Бутархай-рационал функцийн интеграл.
Тодорхой бус коэффициент арга

Бид бутархайг нэгтгэх ажлыг үргэлжлүүлж байна. Хичээл дээр бид зарим төрлийн бутархайн интегралуудыг аль хэдийн авч үзсэн бөгөөд энэ хичээлийг нэг ёсондоо үргэлжлэл гэж үзэж болно. Материалыг амжилттай ойлгохын тулд интеграцийн үндсэн ур чадвар шаардагддаг тул хэрэв та интегралыг дөнгөж судалж эхэлсэн, өөрөөр хэлбэл та анхлан суралцагч бол нийтлэлээс эхлэх хэрэгтэй. Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ.

Хачирхалтай нь, одоо бид интеграл олох биш, харин ... шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд оролцох болно. Энэ талаар яаралтайХичээлд хамрагдахыг зөвлөж байна. Тухайлбал, та орлуулах аргуудыг ("сургуулийн арга" ба системийн тэгшитгэлийг улирал бүрээр нэмэх (хасах) арга) сайн мэддэг байх хэрэгтэй.

Бутархай рационал функц гэж юу вэ? Энгийн үгээр хэлбэл, бутархай-рационал функц нь тоо болон хуваагч нь олон гишүүнт эсвэл олон гишүүнтийн үржвэрийг агуулсан бутархай юм. Түүнээс гадна, фракцууд нь нийтлэлд хэлэлцсэнээс илүү боловсронгуй байдаг Зарим бутархайг нэгтгэх.

Зөв бутархай-рационал функцийг нэгтгэх

Шууд жишээ ба бутархай-рационал функцийн интегралыг шийдэх ердийн алгоритм.

Жишээ 1

1-р алхам.Бутархай рационал функцийн интегралыг шийдэхдээ бидний ҮРГЭЛЖ хийдэг хамгийн эхний зүйл бол дараах асуултыг тодруулах явдал юм. бутархай зөв үү?Энэ алхамыг амаар гүйцэтгэдэг бөгөөд одоо би хэрхэн яаж тайлбарлах болно:

Эхлээд бид тоологчийг хараад олж мэдье ахлах зэрэголон гишүүнт:

Тоолуурын тэргүүлэх хүч нь хоёр юм.

Одоо бид хуваагчийг хараад олж мэдье ахлах зэрэгхуваагч. Мэдээжийн хэрэг бол хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог авчрах явдал юм, гэхдээ та үүнийг илүү хялбар болгож чадна тус бүрхаалт доторх хамгийн дээд зэргийг ол

ба оюун ухаанаар үржүүлбэл: - ингээд хуваагчийн дээд зэрэг нь гуравтай тэнцүү байна. Үнэхээр хаалтаа нээвэл гурваас дээш зэрэг авахгүй нь ойлгомжтой.

Дүгнэлт: Тоолуурын үндсэн зэрэг ХАТУУнь хувагчийн хамгийн дээд хүчнээс бага бөгөөд энэ нь бутархай зөв байна гэсэн үг.

Хэрэв энэ жишээнд тоологч олон гишүүнт 3, 4, 5 гэх мэтийг агуулж байсан бол. градус, дараа нь бутархай байх болно буруу.

Одоо бид зөвхөн зөв бутархай рационал функцуудыг авч үзэх болно. Хичээлийн төгсгөлд тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх тохиолдлыг авч үзэх болно.

Алхам 2.Хусагчийг үржвэр болгоё. Бидний хуваагчийг харцгаая:

Ерөнхийдөө энэ нь аль хэдийн хүчин зүйлийн үр дүн юм, гэхдээ бид өөрөөсөө асууж байна: өөр зүйлийг өргөжүүлэх боломжтой юу? Эрүү шүүлтийн объект нь дөрвөлжин гурвалжин байх нь дамжиггүй. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:

Дискриминант нь тэгээс их байгаа нь гурвалсан тоог үржвэрлэх боломжтой гэсэн үг юм.

Ерөнхий дүрэм: Хуваарьт хүчин зүйлд хамааруулж болох БҮХ ЗҮЙЛ - хүчин зүйл

Үүний шийдлийг боловсруулж эхэлцгээе:

Алхам 3.Тодорхойгүй коэффициентийн аргыг ашиглан бид интеграцийг энгийн (элемент) бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлдэг. Одоо илүү тодорхой болно.

Интеграл функцээ харцгаая:

Том фракцыг хэд хэдэн жижиг хэсэг болгон хувиргах нь сайхан байх болно гэсэн зөн совингийн бодол ямар нэгэн байдлаар гарч ирдэг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Асуулт гарч ирнэ, үүнийг хийх боломжтой юу? Математик анализын харгалзах теорем нь тайвширч амьсгаа авцгаая - БОЛОМЖТОЙ. Ийм задрал байдаг бөгөөд өвөрмөц юм.

Ганцхан барьдаг, магадлал өндөр БаяртайБид мэдэхгүй тул нэр нь тодорхойгүй коэффициентийн арга юм.

Таны таамаглаж байсанчлан биеийн дараачийн хөдөлгөөнүүд ийм байна, битгий хашгир! Тэднийг зүгээр л таних - тэд юутай тэнцүү болохыг олж мэдэхэд чиглэгдэх болно.

Болгоомжтой байгаарай, би зөвхөн нэг удаа дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно!

Ингээд бүжиглэж эхэлцгээе:

Зүүн талд бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

Одоо бид хуваагчаас найдвартай салж чадна (учир нь тэдгээр нь адилхан):

Зүүн талд бид хаалтуудыг нээдэг, гэхдээ одоогоор үл мэдэгдэх коэффициентүүдэд хүрч болохгүй.

Үүний зэрэгцээ бид олон гишүүнтийг үржүүлэх сургуулийн дүрмийг давтана. Би багш байхдаа энэ дүрмийг шулуун царайгаар хэлж сурсан: Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлэх шаардлагатай..

Тодорхой тайлбарын үүднээс коэффициентүүдийг хаалтанд оруулах нь дээр (хэдийгээр би цаг хэмнэхийн тулд үүнийг хэзээ ч хийдэггүй).

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.
Эхлээд бид ахлах зэрэг хайж байна:

Мөн бид системийн эхний тэгшитгэлд холбогдох коэффициентүүдийг бичнэ.

Дараахь зүйлийг сайн санаарай. Баруун талд нь огт s байхгүй бол юу болох байсан бэ? Ямар ч дөрвөлжингүйгээр зүгээр л шоудах байсан гэж бодъё? Энэ тохиолдолд системийн тэгшитгэлийн баруун талд тэг тавих шаардлагатай болно: . Яагаад тэг гэж? Гэхдээ баруун талд та энэ квадратыг үргэлж тэгээр оноож болно: Хэрэв баруун талд хувьсагч ба/эсвэл чөлөөт гишүүн байхгүй бол системийн харгалзах тэгшитгэлийн баруун талд тэгийг тавина.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид холбогдох коэффициентүүдийг бичнэ.

Эцэст нь, рашаан, бид чөлөөт гишүүдийг сонгодог.

Аан... Би нэг ёсондоо тоглоом хийсэн юм. Хошигнолоос гадна математик бол ноцтой шинжлэх ухаан юм. Манай хүрээлэнгийн бүлэгт туслах профессор гишүүн нэр томъёог тооны шугамын дагуу тарааж, томыг нь сонгоно гэж хэлэхэд хэн ч инээгээгүй. Нухацтай ярилцъя. Хэдийгээр... энэ хичээлийн төгсгөлийг харах хүртэл амьдарсан хүн чимээгүйхэн инээмсэглэх болно.

Систем бэлэн байна:

Бид системийг шийддэг:

(1) Эхний тэгшитгэлээс бид үүнийг илэрхийлж, системийн 2, 3-р тэгшитгэлд орлуулна. Үнэн хэрэгтээ өөр тэгшитгэлээс (эсвэл өөр үсэг) илэрхийлэх боломжтой байсан, гэхдээ энэ тохиолдолд 1-р тэгшитгэлээс үүнийг илэрхийлэх нь ашигтай байдаг. хамгийн бага магадлал.

(2) Бид 2 ба 3-р тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.

(3) Бид 2, 3-р тэгшитгэлийг гишүүнээр нэмж, тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс дараахь зүйлийг гаргана.

(4) Бид үүнийг олж мэдсэн хоёр дахь (эсвэл гурав дахь) тэгшитгэлд орлуулдаг

(5) Орлуулж эхний тэгшитгэлд оруулаад .

Хэрэв танд системийг шийдвэрлэх арга барилд бэрхшээл тулгарвал ангид дадлага хий. Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Системийг шийдсэний дараа шалгах нь үргэлж хэрэгтэй байдаг - олсон утгыг орлуулах бүрсистемийн тэгшитгэлийн үр дүнд бүх зүйл "нийсэх" ёстой.

Бараг тэнд. Коэффициенттер олдсон ба:

Дууссан ажил нь иймэрхүү харагдах ёстой.

Таны харж байгаагаар даалгаврын гол бэрхшээл нь шугаман тэгшитгэлийн системийг зохиох (зөв!) ба шийдвэрлэх (зөв!) байв. Эцсийн шатанд бүх зүйл тийм ч хэцүү биш: бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашиглаж, нэгтгэдэг. Гурван интеграл тус бүрийн дор бид "чөлөөт" цогц функц байгааг анхаарна уу, би хичээл дээр үүнийг нэгтгэх онцлогуудын талаар ярьсан. Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга.

Шалгах: Хариултыг ялгана уу:

Анхны интеграл функцийг авсан нь интеграл зөв олдсон гэсэн үг.
Баталгаажуулах явцад бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагатай болсон бөгөөд энэ нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Тодорхойгүй коэффициентийн арга ба илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах арга нь харилцан урвуу үйлдэл юм.

Жишээ 2

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Эхний жишээнээс бутархай руу буцъя: . Хуваарьт бүх хүчин зүйлүүд ӨӨР БАЙДГИЙГ анзаарахад амархан. Жишээлбэл, дараах фракцыг өгвөл юу хийх вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. ? Энд бид хуваагчийн зэрэгтэй, эсвэл математикийн хувьд, олон тоо. Нэмж дурдахад хүчин зүйлээр ангилагдах боломжгүй квадрат гурвалж байна (тэгшитгэлийн ялгаварлагч гэдгийг шалгахад хялбар байдаг. сөрөг байна, тиймээс гурвалсан гишүүнийг үржүүлэх боломжгүй). Юу хийх вэ? Энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөтгөх нь иймэрхүү харагдах болно дээд талд нь үл мэдэгдэх коэффициенттэй эсвэл өөр зүйлтэй юу?

Жишээ 3

Функцийг танилцуулна уу

1-р алхам.Бидэнд тохирох бутархай байгаа эсэхийг шалгаж байна
Гол тоологч: 2
Хуваагчийн дээд зэрэг: 8
, энэ нь бутархай зөв гэсэн үг.

Алхам 2.Хуваарьт ямар нэг зүйлийг оруулах боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг биш, бүх зүйл аль хэдийн тавигдсан. Дээр дурдсан шалтгааны улмаас дөрвөлжин гурвалжинг бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлэх боломжгүй. Бүрээс. Ажил багатай.

Алхам 3.Бутархай-рационал функцийг энгийн бутархайн нийлбэр гэж төсөөлье.
Энэ тохиолдолд өргөтгөл нь дараах хэлбэртэй байна.

Бидний хуваагчийг харцгаая:
Бутархай-рационал функцийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахдаа гурван үндсэн цэгийг ялгаж салгаж болно.

1) Хэрэв хуваагч нь эхний зэрэглэлд "ганцаардсан" хүчин зүйлийг агуулж байвал (бидний тохиолдолд) дээд талд нь тодорхойгүй коэффициент тавьдаг (манай тохиолдолд). 1, 2-р жишээнүүд зөвхөн ийм “ганцаардсан” хүчин зүйлсээс бүрдсэн.

2) Хэрэв хуваагч нь байвал олонүржүүлэгч бол та үүнийг дараах байдлаар задлах хэрэгтэй.
- өөрөөр хэлбэл, "X"-ийн бүх зэрэглэлийг нэгдүгээр зэрэглэлээс n-р зэрэгт дараалан дамжуулна. Бидний жишээн дээр хоёр олон хүчин зүйл байна: мөн , миний өгсөн өргөтгөлийг дахин харж, тэдгээрийг яг энэ дүрмийн дагуу өргөжүүлсэн эсэхийг шалгаарай.

3) Хэрэв хуваагч нь 2-р зэргийн задрах боломжгүй олон гишүүнтэй байвал (бидний тохиолдолд) тоологчийг задлахдаа тодорхойгүй коэффициент бүхий шугаман функцийг бичих хэрэгтэй (бидний тохиолдолд тодорхойгүй коэффициент ба ).

Үнэндээ өөр 4-р тохиолдол бий, гэхдээ практик дээр энэ нь маш ховор тохиолддог тул би энэ талаар чимээгүй байх болно.

Жишээ 4

Функцийг танилцуулна уу үл мэдэгдэх коэффициенттэй энгийн бутархайн нийлбэр.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.
Алгоритмыг чанд дагаж мөрдөөрэй!

Хэрэв та бутархай-рационал функцийг нийлбэр болгон өргөжүүлэх зарчмуудыг ойлгож байгаа бол авч үзэж буй төрлийн бараг бүх интегралыг зажилж болно.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол.

1-р алхам.Мэдээжийн хэрэг, бутархай зөв:

Алхам 2.Хуваарьт ямар нэг зүйлийг оруулах боломжтой юу? Чадах. Энд кубуудын нийлбэр байна . Товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хуваагчийг хүчин зүйлээр тооц

Алхам 3.Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид интегралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлнэ.

Олон гишүүнтийг үржүүлэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу (дискриминант сөрөг эсэхийг шалгана уу), тиймээс дээд талд нь зөвхөн нэг үсэг биш харин үл мэдэгдэх коэффициент бүхий шугаман функцийг тавьдаг.

Бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг:

Системийг зохиож, шийдье:

(1) Бид эхний тэгшитгэлээс илэрхийлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна (энэ бол хамгийн оновчтой арга юм).

(2) Бид хоёр дахь тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.

(3) Бид системийн гишүүний хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмдэг.

Систем нь энгийн тул цаашдын бүх тооцоо нь зарчмын хувьд аман байна.

(1) Бид олсон коэффициентүүдийн дагуу бутархайн нийлбэрийг бичнэ.

(2) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг. Хоёр дахь интегралд юу болсон бэ? Хичээлийн сүүлийн догол мөрөнд та энэ аргатай танилцаж болно. Зарим бутархайг нэгтгэх.

(3) Бид шугаман байдлын шинж чанарыг дахин ашигладаг. Гурав дахь интеграл дээр бид бүтэн квадратыг тусгаарлаж эхэлдэг (хичээлийн төгсгөлийн догол мөр Зарим бутархайг нэгтгэх).

(4) Бид хоёр дахь интегралыг авч, гуравдугаарт бид бүтэн квадратыг сонгоно.

(5) Гурав дахь интегралыг ав. Бэлэн.

Дөрвөн төрлийн хамгийн энгийн, энгийн, бутархай интегралыг тооцоолох томъёоны гарал үүслийг өгсөн болно. Дөрөв дэх төрлийн бутархай хэсгүүдээс илүү төвөгтэй интегралуудыг багасгах томъёог ашиглан тооцоолно. Дөрөв дэх төрлийн бутархайг нэгтгэх жишээг авч үзье.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Тодорхой бус интегралын хүснэгт
Тодорхой бус интегралыг тооцоолох арга

Мэдэгдэж байгаагаар, зарим х хувьсагчийн аливаа рационал функцийг олон гишүүнт ба хамгийн энгийн, энгийн бутархай болгон задалж болно. Дөрвөн төрлийн энгийн бутархай байдаг:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Энд a, A, B, b, c нь бодит тоонууд юм. Тэгшитгэл x 2 + bx + c = 0жинхэнэ үндэс байхгүй.

Эхний хоёр төрлийн бутархайг нэгтгэх

Эхний хоёр бутархайг нэгтгэхдээ интегралын хүснэгтээс дараах томъёог ашиглана.
,
, n ≠ - 1 .

1. Эхний төрлийн бутархайг нэгтгэх

Эхний төрлийн бутархайг t = x - a орлуулах замаар хүснэгтийн интеграл болгон бууруулна.
.

2. Хоёр дахь төрлийн бутархайг нэгтгэх

Хоёрдахь төрлийн бутархайг ижил орлуулалтаар хүснэгтийн интеграл болгон бууруулна t = x - a:

.

3. Гурав дахь төрлийн бутархайг нэгтгэх

Гурав дахь төрлийн бутархайн интегралыг авч үзье.
.
Бид үүнийг хоёр үе шаттайгаар тооцоолох болно.

3.1. Алхам 1. Тоолуур дахь хуваагчийн деривативыг сонго

Хугарагчийн деривативыг бутархайн хуваарьт тусгаарлаж үзье. Үүнд: u = x гэж тэмдэглэе 2 + bx + c. Ялгаж үзье: u′ = 2 х + б. Дараа нь
;
.
Гэхдээ
.
Бид модулийн тэмдгийг орхисон, учир нь .

Дараа нь:
,
Хаана
.

3.2. Алхам 2. А = 0, B = 1 гэсэн интегралыг тооцоол

Одоо бид үлдсэн интегралыг тооцоолно.
.

Бид бутархайн хуваагчийг квадратуудын нийлбэрт хүргэдэг.
,
Хаана.
Тэгшитгэл x гэж бид итгэдэг 2 + bx + c = 0үндэсгүй. Тийм ч учраас .

Сэлгээ хийцгээе
,
.
.

Тэгэхээр,
.

Тиймээс бид гурав дахь төрлийн бутархайн интегралыг олсон.

,
Хаана.

4. Дөрөв дэх төрлийн бутархайн интеграл

Эцэст нь дөрөв дэх төрлийн бутархайн интегралыг авч үзье.
.
Бид үүнийг гурван үе шаттайгаар тооцдог.

4.1) Тоолуур дахь хуваагчийн деривативыг сонгоно уу:
.

4.2) Интегралыг тооцоол
.

4.3) Интегралыг тооцоолох
,
бууруулах томъёог ашиглан:
.

4.1. Алхам 1. Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлах

-д хийсэн шиг хуваарийн деривативыг хуваарьт тусгаарлаж үзье. u = x гэж тэмдэглэе 2 + bx + c. Ялгаж үзье: u′ = 2 х + б. Дараа нь
.

.
Гэхдээ
.

Эцэст нь бидэнд байна:
.

4.2. Алхам 2. n = 1-тэй интегралыг тооцоол

Интегралыг тооцоол
.
Түүний тооцооллыг -д тайлбарласан болно.

4.3. Алхам 3. Бууруулах томъёог гарган авах

Одоо интегралыг авч үзье
.

Бид квадрат гурвалжийг квадратуудын нийлбэр болгон бууруулна.
.
Энд.
Сэлгээ хийцгээе.
.
.

Бид өөрчлөлтүүдийг хийж, хэсэгчлэн нэгтгэдэг.

.

-ээр үржүүлэх 2(n - 1):
.
x ба I n руу буцъя.
,
;
;
.

Тиймээс, миний хувьд бид бууруулах томъёог авсан:
.
Энэ томьёог тууштай хэрэглэснээр бид I n интегралыг I болгон бууруулна 1 .

Жишээ

Интегралыг тооцоолох

1. Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлаж үзье.
;
;

.
Энд
.

2. Бид хамгийн энгийн бутархайн интегралыг тооцоолно.

.

3. Бид бууруулах томъёог ашигладаг:

интегралын хувьд.
Манай тохиолдолд b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Бид энэ томьёог n = гэж бичнэ 2 ба n = 3 :
;
.
Эндээс

.

Эцэст нь бидэнд байна:

.
-ийн коэффициентийг ол.
.

Мөн үзнэ үү:

Бутархай рационал функцийн тодорхойгүй интегралыг олох асуудал нь энгийн бутархайг интегралд оруулдаг. Тиймээс бид эхлээд бутархайн задралын онолын хамгийн энгийн хэсэгтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Жишээ.

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Шийдэл.

Интегралын хүртэгчийн зэрэг нь хуваарийн зэрэгтэй тэнцүү тул эхлээд олон гишүүнтийг олон гишүүнт баганагаар хувааж бүхэл хэсгийг сонгоно.

Тийм ч учраас, .

Үүссэн зөв рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах нь хэлбэртэй байна . Тиймээс,

Үүссэн интеграл нь гурав дахь төрлийн хамгийн энгийн бутархайн интеграл юм. Цаашид бага зэрэг харвал дифференциал тэмдгийн доор оруулснаар та үүнийг авч болно гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Учир нь , Тэр . Тийм ч учраас

Тиймээс,

Одоо дөрвөн төрөл бүрийн энгийн бутархайг нэгтгэх аргуудыг тайлбарлах руу шилжье.

Эхний төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх

Шууд интеграцийн арга нь энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой.

Жишээ.

Функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг ол

Шийдэл.

Эсрэг деривативын шинж чанар, эсрэг деривативын хүснэгт, интегралчлалын дүрмийг ашиглан тодорхойгүй интегралыг олъё.

Хуудасны дээд талд

Хоёр дахь төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх

Шууд нэгтгэх арга нь энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой.

Жишээ.

Шийдэл.

Хуудасны дээд талд

Гурав дахь төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх

Эхлээд бид тодорхойгүй интегралыг танилцуулж байна нийлбэрээр:

Бид эхний интегралыг дифференциал тэмдгийн доор оруулан авдаг.

Тийм ч учраас,

Үүссэн интегралын хуваагчийг өөрчилье:

Тиймээс,

Гурав дахь төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Жишээ.

Тодорхойгүй интегралыг ол .

Шийдэл.

Бид үүссэн томъёог ашиглана:

Хэрэв бидэнд энэ томъёо байхгүй байсан бол бид юу хийх байсан бэ?

Хуудасны дээд талд

Дөрөв дэх төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх

Эхний алхам бол үүнийг дифференциал тэмдгийн доор тавих явдал юм.

Хоёрдахь алхам бол маягтын интегралыг олох явдал юм . Энэ төрлийн интегралуудыг давтагдах томьёо ашиглан олно. (Дахин давтагдах томъёог ашиглан нэгтгэх хэсгийг үзнэ үү.) Дараах давтагдах томъёо нь манай тохиолдолд тохиромжтой.

Жишээ.

Тодорхойгүй интегралыг ол

Шийдэл.

Энэ төрлийн интегралын хувьд бид орлуулах аргыг ашигладаг. Шинэ хувьсагчийг оруулъя (иррационал функцүүдийн интеграцчлалын хэсгийг үзнэ үү):

Орлуулсны дараа бидэнд:

Бид дөрөв дэх төрлийн бутархайн интегралыг олохоор ирсэн. Манай тохиолдолд коэффициентүүд байдаг M = 0, p = 0, q = 1, N = 1Тэгээд n=3. Бид давтагдах томъёог ашигладаг:

Урвуу орлуулсны дараа бид дараах үр дүнг авна.

Тригонометрийн функцуудыг нэгтгэх

1.Хэлбэрийн интеграл

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах замаар тооцоолно:

Жишээ нь: 2.Хэлбэрийн интеграл

, Хаана мэсвэл n– сондгой эерэг тоо, үүнийг дифференциал тэмдгийн доор оруулан тооцно. Жишээлбэл,

3.Хэлбэрийн интеграл

, Хаана мТэгээд n-тэгш эерэг тоонуудыг зэрэг бууруулах томъёог ашиглан тооцоолно: Жишээ нь,

4. Интеграл

хувьсагчийг өөрчилснөөр тооцоолно: эсвэл Жишээ нь,

5. Дараа нь бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан хэлбэрийн интегралуудыг рационал бутархайн интеграл болгон бууруулна.

=[тоолох ба хуваагчийг ]= хуваасны дараа ;

Жишээлбэл,

Бүх нийтийн орлуулалтыг ашиглах нь ихэвчлэн төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

§5. Хамгийн энгийн зохисгүй байдлын интеграцчлал

Иррационалийн хамгийн энгийн төрлүүдийг нэгтгэх аргуудыг авч үзье. 1.

Энэ төрлийн функцүүд нь 3-р төрлийн хамгийн энгийн рационал бутархайтай ижил аргаар нэгтгэгддэг: хуваарьт дөрвөлжин гурвалсан хэсгээс бүрэн квадратыг тусгаарлаж, шинэ хувьсагчийг оруулсан болно. Жишээ.

(интеграл тэмдгийн дор - аргументуудын оновчтой функц). Энэ төрлийн интегралыг орлуулах аргыг ашиглан тооцдог. Ялангуяа интеграл хэлбэрээр бид тэмдэглэдэг. Хэрэв интегралд өөр өөр зэрэгтэй үндэс байвал:

, дараа нь хаана заана n– тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр м,к. Жишээ 1.

Жишээ 2.

-буруу рационал бутархай, бүхэл хэсгийг сонгоно уу:

–

3.Хэлбэрийн интеграл Тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан тооцоолно:

45 Тодорхой интеграл

Тодорхой интеграл- хосуудын багц дээр тодорхойлогдсон нэмэлт монотон хэвийн функц, эхний бүрэлдэхүүн хэсэг нь интегралдах функц эсвэл функциональ, хоёр дахь нь энэ функцийг (функциональ) тодорхойлсон багц дахь домэйн юм.

Тодорхойлолт

-д тодорхойлогдох болно. Үүнийг хэд хэдэн дурын цэгүүдтэй хэсгүүдэд хуваацгаая. Дараа нь тэд сегментийг хуваасан гэж хэлдэг.Дараа нь дурын цэгийг сонго , ,

Интервал дээрх функцийн тодорхой интеграл нь хуваалт болон цэгийн сонголтоос хамааралгүй оршдог бол хуваалтын зэрэглэл тэг болох хандлагатай байдаг тул интеграл нийлбэрийн хязгаар юм.

Хэрэв заасан хязгаар байгаа бол функцийг Риманы интеграл гэж үзнэ.

Тэмдэглэл

· - доод хязгаар.

· - дээд хязгаар.

· - интеграл функц.

· - хэсэгчилсэн сегментийн урт.

· - харгалзах хуваалт дээрх функцийн интеграл нийлбэр.

· - хэсэгчилсэн сегментийн хамгийн их урт.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Хэрэв функц нь Риман дээр интегралдах боломжтой бол түүн дээр хязгаарлагдана.

Геометрийн утга

Тодорхой интеграл нь дүрсийн талбай юм

Тодорхой интеграл нь абсцисса тэнхлэг, шулуун шугам, функцийн графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбайтай тоон утгаараа тэнцүү байна.

Ньютон-Лейбницийн теорем

[засварлах]

("Ньютон-Лейбницийн Формула" -аас өөрчилсөн)

Ньютон-Лейбницийн томъёоэсвэл шинжилгээний үндсэн теоремтодорхой интеграл авах ба эсрэг деривативыг тооцоолох гэсэн хоёр үйлдлийн хоорондын хамаарлыг өгдөг.

Баталгаа

Интегралдах функцийг интервал дээр өгье. Үүнийг тэмдэглэж эхэлцгээе

өөрөөр хэлбэл сегмент дээрх тодорхой интеграл дахь тэмдгийн доор аль үсэг (эсвэл) байх нь хамаагүй.

Дурын утгыг тогтоож, шинэ функцийг тодорхойлъё . Энэ нь -ийн бүх утгын хувьд тодорхойлогддог, учир нь хэрэв on -ийн интеграл байгаа бол on -ын интеграл байдаг гэдгийг бид мэднэ. Тодорхойлолтоор авч үзсэнээ эргэн санацгаая

(1)

анзаараарай, тэр

Энэ нь интервал дээр тасралтгүй байгааг харуулъя. Үнэн хэрэгтээ, зөвшөөрөх; Дараа нь

мөн хэрэв , тэгвэл

Тиймээс энэ нь тасалдалтай эсэхээс үл хамааран тасралтгүй үргэлжилдэг; дээр нэгтгэх боломжтой байх нь чухал юм.

Зураг нь графикийг харуулж байна. Хувьсагчийн зургийн талбай нь . Түүний өсөлт нь зургийн талбайтай тэнцүү байна , энэ нь хязгаарлагдмал байдлаасаа шалтгаалан тасралтгүй эсвэл тасалдал, жишээ нь цэг байхаас үл хамааран тэг рүү чиглэх хандлагатай байдаг.

Одоо функц нь зөвхөн дээр интегралдах төдийгүй цэг дээр тасралтгүй байх болно. Энэ цэг дэх дериватив нь тэнцүү гэдгийг баталцгаая

(2)

Үнэн хэрэгтээ, заасан цэгийн хувьд

(1) , (3)

Бид , , TO -тай харьцангуй тогтмол байдаг тул тавьдаг . Цаашилбал, нэг цэг дэх тасралтгүй байдлын улмаас хэн ч үүнийг зааж өгч болно.

Энэ нь тэгш бус байдлын зүүн тал нь o(1) болохыг баталж байна.

(3)-д заасан хязгаарт шилжих нь тухайн цэг дэх дериватив байгаа ба тэгш байдлын (2) хүчин төгөлдөр болохыг харуулж байна. Бид энд тус тус баруун болон зүүн деривативуудын талаар ярьж байгаа бол.

Хэрэв функц нь дээр үргэлжилсэн бол дээр батлагдсан зүйл дээр үндэслэн харгалзах функц байна

(4)

-тэй тэнцүү дериватив байна. Тиймээс функц нь -ийн эсрэг дериватив юм.

Энэ дүгнэлтийг заримдаа хувьсагчийн дээд хязгаарын интеграл теорем эсвэл Барроугийн теорем гэж нэрлэдэг.

Интервал дээр үргэлжилсэн дурын функц нь (4) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог энэ интервал дээр эсрэг деривативтай болохыг бид нотолсон. Энэ нь интервал дээр үргэлжилсэн аливаа функцийн эсрэг дериватив байдгийг нотолж байна.

-д функцийн дурын эсрэг дериватив байцгаая. Зарим тогтмол хаана байдгийг бид мэднэ. Энэ тэгш байдлыг харгалзан үзээд бид .

Ийнхүү, . Гэхдээ

Буруу интеграл

[засварлах]

Википедиагийн материал - үнэгүй нэвтэрхий толь

Тодорхой интегралдуудсан чинийх биш, дор хаяж нэг нөхцөл хангагдсан бол:

· a эсвэл b хязгаар (эсвэл хоёр хязгаар) хязгааргүй;

· f(x) функц нь сегмент дотор нэг буюу хэд хэдэн таслах цэгтэй байна.

[Засварлах]Эхний төрлийн буруу интегралууд

. Дараа нь:

1. Хэрэв ба интеграл гэж нэрлэдэг . Энэ тохиолдолд конвергент гэж нэрлэдэг.

, эсвэл зүгээр л ялгаатай.

ба-аас олонлог дээр тодорхойлогдсон ба үргэлжилсэн байг . Дараа нь:

1. Хэрэв , дараа нь тэмдэглэгээг ашиглана ба интеграл гэж нэрлэдэг Эхний төрлийн буруу Риманы интеграл. Энэ тохиолдолд конвергент гэж нэрлэдэг.

2. Төгсгөл гэж байхгүй бол (эсвэл ), тэгвэл интеграл нь хуваагдана гэж хэлнэ , эсвэл зүгээр л ялгаатай.

Хэрэв функц тодорхойлогдсон бөгөөд бүхэл тоон мөрөнд тасралтгүй байвал энэ функцийн интегралын хоёр хязгааргүй хязгаар бүхий буруу интеграл байж болох бөгөөд үүнийг томъёогоор тодорхойлно.

, энд c нь дурын тоо юм.

[засварлах] Эхний төрлийн буруу интегралын геометрийн утга

Буруу интеграл нь хязгааргүй урт муруй трапецын талбайг илэрхийлдэг.

[засварлах] Жишээ

[Засварлах]Хоёр дахь төрлийн буруу интегралууд

-д тодорхойлогдсон байг, x=a цэгт хязгааргүй тасалдлыг амсах ба . Дараа нь:

1. Хэрэв , дараа нь тэмдэглэгээг ашиглана ба интеграл гэж нэрлэдэг

дивергент гэж нэрлэдэг , эсвэл зүгээр л ялгаатай.

-д тодорхойлогдсон байг, x=b ба үед хязгааргүй тасалдлыг амсдаг . Дараа нь:

1. Хэрэв , дараа нь тэмдэглэгээг ашиглана ба интеграл гэж нэрлэдэг Хоёр дахь төрлийн зохисгүй Риманы интеграл. Энэ тохиолдолд интегралыг конвергент гэж нэрлэдэг.

2. Хэрэв эсвэл байвал тэмдэглэгээ хэвээр үлдэнэ, ба дивергент гэж нэрлэдэг , эсвэл зүгээр л ялгаатай.

Хэрэв функц сегментийн дотоод цэг дээр тасалдсан бол хоёр дахь төрлийн зохисгүй интегралыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

[засварлах] Хоёр дахь төрлийн буруу интегралын геометрийн утга

Буруу интеграл нь хязгааргүй өндөр муруй трапецын талбайг илэрхийлдэг

[засварлах] Жишээ

[засварлах] Тусгаарлагдсан тохиолдол

Функцийг бүхэл тооны шулуун дээр тодорхойлж, цэгүүд дээр тасалдалтай байг.

Дараа нь бид зохисгүй интегралыг олж чадна

[засварлах] Коши шалгуур

1. ба-аас олонлог дээр тодорхойлогдоно .

Дараа нь нийлдэг

2. болон дээр тодорхойлогдоно .

Дараа нь нийлдэг

[засварлах]Үнэмлэхүй нэгдэл

Интеграл дуудсан туйлын нэгдмэл, Хэрэв нийлдэг.
Хэрэв интеграл үнэмлэхүй нийлж байвал нийлнэ.

[засварлах]Нөхцөлт нийлэлт

Интеграл гэж нэрлэдэг нөхцөлт нийлдэг, хэрвээ энэ нь нийлж байгаа боловч зөрөөд байвал.

48 12. Буруу интеграл.

Тодорхой интегралуудыг авч үзэхдээ бид интеграцийн бүсийг хязгаарлагдмал гэж үзсэн (илүү тодорхой хэлбэл энэ нь сегмент юм. а ,б ]); Тодорхой интеграл байхын тулд интеграл нь [ дээр хязгаарлагдах ёстой. а ,б ]. Эдгээр хоёр нөхцөл хангагдсан тодорхой интегралуудыг бид нэрлэх болно (интеграцын муж ба интегралын аль алиных нь хязгаарлагдмал байдал) эзэмшдэг; Эдгээр шаардлагыг зөрчсөн интегралууд (жишээ нь интеграл эсвэл интеграцийн хүрээ хязгааргүй, эсвэл хоёулаа) чинийх биш. Энэ хэсэгт бид зохисгүй интегралуудыг судлах болно.

12.1. Хязгааргүй интервал дээрх буруу интеграл (эхний төрлийн буруу интеграл).

12.1.1. Хязгааргүй интервал дахь зохисгүй интегралын тодорхойлолт. Жишээ.
12.1.2. Буруу интегралын Ньютон-Лейбницийн томъёо.
12.1.3. Сөрөг бус функцүүдийн харьцуулах шалгуур.

12.1.3.1. Харьцуулалтын тэмдэг.
12.1.3.2. Хэт хэлбэрийн харьцуулалтын шинж тэмдэг.

12.1.4. Хязгааргүй интервал дахь зохисгүй интегралуудын үнэмлэхүй нэгдэл.
12.1.5. Абел ба Дирихлетийн нэгдмэл байдлын тестүүд.

12.2. Хязгаарлагдаагүй функцүүдийн буруу интеграл (хоёр дахь төрлийн буруу интеграл).

12.2.1. Хязгааргүй функцийн буруу интегралын тодорхойлолт.

12.2.1.1. Онцгой байдал нь интеграцийн интервалын зүүн төгсгөлд байна.
12.2.1.2. Ньютон-Лейбницийн томъёоны хэрэглээ.
12.2.1.3. Интеграцийн интервалын баруун төгсгөлд байгаа онцгой байдал.
12.2.1.4. Интеграцийн интервалын дотоод цэг дэх онцгой байдал.
12.2.1.5. Интеграцийн интервал дээрх хэд хэдэн онцлог.

12.2.2. Сөрөг бус функцүүдийн харьцуулах шалгуур.

12.2.2.1. Харьцуулалтын тэмдэг.
12.2.2.2. Хэт хэлбэрийн харьцуулалтын шинж тэмдэг.

12.2.3. Тасралтгүй функцүүдийн буруу интегралуудын абсолют ба нөхцөлт нийлэлт.
12.2.4. Абел ба Дирихлетийн нэгдмэл байдлын тестүүд.

12.1. Хязгааргүй интервал дээрх буруу интеграл

(эхний төрлийн буруу интеграл).

12.1.1. Хязгааргүй интервал дахь зохисгүй интегралын тодорхойлолт. Функцийг зөвшөөр е (x ) нь хагас тэнхлэг дээр тодорхойлогддог бөгөөд аль ч интервалд интегралдах боломжтой [ -аас, эдгээр тохиолдол бүрт харгалзах хязгааруудын оршихуй ба төгсгөлийг илэрхийлдэг. Одоо жишээнүүдийн шийдлүүд илүү энгийн харагдаж байна: .

12.1.3. Сөрөг бус функцүүдийн харьцуулах шалгуур. Энэ хэсэгт бид бүх интегралууд нь тодорхойлолтын бүх талбарт сөрөг биш байна гэж үзэх болно. Одоог хүртэл бид интегралын нийлэлтийг тооцоолох замаар тодорхойлж ирсэн: хэрвээ харгалзах хандлагатай ( эсвэл ) эсрэг деривативын хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол интеграл нийлдэг, үгүй бол энэ нь хуваагддаг. Гэсэн хэдий ч практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ эхлээд нэгдмэл байдлын баримтыг тогтоож, дараа нь интегралыг тооцоолох нь чухал юм (үүнээс гадна эсрэг дериватив нь ихэвчлэн үндсэн функцээр илэрхийлэгддэггүй). Сөрөг бус функцүүдийн буруу интегралуудын нийлбэр ба салангид байдлыг тооцоолохгүйгээр тогтоох боломжийг олгодог хэд хэдэн теоремуудыг томъёолж, баталцгаая.
12.1.3.1. Харьцуулах тэмдэг. Функцуудыг зөвшөөр е (x ) Мөн g (x ) интеграл

Жишээ.

Шийдэл.

Тийм ч учраас, .

Үүссэн зөв рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах нь хэлбэртэй байна . Тиймээс,

Учир нь , Тэр . Тийм ч учраас

Тиймээс,

Одоо дөрвөн төрөл бүрийн энгийн бутархайг нэгтгэх аргуудыг тайлбарлах руу шилжье.

Эхний төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх

Шууд интеграцийн арга нь энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой.

Жишээ.

Шийдэл.

Хуудасны дээд талд

Хоёр дахь төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх

Шууд нэгтгэх арга нь энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой.

Жишээ.

Шийдэл.

Хуудасны дээд талд

Гурав дахь төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх

Эхлээд бид тодорхойгүй интегралыг танилцуулж байна нийлбэрээр:

Бид эхний интегралыг дифференциал тэмдгийн доор оруулан авдаг.

Тийм ч учраас,

Үүссэн интегралын хуваагчийг өөрчилье:

Тиймээс,

Гурав дахь төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Жишээ.

Тодорхойгүй интегралыг ол .

Шийдэл.

Бид үүссэн томъёог ашиглана:

Хэрэв бидэнд энэ томъёо байхгүй байсан бол бид юу хийх байсан бэ?

9. Дөрөв дэх төрлийн энгийн бутархайн интеграл

Эхний алхам бол үүнийг дифференциал тэмдгийн доор тавих явдал юм.

Хоёрдахь алхам бол маягтын интегралыг олох явдал юм . Энэ төрлийн интегралуудыг давтагдах томьёо ашиглан олно. (Дахин давтагдах томьёог ашиглан хуваалтыг үзнэ үү). Дараах давтагдах томъёо нь манай тохиолдолд тохиромжтой.

Жишээ.

Тодорхойгүй интегралыг ол

Шийдэл.

Орлуулсны дараа бидэнд:

Урвуу орлуулсны дараа бид дараах үр дүнг авна.

10. Тригонометрийн функцүүдийн интегралчлал.

Тригонометрийн функц агуулсан трансцендент функцүүдийн интегралыг олоход олон асуудал гардаг. Энэ нийтлэлд бид интегралын хамгийн түгээмэл төрлүүдийг бүлэглэж, тэдгээрийг нэгтгэх аргуудыг авч үзэх жишээг ашиглана.

Синус, косинус, тангенс, котангенсыг нэгтгэж эхэлцгээе.

Антидеривативуудын хүснэгтээс бид нэн даруй тэмдэглэж байна Тэгээд .

Дифференциал тэмдгийг тооцох арга нь тангенс ба котангенсийн функцүүдийн тодорхойгүй интегралыг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Хуудасны дээд талд

Эхний тохиолдлыг харцгаая, хоёр дахь нь туйлын төстэй юм.

Орлуулах аргыг ашиглая:

Бид иррационал функцийг нэгтгэх асуудалд ирсэн. Орлуулах арга нь энд бас туслах болно:

Үлдсэн зүйл бол урвуу орлуулалтыг хийх явдал юм t = sinx:

Хуудасны дээд талд

Та тэдгээрийг олох зарчмуудын талаар дахин давтагдах томьёо ашиглан хэсгийн интеграцид илүү ихийг мэдэж болно. Хэрэв та эдгээр томъёоны гарал үүслийг судалбал маягтын интегралыг хялбархан авч болно , Хаана мТэгээд n- бүхэл тоо.

Хуудасны дээд талд

Интеграл нь өөр өөр аргументтай тригонометрийн функцуудыг агуулж байвал хамгийн бүтээлч байдал бий болдог.

Энд тригонометрийн үндсэн томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тиймээс тэдгээрийг тусдаа цаасан дээр бичиж, нүднийхээ өмнө хадгал.

Жишээ.

Функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг ол .

Шийдэл.

Бууруулах томъёог өгдөг Тэгээд .

Тийм ч учраас

Хуваагч нь нийлбэрийн синусын томъёо тул

Бид гурван интегралын нийлбэрт хүрнэ.

Хуудасны дээд талд

Тригонометрийн функц агуулсан интегралуудыг заримдаа стандарт тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан бутархай рационал илэрхийлэл болгон бууруулж болно.

Хагас аргументийн тангенсаар синус, косинус, тангенсыг илэрхийлэх тригонометрийн томьёог бичье.

Интеграцчлах үед бидэнд дифференциал илэрхийлэл хэрэгтэй болно dxхагас өнцгийн тангенсаар .

Учир нь , Тэр

Энэ нь, , хаана.

Жишээ.

Тодорхойгүй интегралыг ол .

Шийдэл.

Стандарт тригонометрийн орлуулалтыг ашиглая:

Тиймээс, .

Интегралыг энгийн бутархай болгон задлах нь биднийг хоёр интегралын нийлбэрт хүргэдэг.

Үлдсэн зүйл бол урвуу орлуулалтыг хийх явдал юм.

11. Давтагдах томьёо нь илэрхийлэх томьёо юм nӨмнөх гишүүдээр дамжуулан дарааллын th гишүүн. Тэдгээрийг ихэвчлэн интеграл олоход ашигладаг.

Бид бүх давтагдах томьёог жагсаахыг зорьдоггүй, харин тэдгээрийн гарал үүслийн зарчмыг өгөхийг хүсч байна. Эдгээр томьёог гаргаж авах нь интегралыг хувиргах, интеграцийн аргыг хэсэг хэсгээр нь хэрэглэхэд үндэслэсэн болно.

Жишээлбэл, тодорхойгүй интеграл давталтын томъёог ашиглан авч болно .