firme) za dva slučaja:

1. Preduzeće ima prilično veliku rezervu proizvodnih kapaciteta i ne teži proširenju proizvodnje, tako da možemo pretpostaviti da C 2 = 0 i ukupni troškovi su linearna funkcija outputa:

Zarada će biti

Očigledno, sa malim obima proizvodnje

kompanija ima gubitke jer

Evo y w tačka rentabilnosti (prag profitabilnosti), određena omjerom

Ako y> y w, tada kompanija ostvaruje profit, a konačna odluka o obimu proizvodnje zavisi od stanja na tržištu za proizvedene proizvode (vidi sliku 8).

2. U opštijem slučaju, kada WITH 2 0, postoje dvije tačke rentabilnosti i firma će dobiti pozitivan profit ako obim proizvodnje y zadovoljava uslov

Na ovom segmentu u tački se ostvaruje najveća vrijednost profita. Dakle, postoji optimalno rješenje za problem maksimizacije profita. U tački A, što odgovara troškovima pri optimalnom outputu, tangentno na krivulju troškova WITH paralelno sa pravom linijom prihoda R.

Treba napomenuti da konačna odluka firme zavisi i od stanja na tržištu, ali sa stanovišta održavanja ekonomskih interesa, treba preporučiti optimizaciju izlazne vrednosti (slika 9).

Rice. 9. Optimalni izlazni volumen

Po definiciji, profit je iznos

Tačke rentabilnosti se određuju iz uslova da je profit jednak nuli, a maksimalna vrijednost se postiže u tački koja zadovoljava jednačinu

Dakle, optimalni obim proizvodnje karakteriše činjenica da je u ovom stanju granični bruto dohodak ( R(y)) je tačno jednak graničnim troškovima C(y).

U stvari, ako y R ( y) > C(y), a zatim treba povećati proizvodnju jer će očekivani dodatni prihodi premašiti očekivane dodatne troškove. Ako y> onda R(y) C ( y), a svako povećanje obima će smanjiti profit, pa je prirodno preporučiti smanjenje obima proizvodnje i dolazak u stanje y= (slika 10).

Rice. 10. Maksimalna profitna tačka i zona rentabilnosti

Lako je vidjeti da s povećanjem cijene ( R) optimalan učinak kao i povećanje profita, tj.

To važi iu opštem slučaju, pošto

Primjer. Kompanija proizvodi poljoprivredne mašine u velikim količinama at komada, a obim proizvodnje u principu može varirati od 50 do 220 komada mjesečno. Istovremeno, naravno, povećanje obima proizvodnje će zahtijevati povećanje troškova, kako proporcionalnih tako i superproporcionalnih (nelinearnih), budući da će biti potrebno nabaviti novu opremu i proširiti proizvodne površine.

U konkretnom primjeru polazit ćemo od činjenice da su ukupni troškovi (troškovi) proizvodnje proizvoda u količini at proizvodi su izraženi formulom

C(y) = 1000 + 20 y+ 0,1 y 2 (hiljadu rubalja).

To znači da su fiksni troškovi

C 0 = 1000 (t. rub.),

proporcionalni troškovi

C 1 = 20 y,

one. generalizovani pokazatelj ovih troškova po proizvodu jednak je: A= 20 hiljada rubalja, a nelinearni troškovi će biti C 2 = 0,1 y 2 (b= 0,1).

Gornja formula za troškove je poseban slučaj opšte formule, gde je indikator h= 2.

Da bismo pronašli optimalni obim proizvodnje, koristimo formulu za maksimalnu tačku profita (*), prema kojoj imamo:

Sasvim je očigledno da je obim proizvodnje pri kojem se ostvaruje maksimalni profit vrlo značajno određen tržišnom cijenom proizvoda str.

U tabeli Na slici 1 prikazani su rezultati izračunavanja optimalnih količina za različite vrijednosti cijena od 40 do 60 hiljada rubalja po proizvodu.

Prva kolona tabele prikazuje moguće količine izlaza at, druga kolona sadrži podatke o ukupnim troškovima WITH(at), treća kolona prikazuje cijenu po proizvodu:

Tabela 1

Podaci o obima proizvodnje, troškovima i dobiti

Obim i troškovi	Cijene i profit





	0

		210

			440

Nastavak tabele 1
				1250

					1890

						3000

Četvrta kolona karakterizira vrijednosti gore navedenih graničnih troškova GOSPOĐA, koji pokazuju koliko košta proizvodnja jednog dodatnog proizvoda u datoj situaciji. Lako je uočiti da se granični troškovi povećavaju kako proizvodnja raste, što je u dobrom skladu sa stavom izraženim na početku ovog paragrafa. Prilikom razmatranja tabele treba obratiti pažnju na činjenicu da se optimalni volumeni nalaze tačno na preseku linije (granični troškovi GOSPOĐA) i stupac (cijena p) sa njihovim jednakim vrijednostima, što je sasvim uredno u korelaciji sa gore utvrđenim pravilom optimalnosti.

Navedena analiza odnosi se na situaciju savršene konkurencije, kada proizvođač ne može svojim djelovanjem utjecati na sistem cijena, a samim tim i na cijenu. str za robu y djeluje u modelu proizvođača kao egzogena veličina.

U slučaju nesavršene konkurencije, proizvođač može direktno uticati na cijenu. Ovo se posebno odnosi na monopolskog proizvođača proizvoda, koji određuje cijenu na osnovu razumne profitabilnosti.

Zamislite firmu s linearnom funkcijom troškova koja postavlja svoju cijenu tako da profit bude određeni postotak (udio 0

Odavde imamo

Bruto prihod

i proizvodnja pauze, počevši od najmanjih obima proizvodnje ( y w 0). Lako je vidjeti da cijena zavisi od obima, tj. str= str(y), a sa povećanjem obima proizvodnje ( at) cijena proizvoda se smanjuje, tj. p"(y)

Zahtjev za maksimiziranje profita za monopolistu ima oblik

Uz pretpostavku kao i ranije da je >0, imamo jednačinu za pronalaženje optimalnog izlaza ():

Korisno je napomenuti da optimalni učinak monopoliste () obično ne prelazi optimalni učinak konkurentskog proizvođača u formuli označenoj zvjezdicom.

Realniji (ali i jednostavniji) model firme koristi se za uzimanje u obzir ograničenja resursa, koja igraju veoma veliku ulogu u ekonomskim aktivnostima proizvođača. Model izdvaja jedan od najoskudnijih resursa (radna sredstva, osnovna sredstva, rijetki materijali, energija, itd.) i pretpostavlja da kompanija ne može koristiti više od Q. Kompanija može proizvoditi n razni proizvodi. Neka y 1 , ..., y j , ..., y n potrebne količine proizvodnje ovih proizvoda; str 1 , ..., str j , ..., str n njihove cijene. Neka takođe q jedinična cijena oskudnog resursa. Tada je bruto prihod firme

a profit će biti

Lako je vidjeti da je to fiksno q I Q problem maksimizacije profita se transformiše u problem maksimizacije bruto dohotka.

Pretpostavimo dalje da je funkcija troškova resursa za svaki proizvod C j (y j) ima ista svojstva koja su gore navedena za funkciju WITH(at). dakle, C j " (y j) > 0 i C j "" (y j) > 0.

U konačnom obliku, model optimalnog ponašanja firme sa jednim ograničenim resursom je sledeći:

Lako je vidjeti da se u prilično općenitom slučaju rješenje za ovaj problem optimizacije nalazi proučavanjem sistema jednačina:

Imajte na umu da optimalan izbor firme zavisi od celokupnog skupa cena proizvoda ( str 1 , ..., str n), a ovaj izbor je homogena funkcija cjenovnog sistema, tj. Kada se cijene mijenjaju istovremeno za isti broj puta, optimalni rezultati se ne mijenjaju. Također je lako vidjeti da iz jednačina označenih zvjezdicom (***) proizlazi da povećanjem cijene proizvoda n(uz stalne cijene za ostale proizvode), njenu proizvodnju treba povećati kako bi se ostvarila maksimalna dobit, jer

a proizvodnja ostalih dobara će se smanjiti, pošto

Ovi odnosi zajedno pokazuju da su u ovom modelu svi proizvodi konkurentni. Formula (***) takođe implicira očiglednu relaciju

one. sa povećanjem obima resursa (kapitalne investicije, rad, itd.), raste optimalan output.

Možete navesti niz jednostavnih primjera koji će vam pomoći da bolje shvatite pravilo optimalnog izbora kompanije po principu maksimalnog profita:

1) neka n = 2; str 1 = str 2 = 1; a 1 = a 2 = 1; Q = 0,5; q = 0,5.

Tada od (***) imamo:

0,5; = 0,5; P = 0,75; = 1;

2) neka sada svi uslovi ostanu isti, ali cijena za prvi proizvod se udvostručila: str 1 = 2.

Tada optimalni profitni plan kompanije: = 0,6325; = 0,3162.

Očekivani maksimalni profit se značajno povećava: P = 1,3312; = 1,58;

3) primetiti da u prethodnom primeru 2 preduzeće mora da promeni obim proizvodnje, povećavajući proizvodnju prvog proizvoda i smanjujući proizvodnju drugog proizvoda. Pretpostavimo, međutim, da kompanija ne teži maksimalnom profitu i da neće mijenjati uspostavljenu proizvodnju, tj. izaberite program y 1 = 0,5; y 2 = 0,5.

Ispada da će u ovom slučaju profit biti P = 1,25. To znači da kada cijene rastu na tržištu, firma može postići značajno povećanje profita bez promjene plana proizvodnje.

3.2 Metode obračuna naučnog i tehnološkog napretka

Trebalo bi se smatrati opšteprihvaćenim da tokom vremena, u preduzeću koje održava fiksni broj zaposlenih i konstantan obim osnovnih sredstava, proizvodnja raste. To znači da pored uobičajenih faktora proizvodnje koji su povezani sa utroškom resursa, postoji faktor koji se obično naziva naučni i tehnološki napredak (NTP). Ovaj faktor se može smatrati sintetičkom karakteristikom koja odražava zajednički uticaj na ekonomski rast mnogih značajnih pojava, među kojima treba istaći sljedeće:

a) poboljšanje kvaliteta radne snage tokom vremena zbog povećanja kvalifikacija radnika i njihovog ovladavanja metodama korišćenja naprednije tehnologije;

b) poboljšanje kvaliteta mašina i opreme dovodi do toga da određeni iznos kapitalnih ulaganja (po stalnim cijenama) omogućava, tokom vremena, kupovinu efikasnije mašine;

c) unapređenje mnogih aspekata organizacije proizvodnje, uključujući nabavku i prodaju, bankarsko poslovanje i druga međusobna plaćanja, razvoj informacione baze, formiranje raznih vrsta udruženja, razvoj međunarodne specijalizacije i trgovine itd.

U tom smislu, pojam naučno-tehnološkog progresa može se tumačiti kao ukupnost svih pojava koje uz fiksne količine utrošenih faktora proizvodnje omogućavaju povećanje proizvodnje visokokvalitetnih, konkurentnih proizvoda. Veoma nejasna priroda ove definicije dovodi do toga da se proučavanje uticaja naučno-tehničkog progresa sprovodi samo kao analiza onog dodatnog povećanja proizvodnje koje se ne može objasniti čisto kvantitativnim povećanjem proizvodnih faktora. Glavni pristup obračuna naučnog i tehničkog napretka svodi se na to da se vrijeme unosi u skup karakteristika outputa ili troškova ( t) kao nezavisni faktor proizvodnje i razmatra transformaciju tokom vremena bilo proizvodne funkcije ili tehnološkog skupa.

Zaustavimo se na metodama obračuna naučnog i tehničkog napretka transformacijom proizvodne funkcije, a za osnovu ćemo uzeti dvofaktorsku proizvodnu funkciju:

gde su faktori proizvodnje kapital ( TO) i rad ( L). Modificirana proizvodna funkcija u općem slučaju ima oblik

i uslov je zadovoljen

što odražava činjenicu rasta proizvodnje tokom vremena uz fiksne troškove rada i kapitala.

Prilikom razvijanja specifičnih modificiranih proizvodnih funkcija, one obično nastoje odraziti prirodu naučnog i tehničkog napretka u posmatranoj situaciji. U ovom slučaju razlikuju se četiri slučaja:

a) značajno poboljšanje kvaliteta radne snage tokom vremena omogućava postizanje istih rezultata sa manjim brojem zaposlenih; Ovaj vid naučno-tehničkog napretka često se naziva uštedom rada. Modificirana proizvodna funkcija ima oblik gdje je monotona funkcija l(t) karakteriše rast produktivnosti rada;

Rice. 11. Rast proizvodnje tokom vremena uz fiksne troškove rada i kapitala

b) primarnim poboljšanjem kvaliteta mašina i opreme povećava se kapitalna produktivnost, ostvaruje se naučni i tehnički napredak koji štedi kapital i odgovarajuća proizvodna funkcija:

gdje je rastuća funkcija k(t) odražava promjene u kapitalnoj produktivnosti;

c) ako postoji značajan uticaj oba navedena fenomena, onda se koristi proizvodna funkcija u obliku

d) ako nije moguće identifikovati uticaj naučnog i tehničkog napretka na faktore proizvodnje, onda se proizvodna funkcija primenjuje u obliku

Gdje a(t) rastuća funkcija koja izražava rast proizvodnje pri konstantnim vrijednostima faktorskih troškova. Za proučavanje svojstava i karakteristika naučnog i tehnološkog napretka koriste se određene veze između proizvodnih rezultata i faktorskih troškova. To uključuje:

a) prosječna produktivnost rada

B) prosječna kapitalna produktivnost

c) omjer kapitala i rada zaposlenih

d) jednakost između nivoa plata i granične (granične) produktivnosti rada

e) jednakost između granične produktivnosti kapitala i bankarske kamatne stope

Kažu da je NTP neutralan ako ne mijenja određene odnose između datih veličina tokom vremena.

1) napredak se naziva Hiksov neutralan ako odnos između omjera kapitala i rada ostane nepromijenjen tokom vremena ( x) i granična stopa supstitucije faktora ( w/r). Konkretno, ako w/r=const, onda zamjena rada kapitalom i obrnuto neće donijeti nikakvu korist i odnos kapitala i rada x=K/L takođe će ostati konstantan. Može se pokazati da u ovom slučaju modificirana proizvodna funkcija ima oblik

a Hiksova neutralnost je ekvivalentna uticaju naučnog i tehničkog napretka o kojem je gore diskutovano direktno na proizvodnju proizvoda. U situaciji koja se razmatra, izokvanta se s vremenom pomiče naniže ulijevo transformacijom sličnosti, tj. ostaje potpuno istog oblika kao u prvobitnom položaju;

2) napredak se naziva neutralnim prema Harrodu ako se tokom razmatranog perioda bankarska kamatna stopa ( r) zavisi samo od kapitalne produktivnosti ( k), tj. na njega ne utiče NTP. To znači da je maksimalni prinos na kapital postavljen na nivou kamatne stope i dalje povećanje kapitala je nepraktično. Može se pokazati da ova vrsta naučno-tehničkog progresa odgovara proizvodnoj funkciji

one. tehnološki napredak štedi radnu snagu;

3) napredak je neutralan po Solowu ako jednakost između nivoa plata ostane nepromijenjena ( w) i marginalne produktivnosti rada i dalje povećanje troškova rada je neisplativo. Može se pokazati da u ovom slučaju proizvodna funkcija ima oblik

one. Pokazalo se da NTP štedi sredstva. Damo grafički prikaz tri tipa naučno-tehničkog progresa na primjeru linearne proizvodne funkcije

U slučaju Hicks neutralnosti, imamo modificiranu proizvodnu funkciju

Gdje a(t) povećanje funkcije t. To znači da je tokom vremena izokvanta Q(odsječak linije AB) se pomiče u ishodište paralelnim prevođenjem (slika 12) na poziciju A 1 B 1 .

U slučaju Harrodove neutralnosti, modificirana proizvodna funkcija ima oblik

Gdje l(t) povećanje funkcije.

Očigledno je da je s vremenom poenta A ostaje na svom mestu i izokvanta se pomera ka nultu rotacijom u poziciju AB 1 (Sl. 13).

Za Solow-neutralni napredak, odgovarajuća modificirana proizvodna funkcija

Gdje k(t) rastuća funkcija. Izokvanta je pomaknuta prema ishodištu, ali tački IN ne pomera se i rotira u položaj A 1 B(Sl. 14).

Rice. 12. Izokvantni pomak na neutralnom NTP prema Hicksu

Rice. 13. Izokvantni pomak sa naučnim i tehničkim napretkom koji štedi rad

Rice. 14. Izokvantni pomak pod NTP koji štedi sredstva

Prilikom izrade proizvodnih modela uzimajući u obzir naučni i tehnički napredak, uglavnom se koriste sljedeći pristupi:

a) ideja egzogenog (ili autonomnog) tehničkog napretka, koja postoji iu slučaju kada se glavni proizvodni faktori ne mijenjaju. Poseban slučaj takvog NTP-a je Hicksian neutralni napredak, koji se obično uzima u obzir korištenjem eksponencijalnog množitelja, na primjer:

Ovdje l > 0 karakterizira stopu naučnog i tehnološkog napretka. Lako je uočiti da vrijeme ovdje djeluje kao samostalan faktor rasta proizvodnje, ali to stvara utisak da se naučno-tehnički napredak odvija sam, bez dodatnih troškova rada i kapitalnih ulaganja;

b) ideja tehničkog napretka, oličena u kapitalu, povezuje rast uticaja naučno-tehničkog napretka sa rastom kapitalnih ulaganja. Da bi se formalizirao ovaj pristup, Solow-neutralni model napretka je uzet kao osnova:

koji je napisan u formi

Gdje K 0 osnovna sredstva na početku perioda, D K akumulacija kapitala tokom perioda jednakog uloženom iznosu.

Očigledno, ako se ne investira, onda D K= 0, i nema povećanja proizvodnje zbog naučnog i tehničkog napretka;

c) pristupi modeliranju NTP-a o kojima se govorilo imaju zajedničku karakteristiku: napredak djeluje kao egzogeno data vrijednost koja utiče na produktivnost rada ili kapitalnu produktivnost i na taj način utiče na ekonomski rast.

Međutim, dugoročno gledano, naučno-tehnički napredak je i rezultat razvoja i, u velikoj mjeri, njegov uzrok. Zato što je ekonomski razvoj taj koji omogućava bogatim društvima da finansiraju stvaranje novih vrsta tehnologije, a zatim ubiru prednosti naučne i tehnološke revolucije. Stoga je sasvim legitimno pristupiti NTP-u kao endogenom fenomenu uzrokovanom (induciranom) ekonomskim rastom.

Postoje dva glavna pravca za modeliranje naučnog i tehničkog napretka:

1) model indukovanog napretka je zasnovan na formuli

Štaviše, pretpostavlja se da društvo može raspodijeliti investicije namijenjene naučnom i tehnološkom napretku u različite smjerove. Na primjer, između rasta kapitalne produktivnosti ( k(t)) (poboljšanje kvaliteta mašina) i povećanje produktivnosti rada ( l(t)) (poboljšanje kvalifikacija radnika) ili izbor najboljeg (optimalnog) pravca tehničkog razvoja za dati obim dodijeljenih kapitalnih ulaganja;

2) model procesa učenja tokom proizvodnje, koji je predložio K. Arrow, zasniva se na uočenoj činjenici međusobnog uticaja rasta produktivnosti rada i broja novih pronalazaka. Tokom proizvodnje radnici stiču iskustvo, a vrijeme izrade proizvoda se smanjuje, tj. Produktivnost rada i sam input rada zavise od obima proizvodnje

Zauzvrat, rast faktora rada, prema proizvodnoj funkciji

dovodi do povećanja proizvodnje. Najjednostavnija verzija modela koristi formule:

one. povećava se kapitalna produktivnost.

ZAKLJUČAK

Tako sam u ovom predmetnom radu ispitao mnoge važne i zanimljive činjenice iz svog ugla. Utvrđeno je, na primjer, da je proizvodna funkcija matematički odnos između maksimalnog obima proizvodnje u jedinici vremena i kombinacije faktora koji ga stvaraju, s obzirom na postojeći nivo znanja i tehnologije. U teoriji proizvodnje uglavnom koriste dvofaktorsku proizvodnu funkciju, koja općenito izgleda ovako: Q = f(K,L), gdje je Q obim proizvodnje; K - kapital; L – rad. Pitanje odnosa između troškova faktora proizvodnje koji se međusobno zamjenjuju rješava se korištenjem koncepta kao što je elastičnost supstitucije faktora proizvodnje. Elastičnost supstitucije je odnos troškova faktora proizvodnje koji se međusobno zamenjuju sa konstantnim obimom proizvodnje. Ovo je svojevrsni koeficijent koji pokazuje stepen efikasnosti zamjene jednog faktora proizvodnje drugim. Mjera zamjenjivosti faktora proizvodnje je granična stopa tehničke supstitucije MRTS, koja pokazuje koliko jedinica se jedan od faktora može smanjiti povećanjem drugog faktora za jedan, zadržavajući proizvodnju nepromijenjenom. Graničnu stopu tehničke zamjene karakterizira nagib izokvanti. MRTS se izražava formulom: Izokvanta je kriva koja predstavlja sve moguće kombinacije dvaju troškova koji obezbeđuju datu konstantnu količinu proizvodnje. Sredstva su obično ograničena. Dakle, optimalna kombinacija faktora za određeno preduzeće je opšte rešenje izokvantne jednačine.

Bibliografija:

Grebennikov P.I. i drugi. Sankt Peterburg, 1996.

Galperin V.M., Ignatiev S.M., Morgunov V.I. Mikroekonomija: U 2 toma - Sankt Peterburg: Ekonomska škola, 2002.T.1. - 349 str.

Nurejev R.M. Osnove ekonomske teorije: mikroekonomija - M., 1996.

Ekonomska teorija: Udžbenik za univerzitete / Ed. Nikolaeva I.P. – M.: Finanstatinform, 2002. – 399 str.

Barrova politička ekonomija. U 2 toma - M., 1994.

Pindyck R., Rubinfeld D. Mikroekonomija - M., 1992.

Bemorner Thomas. Upravljanje preduzećima. // Problemi teorije i prakse menadžmenta, 2001, br

Varian H.R. Mikroekonomija. Udžbenik za univerzitete - M., 1997.

Dolan E.J., Lindsay D.E. Mikroekonomija - Sankt Peterburg: Peter, 2004. - 415 str.

Mankiw N.G. Principi ekonomije. - Sankt Peterburg, 1999.

Fischer S., Dornbusch R., Shmalenzi R. Ekonomija - M., 1993.

Frolova N.L., Čekanski A.N. Mikroekonomija - M.: TEIS, 2002. - 312 str.

Priroda kompanije / Ed. Williamson O.I., Winter S.J. - M.: Norma, 2001. - 298 str.

Ekonomska teorija: Udžbenik za studente. viši udžbenik institucije / priredio V.D. Kamaev 1. izd. prerađeno i dodatne – M.: Humanitarno-izdavački centar VLADOS, 2003. – 614 str.

Golubkov E.P. Proučavanje konkurenata i sticanje prednosti u konkurenciji // Marketing u Rusiji i inostranstvu.-1999, br. 2

Lyubimov L.L., Ranneva N.A. Osnove ekonomskog znanja – M.: “Vita-Press”, 2002. – 496 str.

Zuev G.M., Zh.V. Samokhvalova Ekonomske i matematičke metode i modeli. Međuindustrijska analiza. - Rast N/A: “Feniks”, 2002. – 345 str.

Frolova N.L., Čekanski A.N. Mikroekonomija - M.: TEIS, 2002.

Chechevitsyna L.N. Mikroekonomija. Ekonomija preduzeća (firme) – Rast N/A: “Feniks”, 2003. – 200 str.

Volsky A. Uvjeti za poboljšanje ekonomskog upravljanja // Economist. – 2001, br. 9

Milgrom D.A. Procjena konkurentnosti ekonomskih tehnologija // Marketing u Rusiji i inostranstvu, 1999, br. 2. - str. 44-57 proizvodnja. funkcija kompanije je karta izokvanti sa različitim nivoima...

Proizvodnja funkcija i tehnološke produktivnosti proizvodnje
Pravo >> Ekonomska teorija
Za relativno male količine izlaza proizvodnja funkcija kompanije koju karakteriše povećanje povrata na obim... za svaku specifičnu kombinaciju faktora proizvodnje. Proizvodnja funkcija kompanije može biti predstavljen nizom izokvanti...
Proizvodnja funkcija, svojstva, elastičnost
Sažetak >> Matematika
... proizvodnja funkcije i glavne karakteristike proizvodnja funkcije……………………………………………………..19 Poglavlje II. Vrste proizvodnja funkcije……………………………..23 2.1. Definicija linearno homogenog proizvodnja funkcije ...
Teorija granične produktivnosti faktora proizvodnje. Proizvodnja funkcija
Sažetak >> Ekonomija
Metode proizvodnje dostupne za ovo kompanija, koriste ekonomisti proizvodnja funkcija kompanije.2 Njen koncept je razvijen..., relativno malo kapitala i mnogo rada.1 Proizvodnja funkcija kompanije, kao što je već rečeno, pokazuje...

Zavisnost količine proizvedene robe od odgovarajućih faktora proizvodnje uz pomoć kojih se proizvodi. Pogledajmo ovaj koncept detaljnije.

Proizvodna funkcija uvijek ima specifičan oblik, jer je namijenjena određenoj tehnologiji. Uvođenje novih tehnoloških dostignuća povlači promjenu ili stvaranje nove vrste ovisnosti.

Ova funkcija se koristi za pronalaženje optimalnog (minimalnog) iznosa troškova koji su neophodni za proizvodnju određenog broja roba. Sve proizvodne funkcije, bez obzira na to što izražavaju, odlikuju se sljedećim općim svojstvima:

Rast obima proizvedene robe zbog samo jednog faktora (resursa) ima konačnu granicu (samo određeni broj radnika može normalno raditi u jednoj prostoriji, jer je broj mjesta ograničen po površini);

Faktori proizvodnje mogu biti zamjenjivi i komplementarni (radnici i alati).

U svom najopćenitijem obliku, proizvodna funkcija izgleda ovako:

Q = f (K, L, M, T, N), u ovoj formuli

Q je količina proizvedene robe;

K - oprema (kapital);

M - troškovi materijala i sirovina;

T - korištene tehnologije;

N - preduzetničke sposobnosti.

Vrste proizvodnih funkcija

Postoji mnogo vrsta ove zavisnosti, koje uzimaju u obzir uticaj jednog ili nekoliko najvažnijih faktora. Međutim, najpoznatije su dvije glavne vrste proizvodnih funkcija: dvofaktorski model oblika Q = f (L; K) i Cobb-Douglasova funkcija.

Dvofaktorski model Q = f (L; K)

Ovaj model razmatra zavisnost outputa (Q) od (L) i kapitala (L). Često se za analizu ovog modela koristi grupa izokvanti. Izokvanta je kriva koja povezuje sve moguće kombinovane tačke koje omogućavaju proizvodnju određene količine robe. X-osa obično prikazuje troškove rada, a Y-osa obično prikazuje kapitalne troškove. Na istom grafikonu je ucrtano nekoliko izokvanti, od kojih svaka odgovara određenom obimu proizvodnje kada se koristi određena tehnologija. Rezultat je mapa izokvanti sa različitim količinama proizvedene robe. To će biti proizvodna funkcija za ovo preduzeće.

Izokvante imaju sljedeća opšta svojstva:

Konkavni i silazni tip izokvante nastaje zbog činjenice da smanjenje upotrebe kapitala uz stabilan obim proizvedenih dobara uzrokuje povećanje troškova rada;

Konkavni oblik krivulje izokvante zavisi od maksimalno dozvoljene stope tehnološke supstitucije (iznos kapitala koji može da zameni 1 dodatnu jedinicu rada).

Cobb-Douglas funkcija

Ova proizvodna funkcija, nazvana po dva američka otkrića, gdje ukupni volumen proizvodnje Y ovisi o resursima koji se koriste u proizvodnom procesu, na primjer, rad L i kapital K. Njena formula je:

gdje su α i b konstante (α>0 i b>0);

K i L su kapital i rad, respektivno.

Ako je zbroj konstanti α i b jednak jedan, onda je općenito prihvaćeno da takva funkcija ima proizvodnu konstantu. Ako se parametri K i L pomnože sa bilo kojim koeficijentom, onda se Y također mora pomnožiti istim koeficijentom.

Cobb-Douglasov model se može primijeniti na bilo koju pojedinačnu kompaniju. U ovom slučaju, α je udio ukupnih troškova koji idu na kapital, a β je udio koji ide na rad. Cobb-Douglas modeli također mogu sadržavati više od dvije varijable. Na primjer, ako je N onda proizvodna funkcija ima oblik Y=AKαLβNγ, gdje je γ konstanta (γ>0), a α + β +γ = 1.

Uvod

1. Koncept proizvodnje i proizvodnih funkcija

2. Vrste i vrste proizvodnih funkcija

2.1 Izokvanta i njeni tipovi

2.2 Optimalna kombinacija resursa

2.3 Rečenične funkcije i njihova svojstva

3. Praktična primjena proizvodne funkcije

3.1 Modeliranje troškova i dobiti preduzeća (firme)

3.2 Metode obračuna naučnog i tehnološkog napretka

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Odabrao sam temu “Suština, modeli, granice primjene metode proizvodne funkcije.” Ova tema je relevantna jer nam ova metoda omogućava da odgovorimo na glavno pitanje sa kojim se suočavaju ekonomisti preduzeća i poduzetnici - „Šta će se dogoditi ako...“. Zahvaljujući ovoj metodi možemo napraviti kalkulacije za ostvarivanje mogućeg profita pod različitim uslovima i shvatiti kakav profit možemo dobiti - od zagarantovanog minimuma do mogućeg maksimuma, bez provođenja eksperimenata u realnom vremenu i bez rizika za naše finansije .

Šta je proizvodna funkcija? Okrenimo se Yandex rječniku i dobićemo sljedeće:

PROIZVODNA FUNKCIJA (PF) (isto: proizvodna funkcija) je ekonomsko-matematička jednačina koja povezuje varijabilne vrijednosti troškova (resursa) sa vrijednostima proizvodnje (outputa). PF se koriste za analizu uticaja različitih kombinacija faktora na obim proizvodnje u određenom trenutku (statička verzija PF) i za analizu i predviđanje omjera volumena faktora i obima proizvodnje u različitim tačkama u vrijeme (dinamička verzija PF) na različitim nivoima privrede - od firme (preduzeća) do nacionalne ekonomije u cjelini (agregirani PF, u kojem je output pokazatelj ukupnog društvenog proizvoda ili nacionalnog dohotka, itd.). U pojedinačnoj firmi, korporaciji, itd., PF opisuje maksimalan učinak koji su u stanju da proizvedu za svaku kombinaciju faktora proizvodnje koji se koriste. Može se predstaviti mnogim izokvanti povezanim sa različitim nivoima izlaza.

Ova vrsta PF, kada se uspostavi eksplicitna zavisnost obima proizvodnje od raspoloživosti ili potrošnje resursa, naziva se izlazna funkcija.

Konkretno, izlazne funkcije se široko koriste u poljoprivredi, gdje se koriste za proučavanje utjecaja faktora na prinos kao što su, na primjer, različite vrste i sastavi đubriva i metode obrade tla. Uz slične PF, koriste se funkcije troškova proizvodnje inverzne njima. Oni karakterišu zavisnost troškova resursa od obima proizvodnje (strogo govoreći, oni su inverzni samo u odnosu na PF sa zamenljivim resursima). Posebni slučajevi PF mogu se smatrati funkcijom troškova (odnos između obima proizvodnje i troškova proizvodnje), investicionom funkcijom (ovisnost potrebnih kapitalnih ulaganja od proizvodnog kapaciteta budućeg preduzeća) itd.

Matematički, PF se mogu predstaviti u različitim oblicima - od jednostavnih kao što je linearna zavisnost proizvodnog rezultata od jednog faktora koji se proučava, do veoma složenih sistema jednačina, uključujući rekurentne relacije koje povezuju stanja objekta koji se proučava u različitim periodima vrijeme.

Najšire korišteni su multiplikativni oblici snage reprezentacije PF-a. Njihova posebnost je sljedeća: ako je jedan od faktora jednak nuli, onda rezultat postaje nula. Lako je vidjeti da to realno odražava činjenicu da su u većini slučajeva svi analizirani primarni resursi uključeni u proizvodnju i bez ijednog od njih proizvodnja je nemoguća. U svom najopćenitijem obliku (koji se zove kanonska), ova funkcija se piše na sljedeći način:

Ovdje koeficijent A prije znaka množenja uzima u obzir dimenziju koja ovisi o odabranoj jedinici mjerenja ulaza i izlaza. Faktori od prvog do n-og mogu imati različit sadržaj u zavisnosti od toga koji faktori utiču na ukupni rezultat (output). Na primjer, u PF, koji se koristi za proučavanje privrede u cjelini, moguće je uzeti obim finalnog proizvoda kao efektivni indikator, a faktori su broj zaposlenog stanovništva x 1, zbir fiksnih i obrtni kapital x 2, površina korišćenog zemljišta x 3. U Cobb-Douglas funkciji postoje samo dva faktora uz pomoć kojih se pokušalo procijeniti odnos faktora kao što su rad i kapital sa rastom nacionalnog dohotka SAD u 20-30-im godinama. XX vijek:

N = A L α K β,

gdje je N nacionalni dohodak; L i K su zapremine primenjenog rada i kapitala, respektivno.

Koeficijenti snage (parametri) multiplikativnog PF-a pokazuju udio u procentu povećanja finalnog proizvoda kojem svaki od faktora doprinosi (ili za koliko posto će se proizvod povećati ako se troškovi odgovarajućeg resursa povećaju za jedan posto). ); oni su koeficijenti elastičnosti proizvodnje u odnosu na troškove odgovarajućeg resursa. Ako je zbir koeficijenata 1, to znači da je funkcija homogena: povećava se proporcionalno povećanju broja resursa. Ali mogući su i slučajevi kada je zbir parametara veći ili manji od jedan; ovo pokazuje da povećanje inputa dovodi do nesrazmjerno većeg ili nesrazmjerno manjeg povećanja outputa (ekonomija obima).

U dinamičkoj verziji koriste se različiti oblici PF-a. Na primjer, (u slučaju 2 faktora): Y(t) = A(t) L α (t) K β (t), gdje se faktor A(t) obično povećava tokom vremena, odražavajući opći porast efikasnost proizvodnih faktora tokom vremena.

Dalja „dinamizacija“ PF-a može uključivati korištenje promjenjivih koeficijenata elastičnosti.

Odnosi koje opisuje PF su statističke prirode, odnosno pojavljuju se samo u prosjeku, u velikoj masi opservacija, budući da u stvarnosti na proizvodni rezultat ne utiču samo analizirani faktori, već i mnogi neuračunati. Osim toga, primijenjeni indikatori i troškova i rezultata su neizbježno proizvodi složene agregacije (na primjer, generalizovani indikator troškova rada u makroekonomskoj funkciji uključuje troškove rada različite produktivnosti, intenziteta, kvalifikacija itd.).

Poseban problem predstavlja uzimanje u obzir faktora tehničkog napretka u makroekonomskim PF (detaljnije vidjeti u članku „Naučno-tehnološki napredak“). Uz pomoć PF-a, proučava se i ekvivalentna zamjenjivost faktora proizvodnje (vidi Elastičnost supstitucije resursa), koja može biti konstantna ili promjenjiva (tj. ovisi o obimu resursa). Shodno tome, funkcije se dijele na dva tipa: sa konstantnom elastičnošću zamjene (CES - Konstantna elastičnost zamjene) i sa varijabilnom (VES - Variable Elasticity of Substitution) (vidi dolje).

U praksi se koriste tri glavne metode za određivanje parametara makroekonomskih PF: na osnovu obrade vremenskih serija, na osnovu podataka o strukturnim elementima agregata i na distribuciji nacionalnog dohotka. Posljednja metoda se zove distributivna.

Prilikom konstruisanja PF-a potrebno je osloboditi se fenomena multikolinearnosti parametara i autokorelacije – u suprotnom su neizbježne grube greške.

Predstavimo neke važne PF-ove (vidi također Cobb-Douglasovu funkciju).

Linearni p.f.:

P = a 1 x 1 + ... + a n x n,

gdje su a 1, ..., a n procijenjeni parametri modela: ovdje se faktori proizvodnje zamjenjuju u bilo kojoj proporciji.

CES funkcija:

P = A [(1 – α) K -b + αL -b ] -c/b ,

u ovom slučaju, elastičnost supstitucije resursa ne zavisi ni od K ni od L i stoga je konstantna:

Odatle dolazi naziv funkcije.

1. Koncept proizvodnje i proizvodnih funkcija

Proizvodnja se odnosi na bilo koju aktivnost koja uključuje korištenje prirodnih, materijalnih, tehničkih i intelektualnih resursa za sticanje materijalnih i nematerijalnih koristi.

Y= f(K, L).

Uprkos činjenici da se pojam proizvodnje može činiti veoma širokim, nejasno izraženim, pa čak i nejasnim, jer se u stvarnom životu proizvodnja podrazumeva kao preduzeće, gradilište, poljoprivredno gazdinstvo, transportno preduzeće i veoma velika organizacija kao što je npr. grana nacionalne ekonomije, međutim, ekonomsko-matematičko modeliranje ističe nešto zajedničko svim ovim objektima. Ova uobičajena stvar je proces pretvaranja primarnih resursa (proizvodnih faktora) u krajnje rezultate procesa. Stoga, glavni početni koncept u opisu ekonomskog objekta postaje tehnološki metod, koji se obično predstavlja kao vektor v troškovi proizvodnje, što uključuje prijenos količine utrošenih resursa (vektor x) i informacije o rezultatima njihove transformacije u finalne proizvode ili drugim karakteristikama (profit, profitabilnost, itd.) (vektorski y):

v= (x; y).

Dimenzija vektora x I y, kao i metode njihovog mjerenja (u prirodnim ili troškovnim jedinicama) značajno zavise od problema koji se proučava, od nivoa na kojem se postavljaju određeni zadaci ekonomskog planiranja i upravljanja. Skup vektora tehnoloških metoda koji mogu poslužiti kao opis (sa prihvatljivom tačnošću sa stanovišta istraživača) proizvodnog procesa koji je stvarno izvodljiv na određenom objektu naziva se tehnološkim skupom. V ovog objekta. Da budemo konkretni, pretpostavićemo da je dimenzija vektora troškova x jednak N i vektor oslobađanja y respektivno M. Dakle, tehnološka metoda v je vektor dimenzije ( M+ N), i tehnološka raznolikost Među svim tehnološkim metodama koje su izvodljive u objektu, posebno mjesto zauzimaju metode koje su povoljnije u odnosu na sve ostale po tome što zahtijevaju ili manje troškove za isti učinak, ili odgovaraju većem outputu za iste troškove. Oni od njih koji zauzimaju, u određenom smislu, graničnu poziciju u skupu V, su od posebnog interesa jer predstavljaju opis izvodljivog i marginalno isplativog stvarnog proizvodnog procesa.

Recimo da je vektor poželjniji od naznačenog vektora ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

i dogodi se barem jedna od dvije stvari:

a) postoji takav broj i 0 šta

b) postoji takav broj j 0 šta

Tehnološki metod se naziva efektivnim ako pripada tehnološkom skupu V i ne postoji drugi vektor koji bi bio poželjniji. Gornja definicija znači da se one metode smatraju efikasnim koje se ne mogu poboljšati u bilo kojoj komponenti troškova ili u bilo kojoj poziciji proizvedenog proizvoda, a da pritom ne prestanu biti prihvatljive. Skup svih tehnološki efikasnih metoda će biti označen sa V*. To je podskup tehnološkog skupa V ili se poklapa sa njim. U suštini, zadatak planiranja ekonomske aktivnosti proizvodnog pogona može se tumačiti kao zadatak odabira efektivne tehnološke metode koja najbolje odgovara određenim eksternim uslovima. Prilikom rješavanja takvog problema izbora, ideja o samoj prirodi tehnološkog skupa pokazuje se vrlo bitnom. V, kao i njegov efektivni podskup V*.

Koristeći koncept efektivnog tehnološkog skupa, proizvodna funkcija (PF) se može definirati kao preslikavanje

y= f(x),

Gdje V*.

Evo vrijednosti y Po pravilu je troškovne prirode, izražavajući obim proizvedenih proizvoda u novčanim iznosima. Argumenti su količine resursa utrošenih prilikom implementacije odgovarajuće efektivne tehnološke metode. Dakle, gornji odnos opisuje granicu tehnološkog skupa V,pošto za dati vektor troškova ( x 1 , ..., x N) proizvode proizvode u količinama većim od y, je nemoguće, a proizvodnja proizvoda u količinama manjim od navedenih odgovara neefikasnoj tehnološkoj metodi. Izraz za proizvodnu funkciju može se koristiti za procjenu efektivnosti metoda upravljanja usvojenog u datom preduzeću. Zapravo, za dati skup resursa moguće je odrediti stvarni učinak i uporediti ga s onim izračunatim od strane proizvodne funkcije. Rezultirajuća razlika pruža koristan materijal za procjenu efikasnosti u apsolutnom i relativnom smislu.

jer se za njih lako rješava problem procjene koeficijenata iz statističkih podataka, kao i funkcija stepena

za koje se zadatak nalaženja parametara svodi na procjenu linearnog oblika prelaskom na logaritme.

Pod pretpostavkom da je proizvodna funkcija diferencibilna u svakoj tački skupa X moguće kombinacije utrošenih resursa, korisno je razmotriti neke količine povezane sa PF.

Konkretno, diferencijal

predstavlja promjenu cijene autputa pri prelasku sa troškova skupa resursa x= (x 1 , ..., x N) za postavljanje x+ dx= (x 1 + dx 1 , ..., x N+ dx N) pod uslovom da se zadrži efikasnost odgovarajućih tehnoloških metoda. Zatim vrijednost parcijalnog izvoda

može se tumačiti kao marginalna (diferencijalna) produktivnost resursa ili, drugim riječima, koeficijent granične produktivnosti, koji pokazuje za koliko će se proizvodnja povećati zbog povećanja cijene broja resursa j po maloj jedinici. Vrijednost granične produktivnosti nekog resursa može se tumačiti kao gornja granica cijene p j, koji proizvodni pogon može platiti za dodatnu jedinicu j- taj resurs kako ne bi bio na gubitku nakon njegovog sticanja i korišćenja. Zapravo, očekivano povećanje proizvodnje u ovom slučaju će biti

a samim tim i omjer

omogućiće vam dodatni profit.

Granični proizvod rada može se zapisati kao razlika

MPL= F(K, L+ 1) - F(K, L),

Gdje MPL granični proizvod rada.

Granični proizvod kapitala se takođe može zapisati kao razlika

MPK= F(K+ 1, L) - F(K, L),

Gdje MPK granični proizvod kapitala.

Karakteristika proizvodnog objekta je i vrijednost prosječne produktivnosti resursa (produktivnost proizvodnog faktora)

ima jasan ekonomski smisao količine proizvedenih proizvoda po jedinici upotrebljenog resursa (proizvodni faktor). Recipročna vrijednost efikasnosti resursa

Količnik diferencijalne produktivnosti podijeljen sa prosjekom

naziva se koeficijent elastičnosti proizvoda prema proizvodnom faktoru j i daje izraz za relativno povećanje proizvodnje (u procentima) sa relativnim povećanjem faktorskih troškova za 1%. Ako E j e 0, tada dolazi do apsolutnog smanjenja proizvodnje sa povećanjem potrošnje faktora j; Ova situacija se može dogoditi kada se koriste tehnološki neprikladni proizvodi ili načini rada. Na primjer, prekomjerna potrošnja goriva dovest će do pretjeranog povećanja temperature i hemijska reakcija potrebna za proizvodnju proizvoda neće se dogoditi. Ako je 0< E j e 1, onda svaka naredna dodatna jedinica utrošenog resursa uzrokuje manji dodatni porast proizvodnje od prethodne.

Ako E j> 1, tada vrijednost inkrementalne (diferencijalne) produktivnosti prelazi prosječnu produktivnost. Dakle, dodatna jedinica resursa povećava ne samo obim proizvodnje, već i prosječnu karakteristiku efikasnosti resursa. Dakle, proces povećanja kapitalne produktivnosti nastaje kada se puste u rad veoma progresivne, efikasne mašine i uređaji. Za linearnu proizvodnu funkciju koeficijent a j brojčano jednak vrijednosti diferencijalne produktivnosti j- tog faktora, a za funkciju stepena eksponent a j ima značenje koeficijenta elastičnosti j- taj resurs.

2. Vrste i vrste proizvodnih funkcija

Prilikom modeliranja potražnje potrošača, isti nivo korisnosti različitih kombinacija potrošačkih dobara grafički se prikazuje pomoću krivulje indiferencije.

U ekonomskim i matematičkim modelima proizvodnje, svaka tehnologija može biti grafički predstavljena točkom, čije koordinate odražavaju minimalne potrebne troškove resursa K I L da proizvede datu izlaznu zapreminu. Skup takvih tačaka formira liniju jednakog izlaza, ili izokvanta. Dakle, proizvodna funkcija je grafički predstavljena familijom izokvanti. Što se izokvanta nalazi dalje od izvora, to odražava veći obim proizvodnje. Za razliku od krive indiferencije, svaka izokvanta karakterizira kvantitativno određeni volumen proizvodnje.

Rice. 1. Izokvante koje odgovaraju različitim količinama proizvodnje

Na sl. 1 prikazuje tri izokvante koje odgovaraju zapremini proizvodnje od 200, 300 i 400 jedinica proizvodnje. Možemo reći da je potrebno proizvesti 300 jedinica proizvodnje K 1 jedinica kapitala i L 1 jedinica rada ili K 2 jedinice kapitala i L 2 jedinice rada, ili bilo koja druga njihova kombinacija iz skupa predstavljenog izokvantom Y 2 = 300.

Općenito, u setu X identifikuje se podskup dozvoljenih skupova faktora proizvodnje X c, zvao izokvanta proizvodnu funkciju, koju karakteriše činjenica da je za bilo koji vektor jednakost

Otuda koeficijent ekvivalentne zamjene para faktora j I k jednak:

koji se izračunava duž izokvante na konstantnom nivou troškova ostalih faktora proizvodnje. Vrijednost s jk predstavlja karakteristiku relativne promjene koeficijenta međusobne zamjene resursa kada se promijeni odnos između njih. Ako se omjer zamjenjivih resursa promijeni u s jk posto, zatim koeficijent međusobne zamjene s jk promijenit će se za jedan posto. U slučaju linearne proizvodne funkcije, koeficijent međusobne zamjene ostaje nepromijenjen za bilo koji omjer korištenih resursa i stoga možemo pretpostaviti da je elastičnost s jk= 1. Odgovarajuće velike vrijednosti s jk ukazuju da je moguća veća sloboda u zamjeni proizvodnih faktora duž izokvante, a da će se istovremeno glavne karakteristike proizvodne funkcije (produktivnost, koeficijent razmjene) vrlo malo promijeniti.

Za proizvodne funkcije po stepenu za bilo koji par zamjenjivih resursa, jednakost s jk= 1. U praksi predviđanja i predplanskih proračuna često se koriste funkcije konstantne elastičnosti supstitucije (CES), koje imaju oblik:

Za takvu funkciju koeficijent elastičnosti supstitucije resursa

i ne mijenja se u zavisnosti od obima i omjera utrošenih resursa. Za male vrijednosti s jk resursi mogu zamijeniti jedni druge samo u maloj mjeri, i to u ograničenju na s jk= 0 gube svojstvo zamjenjivosti i pojavljuju se u proizvodnom procesu samo u konstantnom omjeru, tj. su komplementarne. Primjer proizvodne funkcije koja opisuje proizvodnju u uvjetima korištenja komplementarnih resursa je input-output funkcija, koja ima oblik

Gdje a j konstantan odnos efikasnosti resursa j- taj proizvodni faktor. Lako je vidjeti da proizvodna funkcija ovog tipa određuje output na uskom grlu skupa korištenih proizvodnih faktora. Na grafikonu su prikazani različiti slučajevi ponašanja izokvanti proizvodnih funkcija za različite vrijednosti elastičnosti koeficijenata supstitucije (Sl. 2).

Predstavljanje efektivnog tehnološkog skupa korištenjem skalarne proizvodne funkcije je nedovoljno u slučajevima kada je nemoguće proći s jednim indikatorom koji opisuje rezultate aktivnosti proizvodnog pogona, već je potrebno koristiti nekoliko ( M) indikatori izlaza. Pod ovim uslovima može se koristiti funkcija proizvodnje vektora

Rice. 2. Razni slučajevi izokvantnog ponašanja

Važan koncept granične (diferencijalne) produktivnosti uvodi relacija

Slična generalizacija dozvoljava sve druge glavne karakteristike skalarnih PF-ova.

Poput krivulja indiferencije, izokvante se također klasificiraju u različite tipove.

Za linearnu proizvodnu funkciju oblika

Gdje Y obim proizvodnje; A, b 1 , b 2 parametra; K, L troškova kapitala i rada, te potpune zamjene jednog resursa drugim, izokvanta će imati linearni oblik (slika 3).

Za funkciju proizvodnje po stepenu

izokvante će izgledati kao krive (slika 4).

Ako izokvanta odražava samo jednu tehnološku metodu proizvodnje datog proizvoda, tada su rad i kapital kombinovani u jedinoj mogućoj kombinaciji (slika 5).

Rice. 6. Slomljene izokvante

Takve izokvante se ponekad nazivaju izokvante Leontijevskog tipa po američkom ekonomisti V.V. Leontijev, koji je ovu vrstu izokvante stavio kao osnovu za metodu input-outputa koju je razvio.

Slomljena izokvanta pretpostavlja prisustvo ograničenog broja tehnologija F(Sl. 6).

2.2 Optimalna kombinacija resursa

Upotreba aparata proizvodnih funkcija omogućava rješavanje problema optimalnog korištenja sredstava namijenjenih sticanju proizvodnih faktora.

Pretpostavimo da su faktori ( x 1 , ..., x N) mogu se kupiti po cijenama ( str 1 , ..., p N), a iznos raspoloživih sredstava za nabavku je b(rub.). Tada relacija koja opisuje skup dozvoljenih skupova faktora ima oblik

Granična linija ovog skupa, koja odgovara punom korištenju raspoloživih sredstava, tj.

pozvao isocost, budući da odgovara skupovima koji imaju istu cijenu b. Problem optimalnog korišćenja sredstava formuliše se na sledeći način: potrebno je pronaći skup faktora koji daje najveći učinak uz ograničena finansijska sredstva. b. Stoga je potrebno pronaći rješenje problema:

Traženo rješenje se nalazi iz sistema jednačina:

gdje je l Lagrangeov množitelj.

Posebno, ako je broj faktora N= 2, problem omogućava jasnu geometrijsku interpretaciju (slika 7).

Rice. 7. Optimalna kombinacija resursa

Evo jednog segmenta AB postoji krivulja izokosta R izokvanta tangenta na izokostu u tački D, što odgovara optimalnom skupu faktora ().

Korisno je dati kompletno rješenje postavljenog problema za slučaj dva faktora, tj. N= 2.

Neka x 1 = K kapital (stalna sredstva),

x 2 = L radna snaga (radna snaga);

proizvodna funkcija

stanje ograničenja resursa

Gdje r cijena korištenja mašina i opreme (tj. kapitalnih usluga), jednaka kamatnoj stopi banke; w plata.

Uslovi optimalnosti imaju oblik

Ovaj uslov znači da se količina utrošenog kapitala mora uzeti na nivo na kojem je granična produktivnost kapitala ( y/ K) jednaka je kamatnoj stopi; dalje povećanje kapitala će dovesti do smanjenja njegove efikasnosti;

Ovaj uslov zahtijeva da se količina uposlenog rada uzme na nivou gdje je granična produktivnost rada ( y/ L) jednaka je stopi zarada, jer dalje povećanje broja zaposlenih dovodi do gubitaka (tačka na sl. 8).

Rice. 8. Optimalan broj zaposlenih

Ovdje je nagib tangente u tački A jednaki w.

Za Cobb-Douglas tip PF, problem ima oblik

s obzirom na to

Dobijamo sljedeće rješenje

Multiplikator ovdje karakterizira graničnu produktivnost finansijskih sredstava, tj. pokazuje po kojoj vrijednosti D y maksimalni učinak će se promijeniti ako iznos sredstava bće se povećati za malu jedinicu.

Imajte na umu da zbir elastičnosti kapitala (a) karakterizira takozvani specifični output (prinos) kada se blabor (promjene u obimu proizvodnje, tj. kada potrošnja resursa ( K I L) se povećava za isti broj puta. Ako je a + b > 1, tada se prinos povećava, ako je a + b = 1, tada je povrat konstantan, ako je a + b< 1, то отдача убывает, а производственная функция является выпуклой вверх.

Funkcija sugestije S(str) opisuje odnos između tržišne cijene dobra i njegove ponude na izolovanom tržištu tog dobra. Generalno, treba pretpostaviti da se predmetni proizvod proizvodi u dovoljno velikom broju konkurentskih preduzeća. U takvoj situaciji, prirodno je pretpostaviti da svaki proizvođač teži što većem profitu, a njegov pojedinačni učinak proizvoda raste kako cijena tog proizvoda raste. Ali onda ukupna ponuda robe na tržištu S(str), kao zbir pojedinačnih izdanja, rastuća je funkcija cijene, tj. S"(str) > 0.

U specifičnijim situacijama (oligopol, monopol) ponašanje preduzeća nije nužno determinisano željom za maksimalnim profitom, jer povećanjem cene proizvođač može sebi obezbediti primetno povećanje profita bez povećanja proizvodnje. Dakle, strogo govoreći, slučajeve treba istražiti kada S(str) = const ili par S"(str) < 0 (рис. 9).

Na sl. Slika 9 prikazuje porodicu rečeničnih funkcija. Linija AB odgovara savršenoj konkurenciji i želji proizvođača da ostvare maksimalan profit, linija A.C. odgovara konstantnom učinku, što ipak omogućava vođenje poslovanja sa pristojnim profitom u uslovima nesavršene konkurencije; linija AD predstavlja opadajući obim proizvodnje, što je moguće u uslovima monopola i naglog rasta cena.

Rice. 9. Rastuće, konstantne i opadajuće funkcije ponude

U daljoj analizi kao glavni se smatraju stanje savršene konkurencije i rast ponude u zavisnosti od rasta cena. Za praktične proračune koriste se dvije glavne vrste funkcija prijedloga, čiji se parametri određuju obradom statističkih podataka:

1) linearna funkcija

2) funkcija snage

Koeficijent cjenovne elastičnosti ponude ( E Sp) pokazuje za koji procenat će se povećati ponuda proizvoda ako se njegova cijena poveća za 1%.

Za linearnu funkciju napajanja

gdje su prosječne cijene i ponude iz tabele posmatranja.

Za funkciju snage

Za funkciju ponude, definisanu kao rješenje problema optimizacije profita o kojem se raspravlja u nastavku (5) (vidi formulu na stranici 90, označenu zvjezdicom), imamo

Cenovna elastičnost ponude

one. u potpunosti je određena prirodom fiksnih i varijabilnih troškova.

Općenito, isporučena količina j-da se proizvod smatra ne samo u zavisnosti od njegove cene ( p j), ali i na cijene ostale robe. U ovoj situaciji sistem rečeničnih funkcija ima oblik

Gdje n broj artikala robe.

Roba i I j nazivaju se konkurentskim ako je unakrsna elastičnost

one. kada cena poraste p i izlaz se smanjuje j-taj proizvod; roba je kompletna ako

U ovom slučaju, povećanje proizvodnje jednog dobra nužno uzrokuje povećanje proizvodnje drugog.

3. Praktična primjena proizvodne funkcije

U procesu stvaranja ove količine proizvoda, firma snosi troškove proizvodnje C(y). Istovremeno, prirodno je to pretpostaviti C"(y) > 0, tj. troškovi rastu kako se povećava obim proizvodnje. Takođe se obično veruje da C""(y) > 0. To znači da se dodatni (granični) troškovi proizvodnje svake dodatne jedinice proizvodnje povećavaju kako se povećava obim proizvodnje. Ova pretpostavka proizilazi iz činjenice da se uz racionalno organizovanu proizvodnju, sa malim obimima, mogu koristiti najbolje mašine i visokokvalifikovani radnici, koji više neće biti na raspolaganju preduzeću kada se poveća obim proizvodnje. Na sl. 4.10 prikazuje tipične grafove funkcija R(y) I C(y). Troškovi proizvodnje sastoje se od sljedećih komponenti:

1) materijalni troškovi Cm, što uključuje troškove za sirovine, materijale, poluproizvode itd.

Razlika između bruto prihoda i materijalnih troškova naziva se dodanu vrijednost(uslovno čisti proizvodi):

2) troškovi rada C L;

Rice. 10. Linije prihoda i troškova preduzeća

3) troškovi u vezi sa korišćenjem i popravkom mašina i opreme, amortizacija, tzv. plaćanje kapitalnih usluga C k;

4) dodatni troškovi Cr, vezano za proširenje proizvodnje, izgradnju novih objekata, pristupnih puteva, komunikacionih linija itd.

Ukupni troškovi proizvodnje:

Kao što je gore navedeno,

međutim, ova zavisnost od izlaznog volumena ( at) razlikuje se za različite vrste troškova. Naime, postoje:

b) troškovi proporcionalni obima proizvodnje (linearni) C 1, ovo uključuje materijalne troškove Cm, naknade proizvodnog osoblja (dio C L), troškovi održavanja postojeće opreme i mašina (dio C k) i tako dalje.:

Gdje A generalni pokazatelj troškova ovih vrsta po proizvodu;

c) super-proporcionalni (nelinearni) troškovi WITH 2, koji uključuju nabavku novih mašina i tehnologija (tj Sa r), plata za prekovremeni rad itd. Za matematički opis ove vrste troškova obično se koristi odnos stepena

Dakle, model se može koristiti za predstavljanje ukupnih troškova

(Imajte na umu da su uslovi C"(y) > 0, C""(y) > 0 za ovu funkciju su zadovoljeni.)

a) poboljšanje kvaliteta radne snage tokom vremena zbog povećanja kvalifikacija radnika i njihovog ovladavanja metodama korišćenja naprednije tehnologije;

b) poboljšanje kvaliteta mašina i opreme dovodi do toga da određeni iznos kapitalnih ulaganja (po stalnim cijenama) omogućava, tokom vremena, kupovinu efikasnije mašine;

Prilikom izrade proizvodnih modela uzimajući u obzir naučni i tehnički napredak, uglavnom se koriste sljedeći pristupi:

koji je napisan u formi

Gdje K 0 osnovna sredstva na početku perioda, D K akumulacija kapitala tokom perioda jednakog uloženom iznosu.

Očigledno, ako se ne investira, onda D K= 0, i nema povećanja proizvodnje zbog naučnog i tehničkog napretka;

Postoje dva glavna pravca za modeliranje naučnog i tehničkog napretka:

1) model indukovanog napretka je zasnovan na formuli

Zauzvrat, rast faktora rada, prema proizvodnoj funkciji

dovodi do povećanja proizvodnje. Najjednostavnija verzija modela koristi formule:

(Cobb-Douglas proizvodna funkcija).

Dakle, imamo odnos

koji za date funkcije K(t) I L 0 (t) pokazuje brži rast y, zbog navedenog međusobnog uticaja naučnog napretka i ekonomskog razvoja.

Neka, na primjer:

Tada se rast bez uzimanja u obzir međusobnog uticaja opisuje jednačinom

i rast uzimajući u obzir uzajamni uticaj jednačine

one. ispostavilo se da je znatno brži.

Za linearni model:

one. povećava se kapitalna produktivnost.

Zaključak

U zaključku, želio bih govoriti o Cobb-Douglas proizvodnoj funkciji.

Pojava teorije proizvodnih funkcija obično se pripisuje 1927. godini, kada se pojavio članak američkih naučnika, ekonomista P. Douglasa i matematičara D. Cobba “Teorija proizvodnje”. U ovom članku je učinjen pokušaj da se empirijski odredi uticaj inputa kapitala i rada na proizvodnju u prerađivačkoj industriji SAD.

Kao što je već pomenuto, proizvodna funkcija odražava funkcionalni odnos između obima efektivno iskorišćenih faktora proizvodnje (rad i imovinski kapital) i outputa koji se postiže uz njihovu pomoć postojećim tehničkim i organizacionim znanjem.

Sa supstitucijskom proizvodnom funkcijom, proizvodnja se može povećati povećanjem kvantitativnih karakteristika jednog od faktora, dok kvantitativne karakteristike drugog faktora ostaju nepromijenjene u drugoj verziji, proizvodnja ostaje nepromijenjena za različite kvantitativne kombinacije faktora rada i imovinskog kapitala;

Supstitucijska proizvodna funkcija ima, općenito, sljedeći izraz:

K– broj proizvodnog kapitala

L– broj radnih sati proizvodnje ili, drugim riječima, broj proizvodnih jedinica humanog kapitala

Na osnovu uslovno uvedene egzistencije faktora proizvodnje mogu se izvući sljedeća dva zaključka o funkcionalnom odnosu ovih faktora:

Uz sve ostale stvari jednake, povećanje jednog od faktora proizvodnje dovodi do povećanja outputa – prvi derivat je pozitivan.

Međutim, granična produktivnost rastućeg faktora opada kako se vrijednost ovog faktora povećava – drugi izvod je negativan.

Nivo organizacionog i tehničkog znanja se ogleda u odgovarajućim oblicima interakcije faktora. U razmatranom slučaju nivo znanja je konstantan, tj. u ovom okviru pretpostavlja se nedostatak tehnološkog napretka. Dakle, supstitucijska funkcija proizvodnje može se predstaviti u obliku sljedeće slike, koja odražava odnos između količine rada i outputa za datu količinu imovinskog kapitala (slika 1):

Rice. 17. Odnos između proizvodnje i proizvodnog rada

Svako povećanje kvantitativnog parametra imovinskog kapitala znači pomicanje krive naviše i istovremeno povećanje granične produktivnosti rada za datu količinu rada, tj. na osnovu zaključka koji direktno slijedi iz opisanog zaključka, to znači i veći output sa povećanjem faktora proizvodnje „rad“: kriva OK 1 slika pokazuje strmiji nagib u odnosu na krivulju OK 0 za bilo koji broj zaposlenih ljudi.

Sa povećanjem kvantitativnog parametra imovinskog kapitala raste i prosječna produktivnost rada, koja je količnik dijeljenja količine outputa sa količinom utrošenog rada. Međutim, ovo smanjuje koeficijent rada, koji određuje prosječnu količinu rada utrošenog na svaku jedinicu proizvodnje i stoga je recipročna vrijednost prosječne produktivnosti rada.

Iznos imovinskog kapitala je u okviru ove kratkoročne analize uzet kao egzogeno dat, pa model i opis ne uzimaju u obzir tehnički napredak, kao ni efekat povećanja proizvodnih kapaciteta usled ulaganja.

Godine 1927. Paul Douglas je otkrio da ako se nacrtaju logaritmi stvarnog učinka u odnosu na vrijeme ( y), kapitalni troškovi ( TO) i troškovi rada ( L), tada će rastojanja od tačaka na grafu pokazatelja proizvodnje do tačaka na grafovima indikatora inputa rada i kapitala biti konstantna proporcija. Zatim se obratio Charlesu Cobbu sa zahtjevom da pronađe matematički odnos koji ima ovu osobinu, a Cobb je predložio sljedeću zamjensku funkciju:

Ovu funkciju je oko 30 godina ranije predložio Philip Wicksteed, ali oni su bili prvi koji su koristili empirijske podatke da je konstruišu.

Međutim, za velike vrijednosti K I L ova funkcija nema ekonomskog smisla, jer proizvodnja se stalno povećava kako troškovi rastu.

Kinetička funkcija (gdje je g brzina tehničkog napretka po jedinici vremena) se dobiva množenjem Cobb-Douglasove funkcije sa e g, što eliminira ovaj problem i čini Cobb-Douglasovu funkciju ekonomski zanimljivom.

Elastičnost outputa u odnosu na kapital i rad jednaka je a i b, respektivno, pošto

i na sličan način je lako pokazati da ( dy/ dL)/(y/L) je jednako b.

Dakle, povećanje inputa kapitala za 1% će dovesti do povećanja outputa za procenat, a povećanje inputa rada za 1% će dovesti do povećanja outputa za b procenata. Može se pretpostaviti da su obje veličine a i b između nule i jedan. Oni moraju biti pozitivni, jer povećanje troškova faktora proizvodnje treba da izazove povećanje proizvodnje. Istovremeno, oni će vjerovatno biti manji od jedinice, jer je razumno pretpostaviti da smanjenje ekonomije obima u proizvodnji dovodi do sporijeg rasta proizvodnje nego troškova faktora proizvodnje, ako ostali faktori ostanu konstantni.

Ako su a i b zbir jedinice, onda se kaže da funkcija ima rastuću ekonomiju obima (to znači da ako TO I L onda poraste u nekom proporciji y raste u većem omjeru). Ako je njihov zbir jednak jedan, onda to ukazuje na stalan učinak obima proizvodnje ( y povećava u istom omjeru kao TO I L). Ako je njihov zbir manji od jedan, onda postoji opadajući efekat obima proizvodnje ( y povećava u manjem omjeru od TO I L).

Pod pretpostavkom o konkurentnim tržištima faktora, i b se dalje tumače kao predviđeni udjeli dohotka generiranih kapitalom i radom, respektivno. Ako je tržište rada konkurentno, onda stopa nadnica ( w) će biti jednak graničnom proizvodu rada ( dy/ dL):

Dakle, ukupne plate ( wL) će biti jednaki by, i udio rada u ukupnoj proizvodnji ( wL/Y) će biti konstantna vrijednost b. Slično, stopa profita se izražava kroz dy/ dK:

a samim tim i ukupni profit ( rTO) će biti jednaki ay, a udio u dobiti će biti konstantan a.

Postoji niz problema sa korištenjem takve funkcije, posebno kada se koristi za privredu u cjelini. Konkretno, čak i u slučajevima kada postoji tehnološka zavisnost između outputa, proizvodne opreme i rada u proizvodnom procesu, uopšte nije neophodno da takva zavisnost postoji kada se ti faktori kombinuju na nivou privrede u celini. Drugo, čak i ako takva zavisnost postoji za privredu u cjelini, nema razloga vjerovati da će ona imati jednostavan oblik.

Bibliografija

1. 50 predavanja iz mikroekonomije / Institut "Ekonomska škola", 2002.

2. Dougherty K. Uvod u ekonometriju: Transl. sa engleskog – M.: Infra-M, 2001.

3. Institucionalna ekonomija: kurs predavanja / Kuzminov Ya.I. M.: Viša ekonomska škola, 2009.

4. Traktat o političkoj ekonomiji / Jean-Baptiste Say. Web stranica "Biblioteka ekonomske i poslovne literature".

5. Osnove ekonomske teorije. / Ed. Kamaeva V.D. - M.: Izdavačka kuća. MSTU, 2006.

6. Osnovi ekonomske teorije (makroekonomija): Udžbenik./ Kravcova G.F., Tsvetkov N.I., Ostrovskaya T.I. Khabarovsk: DVGUPS, 2001. #"#_ftnref1" name="_ftn1" title=""> http://slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-1199.htm

Tutoring

Trebate pomoć u proučavanju teme?

Naši stručnjaci će savjetovati ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju.
Pošaljite svoju prijavu naznačite temu odmah kako biste saznali o mogućnosti dobivanja konsultacija.

Proizvodna funkcija karakteriše odnos između količine upotrebljenih resursa (faktora proizvodnje) i maksimalnog mogućeg obima proizvodnje koji se može postići pod uslovom da se svi raspoloživi resursi koriste u potpunosti i efikasno.

Svojstva proizvodne funkcije:

1. postoji granica za povećanje proizvodnje, što se može postići povećanjem jednog resursa i konstantnošću ostalih resursa. Ako, na primjer, u poljoprivredi povećamo količinu rada uz konstantne količine kapitala i zemlje, tada prije ili kasnije dolazi trenutak kada proizvodnja prestaje da raste;

2. resursi se međusobno nadopunjuju, ali je u određenim granicama moguća njihova zamjenjivost bez smanjenja proizvodnje. Ručni rad, na primjer, može se zamijeniti upotrebom više mašina, i obrnuto;

3. što je duži vremenski period, više resursa se može revidirati. U tom smislu, pravi se razlika između trenutnih, kratkoročnih i dugoročnih perioda.

Trenutačni period- period kada su svi resursi fiksni.

Kratkoročno- period kada je barem jedan resurs fiksiran.

Dugoročno- period kada su svi resursi varijabilni.

Opšti pogled na proizvodnu funkciju:

Q= f (KL),

· Q– specificirani izlazni volumen;

· L– količina utrošenog rada;

· K– iznos utrošenog kapitala;

· f – funkcionalna zavisnost datog izlaznog volumena od količine resursa.

Graf proizvodne funkcije je izokvanta.

Isoquant(grč. “iso” – identičan, lat. “quanto” – količina) je linija (stalne proizvodnje), koja odražava sve kombinacije dva faktora proizvodnje (rad i kapital), pri čemu output ostaje nepromijenjen. (Sl. 3.1).

Rice. 1.13. Isoquant.

Svojstva izokvante:

1. Isoquant pokazuje minimalnu količinu resursa uključenih u proizvodni proces.

2. Sve kombinacije resursa na segmentu AB odražavaju tehnološki efikasne načine proizvodnje datog obima proizvodnje.

3. Izokvanta je uvijek konkavna (ima negativan nagib). o odnosu granične produktivnosti rada i kapitala. Pri kretanju od vrha do dna duž izokvante, granična stopa tehnološke zamjene sve vrijeme se smanjuje, o čemu svjedoči opadajući nagib izokvante.

Maksimalna stopa tehnološke zamjene jednog resursa drugim– je količina drugog resursa koji se može zamijeniti datim resursom da bi se dobio isti volumen outputa:

o MRTS LK - maksimalna stopa tehnološke zamjene rada kapitalom;

o MP L – marginalna produktivnost rada;

o MP K – granična produktivnost kapitala;

o ∆L – povećanje rada;

o ∆K – dokapitalizacija.

Ako smanjimo kapitalnu dobit za ∆K, onda će ovo smanjenje smanjiti obim proizvodnje za odgovarajući iznos (– ∆K × MP K).

Ako privučemo jedinicu rada, onda će ovaj prirast rada povećati obim proizvodnje za iznos (∆L × MPL).

Dakle, za dati obim proizvodnje vrijedi sljedeća jednakost:

MRTS LK = MP L × ∆L = MP K × ∆K

Ova jednakost se može opravdati na sljedeći način. Neka je granični proizvod rada 10, a granični proizvod kapitala 5. To znači da zapošljavanjem još jednog radnika firma povećava proizvodnju za 10 jedinica, a odustajanjem od jedne jedinice kapitala gubi 5 jedinica outputa. Stoga, da bi proizvodnja ostala ista, firma može zamijeniti dvije jedinice kapitala jednim radnikom.

Za infinitezimalne promjene L i K, granična stopa tehnološke zamjene je derivacija funkcije izokvante u datoj točki:

Geometrijski, on predstavlja nagib izokvante (slika 1.14):

Rice. 1.14. Granična stopa tehnološke zamjene

Postoje dva načina da se proizvede dati obim outputa: tehnološki efikasan i isplativ.

Tehnološki efikasan način proizvodnje- proizvodnju datog obima proizvodnje uz najmanju količinu rada i kapitala.

Isplativa metoda proizvodnje-proizvodnja zadate količine proizvoda po najnižim troškovima.

Slika 1.15. Tehnološki efikasna i neefikasna proizvodnja

o način proizvodnje A – tehnološki efikasan u poređenju sa metodom IN, jer zahtijeva korištenje barem jednog resursa u manjoj količini.

o proizvodni metod B je tehnološki neefikasan u poređenju sa A (isprekidana linija odražava sve tehnološki neefikasne metode proizvodnje).

Tehnološki neefikasne metode proizvodnje ne koriste racionalni poduzetnici i nisu dio proizvodne funkcije. dakle, izokvanta ne može imati pozitivan nagib(Sl. 1.16):

Izokvantna karta- skup izokvanti (slika 1.16).