Dakle, hajde da pričamo o temi koja zanima mnoge ljude. U ovom članku ću odgovoriti na pitanje kako izračunati vjerovatnoću događaja. Dat ću formule za takav izračun i nekoliko primjera da bude jasnije kako se to radi.

Šta je vjerovatnoća

Počnimo s činjenicom da je vjerovatnoća da će se desiti ovaj ili onaj događaj određena doza povjerenja u eventualnu pojavu nekog rezultata. Za ovaj proračun razvijena je formula puna vjerovatnoća, koji vam omogućava da odredite da li će se događaj koji vas zanima dogoditi ili ne, kroz tzv. uslovne vjerovatnoće. Ova formula izgleda ovako: P = n/m, slova se mogu mijenjati, ali to ne utiče na samu suštinu.

Primjeri vjerovatnoće

Koristeći jednostavan primjer, analizirajmo ovu formulu i primijenimo je. Recimo da imate određeni događaj (P), neka to bude bacanje kocke, odnosno jednakostranična kocka. I moramo izračunati kolika je vjerovatnoća da dobijemo 2 boda na tome. Za ovo je potreban broj pozitivnih događaja(n), u našem slučaju – izvlačenje 2 tačke, dalje ukupan broj događaji (m). Bacanje od 2 poena može se desiti samo u jednom slučaju, ako su na kocki 2 boda, pošto će u suprotnom zbroj biti veći, sledi da je n = 1. Zatim računamo broj bacanja bilo kojih drugih brojeva na kockice, po 1 kocki - to su 1, 2, 3, 4, 5 i 6, dakle, ima 6 povoljnih slučajeva, odnosno m = 6. Sada, koristeći formulu, napravimo jednostavan proračun P = 1/ 6 i nalazimo da je bacanje 2 boda na kocki 1/6, odnosno da je vjerovatnoća događaja vrlo mala.

Pogledajmo i primjer korištenja kuglica u boji koje se nalaze u kutiji: 50 bijelih, 40 crnih i 30 zelenih. Morate odrediti kolika je vjerovatnoća da ćete izvući zelenu loptu. I tako, pošto ima 30 kuglica ove boje, odnosno može biti samo 30 pozitivnih događaja (n = 30), broj svih događaja je 120, m = 120 (na osnovu ukupnog broja svih loptica), koristeći formulu izračunavamo da će vjerovatnoća izvlačenja zelene lopte biti jednaka P = 30/120 = 0,25, odnosno 25% od 100. Na isti način možete izračunati vjerovatnoću izvlačenja lopte od različite boje (crna će biti 33%, bijela 42%).

Naš odgovor

Izbor ispravna opklada ne zavisi samo od intuicije, sportskog znanja, kladioničarskih kvota, već i od koeficijenta verovatnoće događaja. Sposobnost izračunavanja takvog indikatora u klađenju je ključ uspjeha u predviđanju predstojećeg događaja na koji bi se trebala staviti opklada.
U kladionicama postoje tri vrste kvota (više detalja u članku), čija vrsta određuje kako izračunati vjerovatnoću događaja za igrača.

Decimalne kvote

U ovom slučaju, vjerovatnoća događaja se izračunava pomoću formule: 1/koeficijent. = v.i, gdje je koeficijent. je koeficijent događaja, a v.i je vjerovatnoća ishoda. Na primjer, uzmemo kvotu za događaj od 1,80 sa opkladom od jednog dolara, izvodeći matematičku operaciju prema formuli, igrač dobije da je vjerovatnoća ishoda događaja prema kladionici 0,55 posto.

Fractional kvote

Kada koristite razlomke, formula za izračunavanje vjerovatnoće će biti drugačija. Dakle, sa koeficijentom 7/2, pri čemu prva cifra označava mogući iznos neto dobiti, a druga veličinu potrebne opklade za dobijanje ovog profita, jednačina će izgledati ovako: zn.od/ za sumu od zn.od i chs.od = v.i . Ovdje je zn.coef imenilac koeficijenta, chs.coef je brojilac koeficijenta, v.i je vjerovatnoća ishoda. Dakle, za razlomak od 7/2, jednačina izgleda kao 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, stoga je vjerovatnoća ishoda događaja 0,22 posto prema kladioničaru.

Američki izgledi

Američke kvote nisu jako popularne među igračima i po pravilu se koriste isključivo u SAD-u, imaju složenu i zbunjujuću strukturu. Da biste odgovorili na pitanje: "Kako izračunati vjerovatnoću događaja na ovaj način?", morate znati da takvi koeficijenti mogu biti negativni i pozitivni.

Koeficijent sa znakom "-", na primjer -150, pokazuje da igrač treba da stavi opkladu od 150 dolara da bi dobio neto profit od 100 dolara. Vjerovatnoća događaja se izračunava na osnovu formule gdje trebate podijeliti negativni koeficijent sa zbirom negativnog koeficijenta i 100. Ovo izgleda kao na primjeru opklade od -150, pa (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, gdje je 0,6 pomnoženo sa 100 i vjerovatnoća ishoda događaja je 60 posto. Ista formula je pogodna i za pozitivne američke kvote.

Da li je moguće dobiti na lutriji? Koje su šanse da uparite potreban broj brojeva i osvojite džekpot ili nagradu za juniorsku kategoriju? Lako je izračunati vjerovatnoću pobjede, svako to može učiniti sam.

Kako se općenito izračunava vjerovatnoća dobitka na lutriji?

Numeričke lutrije se provode prema određenim formulama i matematički se izračunavaju šanse za svaki događaj (pobjeda u određenoj kategoriji). Štaviše, ova vjerovatnoća se izračunava za bilo koji željenu vrijednost, bilo da je “5 od 36”, “6 od 45” ili “7 od 49” i ne mijenja se, jer zavisi samo od ukupan broj brojeve (loptice, brojevi) i koliko ih treba pogoditi.

Na primjer, za lutriju “5 od 36” vjerovatnoće su uvijek sljedeće

• pogodite dva broja - 1:8
• pogodi tri broja - 1:81
• pogodi četiri broja - 1: 2,432
• pogodi pet brojeva - 1: 376.992

Drugim riječima, ako označite jednu kombinaciju (5 brojeva) na listiću, onda je šansa da pogodite "dva" samo 1 prema 8. Ali uhvatiti "pet" brojeva je mnogo teže, ovo je već 1 šansa od 376,992. Upravo to je broj (376 hiljada) U lutriji “5 od 36” postoje sve moguće kombinacije i zagarantovano je da ćete je osvojiti samo ako ih sve ispunite. Istina, iznos dobitka u ovom slučaju neće opravdati ulaganje: ako karta košta 80 rubalja, tada će označavanje svih kombinacija koštati 30.159.360 rubalja. Džekpot je obično mnogo manji.

Općenito, sve vjerovatnoće su odavno poznate, ostaje samo da ih pronađete ili sami izračunate, koristeći odgovarajuće formule.

Za one koji su previše lijeni da traže, predstavljamo vjerovatnoće pobjede za glavni numeričke lutrije Stoloto - prikazani su u ovoj tabeli

Neophodna pojašnjenja

Loto widget vam omogućava da izračunate vjerovatnoću dobitka na lutriji s jednom lutrijskom mašinom (bez bonus loptica) ili sa dvije lutrijke. Također možete izračunati vjerovatnoće raspoređenih opklada

Izračun vjerovatnoće za lutriju sa jednom lutrijskom mašinom (bez bonus loptica)

Koriste se samo prva dva polja u kojima se koristi numerička formula lutrije, na primjer: - “5 od 36”, “6 od 45”, “7 od 49”. U principu, možete izračunati gotovo bilo koji svjetska lutrija. Postoje samo dva ograničenja: prva vrijednost ne bi trebala prelaziti 30, a druga - 99.

Ako lutrija ne koristi dodatne brojeve*, onda nakon odabira numeričke formule, sve što trebate učiniti je kliknuti na dugme izračunaj i rezultat je spreman. Nije važno koju verovatnoću događaja želite da znate - osvajanje džekpota, nagrade u drugoj/trećoj kategoriji ili samo saznanje da li je teško pogoditi 2-3 broja od traženog broja - rezultat se izračunava skoro odmah!

Primjer izračuna. Šansa da pogodite 5 od 36 je 1 prema 376.992

Primjeri. Vjerojatnosti osvajanja glavne nagrade na lutriji:
“5 od 36” (Gosloto, Rusija) – 1:376 922
“6 od 45” (Gosloto, Rusija; Saturday Lotto, Australija; Loto, Austrija) - 1:8 145 060
“6 od 49” (Sportloto, Rusija; La Primitiva, Španija; Loto 6/49, Kanada) - 1:13 983 816
“6 od 52” (Super Loto, Ukrajina; Illinois Lotto, SAD; Mega TOTO, Malezija) - 1:20 358 520
“7 od 49” (Gosloto, Rusija; Lotto Max, Kanada) - 1:85 900 584

Lutrije sa dva aparata za lutriju (+ bonus lopta)

Ako lutrija koristi dva aparata za lutriju, tada se moraju popuniti sva 4 polja za obračun. U prva dva - numerička formula lutrije (5 od 36, 6 od 45, itd.), U trećem i četvrtom polju je naznačen broj bonus loptica (x od n). Važno: ovaj izračun se može koristiti samo za lutrije sa dva aparata za lutriju. Ako je bonus lopta uzeta sa glavnog aparata za lutriju, tada se vjerovatnoća dobitka u ovoj kategoriji izračunava drugačije.

* Budući da se pri korištenju dva lutrijska aparata šansa za dobitak izračunava množenjem vjerovatnoća jedna s drugom, onda je za ispravan obračun lutrije sa jednom lutrijskom mašinom izbor dodatni broj podrazumevano je 1 od 1, odnosno ne uzima se u obzir.

Primjeri. Vjerojatnosti osvajanja glavne nagrade na lutriji:
“5 od 36 + 1 od 4” (Gosloto, Rusija) – 1:1 507 978
“4 od 20 + 4 od 20” (Gosloto, Rusija) – 1:23 474 025
“6 od 42 + 1 od 10” (Megalot, Ukrajina) – 1:52 457 860
“5 od 50 + 2 od 10” (EuroJackpot) – 1:95 344 200
“5 od 69 + 1 od 26” (Powerball, SAD) - 1: 292,201,338

Primjer izračuna. Šansa da pogodite 4 od 20 dva puta (u dva polja) je 1 prema 23,474,025

Dobra ilustracija složenosti igranja sa dve lutrije je Gosloto 4 od 20 lutrija. Vjerovatnoća da ćete pogoditi 4 broja od 20 u jednom polju je prilično poštena, šansa za to je 1 prema 4845. Ali kada trebate tačno pogoditi i osvojiti oba polja... tada se vjerovatnoća izračunava množenjem. To jest, u u ovom slučaju 4.845 pomnoženo sa 4.845, što daje 23.474.025 Dakle, jednostavnost ove lutrije je varljiva, osvojite je Velika nagrada teže od "6 od 45" ili "6 od 49"

Izračun vjerovatnoće (proširene opklade)

U ovom slučaju se izračunava vjerovatnoća dobitka pri korištenju proširenih opklada. Na primjer, ako u lutriji ima 6 od 45 brojeva, označite 8 brojeva, tada će vjerovatnoća osvajanja glavne nagrade (6 od 45) biti 1 šansa od 290 895. Da li ćete koristiti proširene opklade ovisi o vama. Uzimajući u obzir činjenicu da je njihova cijena vrlo visoka (u ovom slučaju, 8 označenih brojeva su 28 opcija), vrijedi znati kako to povećava šanse za pobjedu. Štaviše, sada je to vrlo lako učiniti!

Izračunavanje vjerovatnoće dobitka (6 od 45) na primjeru proširene opklade (označeno je 8 brojeva)

I druge mogućnosti

Koristeći naš widget, možete izračunati vjerovatnoću dobitka u bingo lutriji, na primjer, u ruski loto" Glavna stvar koju treba uzeti u obzir je broj poteza dodijeljenih za početak pobjede. Da bude jasnije: dugo vremena U lutriji ruske loto, džekpot se može osvojiti ako 15 brojeva ( u jednom polju) zatvoreno u 15 poteza. Vjerovatnoća takvog događaja je apsolutno fantastična, 1 šansa od 45,795,673,964,460,800 (možete provjeriti i dobiti ovu vrijednost sami). Zbog toga, inače, dugi niz godina na lutriji ruske loto niko nije mogao da osvoji džekpot, a on je bio podeljen nasilno.

20. marta 2016. godine promijenjena su pravila lutrije ruske loto. Džekpot se sada može osvojiti ako 15 brojeva (od 30) zatvoreno je u 15 poteza. Ispada da je to analog proširene opklade - na kraju krajeva, pogađa se 15 brojeva od 30 dostupnih! A ovo je potpuno drugačija mogućnost:

Šansa za osvajanje džekpota (prema novim pravilima) na lutriji ruske loto

I u zaključku, predstavljamo vjerovatnoću dobitka na lutriji koristeći bonus kuglicu iz glavnog bubnja lutrije (naš widget ne broji takve vrijednosti). Od najpoznatijih

Sportsloto “6 od 49”(Gosloto, Rusija), La Primitiva “6 od 49” (Španija)
Kategorija "5 + bonus lopta": vjerovatnoća 1:2 330 636

SuperEnalotto "6 od 90"(Italija)
Kategorija "5 + bonus lopta": vjerovatnoća 1:103,769,105

Oz Lotto "7 od 45"(Australija)
Kategorija "6 + bonus lopta": vjerovatnoća 1:3 241 401
“5 + 1” – vjerovatnoća 1:29,602
“3 +1” – vjerovatnoća 1:87

Loto "6 od 59"(Velika britanija)
Kategorija "5 + 1 bonus lopta": vjerovatnoća 1:7 509 579

Profesionalni kladioničar mora dobro razumjeti kvote, brzo i ispravno procijeniti vjerovatnoću događaja po koeficijentu i, ako je potrebno, biti u mogućnosti pretvoriti kvote iz jednog formata u drugi. U ovom priručniku ćemo govoriti o tome koje vrste koeficijenata postoje, a također ćemo koristiti primjere da pokažemo kako možete izračunajte vjerovatnoću koristeći poznati koeficijent i obrnuto.

Koje vrste kvota postoje?

Postoje tri glavne vrste kvota koje kladionice nude igračima: decimalne kvote, fractional kvote(engleski) i Američki izgledi . Najčešći koeficijenti u Evropi su decimalni. IN sjeverna amerika Američke kvote su popularne. Razlomke su najviše tradicionalni izgled, oni odmah odražavaju informaciju o tome koliko je potrebno uložiti da biste dobili određeni iznos.

Decimalne kvote

Decimala ili se još zovu evropske kvote je poznati format brojeva koji predstavlja decimalni tačan do stotih, a ponekad čak i hiljaditih. Primjer decimalne kvote je 1,91. Izračunavanje profita u slučaju decimalnih koeficijenata je vrlo jednostavno; potrebno je samo da pomnožite iznos svoje opklade sa ovim koeficijentom. Na primjer, u utakmici “Manchester United” - “Arsenal” pobjeda “Manchester United” je postavljena sa koeficijentom 2,05, remi se procjenjuje sa koeficijentom 3,9, a pobjeda “Arsenala” je jednaka 2.95. Recimo da smo uvjereni da će United pobijediti i kladili smo se na 1000$ na njih. Tada se naš mogući prihod izračunava na sljedeći način:

2.05 * $1000 = $2050;

Zaista nije tako komplikovano, zar ne?! Mogući prihodi se računaju na isti način kada se kladite na remi ili pobjedu Arsenala.

izvlačenje: 3.9 * $1000 = $3900;
pobjeda Arsenala: 2.95 * $1000 = $2950;

Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći decimalne kvote?

Sada zamislite da trebamo odrediti vjerovatnoću događaja na osnovu decimalnih kvota koje je postavila kladionica. Ovo se takođe radi veoma jednostavno. Da bismo to učinili, podijelimo jedan sa ovim koeficijentom.

Uzmimo postojeće podatke i izračunajmo vjerovatnoću svakog događaja:

Pobjeda Manchester Uniteda: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
izvlačenje: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
pobjeda Arsenala: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Razlomci (engleski)

Kao što ime kaže frakcioni koeficijent predstavljeno obična frakcija. Primjer engleske kvote je 5/2. Brojač razlomka sadrži broj koji predstavlja potencijalni iznos neto dobitka, a nazivnik sadrži broj koji označava iznos na koji se mora uložiti da bi se dobio ovaj dobitak. Jednostavno rečeno, moramo se kladiti na $2 dolara da osvojimo $5. Kvote 3/2 znače da ćemo morati da se kladimo na 2$ kako bismo dobili 3$ u neto dobitku.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći razlomke?

Također nije teško izračunati vjerovatnoću događaja koristeći razlomke; potrebno je samo podijeliti imenilac zbirom brojnika i nazivnika.

Za razlomak 5/2 izračunavamo vjerovatnoću: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Za razlomak 3/2 izračunavamo vjerovatnoću:

Američki izgledi

Američki izgledi nepopularan u Evropi, ali veoma popularan u Severnoj Americi. možda, ovaj tip koeficijenti je najkompleksniji, ali to je samo na prvi pogled. U stvari, u ovoj vrsti koeficijenata nema ništa komplikovano. Hajde da sada sve to shvatimo po redu.

Glavna karakteristika američkih kvota je da mogu biti bilo koje pozitivno, dakle negativan. Primjer američkih kvota - (+150), (-120). Američka kvota (+150) znači da da bismo zaradili $150 moramo se kladiti $100. Drugim riječima, pozitivan američki koeficijent odražava potencijalnu neto zaradu pri opkladi od 100 dolara. Negativne američke kvote odražavaju iznos opklade koji je potrebno napraviti da bi se dobio neto dobitak od 100 dolara. Na primjer, koeficijent (-120) nam govori da ćemo klađenjem od 120 dolara dobiti 100 dolara.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći američke kvote?

Vjerojatnost događaja koristeći američki koeficijent izračunava se pomoću sljedećih formula:

(-(M)) / (((M)) + 100), gdje je M negativan američki koeficijent;
100/(P+100), gdje je P pozitivan američki koeficijent;

Na primjer, imamo koeficijent (-120), tada se vjerovatnoća izračunava na sljedeći način:

(-(M)) / (((M)) + 100); zamijenite vrijednost (-120) za “M”;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Dakle, vjerovatnoća događaja sa američkim kvotama (-120) iznosi 54,5%.

Na primjer, imamo koeficijent (+150), tada se vjerovatnoća izračunava na sljedeći način:

100/(P+100); zamijenite vrijednost (+150) za “P”;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Dakle, vjerovatnoća događaja sa američkim kvotama (+150) iznosi 40%.

Kako, znajući postotak vjerovatnoće, to pretvoriti u decimalni koeficijent?

Da biste izračunali decimalni koeficijent na osnovu poznatog procenta verovatnoće, potrebno je da podelite 100 sa verovatnoćom događaja u procentima. Na primjer, vjerovatnoća događaja je 55%, tada će decimalni koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak 1,81.

100 / 55% = 1,81

Kako, znajući postotak vjerovatnoće, to pretvoriti u razlomački koeficijent?

Da biste izračunali koeficijent razlomka na osnovu poznatog procenta vjerovatnoće, trebate oduzeti jedan od dijeljenja 100 sa vjerovatnoćom događaja u procentima. Na primjer, ako imamo postotak vjerovatnoće od 40%, onda će razlomak ove vjerovatnoće biti jednak 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Koeficijent frakcije je 1,5/1 ili 3/2.

Kako, znajući postotak vjerovatnoće, to pretvoriti u američki koeficijent?

Ako je vjerovatnoća događaja veća od 50%, tada se izračunavanje vrši pomoću formule:

- ((V) / (100 - V)) * 100, gdje je V vjerovatnoća;

Na primjer, ako je vjerovatnoća događaja 80%, tada će američki koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ako je vjerovatnoća događaja manja od 50%, tada se izračunavanje vrši pomoću formule:

((100 - V) / V) * 100, gdje je V vjerovatnoća;

Na primjer, ako imamo postotak vjerovatnoće događaja od 20%, tada će američki koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Kako pretvoriti koeficijent u drugi format?

Postoje slučajevi kada je potrebno pretvoriti kvote iz jednog formata u drugi. Na primjer, imamo razlomak od 3/2 i moramo ga pretvoriti u decimalni. Da bismo pretvorili razlomačnu kvotu u decimalne kvote, prvo odredimo vjerovatnoću događaja s razlomkom, a zatim ovu vjerovatnoću pretvorimo u decimalne kvote.

Vjerovatnoća događaja sa razlomkom 3/2 je 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Pretvorimo sada vjerovatnoću događaja u decimalni koeficijent; da biste to učinili, podijelite 100 sa vjerovatnoćom događaja u procentima:

100 / 40% = 2.5;

Dakle, razlomci od 3/2 su jednaki decimalnim kvotama od 2,5. Na sličan način, na primjer, američke kvote se pretvaraju u razlomke, decimalne u američke, itd. Najteže u svemu tome su samo kalkulacije.

U početku, kao samo zbirka informacija i empirijskih zapažanja o igri kockica, teorija vjerovatnoće je postala temeljna nauka. Prvi koji su mu dali matematički okvir bili su Fermat i Pascal.

Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerovatnoće

Dvije osobe kojima teorija vjerovatnoće duguje mnoge od svojih temeljnih formula, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, a potonji je prezbiterijanski sveštenik. Očigledno je želja ove dvojice naučnika da dokažu pogrešno mišljenje o tome da izvesna Fortuna daje sreću svojim miljenicima dala podsticaj istraživanjima u ovoj oblasti. Uostalom, u stvari, bilo koji kockanje sa svojim pobedama i porazima, to je samo simfonija matematičkih principa.

Zahvaljujući strasti Chevalier de Merea, koji je bio podjednako kockar i čovjek koji nije bio ravnodušan prema nauci, Pascal je bio primoran da pronađe način da izračuna vjerovatnoću. De Merea je zanimalo sljedeće pitanje: „Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da bi vjerovatnoća da dobijete 12 poena veća od 50%?“ Drugo pitanje, koje je gospodina veoma zanimalo: „Kako podeliti opkladu između učesnika u nedovršenoj igri?“ Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerovatnoće. Zanimljivo je da je ličnost de Merea ostala poznata na ovim prostorima, a ne u literaturi.

Ranije nijedan matematičar nikada nije pokušao izračunati vjerovatnoće događaja, jer se vjerovalo da je to samo rješenje za nagađanje. Blez Paskal dao je prvu definiciju verovatnoće događaja i pokazao da je to specifična brojka koja se može matematički opravdati. Teorija vjerovatnoće je postala osnova za statistiku i široko se koristi u modernoj nauci.

Šta je slučajnost

Ako uzmemo u obzir test koji se može ponoviti beskonačan broj puta, onda možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda eksperimenta.

Iskustvo je izvođenje određenih radnji u stalnim uslovima.

Da bismo mogli raditi s rezultatima eksperimenta, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...

Vjerovatnoća slučajnog događaja

Da bismo započeli matematički dio vjerovatnoće, potrebno je definirati sve njene komponente.

Vjerovatnoća događaja je numerička mjera mogućnosti da se neki događaj (A ili B) dogodi kao rezultat nekog iskustva. Vjerovatnoća se označava kao P(A) ili P(B).

U teoriji vjerovatnoće razlikuju:

• pouzdan zagarantovano je da će se događaj dogoditi kao rezultat iskustva P(Ω) = 1;
• nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi P(Ø) = 0;
• nasumično Događaj se nalazi između sigurnog i nemogućeg, odnosno vjerovatnoća njegovog nastanka je moguća, ali nije zagarantovana (vjerovatnoća slučajni događaj uvijek unutar 0≤R(A)≤ 1).

Odnosi između događaja

Uzimaju se u obzir i jedan i zbir događaja A+B, kada se događaj računa kada je barem jedna od komponenti, A ili B, ili obje, A i B, ispunjena.

U međusobnoj vezi događaji mogu biti:

• Jednako moguće.
• Kompatibilan.
• Nekompatibilno.
• Suprotnost (međusobno isključiva).
• Zavisni.

Ako se dva događaja mogu dogoditi sa jednakom vjerovatnoćom, onda oni podjednako moguće.

Ako pojava događaja A ne svede na nulu vjerovatnoću pojave događaja B, onda kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne događaju istovremeno u istom iskustvu, onda se oni nazivaju nekompatibilno. bacanje novčića - dobar primjer: pojavljivanje glava je automatski nepojavljivanje glava.

Vjerovatnoća za zbir takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od zbira vjerovatnoća svakog od događaja:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ako pojava jednog događaja onemogućava nastanak drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada se jedan od njih označava kao A, a drugi - Ā (čita se kao “ne A”). Pojava događaja A znači da se Ā nije dogodilo. Ova dva događaja čine kompletnu grupu sa zbirom vjerovatnoća jednakim 1.

Zavisni događaji međusobno utiču, smanjujući ili povećavajući verovatnoću jedni drugih.

Odnosi između događaja. Primjeri

Koristeći primjere, mnogo je lakše razumjeti principe teorije vjerovatnoće i kombinacije događaja.

Eksperiment koji će se izvoditi sastoji se od vađenja loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementaran ishod.

Događaj je jedan od mogućih ishoda eksperimenta - crvena lopta, plava lopta, lopta sa brojem šest, itd.

Test br. 1. Uključeno je 6 loptica, od kojih su tri plave sa neparnim brojevima na sebi, a ostale tri crvene sa parnim brojevima.

Test br. 2. Uključeno 6 lopti plave boje sa brojevima od jedan do šest.

Na osnovu ovog primjera možemo imenovati kombinacije:

• Pouzdan događaj. Na španskom Događaj broj 2 „dobi plavu kuglu“ je pouzdan, jer je verovatnoća njegovog nastanka jednaka 1, pošto su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "dobiti loptu sa brojem 1" slučajan.
• Nemoguć događaj. Na španskom Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama, događaj „dobivanje ljubičaste kuglice“ je nemoguć, jer je vjerovatnoća njegovog nastanka 0.
• Jednako mogući događaji. Na španskom Broj 1, podjednako su mogući događaji „dobiti loptu sa brojem 2“ i „dobiti loptu sa brojem 3“, a događaji „dobiti loptu sa parnim brojem“ i „dobiti loptu sa brojem 2 ” imaju različite vjerovatnoće.
• Kompatibilni događaji. Dobiti šesticu dva puta zaredom dok bacate kocku je kompatibilan događaj.
• Nekompatibilni događaji. Na istom španskom Broj 1, događaji „dobiti crvenu loptu” i „dobiti loptu sa neparnim brojem” ne mogu se kombinovati u istom iskustvu.
• Suprotni događaji. Većina sjajan primjer Ovo je bacanje novčića, gdje je izvlačenje glava ekvivalentno ne izvlačenju repa, a zbir njihovih vjerovatnoća je uvijek 1 (cijela grupa).
• Zavisni događaji. Dakle, na španskom Br. 1, možete postaviti cilj da izvučete crvenu loptu dva puta zaredom. Da li će biti preuzet prvi put ili ne utiče na vjerovatnoću da će biti preuzet drugi put.

Vidi se da prvi događaj značajno utiče na vjerovatnoću drugog (40% i 60%).

Formula vjerovatnoće događaja

Prelazak sa proricanja sudbine na precizne podatke odvija se prevođenjem teme u matematičku ravan. To jest, prosudbe o slučajnom događaju kao što je „velika verovatnoća” ili „minimalna verovatnoća” mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Već je dozvoljeno procjenjivati, upoređivati ​​i unositi takav materijal u složenije proračune.

Sa računske tačke gledišta, određivanje vjerovatnoće događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda i broja svih mogućih ishoda iskustva u vezi sa određenim događajem. Verovatnoća je označena sa P(A), gde P označava reč „verovatno“, što je sa francuskog prevedeno kao „verovatnoća“.

Dakle, formula za vjerovatnoću događaja je:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbir svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. U ovom slučaju, vjerovatnoća događaja uvijek leži između 0 i 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Proračun vjerovatnoće događaja. Primjer

Uzmimo španski. Br. 1 sa kuglicama, što je ranije opisano: 3 plave kuglice sa brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice sa brojevima 2/4/6.

Na osnovu ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih problema:

• A - crvena lopta ispada. Postoje 3 crvene kuglice, a postoji ukupno 6 opcija najjednostavniji primjer, u kojem je vjerovatnoća događaja jednaka P(A)=3/6=0,5.
• B - bacanje parnog broja. Postoje 3 parna broja (2,4,6), a ukupan broj mogućih numeričkih opcija je 6. Vjerovatnoća ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
• C - pojavljivanje broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupnog broja mogućih ishoda od 6. Vjerovatnoća događaja C jednaka je P(C)=4 /6=0,67.

Kao što se može vidjeti iz proračuna, događaj C ima veću vjerovatnoću, jer je broj vjerovatnih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.

Nekompatibilni događaji

Takvi događaji ne mogu se pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na španskom Broj 1 nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti način, paran i neparan broj se ne mogu pojaviti u kocki istovremeno.

Vjerovatnoća dva događaja se smatra vjerovatnoćom njihovog zbira ili proizvoda. Zbir takvih događaja A+B smatra se događajem koji se sastoji od pojave događaja A ili B, a njihov proizvod AB je pojava oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dvije kocke u jednom bacanju.

Zbir više događaja je događaj koji pretpostavlja nastanak barem jednog od njih. Proizvodnja nekoliko događaja je zajednička pojava svih njih.

U teoriji vjerovatnoće, po pravilu, upotreba veznika "i" označava zbir, a veznik "ili" - množenje. Formule s primjerima pomoći će vam da shvatite logiku sabiranja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerovatnoća zbira nespojivih događaja

Ako se uzme u obzir vjerovatnoća nekompatibilnih događaja, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka sabiranju njihovih vjerovatnoća:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primjer: hajde da izračunamo vjerovatnoću da na španskom. Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama pojaviće se broj između 1 i 4. Računaćemo ne u jednoj akciji, već zbirom verovatnoća elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 kuglica ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uslov su 2 i 3. Verovatnoća dobijanja broja 2 je 1/6, verovatnoća dobijanja broja 3 je takođe 1/6. Vjerovatnoća da dobijete broj između 1 i 4 je:

Vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja cijele grupe je 1.

Dakle, ako u eksperimentu s kockom zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svih brojeva, rezultat će biti jedan.

To vrijedi i za suprotne događaje, na primjer u eksperimentu s novčićem, gdje je jedna strana događaj A, a druga suprotan događaj Ā, kao što je poznato,

P(A) + P(Ā) = 1

Vjerovatnoća nastanka nekompatibilnih događaja

Množenje vjerovatnoće se koristi kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom opažanju. Vjerovatnoća da će se događaji A i B u njemu pojaviti istovremeno jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, ili:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na primjer, vjerovatnoća da na španskom Br. 1, kao rezultat dva pokušaja, dva puta će se pojaviti plava lopta, jednaka

Odnosno, vjerovatnoća da se dogodi događaj kada se, kao rezultat dva pokušaja izvlačenja loptica, izvuku samo plave kuglice je 25%. Vrlo je lako napraviti praktične eksperimente na ovom problemu i vidjeti da li je to zaista slučaj.

Zajednički događaji

Događaji se smatraju zajedničkim kada se nastanak jednog od njih može poklopiti s pojavom drugog. Unatoč činjenici da su zajednički, vjerovatnoća se razmatra nezavisnih događaja. Na primjer, bacanje dvije kocke može dati rezultat kada se na objema pojavi broj 6. Iako su se događaji poklopili i pojavili u isto vrijeme, oni su nezavisni jedan od drugog - samo jedna šestica može ispasti, druga kockica nema uticaj na to.

Vjerovatnoća zajedničkih događaja smatra se vjerovatnoćom njihovog zbira.

Vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja. Primjer

Vjerovatnoća zbira događaja A i B, koji su međusobno povezani, jednaka je zbiru vjerovatnoća događaja minus vjerovatnoća njihovog nastanka (odnosno njihovog zajedničkog nastupa):

R zglob (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Pretpostavimo da je vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu 0,4. Tada događaj A pogađa metu u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da možete pogoditi metu i prvim i drugim hicima. Ali događaji nisu zavisni. Kolika je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica (barem jednim)? prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je: “Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica je 64%”.

Ova formula za vjerovatnoću događaja može se primijeniti i na nekompatibilne događaje, gdje je vjerovatnoća zajedničkog nastupa događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem. predložene formule.

Geometrija vjerovatnoće radi jasnoće

Zanimljivo je da se vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja može predstaviti kao dvije oblasti A i B koje se međusobno seku. Kao što se može vidjeti sa slike, površina njihovog spoja jednaka je ukupnoj površini minus površina njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Imajte na umu da geometrijska rješenja nisu neuobičajena u teoriji vjerojatnosti.

Određivanje vjerovatnoće zbira mnogih (više od dva) zajedničkih događaja je prilično glomazno. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.

Zavisni događaji

Događaji se nazivaju zavisnim ako pojava jednog (A) od njih utiče na vjerovatnoću pojave drugog (B). Štaviše, uzima se u obzir uticaj i pojave događaja A i njegovog nenastupanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju zavisnim, samo jedan od njih je zavisan (B). Uobičajena vjerovatnoća je označena kao P(B) ili vjerovatnoća nezavisnih događaja. U slučaju zavisnih događaja uvodi se novi koncept - uslovna verovatnoća P A (B), koja je verovatnoća zavisnog događaja B, podložna nastanku događaja A (hipoteza), od kojeg zavisi.

Ali događaj A je takođe slučajan, tako da ima i vjerovatnoću koja je potrebna i može se uzeti u obzir u izvršenim proračunima. Sljedeći primjer će pokazati kako raditi sa zavisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračunavanja vjerovatnoće zavisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja bio bi standardni špil karata.

Koristeći špil od 36 karata kao primjer, pogledajmo zavisne događaje. Moramo odrediti vjerovatnoću da će druga karta izvučena iz špila biti od dijamanata ako je prva izvučena karta:

1. Bubnovaya.
2. Drugačija boja.

Očigledno, vjerovatnoća drugog događaja B zavisi od prvog A. Dakle, ako je prva opcija tačna, da u špilu ima 1 karta (35) i 1 romb (8) manje, vjerovatnoća događaja B:

R A (B) =8/35=0,23

Ako je druga opcija tačna, onda špil ima 35 karata, a pun broj dijamanata (9) je i dalje zadržan, tada je vjerovatnoća sljedećeg događaja B:

R A (B) =9/35=0,26.

Može se vidjeti da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta dijamant, onda se vjerovatnoća događaja B smanjuje i obrnuto.

Umnožavanje zavisnih događaja

Vođeni prethodnim poglavljem, prihvatamo prvi događaj (A) kao činjenicu, ali u suštini je on slučajne prirode. Vjerovatnoća ovog događaja, odnosno izvlačenja dijamanta iz špila karata, jednaka je:

P(A) = 9/36=1/4

Budući da teorija ne postoji sama za sebe, već je namijenjena da služi u praktične svrhe, pošteno je primijetiti da je ono što je najčešće potrebno vjerovatnoća proizvodnje zavisnih događaja.

Prema teoremi o proizvodu vjerovatnoća zavisnih događaja, vjerovatnoća pojave zajednički zavisnih događaja A i B jednaka je vjerovatnoći jednog događaja A, pomnoženoj sa uslovnom vjerovatnoćom događaja B (zavisnog od A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Zatim, u primjeru špila, vjerovatnoća da se izvuku dvije karte sa odijelom dijamanata je:

9/36*8/35=0,0571, ili 5,7%

I vjerovatnoća da se prvo ne izvuku dijamanti, a zatim dijamanti, jednaka je:

27/36*9/35=0,19 ili 19%

Može se vidjeti da je vjerovatnoća da se dogodi događaj B veća pod uvjetom da je prva izvučena karta druge boje osim dijamanata. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.

Ukupna vjerovatnoća događaja

Kada problem sa uslovnim verovatnoćama postane višestruk, onda konvencionalne metode ne može se izračunati. Kada postoji više od dvije hipoteze, odnosno A1, A2,…, A n, ..formira kompletnu grupu događaja:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Dakle, formula za ukupnu vjerovatnoću za događaj B at puna grupa slučajni događaji A1,A2,…,I n je jednako:

Pogled u budućnost

Vjerovatnoća slučajnog događaja je izuzetno neophodna u mnogim oblastima nauke: ekonometriji, statistici, fizici itd. Pošto se neki procesi ne mogu opisati deterministički, budući da su sami po sebi vjerovatnoće, potrebne su posebne radne metode. Teorija vjerovatnoće događaja može se koristiti u bilo kojoj tehnološkoj oblasti kao način da se utvrdi mogućnost greške ili kvara.

Možemo reći da prepoznavanjem vjerovatnoće na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.