Da li je moguće dobiti na lutriji? Koje su šanse da uparite potreban broj brojeva i osvojite džekpot ili nagradu za juniorsku kategoriju? Verovatnoća pobede je lako izračunati svako može sam.

Kako se općenito izračunava vjerovatnoća dobitka na lutriji?

Numeričke lutrije se provode prema određenim formulama i matematički se izračunavaju šanse za svaki događaj (pobjeda u određenoj kategoriji). Štaviše, ova vjerovatnoća se izračunava za bilo koji željenu vrijednost, bilo “5 od 36”, “6 od 45” ili “7 od 49” i ne mijenja se, jer zavisi samo od ukupan broj brojeve (loptice, brojevi) i koliko ih treba pogoditi.

Na primjer, za lutriju “5 od 36” vjerovatnoće su uvijek sljedeće

• pogodite dva broja - 1:8
• pogodi tri broja - 1:81
• pogodi četiri broja - 1: 2,432
• pogodi pet brojeva - 1: 376.992

Drugim riječima, ako označite jednu kombinaciju (5 brojeva) na listiću, onda je šansa da pogodite "dva" samo 1 prema 8. Ali uhvatiti "pet" brojeva je mnogo teže, ovo je već 1 šansa od 376,992. Upravo to je broj (376 hiljada) U lutriji “5 od 36” postoje sve moguće kombinacije i zagarantovano ćete je osvojiti samo ako ih sve ispunite. Istina, iznos dobitka u ovom slučaju neće opravdati ulaganje: ako karta košta 80 rubalja, tada će označavanje svih kombinacija koštati 30.159.360 rubalja. Džekpot je obično mnogo manji.

Općenito, sve vjerovatnoće su odavno poznate, ostaje samo da ih pronađete ili sami izračunate, koristeći odgovarajuće formule.

Za one koji su previše lijeni da traže, predstavljamo vjerovatnoće pobjede za glavni numeričke lutrije Stoloto - prikazani su u ovoj tabeli

Neophodna pojašnjenja

Loto widget vam omogućava da izračunate vjerovatnoću dobitka na lutriji s jednom lutrijskom mašinom (bez bonus loptica) ili sa dvije lutrijke. Također možete izračunati vjerovatnoće raspoređenih opklada

Izračun vjerovatnoće za lutriju sa jednom lutrijskom mašinom (bez bonus loptica)

Koriste se samo prva dva polja u kojima se koristi numerička formula lutrije, na primjer: - “5 od 36”, “6 od 45”, “7 od 49”. U principu, možete izračunati gotovo bilo koji svjetska lutrija. Postoje samo dva ograničenja: prva vrijednost ne bi trebala prelaziti 30, a druga - 99.

Ako lutrija ne koristi dodatne brojeve*, onda nakon odabira numeričke formule, sve što trebate učiniti je kliknuti na dugme izračunaj i rezultat je spreman. Nije bitno koju vjerovatnoću događaja želite da znate - osvajanje džekpota, nagrade u drugoj/trećoj kategoriji ili samo saznanje da li je teško pogoditi 2-3 broja od traženog broja - rezultat se izračunava skoro trenutno!

Primjer izračuna. Šansa da pogodite 5 od 36 je 1 prema 376.992

Primjeri. Vjerojatnosti osvajanja glavne nagrade na lutriji:
“5 od 36” (Gosloto, Rusija) – 1:376 922
“6 od 45” (Gosloto, Rusija; Saturday Lotto, Australija; Loto, Austrija) - 1:8 145 060
“6 od 49” (Sportloto, Rusija; La Primitiva, Španija; Loto 6/49, Kanada) - 1:13 983 816
“6 od 52” (Super Loto, Ukrajina; Illinois Lotto, SAD; Mega TOTO, Malezija) - 1:20 358 520
“7 od 49” (Gosloto, Rusija; Lotto Max, Kanada) - 1:85 900 584

Lutrije sa dva aparata za lutriju (+ bonus lopta)

Ako lutrija koristi dva aparata za lutriju, tada se moraju popuniti sva 4 polja za obračun. U prva dva - numerička formula lutrije (5 od 36, 6 od 45, itd.), U trećem i četvrtom polju je naznačen broj bonus loptica (x od n). Važno: ovaj izračun se može koristiti samo za lutrije sa dva aparata za lutriju. Ako je bonus lopta uzeta sa glavnog aparata za lutriju, tada se vjerovatnoća dobitka u ovoj kategoriji izračunava drugačije.

* Budući da se pri korištenju dva lutrijskog aparata šansa za dobitak izračunava množenjem vjerovatnoća jedna s drugom, onda je za ispravan obračun lutrije sa jednom lutrijskom mašinom izbor dodatni broj podrazumevano je 1 od 1, odnosno ne uzima se u obzir.

Primjeri. Vjerojatnosti osvajanja glavne nagrade na lutriji:
“5 od 36 + 1 od 4” (Gosloto, Rusija) – 1:1 507 978
“4 od 20 + 4 od 20” (Gosloto, Rusija) – 1:23 474 025
“6 od 42 + 1 od 10” (Megalot, Ukrajina) – 1:52 457 860
“5 od 50 + 2 od 10” (EuroJackpot) – 1:95 344 200
“5 od 69 + 1 od 26” (Powerball, SAD) - 1: 292,201,338

Primjer izračuna. Šansa da pogodite 4 od 20 dva puta (u dva polja) je 1 prema 23,474,025

Dobra ilustracija složenosti igranja sa dva lutrijska aparata je lutrija Gosloto 4 od 20. Vjerovatnoća da ćete pogoditi 4 od 20 u jednom polju je prilično fer, šansa za to je 1 prema 4,845 Ali kada trebate točno pogoditi i osvojiti oba polja... tada se vjerovatnoća izračunava množenjem. To jest, u u ovom slučaju 4.845 pomnoženo sa 4.845, što daje 23.474.025 Dakle, jednostavnost ove lutrije je varljiva, osvojite je glavna nagrada teže od "6 od 45" ili "6 od 49"

Izračun vjerovatnoće (proširene opklade)

U ovom slučaju se izračunava vjerovatnoća dobitka pri korištenju proširenih opklada. Na primjer, ako je u lutriji 6 od 45, označite 8 brojeva, tada će vjerovatnoća osvajanja glavne nagrade (6 od 45) biti 1 šansa od 290.895. Na vama je da li ćete koristiti proširene opklade. Uzimajući u obzir činjenicu da je njihova cijena vrlo visoka (u ovom slučaju, 8 označenih brojeva su 28 opcija), vrijedi znati kako to povećava šanse za pobjedu. Štaviše, sada je to vrlo lako učiniti!

Izračunavanje vjerovatnoće dobitka (6 od 45) na primjeru proširene opklade (označeno 8 brojeva)

I druge mogućnosti

Koristeći naš widget, možete izračunati vjerovatnoću dobitka u bingo lutriji, na primjer, u ruski loto" Glavna stvar koju treba uzeti u obzir je broj poteza dodijeljenih za početak pobjede. Da bude jasnije: dugo vremena U lutriji ruske loto, džekpot se može osvojiti ako 15 brojeva ( u jednom polju) zatvoreno u 15 poteza. Vjerovatnoća takvog događaja je apsolutno fantastična, 1 šansa od 45,795,673,964,460,800 (možete provjeriti i dobiti ovu vrijednost sami). Zbog toga, inače, dugi niz godina na lutriji ruske loto niko nije mogao da osvoji džekpot, a on je bio podeljen nasilno.

20. marta 2016. godine promijenjena su pravila lutrije ruske loto. Džekpot se sada može osvojiti ako 15 brojeva (od 30) zatvoreno je u 15 poteza. Ispada da je to analog proširene opklade - na kraju krajeva, pogađa se 15 brojeva od 30 dostupnih! A ovo je potpuno drugačija mogućnost:

Šansa za osvajanje džekpota (prema novim pravilima) na lutriji ruske loto

I na kraju, predstavljamo vjerovatnoću dobitka na lutriji koristeći bonus kuglicu iz glavnog bubnja lutrije (naš widget ne broji takve vrijednosti). Od najpoznatijih

Sportsloto “6 od 49”(Gosloto, Rusija), La Primitiva “6 od 49” (Španija)
Kategorija "5 + bonus lopta": vjerovatnoća 1:2 330 636

SuperEnalotto "6 od 90"(Italija)
Kategorija "5 + bonus lopta": vjerovatnoća 1:103,769,105

Oz Lotto "7 od 45"(Australija)
Kategorija "6 + bonus lopta": vjerovatnoća 1:3 241 401
“5 + 1” – vjerovatnoća 1:29,602
“3 +1” – vjerovatnoća 1:87

Loto "6 od 59"(Ujedinjeno Kraljevstvo)
Kategorija "5 + 1 bonus lopta": vjerovatnoća 1:7 509 579

Razumijem da svi žele unaprijed znati kako će se sportski događaj završiti, ko će pobijediti, a ko izgubiti. Sa ovim informacijama možete se kladiti na sportskih događaja. Ali da li je to uopšte moguće, i ako jeste, kako izračunati verovatnoću nekog događaja?

Vjerovatnoća je relativna veličina, stoga ne može sa sigurnošću govoriti ni o jednom događaju. Ova vrijednost omogućava vam da analizirate i procijenite potrebu da se kladite na određeno takmičenje. Određivanje vjerovatnoća je čitava nauka koja zahtijeva pažljivo proučavanje i razumijevanje.

Koeficijent vjerovatnoće u teoriji vjerovatnoće

U sportskom klađenju postoji nekoliko opcija za ishod takmičenja:

• pobjeda prvog tima;
• pobjeda drugog tima;
• draw;
• ukupno

Svaki ishod takmičenja ima svoju vjerovatnoću i učestalost s kojom će se ovaj događaj dogoditi, pod uslovom da se zadrže početne karakteristike. Kao što smo ranije rekli, nemoguće je precizno izračunati vjerovatnoću bilo kojeg događaja - može se, ali i ne mora podudarati. Dakle, vaša opklada može ili dobiti ili izgubiti.

Ne može postojati 100% tačna prognoza rezultata takmičenja, jer mnogo faktora utiče na ishod utakmice. Naravno, kladionice ne znaju unaprijed ishod utakmice i samo pretpostavljaju rezultat, donoseći odluke koristeći svoj sistem analize i nudeći određene kvote za klađenje.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja?

Pretpostavimo da su kvote kladionice 2,1/2 – dobijamo 50%. Ispada da je koeficijent 2 jednak vjerovatnoći od 50%. Koristeći isti princip, možete dobiti koeficijent vjerovatnoće preloma - 1/vjerovatnoća.

Mnogi igrači misle da će se nakon nekoliko ponovljenih poraza sigurno dogoditi pobjeda - to je pogrešno mišljenje. Verovatnoća dobijanja opklade ne zavisi od broja gubitaka. Čak i ako okrenete nekoliko glava zaredom u igri novčića, vjerovatnoća okretanja repa ostaje ista - 50%.

Da bi se izračunala verovatnoća P A događaja A, potrebno je konstruisati matematički model objekta koji se proučava, koji sadrži događaj A. Osnova modela je prostor verovatnoće (,?,P), gde je prostor elementarnih događaji, ? - klasa događaja sa uvedenim operacijama kompozicije,

Vjerovatnoća bilo kojeg događaja A koji ima smisla i koji je uključen u klasu događaja? 25. Ako je npr.

onda iz aksioma 3, vjerovatnoće, slijedi da

Dakle, izračunavanje vjerovatnoće događaja A svodi se na izračunavanje vjerovatnoća elementarnih događaja koji ga čine, a budući da su „osnovni“, metode za njihovo izračunavanje ne moraju ovisiti o aksiomatici teorije vjerovatnoće.

Ovdje se razmatraju tri pristupa izračunavanju vjerovatnoća elementarnih događaja:

klasična;

geometrijski;

statistički ili učestalost.

Klasična metoda izračunavanja vjerovatnoće

Iz aksiomatske definicije vjerovatnoće slijedi da vjerovatnoća postoji za bilo koji događaj A, ali se ništa ne kaže o tome kako se izračunati, iako je poznato da za svaki elementarni događaj i postoji vjerovatnoća pi takva da je zbir vjerovatnoća svih elementarni događaji u prostoru jednak je jedinici, tj

Klasična metoda izračunavanja vjerovatnoće zasniva se na korištenju ove činjenice slučajni događaji, koji, zbog svoje specifičnosti, pruža način da se pronađu vjerovatnoće ovih događaja direktno iz aksioma.

Neka je dat fiksni prostor vjerovatnoće (,?,P), u kojem je:

• a) sastoji se od konačnog broja n elementarnih događaja,
• b) svaki elementarni događaj i povezan je sa vjerovatnoćom

Razmotrimo događaj A, koji se sastoji od m elementarnih događaja:

onda iz aksioma 3 vjerovatnoće, zbog nekompatibilnosti elementarnih događaja, slijedi da

Tako imamo formulu

što se može protumačiti na sljedeći način: vjerovatnoća da će se događaj A desiti jednaka je odnosu broja elementarnih događaja povoljnih za nastanak događaja A prema broju svih elementarnih događaja iz.

Ovo je suština klasične metode izračunavanja vjerovatnoće događaja.

Komentar. Dodijelivši istu vjerovatnoću svakom elementarnom događaju u prostoru, mi smo, s jedne strane, posjedujući vjerovatnostni prostor i oslanjajući se na aksiome teorije vjerovatnoće, dobili pravilo za izračunavanje vjerovatnoća bilo kojeg slučajnog događaja iz prostora prema formuli (2), s druge strane, ovo nam daje razlog da smatramo da su svi elementarni događaji podjednako mogući i da se izračuna vjerovatnoća bilo kojeg slučajnog događaja iz redukcije na shemu „urne“, bez obzira na aksiome.

Iz formule (2) proizilazi da vjerovatnoća događaja A zavisi samo od broja elementarnih događaja od kojih se sastoji i ne zavisi od njihovog specifičnog sadržaja. Dakle, da bismo koristili formulu (2), potrebno je pronaći broj tačaka u prostoru i broj tačaka koje čine događaj A, ali je to tada već zadatak kombinatorne analize.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 8. U urni od n kuglica, k crvenih i (n - k) crnih. Izvlačimo r lopti nasumično bez vraćanja r lopti. Kolika je vjerovatnoća da je u uzorku od r kuglica s kuglica crvene?

Rješenje. Neka je događaj (A) (u uzorku od r kuglica s crven). Željena vjerovatnoća se nalazi prema klasičnoj shemi, formuli (2):

gdje je broj mogućih uzoraka zapremine r koji se razlikuju u najmanje jednom broju kuglica, a m je broj uzoraka zapremine r u kojima je s kuglica crvene boje. Očigledno za broj moguće opcije uzorak je jednak, a m, kao što slijedi iz primjera 7, jednako

Dakle, tražena vjerovatnoća je jednaka

Neka je dat skup po parovima nekompatibilnih događaja,

formiranje puna grupa, Onda

U ovom slučaju kažemo da imamo distribuciju vjerovatnoća događaja As.

Distribucija vjerovatnoće je jedna od fundamentalni koncepti moderna teorija vjerovatnoće i čini osnovu Kolmagorovljevih aksioma.

Definicija. Distribucija vjerovatnoće

određuje se hipergeometrijska distribucija.

Borovkov A.A. u svojoj knjizi, koristeći formulu (3) kao primjer, objašnjava prirodu problema u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici na sljedeći način: poznajući sastav opće populacije, možemo koristiti hipergeometrijsku distribuciju da saznamo kakav je sastav uzorak može biti - ovo je tipičan problem u teoriji vjerovatnoće (direktan problem). IN prirodne nauke rješavaju inverzni problem: na osnovu sastava uzoraka određuju prirodu općih populacija - to je inverzni problem, i, slikovito rečeno, čini sadržaj matematičke statistike.

Generalizacija binomskih koeficijenata (kombinacija) su polinomski koeficijenti, koji svoje ime duguju proširenju polinoma oblika

po ovlašćenjima termina.

Polinomski koeficijenti (4) se često koriste pri rješavanju kombinatornih zadataka.

Teorema. Neka postoji k različitih kutija u koje se stavljaju numerisane kuglice. Zatim broj loptica koje treba staviti u kutije tako da kutija broj r sadrži ri loptica,

određena je polinomskim koeficijentima (4).

Dokaz. Pošto je redosled kutija važan, ali loptice u kutijama nisu bitne, kombinacije se mogu koristiti za brojanje položaja loptica u bilo kojoj kutiji.

U prvoj kutiji r1 kuglice od n se mogu birati na načine, u drugoj kutiji r2 kuglice, od preostalih (n - r1) se mogu birati na načine i tako dalje, u (k - 1) kutiji rk-1 kuglice biramo

načini; u polju k - preostale

Kuglice padaju automatski, na jedan način.

Dakle, ukupni plasmani će biti

Primjer. n loptica je nasumično raspoređeno u n kutija. Pod pretpostavkom da se kutije i kuglice razlikuju, pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:

• a) sve kutije nisu prazne = A0;
• b) jedna kutija je prazna = A1;
• c) dva prazna polja = A2;
• d) tri prazna polja = A3;
• e) (n-1) - kutija je prazna = A4.

Riješite zadatak za slučaj n = 5.

Rješenje. Iz uvjeta slijedi da je raspodjela loptica po kutijama jednostavna slučajni odabir, dakle, sve opcije su nn.

Ovaj redoslijed znači da prva, druga i treća kutija imaju po tri loptice, četvrta i peta kutija imaju po dvije, a preostale (n - 5) kutije imaju po jednu lopticu. Ukupan broj takvih plasmana loptica u kutije će biti

Pošto su kuglice zapravo prepoznatljive, onda ćemo za svaku takvu kombinaciju imati

plasmani lopte. Tako će postojati ukupno opcija

Pređimo na rješenje tačku po tačku u primjeru:

a) pošto svaka kutija sadrži jednu loptu, imamo niz 111...11, za koji je broj plasmana n!/ n! = 1. Ako se kuglice razlikuju, onda imamo n!/ 1! plasmana, dakle, ukupan broj opcija je m = 1n!= n!, dakle

b) ako je jedna kutija prazna, onda neka kutija sadrži dvije kuglice, tada imamo niz 211...10, za koji je broj plasmana n! (n-2)!. Pošto se kuglice razlikuju, za svaku takvu kombinaciju imamo n!/ 2! plasmani. Total options

c) ako su dva polja prazna, onda imamo dva niza: 311...100 i 221...100. Za prvu, broj plasmana je jednak

n!/ (2! (n - 3)!).

Za svaku takvu kombinaciju imamo n!/ 3! plasmani lopte. Dakle, za prvi niz, broj opcija je

Za drugu sekvencu, ukupne opcije će biti

Konačno imamo

d) za tri prazna polja biće tri niza: 411...1000, ili 3211...1000, ili 22211...1000.

Za prvu sekvencu imamo

Za drugu sekvencu

Za treću sekvencu dobijamo

Total options

m = k1 + k2 + k3,

Tražena vjerovatnoća je jednaka

e) ako je (n -1) kutija prazna, onda sve kuglice moraju biti u jednoj od kutija. Očigledno, broj kombinacija je jednak

Vjerovatnoća koja odgovara ovom događaju je jednaka

Za n = 5 imamo

Imajte na umu da za n = 5 događaja Ai treba da formira kompletnu grupu, što je tačno. Zaista

Naš odgovor

Izbor ispravna opklada ne zavisi samo od intuicije, sportskog znanja, kladioničarskih kvota, već i od koeficijenta verovatnoće događaja. Sposobnost izračunavanja takvog indikatora u klađenju je ključ uspjeha u predviđanju predstojećeg događaja na koji bi se trebala staviti opklada.
U kladionicama postoje tri vrste kvota (više detalja u članku), čija vrsta određuje kako izračunati vjerovatnoću događaja za igrača.

Decimalne kvote

U ovom slučaju, vjerovatnoća događaja se izračunava pomoću formule: 1/koeficijent. = v.i, gdje je koeficijent. je koeficijent događaja, a v.i je vjerovatnoća ishoda. Na primjer, uzmemo kvotu za događaj od 1,80 sa opkladom od jednog dolara, izvodeći matematičku operaciju prema formuli, igrač dobije da je vjerovatnoća ishoda događaja prema kladionici 0,55 posto.

Fractional kvote

Kada koristite razlomke, formula za izračunavanje vjerovatnoće će biti drugačija. Dakle, sa koeficijentom 7/2, pri čemu prva cifra označava mogući iznos neto dobiti, a druga veličinu potrebne opklade za dobijanje ovog profita, jednačina će izgledati ovako: zn.od/ za sumu od zn.od i chs.od = v.i . Ovdje je zn.coef imenilac koeficijenta, chs.coef je brojilac koeficijenta, v.i je vjerovatnoća ishoda. Dakle, za frakcioni koeficijent Jednačina 7/2 izgleda kao 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, stoga je vjerovatnoća ishoda događaja 0,22 posto prema kladioničaru.

Američki izgledi

Američki koeficijenti nisu jako popularni među igračima i u pravilu se koriste isključivo u SAD-u, imaju složenu i zbunjujuću strukturu. Da biste odgovorili na pitanje: "Kako izračunati vjerovatnoću događaja na ovaj način?", morate znati da takvi koeficijenti mogu biti negativni i pozitivni.

Koeficijent sa znakom "-", na primjer -150, pokazuje da igrač treba da stavi opkladu od 150 dolara da bi dobio neto profit od 100 dolara. Vjerovatnoća događaja se izračunava na osnovu formule gdje trebate podijeliti negativni koeficijent sa zbirom negativnog koeficijenta i 100. Ovo izgleda kao na primjeru opklade od -150, tako da (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, gdje je 0,6 pomnoženo sa 100 i vjerovatnoća ishoda događaja je 60 posto. Ista formula je pogodna i za pozitivne američke kvote.

TEMA 1 . Klasična formula za izračunavanje vjerovatnoće.

Osnovne definicije i formule:

Eksperiment čiji se ishod ne može predvidjeti naziva se nasumični eksperiment(SE).

Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u datom SE se zove slučajni događaj.

Elementarni ishodi događaji koji ispunjavaju uslove nazivaju se:

1. kod bilo koje implementacije SE javlja se jedan i samo jedan elementarni ishod;

2. svaki događaj je određena kombinacija, određeni skup elementarnih ishoda.

Skup svih mogućih elementarnih ishoda u potpunosti opisuje SE. Takav skup se obično naziva prostor elementarnih ishoda(PEI). Izbor PEI za opisivanje datog SE je dvosmislen i zavisi od problema koji se rešava.

P(A) = n(A)/n,

gdje je n – ukupan broj podjednako mogući ishodi,

n (A) – broj ishoda koji čine događaj A, kako još kažu, povoljan za događaj A.

Riječi “nasumično”, “nasumično”, “nasumično” garantuju jednaku mogućnost elementarnih ishoda.

Rješavanje tipičnih primjera

Primjer 1. Iz urne koja sadrži 5 crvenih, 3 crne i 2 bijele kuglice izvlače se 3 kuglice nasumično. Pronađite vjerovatnoće događaja:

A– „sve izvučene lopte su crvene“;

IN– „sve izvučene lopte su iste boje“;

WITH– “među izvađenim ima tačno 2 crna.”

Rješenje:

Elementarni ishod ovog SE je trostruka (poremećena!) loptica. Dakle, ukupan broj ishoda je broj kombinacija: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Događaj A sastoji se samo od onih trojki koje su izvučene iz pet crvenih loptica, tj. n(A)==10.

Događaj IN Pored 10 crvenih trojki, povoljne su i crne trojke čiji je broj = 1. Dakle: n (B)=10+1=11.

Događaj WITH Prednost imaju one trojke koje sadrže 2 crne i jednu necrnu. Svaki način odabira dvije crne lopte može se kombinirati sa odabirom jedne ne-crne lopte (od sedam). Dakle: n (C) = = 3 * 7 = 21.

dakle: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

Primjer 2. U uslovima prethodnog zadatka, pretpostavićemo da kuglice svake boje imaju svoju numeraciju, počevši od 1. Nađite verovatnoće događaja:

D– „maksimalni izdvojeni broj je 4”;

E– “Maksimalni izdvojeni broj je 3.”

Rješenje:

Da bismo izračunali n(D), možemo pretpostaviti da urna ima jednu kuglu sa brojem 4, jednu loptu sa većim brojem i 8 kuglica (3k+3h+2b) sa manjim brojevima. Događaj D Favoriziraju se one trojke loptica koje obavezno sadrže lopticu sa brojem 4 i 2 loptice s manjim brojevima. Prema tome: n(D) =

P(D) = 28/120.

Za izračunavanje n (E) uzimamo u obzir: u urni se nalaze dvije kuglice sa brojem 3, dvije sa većim brojevima i šest kuglica sa manjim brojevima (2k+2h+2b). Događaj E sastoji se od dva tipa trojki:

1. jedna lopta sa brojem 3 i dve sa manjim brojevima;

2.dve lopte sa brojem 3 i jedna sa manjim brojem.

Prema tome: n(E)=

P(E) = 36/120.

Primjer 3. Svaka od M različitih čestica nasumično se baca u jednu od N ćelija. Pronađite vjerovatnoće događaja:

A– sve čestice su pale u drugu ćeliju;

IN– sve čestice su pale u jednu ćeliju;

WITH– svaka ćelija ne sadrži više od jedne čestice (M £ N);

D– sve ćelije su zauzete (M =N +1);

E– druga ćelija sadrži tačno To čestice.

Rješenje:

Za svaku česticu postoji N načina da se uđe u određenu ćeliju. Prema osnovnom principu kombinatorike za M čestica imamo N *N *N *…*N (M puta). Dakle, ukupan broj ishoda u ovom SE n = N M .

Za svaku česticu imamo jednu priliku da uđemo u drugu ćeliju, dakle n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1, i P(A) = 1/ N M.

Ući u jednu ćeliju (za sve čestice) znači ubaciti svakoga u prvu, ili svakoga u drugu, itd. svi u Nth. Ali svaka od ovih N opcija može se implementirati na jedan način. Stoga je n (B)=1+1+…+1(N -puta)=N i R(V)=N/N M.

Događaj C znači da svaka čestica ima jedan manji broj opcija za smještaj od prethodne čestice, a prva može pasti u bilo koju od N ćelija. zato:

n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) i R(S) =

U posebnom slučaju sa M =N: R(S)=

Događaj D znači da jedna od ćelija sadrži dvije čestice, a svaka od (N -1) preostalih ćelija sadrži jednu česticu. Da bismo pronašli n (D) razmišljamo ovako: odaberite ćeliju u kojoj će biti dvije čestice, to se može učiniti na =N načina; tada ćemo odabrati dvije čestice za ovu ćeliju, postoje načini da to učinimo. Nakon toga raspodjeljujemo preostale (N -1) čestice jednu po jednu u preostale (N -1) ćelije, za to postoji (N -1)! načine.

Dakle, n(D) =

.

Broj n(E) se može izračunati na sljedeći način: To čestice za drugu ćeliju mogu se izvršiti na način da se preostale (M – K) čestice raspodijele nasumično po (N -1) ćeliji (N -1) na M-K načine. zato: