Pravilo za množenje decimala sa decimalama. Kako pretvoriti razlomak u decimalu ako je imenilac proizvoljan broj? Kako podijeliti decimalni razlomak u različitim zadacima

Decimala se koristi kada trebate izvršiti operacije s brojevima koji nisu cijeli. Ovo može izgledati iracionalno. Ali ova vrsta brojeva uvelike pojednostavljuje matematičke operacije koje je potrebno izvršiti s njima. Ovo razumijevanje dolazi s vremenom, kada se njihovo pisanje upozna, a čitanje ne izaziva poteškoće, a pravila decimalnih razlomaka su savladana. Štaviše, sve radnje ponavljaju već poznate, koje su naučene sa prirodnim brojevima. Samo trebate zapamtiti neke karakteristike.

Decimalna definicija

Decimala je poseban prikaz necijelog broja sa nazivnikom koji je djeljiv sa 10, što daje odgovor kao jedan i moguće nule. Drugim riječima, ako je nazivnik 10, 100, 1000 i tako dalje, tada je zgodnije prepisati broj pomoću zareza. Tada će se cijeli dio nalaziti ispred njega, a zatim razlomak. Štaviše, snimanje druge polovine broja zavisiće od nazivnika. Broj cifara koji se nalaze u razlomku mora biti jednak cifri nazivnika.

Gore navedeno može se ilustrovati ovim brojevima:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Razlozi za korištenje decimala

Matematičarima su decimale bile potrebne iz nekoliko razloga:

Pojednostavljivanje snimanja. Takav razlomak se nalazi duž jedne linije bez crtice između nazivnika i brojnika, dok jasnoća ne trpi.

Jednostavnost u poređenju. Dovoljno je jednostavno povezati brojeve koji se nalaze na istim pozicijama, dok biste ih kod običnih razlomaka morali svesti na zajednički nazivnik.

Pojednostavite proračune.

Kalkulatori nisu dizajnirani da prihvataju razlomke, oni koriste decimalni zapis za sve operacije.

Kako pravilno čitati takve brojeve?

Odgovor je jednostavan: baš kao običan mješoviti broj sa nazivnikom koji je višekratnik 10. Jedini izuzetak su razlomci bez cjelobrojne vrijednosti, tada prilikom čitanja trebate izgovoriti "nula cijelih brojeva".

Na primjer, 45/1000 treba izgovoriti kao četrdeset pet hiljada, istovremeno će zvučati 0,045 nula zarez četrdeset pet hiljada.

Mješoviti broj s cijelim dijelom 7 i razlomkom 17/100, koji bi bio zapisan kao 7,17, u oba slučaja bi se čitao kao sedam tačka sedamnaest.

Uloga cifara u pisanju razlomaka

Ispravno označavanje ranga je ono što matematika traži. Decimale i njihovo značenje mogu se značajno promijeniti ako upišete cifru na pogrešno mjesto. Međutim, to je bila istina i ranije.

Da biste pročitali cifre cijelog dijela decimalnog razlomka, jednostavno trebate koristiti pravila poznata za prirodne brojeve. A na desnoj strani se ogledaju i čitaju drugačije. Ako je cijeli dio zvučao "desetice", onda će nakon decimalnog zareza biti "desetke".

To se jasno vidi u ovoj tabeli.

Tabela decimalnih mjesta

Klasa	hiljade			jedinice			,	frakcija
pražnjenje	ćelija	dec.	jedinice	ćelija	dec.	jedinice	,	deseti	stoti	hiljaditi	desethiljaditi

Kako ispravno napisati mješoviti broj kao decimalu?

Ako nazivnik sadrži broj jednak 10 ili 100 i druge, onda pitanje kako pretvoriti razlomak u decimalu nije teško. Da biste to učinili, dovoljno je prepisati sve njegove komponente drugačije. Sljedeće tačke će pomoći u tome:

brojilac razlomka napišite malo u stranu, u ovom trenutku decimalna točka se nalazi s desne strane, nakon posljednje cifre;

pomerite zarez ulevo, ovde je najvažnije da pravilno prebrojite brojeve - potrebno je da ga pomerite za onoliko pozicija koliko ima nula u nazivniku;

ako ih nema dovoljno, onda bi na praznim pozicijama trebale biti nule;

nule koje su bile na kraju brojila sada nisu potrebne i mogu se precrtati;

Prije zareza dodajte cijeli dio ako ga nije bilo, onda će i ovdje biti nula.

Pažnja. Ne možete precrtati nule koje su okružene drugim brojevima.

U nastavku možete pročitati šta učiniti u situaciji kada nazivnik ima broj koji se ne sastoji samo od jedinica i nula, i kako pretvoriti razlomak u decimalu. Ovo je važna informacija koju svakako trebate pročitati.

Kako pretvoriti razlomak u decimalu ako je imenilac proizvoljan broj?

Ovdje postoje dvije opcije:

Kada se imenilac može predstaviti kao broj koji je jednak deset na bilo koji stepen.

Ako se takva operacija ne može izvesti.

Kako mogu ovo provjeriti? Morate faktorisati imenilac. Ako su u proizvodu prisutne samo 2 i 5, onda je sve u redu, a razlomak se lako pretvara u konačnu decimalu. U suprotnom, ako se pojave 3, 7 i drugi prosti brojevi, rezultat će biti beskonačan. Uobičajeno je zaokružiti takav decimalni razlomak radi lakšeg korištenja u matematičkim operacijama. O tome će biti riječi malo u nastavku.

Istražuje kako se prave decimale, 5. razred. Primjeri ovdje će biti od velike pomoći.

Neka nazivnici sadrže brojeve: 40, 24 i 75. Razlaganje na proste faktore za njih će biti kako slijedi:

40=2·2·2·5;
24=2·2·2·3;
75=5·5·3.

U ovim primjerima, samo prvi razlomak može biti predstavljen kao konačni razlomak.

Algoritam za pretvaranje običnog razlomka u konačnu decimalu

Provjerite faktorizaciju nazivnika u proste faktore i uvjerite se da će se sastojati od 2 i 5.

Dodajte što više 2 i 5 ovim brojevima tako da ih bude jednak broj. Oni će dati vrijednost dodatnog množitelja.

Pomnožite imenilac i brojilac ovim brojem. Rezultat će biti običan razlomak ispod kojeg se do neke mjere nalazi 10.

Ako se u zadatku ove radnje izvode s mješovitim brojem, onda se on prvo mora predstaviti kao nepravilan razlomak. I tek onda postupite prema opisanom scenariju.

Predstavlja razlomak kao zaokruženu decimalu

Ova metoda pretvaranja razlomka u decimalu nekome može izgledati čak i lakša. Jer nema puno akcije. Potrebno je samo podijeliti brojilac sa nazivnikom.

Bilo kojem broju sa decimalnim dijelom desno od decimalnog zareza može se dodijeliti beskonačan broj nula. Ova nekretnina je ono što trebate iskoristiti.

Prvo zapišite cijeli dio i stavite zarez iza njega. Ako je razlomak tačan, upišite nulu.

Zatim morate podijeliti brojilac sa nazivnikom. Tako da imaju isti broj cifara. To jest, dodajte potreban broj nula desno od brojilaca.

Izvršite dugo dijeljenje dok se ne dostigne potreban broj cifara. Na primjer, ako trebate zaokružiti na stotinke, onda bi odgovor trebao biti 3. Općenito, trebao bi biti jedan broj više nego što je potrebno da dobijete na kraju.

Zapišite međuodgovor nakon decimalnog zareza i zaokružite prema pravilima. Ako je posljednja znamenka od 0 do 4, onda je samo trebate odbaciti. A kada je jednako 5-9, onda ono ispred njega treba povećati za jedan, odbacujući posljednju.

Povratak sa decimalnog na obični razlomak

U matematici postoje problemi kada je zgodnije predstaviti decimalne razlomke u obliku običnih razlomaka, u kojima postoji brojnik sa nazivnikom. Možete odahnuti: ova operacija je uvijek moguća.

Za ovaj postupak potrebno je uraditi sljedeće:

zapišite cijeli dio, ako je jednak nuli, onda nema potrebe pisati ništa;

nacrtati liniju razlomaka;

iznad njega zapišite brojeve s desne strane ako su nule prve, onda ih treba precrtati;

Ispod crte upišite jedinicu sa onoliko nula koliko ima cifara iza decimalne tačke u originalnom razlomku.

To je sve što trebate učiniti da decimalu pretvorite u razlomak.

Šta možete učiniti s decimalima?

U matematici će to biti određene operacije sa decimalama koje su se ranije izvodile za druge brojeve.

Oni su:

poređenje;

sabiranje i oduzimanje;

množenje i dijeljenje.

Prva radnja, poređenje, slična je onome kako je urađena za prirodne brojeve. Da biste odredili koji je veći, trebate uporediti znamenke cijelog dijela. Ako se pokaže da su jednaki, onda prelaze na razlomak i također ih upoređuju po znamenkama. Broj sa najvećom cifrom u najznačajnijoj cifri će biti odgovor.

Sabiranje i oduzimanje decimala

Ovo su možda najjednostavniji koraci. Zato što se provode po pravilima za prirodne brojeve.

Dakle, da biste dodali decimalne razlomke, potrebno ih je napisati jedan ispod drugog, stavljajući zareze u kolonu. Uz ovu notaciju, cijeli dijelovi se pojavljuju lijevo od zareza, a razlomci desno. A sada trebate sabirati brojeve malo po malo, kao što se radi s prirodnim brojevima, pomjerajući zarez nadolje. Morate početi sa sabiranjem od najmanje cifre razlomka broja. Ako u desnoj polovini nema dovoljno brojeva, dodaju se nule.

Isto važi i za oduzimanje. I ovdje postoji pravilo koje opisuje mogućnost uzimanja jedinice iz najvišeg ranga. Ako razlomak koji se smanjuje ima manje cifara iza decimalnog zareza od razlomka koji se oduzima, onda mu se jednostavno dodaju nule.

Situacija je malo složenija sa zadacima gdje treba množiti i dijeliti decimalne razlomke.

Kako pomnožiti decimalni razlomak u različitim primjerima?

Pravilo za množenje decimalnih razlomaka prirodnim brojem je:

zapišite ih u kolonu, zanemarujući zarez;

množe kao da su prirodne;

Odvojite zarezom onoliko cifara koliko je bilo u razlomku originalnog broja.

Poseban slučaj je primjer u kojem je prirodni broj jednak 10 na bilo koji stepen. Zatim da biste dobili odgovor, samo trebate pomaknuti decimalni zarez udesno za onoliko pozicija koliko ima nula u drugom faktoru. Drugim rečima, kada se pomnoži sa 10, decimalni zarez se pomera za jednu cifru, za 100 - biće ih dve, itd. Ako nema dovoljno brojeva u razlomku, onda morate upisati nule na prazna mjesta.

Pravilo koje se koristi kada zadatak zahtijeva množenje decimalnih razlomaka sa drugim istim brojem:

zapišite ih jednu za drugom, ne obraćajući pažnju na zareze;

množe kao da su prirodne;

Odvojite zarezom onoliko cifara koliko ih je bilo u razlomcima oba originalna razlomka zajedno.

Poseban slučaj su primjeri u kojima je jedan od množitelja jednak 0,1 ili 0,01 i tako dalje. U njima trebate pomaknuti decimalni zarez ulijevo za broj cifara u prikazanim faktorima. Odnosno, ako se pomnoži sa 0,1, decimalna točka se pomiče za jednu poziciju.

Kako podijeliti decimalni razlomak u različitim zadacima?

Dijeljenje decimalnih razlomaka prirodnim brojem izvodi se prema sljedećem pravilu:

zapišite ih za podelu u kolonu kao da su prirodne;

podijeliti prema uobičajenom pravilu dok se cijeli dio ne završi;

stavite zarez u odgovor;

nastavite dijeljenje frakcijske komponente sve dok ostatak ne bude nula;

ako je potrebno, možete dodati potreban broj nula.

Ako je cijeli broj jednak nuli, onda ni on neće biti u odgovoru.

Zasebno, postoji podjela na brojeve jednake deset, sto i tako dalje. U takvim problemima morate pomaknuti decimalni zarez ulijevo za broj nula u djelitelju. Dešava se da u cijelom dijelu nema dovoljno brojeva, tada se umjesto njih koriste nule. Možete vidjeti da je ova operacija slična množenju sa 0,1 i sličnim brojevima.

Da biste podijelili decimale, morate koristiti ovo pravilo:

pretvorite djelitelj u prirodan broj, a da biste to učinili, pomaknite zarez u njemu udesno do kraja;

pomeriti decimalni zarez u dividendi za isti broj cifara;

postupati po prethodnom scenariju.

Podjela sa 0,1 je istaknuta; 0,01 i drugi slični brojevi. U takvim primjerima, decimalna točka je pomaknuta udesno za broj cifara u razlomku. Ako ih ponestane, onda morate dodati broj nula koji nedostaje. Vrijedi napomenuti da ova akcija ponavlja dijeljenje sa 10 i slične brojeve.

Zaključak: Sve je u praksi

Ništa u učenju ne dolazi lako ili bez truda. Za pouzdano savladavanje novog gradiva potrebno je vrijeme i praksa. Matematika nije izuzetak.

Da tema o decimalnim razlomcima ne uzrokuje poteškoće, potrebno je riješiti što više primjera s njima. Uostalom, bilo je vremena kada je sabiranje prirodnih brojeva bilo ćorsokak. A sada je sve u redu.

Stoga, da parafraziram dobro poznatu frazu: odluči, odluči i ponovo odluči. Tada će se zadaci s takvim brojevima rješavati lako i prirodno, kao još jedna slagalica.

Usput, zagonetke je u početku teško riješiti, a onda morate raditi uobičajene pokrete. Isto je i u matematičkim primjerima: nakon što ste nekoliko puta prošli istom stazom, tada više nećete razmišljati kuda skrenuti.

§ 107. Sabiranje decimalnih razlomaka.

Sabiranje decimala je isto kao i sabiranje cijelih brojeva. Pogledajmo ovo na primjerima.

1) 0,132 + 2,354. Označimo pojmove jedan ispod drugog.

Ovdje, dodavanje 2 hiljaditinke na 4 hiljaditinke rezultiralo je 6 hiljaditim;
od sabiranja 3 stotinki sa 5 stotinki dobija se 8 stotinki;
od dodavanja 1 desetine sa 3 desetinke -4 desetinke i
od sabiranja 0 cijelih brojeva sa 2 cijela broja - 2 cijela broja.

2) 5,065 + 7,83.

U drugom pojmu nema hiljaditih delova, pa je važno da ne pogrešite kada označavate pojmove jedan za drugim.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Ovdje, kada se zbrajaju hiljaditi, rezultat je 21 hiljaditi; ispod hiljaditih smo napisali 1, a stotinkama dodali 2, pa smo na mestu stotih dobili sledeće pojmove: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; ukupno daju 19 stotinki, mi smo potpisali 9 pod stotinke, a 1 se računao kao desetinke itd.

Dakle, kada se zbrajaju decimalni razlomci, mora se poštovati sljedeći redoslijed: potpisati razlomke jedan ispod drugog tako da se u svim terminima iste cifre nalaze jedna ispod druge i da su svi zarezi u istoj vertikalnoj koloni; Desno od decimalnih mjesta nekih pojmova dodaje se toliki broj nula, barem mentalno, tako da svi članovi iza decimalnog zareza imaju isti broj cifara. Zatim vrše sabiranje po ciframa, počevši od desne strane, a u rezultirajućem zbiru stavljaju zarez u isti okomiti stupac u kojem se nalazi u ovim pojmovima.

§ 108. Oduzimanje decimalnih razlomaka.

Oduzimanje decimala funkcionira na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Pokažimo to primjerima.

1) 9,87 - 7,32. Potpišimo oduzetak ispod minusa tako da jedinice iste cifre budu jedna ispod druge:

2) 16.29 - 4.75. Potpišimo oduzetak ispod minusa, kao u prvom primjeru:

Da biste oduzeli desetine, morali ste uzeti jednu cijelu jedinicu od 6 i podijeliti je na desetine.

3) 14.0213- 5.350712. Potpišemo oduzetak ispod minusa:

Oduzimanje je obavljeno na sledeći način: pošto od 0 ne možemo da oduzmemo 2 milioniti deo, treba se okrenuti na najbližu cifru sa leve strane, tj. na stohiljaditi deo, ali umesto stohiljaditih dela takođe je nula, pa uzimamo 1 desethiljaditi deo 3 desethiljaditih i Mi ga podijelimo na stohiljaditinke, dobijemo 10 stohiljaditih, od kojih 9 stohiljaditih ostavimo u kategoriji stohiljaditih, a 1 stohiljaditini razbijemo na milioniti dio, dobijemo 10 milionitih. Dakle, u posljednje tri cifre imamo: milioniti dio 10, stohiljaditi dio 9, desethiljaditi dio 2. Radi veće jasnoće i praktičnosti (da se ne zaboravi), ovi brojevi su napisani iznad odgovarajućih razlomaka cifara minusa. Sada možete početi sa oduzimanjem. Od 10 milionitih delova oduzimamo 2 milionitinke, dobijamo 8 milionitih delova; od 9 stohiljaditih oduzmemo 1 stohiljaditi, dobijemo 8 stohiljaditih itd.

Dakle, kada se oduzimaju decimalni razlomci, uočava se sljedeći redoslijed: potpisivanje oduzimanja ispod minusa tako da se iste cifre nalaze jedna ispod druge i da su svi zarezi u istoj vertikalnoj koloni; na desnoj strani dodaju, barem mentalno, toliko nula u minus ili oduzeti tako da imaju isti broj cifara, zatim oduzmu po ciframa, počevši od desne strane, i u rezultujućoj razlici stave zarez ista vertikalna kolona u kojoj se nalazi u manjim i oduzmite.

§ 109. Množenje decimalnih razlomaka.

Pogledajmo neke primjere množenja decimalnih razlomaka.

Da bismo pronašli proizvod ovih brojeva, možemo zaključiti na sljedeći način: ako se faktor poveća za 10 puta, tada će oba faktora biti cijeli brojevi i onda ih možemo pomnožiti prema pravilima za množenje cijelih brojeva. Ali znamo da kada se jedan od faktora poveća nekoliko puta, proizvod se povećava za isti iznos. To znači da je broj koji se dobije množenjem cjelobrojnih faktora, odnosno 28 sa 23, 10 puta veći od pravog proizvoda, a da bi se dobio pravi proizvod, pronađeni proizvod se mora smanjiti za 10 puta. Stoga ćete ovdje morati jednom pomnožiti sa 10 i jednom podijeliti sa 10, ali množenje i dijeljenje sa 10 se vrši pomicanjem decimalnog zareza udesno i ulijevo za jedno mjesto. Stoga, trebate učiniti ovo: u faktoru, pomaknite zarez na jedno pravo mjesto, to će ga učiniti jednakim 23, a zatim morate pomnožiti rezultirajuće cijele brojeve:

Ovaj proizvod je 10 puta veći od pravog. Stoga se mora smanjiti za 10 puta, za šta pomičemo zarez jedno mjesto ulijevo. Dakle, dobijamo

28 2,3 = 64,4.

U svrhu provjere, možete napisati decimalni razlomak sa nazivnikom i izvršiti radnju prema pravilu za množenje običnih razlomaka, tj.

2) 12,27 0,021.

Razlika između ovog i prethodnog primjera je u tome što su ovdje oba faktora predstavljena kao decimalni razlomci. Ali ovdje, u procesu množenja, nećemo obraćati pažnju na zareze, tj. privremeno ćemo povećati množenik za 100 puta, a množitelj za 1.000 puta, što će povećati proizvod za 100.000 puta. Dakle, množenjem 1.227 sa 21, dobijamo:

1 227 21 = 25 767.

S obzirom da je rezultirajući proizvod 100.000 puta veći od pravog proizvoda, sada ga moramo smanjiti za 100.000 puta pravilnim stavljanjem zareza u njega, tada dobijamo:

32,27 0,021 = 0,25767.

hajde da proverimo:

Dakle, da bi se dva decimalna razlomka pomnožili, dovoljno je, ne obraćajući pažnju na zareze, pomnožiti ih kao cijele brojeve i u proizvodu zarezom na desnoj strani odvojiti onoliko decimalnih mjesta koliko ih je bilo u množeniku i u množitelju zajedno.

Posljednji primjer je rezultirao proizvodom sa pet decimalnih mjesta. Ako tako velika preciznost nije potrebna, decimalni razlomak se zaokružuje. Prilikom zaokruživanja treba koristiti isto pravilo kao što je naznačeno za cijele brojeve.

§ 110. Množenje pomoću tablica.

Množenje decimala se ponekad može obaviti pomoću tabela. U tu svrhu možete, na primjer, koristiti one tablice množenja za dvocifrene brojeve, čiji je opis dat ranije.

1) Pomnožite 53 sa 1,5.

53 ćemo pomnožiti sa 15. U tabeli je ovaj proizvod jednak 795. Našli smo proizvod 53 sa 15, ali je naš drugi faktor bio 10 puta manji, što znači da se proizvod mora smanjiti za 10 puta, tj.

53 1,5 = 79,5.

2) Pomnožite 5,3 sa 4,7.

Prvo, u tabeli nalazimo umnožak 53 sa 47, to će biti 2491. Ali pošto smo uvećali množilac i množilac za ukupno 100 puta, rezultirajući proizvod je 100 puta veći nego što bi trebao biti. pa moramo smanjiti ovaj proizvod za 100 puta:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Pomnožite 0,53 sa 7,4.

Prvo, u tabeli nalazimo proizvod 53 x 74; to će biti 3.922, ali pošto smo množilac povećali za 100 puta, a množilac za 10 puta, proizvod se povećao za 1000 puta. pa ga sada moramo smanjiti za 1000 puta:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Podjela decimalnih razlomaka.

Pogledat ćemo dijeljenje decimalnih razlomaka ovim redoslijedom:

1. Dijeljenje decimalnog razlomka cijelim brojem,

1. Podijelite decimalni razlomak cijelim brojem.

1) Podijelite 2,46 sa 2.

Podijelili smo sa 2 prvo cijeli, zatim desetinke i na kraju stotinke.

2) Podijelite 32,46 sa 3.

32,46: 3 = 10,82.

Podijelili smo 3 desetice sa 3, a zatim počeli dijeliti 2 jedinice sa 3; pošto je broj jedinica dividende (2) manji od djelitelja (3), morali smo staviti 0 u količnik; dalje, ostatku smo uzeli 4 desetinke i 24 desetinke podijelili sa 3; dobio 8 desetinki u količniku i na kraju podijelio 6 stotinki.

3) Podijelite 1,2345 sa 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Ovdje u količniku prvo mjesto je nula cijelih brojeva, jer jedan cijeli broj nije djeljiv sa 5.

4) Podijelite 13,58 sa 4.

Posebnost ovog primjera je da kada smo dobili 9 stotinki u količniku, otkrili smo ostatak jednak 2 stotinke, podijelili ovaj ostatak na hiljaditi dio, dobili 20 hiljaditih i završili dijeljenje.

Pravilo. Dijeljenje decimalnog razlomka cijelim brojem izvodi se na isti način kao i dijeljenje cijelih brojeva, a rezultirajući ostaci se pretvaraju u decimalne razlomke, sve manje i manje; Dijeljenje se nastavlja sve dok ostatak ne bude nula.

2. Podijelite decimalu sa decimalom.

1) Podijelite 2,46 sa 0,2.

Već znamo kako podijeliti decimalni razlomak cijelim brojem. Razmislimo da li se i ovaj novi slučaj podjele može svesti na prethodni? Svojevremeno smo razmatrali izvanredno svojstvo količnika, koje se sastoji u tome da ostaje nepromijenjen kada se dividenda i djelitelj istovremeno povećavaju ili smanjuju za isti broj puta. Lako bismo mogli podijeliti brojeve koji su nam dati da je djelitelj cijeli broj. Da biste to učinili, dovoljno ga je povećati za 10 puta, a da biste dobili tačan količnik, potrebno je povećati dividendu za isti iznos, odnosno 10 puta. Tada će podjela ovih brojeva biti zamijenjena dijeljenjem sljedećih brojeva:

Štaviše, više neće biti potrebe za izmjenom podataka.

Uradimo ovu podjelu:

Dakle 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Podijelite 1,25 sa 1,6.

Povećavamo djelitelj (1.6) za 10 puta; da se količnik ne promijeni, dividendu povećavamo 10 puta; 12 cijelih brojeva nije djeljivo sa 16, pa u količnik upišemo 0 i podijelimo 125 desetina sa 16, dobijemo 7 desetina u količniku, a ostatak 13. Podijelimo 13 desetina na stotinke dodjeljivanjem nule i podijelimo 136 stotinki sa 13 itd. Imajte na umu sljedeće:

a) kada nema celih brojeva u određenom, tada se na njihovo mesto upisuju nula celi brojevi;

b) kada se nakon uzimanja cifre dividende u ostatak dobije broj koji nije djeljiv djeliteljem, tada se u količnik upisuje nula;

c) kada se nakon uklanjanja posljednje cifre dividende dijeljenje ne završi, tada se ostatku dodaju nule, dijeljenje se nastavlja;

d) ako je dividenda cijeli broj, tada se pri dijeljenju decimalnim razlomkom povećava dodavanjem nula.

Dakle, da biste broj podijelili decimalnim razlomkom, morate odbaciti zarez u djelitelju, a zatim povećati dividendu za onoliko puta koliko se djelitelj povećao kada se odbaci zarez u njemu, a zatim izvršiti dijeljenje prema pravilu za dijeljenje decimalnog razlomka cijelim brojem.

§ 112. Približni količniki.

U prethodnom pasusu pogledali smo dijeljenje decimalnih razlomaka i u svim primjerima koje smo rješavali dijeljenje je završeno, odnosno dobijen je tačan količnik. Međutim, u većini slučajeva se ne može dobiti tačan količnik, bez obzira koliko daleko nastavljamo s podjelom. Evo jednog takvog slučaja: podijelite 53 sa 101.

Već smo primili pet cifara u količniku, ali dijeljenje još nije završeno i nema nade da će ikada završiti, jer u ostatku počinjemo imati brojeve koji su se već ranije susreli. U količniku će se ponavljati i brojevi: očigledno je da će se iza broja 7 pojaviti broj 5, zatim 2, itd. beskonačno. U takvim slučajevima, podjela se prekida i ograničava na prvih nekoliko znamenki količnika. Takav količnik se zove bliskih. Na primjerima ćemo pokazati kako se izvodi dijeljenje.

Neka je potrebno podijeliti 25 sa 3. Očigledno, tačan količnik, izražen kao cijeli broj ili decimalni razlomak, ne može se dobiti takvim dijeljenjem. Stoga ćemo tražiti približni količnik:

25: 3 = 8 i ostatak 1

Približni količnik je 8; to je, naravno, manji od tačnog količnika, jer postoji ostatak 1. Da biste dobili tačan količnik, potrebno je da nađenom približnom količniku dodate razlomak koji se dobije dijeljenjem ostatka jednak 1 sa 3, tj. , do 8; ovo će biti razlomak 1/3. To znači da će tačan količnik biti izražen kao mješoviti broj 8 1/3. Pošto je 1/3 pravi razlomak, tj. razlomak, manje od jedan, onda ćemo, ako ga odbacimo, dozvoliti greška, koji manje od jedan. Količnik 8 će biti približni količnik do jedinice sa nedostatkom. Ako umjesto 8 u količniku uzmemo 9, tada ćemo dopustiti i grešku manju od jedan, jer nećemo dodati cijelu jedinicu, već 2/3. Takva privatna volja približni količnik unutar jedan sa viškom.

Uzmimo sada još jedan primjer. Recimo da trebamo podijeliti 27 sa 8. Pošto ovdje nećemo dobiti tačan količnik izražen kao cijeli broj, tražit ćemo približni količnik:

27: 8 = 3 i ostatak 3.

Ovdje je greška jednaka 3/8, manja je od jedan, što znači da je približni količnik (3) pronađen tačan na jedinicu sa nedostatkom. Nastavimo dijeljenje: ostatak 3 podijelimo na desetine, dobijemo 30 desetina; podijelite ih sa 8.

Dobili smo 3 u količniku umjesto desetinki i 6 desetinki u ostatku. Ako se ograničimo na broj 3,3 i odbacimo ostatak 6, tada ćemo dopustiti grešku manju od jedne desetine. Zašto? Zato što bi se tačan količnik dobio kada bismo na 3,3 dodali rezultat dijeljenja 6 desetina sa 8; ova podjela bi dala 6/80, što je manje od jedne desetine. (Provjeri!) Dakle, ako se u količniku ograničimo na desetine, onda možemo reći da smo pronašli količnik tačno do jedne desetine(sa nedostatkom).

Nastavimo dijeljenje da pronađemo još jedno decimalno mjesto. Da bismo to učinili, podijelimo 6 desetina na stotinke i dobijemo 60 stotinki; podijelite ih sa 8.

U količniku na trećem mjestu ispalo je 7, a u ostatku 4 stotinke; ako ih odbacimo, dopustit ćemo grešku manju od jedne stotine, jer je 4 stotinke podijeljeno sa 8 manje od jedne stotine. U takvim slučajevima kažu da je količnik pronađen tačno do stotinke(sa nedostatkom).

U primjeru koji sada gledamo, možemo dobiti tačan količnik izražen kao decimalni razlomak. Da biste to učinili, dovoljno je podijeliti posljednji ostatak, 4 stotinke, na hiljadite i podijeliti sa 8.

Međutim, u velikoj većini slučajeva nemoguće je dobiti tačan količnik i treba se ograničiti na njegove približne vrijednosti. Sada ćemo pogledati ovaj primjer:

40: 7 = 5,71428571...

Tačke na kraju broja označavaju da podjela nije potpuna, odnosno da je jednakost približna. Obično se približna jednakost piše na sljedeći način:

40: 7 = 5,71428571.

Uzeli smo količnik sa osam decimala. Ali ako nije potrebna tako velika tačnost, možete se ograničiti samo na cijeli dio količnika, tj. na broj 5 (tačnije 6); za veću tačnost bi se mogle uzeti u obzir desetine i uzeti količnik jednak 5,7; ako je iz nekog razloga ta tačnost nedovoljna, onda se možete zaustaviti na stotinkama i uzeti 5,71, itd. Hajde da napišemo pojedinačne količnike i nazovimo ih.

Prvi približni količnik tačan na jedan 6.

Drugi » » » do jedne desetine 5.7.

Treće » » » do stotke 5,71.

Četvrti » » » do hiljaditih 5.714.

Dakle, da biste pronašli približni količnik tačan na neko, na primjer, 3. decimalu (tj. do jedne hiljaditinke), prestanite s dijeljenjem čim se pronađe ovaj znak. U ovom slučaju, morate zapamtiti pravilo navedeno u § 40.

§ 113. Najjednostavniji zadaci koji uključuju procente.

Nakon što naučimo o decimalama, radit ćemo još nekoliko procentnih zadataka.

Ovi problemi su slični onima koje smo rješavali u odjeljenju za razlomke; ali sada ćemo stotinke pisati u obliku decimalnih razlomaka, odnosno bez eksplicitno označenog nazivnika.

Prije svega, morate biti u mogućnosti lako prijeći sa običnog razlomka na decimalu sa nazivnikom 100. Da biste to učinili, trebate podijeliti brojilac sa nazivnikom:

Donja tabela pokazuje kako se broj sa simbolom % (postotak) zamjenjuje decimalnim razlomkom sa nazivnikom 100:

Razmotrimo sada nekoliko problema.

1. Pronalaženje procenta datog broja.

Zadatak 1. U jednom selu živi samo 1.600 ljudi. Broj djece školskog uzrasta čini 25% ukupne populacije. Koliko djece školskog uzrasta ima u ovom selu?

U ovom zadatku morate pronaći 25% ili 0,25 od 1600. Problem se rješava množenjem:

1.600 0,25 = 400 (djeca).

Dakle, 25% od 1.600 je 400.

Da bismo jasno razumjeli ovaj zadatak, korisno je podsjetiti da na svaku stotinu stanovništva dolazi 25 djece školskog uzrasta. Dakle, da biste pronašli broj sve djece školskog uzrasta, prvo možete saznati koliko je stotina u broju 1600 (16), a zatim pomnožite 25 sa brojem stotina (25 x 16 = 400). Na ovaj način možete provjeriti valjanost rješenja.

Zadatak 2.Štedionice osiguravaju štedišama prinos od 2% godišnje. Koliki će prihod dobiti deponent za godinu dana ako u blagajnu stavi: a) 200 rubalja? b) 500 rubalja? c) 750 rubalja? d) 1000 rub.?

U sva četiri slučaja, da biste riješili problem, trebat ćete izračunati 0,02 od navedenih iznosa, odnosno svaki od ovih brojeva morat ćete pomnožiti sa 0,02. uradimo to:

a) 200 0,02 = 4 (rub.),

b) 500 0,02 = 10 (rub.),

c) 750 0,02 = 15 (rub.),

d) 1.000 0,02 = 20 (rub.).

Svaki od ovih slučajeva može se provjeriti sljedećim razmatranjima. Štedionice daju štedišama 2% prihoda, odnosno 0,02 iznosa položenog na štednju. Ako je iznos bio 100 rubalja, onda bi 0,02 od toga bilo 2 rublje. To znači da svaka sto donosi investitoru 2 rublje. prihod. Stoga je u svakom od razmatranih slučajeva dovoljno izračunati koliko stotina ima u datom broju i pomnožiti 2 rublje s ovim brojem stotina. U primjeru a) postoje 2 stotine, što znači

2 2 = 4 (rub.).

U primjeru d) ima 10 stotina, što znači

2 10 = 20 (rub.).

2. Pronalaženje broja po procentu.

Zadatak 1.Škola je u proljeće završila 54 učenika, što predstavlja 6% ukupnog upisa. Koliko je učenika bilo u školi prošle školske godine?

Hajde da prvo razjasnimo značenje ovog zadatka. Školu je završilo 54 učenika, što je 6% od ukupnog broja učenika, odnosno 6 stotinki (0,06) svih učenika u školi. To znači da znamo dio učenika izražen brojem (54) i razlomkom (0,06), a iz tog razlomka moramo pronaći cijeli broj. Dakle, pred nama je običan zadatak da pronađemo broj iz njegovog razlomka (§90, stav 6). Problemi ove vrste rješavaju se dijeljenjem:

To znači da je u školi bilo samo 900 učenika.

Korisno je takve probleme provjeriti rješavanjem inverznog zadatka, tj. nakon rješavanja zadatka treba barem u glavi riješiti problem prvog tipa (pronalaženje procenta datog broja): uzeti pronađeni broj ( 900) kao što je dato i pronađite procenat toga naznačen u rešenom zadatku, i to:

900 0,06 = 54.

Zadatak 2. Porodica potroši 780 rubalja na hranu tokom mjeseca, što je 65% očeve mjesečne zarade. Odredite njegov mjesečni prihod.

Ovaj zadatak ima isto značenje kao i prethodni. On daje dio mjesečne zarade, izražen u rubljama (780 rubalja), i ukazuje da taj dio iznosi 65%, odnosno 0,65, ukupne zarade. A ono što tražite je sva zarada:

780: 0,65 = 1 200.

Dakle, potrebni prihod je 1200 rubalja.

3. Pronalaženje procenta brojeva.

Zadatak 1. U školskoj biblioteci ima samo 6.000 knjiga. Među njima je 1.200 knjiga iz matematike. Koliki procenat knjiga iz matematike čini ukupan broj knjiga u biblioteci?

Već smo razmatrali (§97) probleme ove vrste i došli do zaključka da je za izračunavanje procenta dva broja potrebno pronaći omjer ovih brojeva i pomnožiti ga sa 100.

U našem zadatku trebamo pronaći procentualni odnos brojeva 1.200 i 6.000.

Hajde da prvo pronađemo njihov omjer, a zatim ga pomnožimo sa 100:

Dakle, procenat brojeva 1.200 i 6.000 je 20. Drugim riječima, knjige iz matematike čine 20% ukupnog broja svih knjiga.

Da provjerimo, riješimo inverzni problem: nađi 20% od 6000:

6 000 0,2 = 1 200.

Zadatak 2. Postrojenje bi trebalo da dobije 200 tona uglja. Već je isporučeno 80 tona. Koliki je procenat uglja isporučen u fabriku?

Ovaj problem pita koliki je postotak jedan broj (80) od drugog (200). Odnos ovih brojeva će biti 80/200. Pomnožimo to sa 100:

To znači da je 40% uglja isporučeno.

Množenje decimala odvija se u tri faze.

Decimalni razlomci se pišu u koloni i množe kao obični brojevi.

Brojimo broj decimalnih mjesta za prvi i drugi decimalni razlomak. Sabiramo njihov broj.

U rezultirajućem rezultatu brojimo s desna na lijevo isti broj brojeva koji smo dobili u gornjem pasusu i stavljamo zarez.

Kako množiti decimale

Zapisujemo decimalne razlomke u kolonu i množimo ih kao prirodne brojeve, zanemarujući zareze. To jest, smatramo 3,11 kao 311, a 0,01 kao 1.

Dobili smo 311. Sada brojimo broj znakova (cifara) nakon decimalnog zareza za oba razlomka. Prva decimala ima dvije znamenke, a druga dvije. Ukupan broj decimalnih mjesta:

Brojimo s desna na lijevo 4 znaka (cifre) rezultirajućeg broja. Rezultirajući rezultat sadrži manje brojeva nego što ih treba odvojiti zarezom. U ovom slučaju trebate lijevo dodajte broj nula koji nedostaje.

Nedostaje nam jedna cifra, pa dodajemo jednu nulu lijevo.

Prilikom množenja bilo kojeg decimalnog razlomka na 10; 100; 1000 itd. Decimala se pomiče udesno za onoliko mjesta koliko ima nula iza jedinice.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5.6 · 1.000 = 5.600

Pomnožiti decimalu sa 0,1; 0,01; 0,001 itd., potrebno je da pomerite decimalni zarez u ovom razlomku ulevo za onoliko mesta koliko ima nula ispred jedinice.

Računamo čak i na nulu!

12 0,1 = 1,2
0,05 · 0,1 = 0,005
1.256 · 0.01 = 0.012 56

Da bismo razumjeli kako množiti decimale, pogledajmo konkretne primjere.

Pravilo za množenje decimala

1) Pomnožite ne obraćajući pažnju na zarez.

2) Kao rezultat, odvajamo onoliko cifara nakon decimalnog zareza koliko ih ima iza decimalnih zareza u oba faktora zajedno.

Pronađite proizvod decimalnih razlomaka:

Da bismo pomnožili decimalne razlomke, množimo ne obraćajući pažnju na zareze. To jest, ne množimo 6,8 i 3,4, već 68 i 34. Kao rezultat, odvojimo onoliko cifara nakon decimalnog zareza koliko ih ima nakon decimalnih zareza u oba faktora zajedno. U prvom faktoru je jedna cifra iza decimalnog zareza, u drugom takođe jedna. Ukupno izdvajamo dva broja nakon decimalnog zareza. Tako smo dobili konačan odgovor: 6,8∙3,4=23,12.

Množimo decimale ne uzimajući u obzir decimalni zarez. To jest, u stvari, umjesto množenja 36,85 sa 1,14, množimo 3685 sa 14. Dobijamo 51590. Sada u ovom rezultatu moramo odvojiti onoliko cifara zarezom koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije cifre iza decimalnog zareza, drugi ima jednu. Ukupno, tri znamenke odvajamo zarezom. S obzirom da se iza decimalnog zareza na kraju unosa nalazi nula, u odgovoru je ne upisujemo: 36,85∙1,4=51,59.

Da pomnožimo ove decimale, pomnožimo brojeve ne obraćajući pažnju na zareze. Odnosno, množimo prirodne brojeve 2315 i 7. Dobijamo 16205. U ovom broju morate odvojiti četiri cifre nakon decimalnog zareza - onoliko koliko ih ima u oba faktora zajedno (po dva u svakom). Konačan odgovor: 23,15∙0,07=1,6205.

Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem vrši se na isti način. Brojeve množimo ne obraćajući pažnju na zarez, odnosno množimo 75 sa 16. Dobijeni rezultat treba da sadrži isti broj znakova iza decimalnog zareza koliko ih ima u oba faktora zajedno - jedan. Dakle, 75∙1.6=120.0=120.

Počinjemo množenje decimalnih razlomaka množenjem prirodnih brojeva, jer ne obraćamo pažnju na zareze. Nakon toga odvajamo onoliko cifara nakon decimalnog zareza koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije decimale, drugi također dva. Ukupno, rezultat bi trebao biti četiri znamenke iza decimalnog zareza: 4,72∙5,04=23,7888.

I još par primjera množenja decimalnih razlomaka:

www.for6cl.uznateshe.ru

Množenje decimala, pravila, primjeri, rješenja.

Prijeđimo na proučavanje sljedeće radnje s decimalnim razlomcima, sada ćemo detaljno pogledati množenje decimala. Prvo, razgovarajmo o općim principima množenja decimala. Nakon toga prelazimo na množenje decimalnog razlomka sa decimalnim razlomkom, pokazat ćemo kako se pomnožiti decimalni razlomak po stupcu, te ćemo razmotriti rješenja primjera. Zatim ćemo pogledati množenje decimalnih razlomaka prirodnim brojevima, posebno sa 10, 100 itd. Na kraju, hajde da pričamo o množenju decimala sa razlomcima i mešovitim brojevima.

Recimo odmah da ćemo u ovom članku govoriti samo o množenju pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). Preostali slučajevi su razmatrani u člancima množenje racionalnih brojeva i množenje realnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Opšti principi množenja decimala

Hajde da razgovaramo o opštim principima kojih se treba pridržavati pri množenju sa decimalama.

Budući da su konačni decimali i beskonačni periodični razlomci decimalni oblik običnih razlomaka, množenje takvih decimala u suštini znači množenje običnih razlomaka. Drugim riječima, množenje konačnih decimala, množenje konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, i množenje periodičnih decimala svodi se na množenje običnih razlomaka nakon pretvaranja decimalnih razlomaka u obične.

Pogledajmo primjere primjene navedenog principa množenja decimalnih razlomaka.

Pomnožite decimale 1,5 i 0,75.

Zamijenimo decimalne razlomke koji se množe odgovarajućim običnim razlomcima. Pošto je 1,5=15/10 i 0,75=75/100, onda. Možete smanjiti razlomak, a zatim izolirati cijeli dio od nepravilnog razlomka, a zgodnije je zapisati rezultirajući obični razlomak 1 125/1 000 kao decimalni razlomak 1,125.

Treba napomenuti da je zgodno množiti konačne decimalne razlomke u koloni, o ovoj metodi množenja decimalnih razlomaka ćemo govoriti u sljedećem pasusu.

Pogledajmo primjer množenja periodičnih decimalnih razlomaka.

Izračunajte proizvod periodičnih decimalnih razlomaka 0,(3) i 2,(36) .

Pretvorimo periodične decimalne razlomke u obične razlomke:

Onda. Dobiveni obični razlomak možete pretvoriti u decimalni razlomak:

Ako među pomnoženim decimalnim razlomcima ima beskonačnih neperiodičnih, onda sve pomnožene razlomke, uključujući konačne i periodične, treba zaokružiti na određenu cifru (vidi zaokruživanje brojeva), a zatim pomnožite konačne decimalne razlomke dobijene nakon zaokruživanja.

Pomnožite decimale 5,382... i 0,2.

Prvo, zaokružimo beskonačan neperiodični decimalni razlomak, zaokruživanje se može izvršiti na stotinke, imamo 5.382...≈5.38. Konačni decimalni razlomak 0,2 ne mora biti zaokružen na najbližu stotu. Dakle, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Ostaje izračunati proizvod konačnih decimalnih razlomaka: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Množenje decimalnih razlomaka po stupcu

Množenje konačnih decimalnih razlomaka može se obaviti u koloni, slično množenju prirodnih brojeva u koloni.

Hajde da formulišemo pravilo za množenje decimalnih razlomaka po koloni. Da pomnožite decimalne razlomke po koloni, trebate:

ne obraćajući pažnju na zareze, izvršite množenje prema svim pravilima množenja sa stupcem prirodnih brojeva;
u rezultirajućem broju odvojiti decimalnim zarezom onoliko cifara na desnoj strani koliko ima decimalnih mjesta u oba faktora zajedno, a ako nema dovoljno cifara u umnošku, onda se sa lijeve strane mora dodati traženi broj nula.

Pogledajmo primjere množenja decimalnih razlomaka po stupcima.

Pomnožite decimale 63,37 i 0,12.

Pomnožimo decimalne razlomke u koloni. Prvo, množimo brojeve, zanemarujući zareze:

Ostaje samo dodati zarez u rezultirajući proizvod. Ona treba da odvoji 4 cifre udesno jer faktori imaju ukupno četiri decimale (dva u razlomku 3,37 i dva u razlomku 0,12). Tamo ima dovoljno brojeva, tako da ne morate dodavati nule lijevo. Završimo snimanje:

Kao rezultat, imamo 3,37·0,12=7,6044.

Izračunajte proizvod decimala 3,2601 i 0,0254.

Nakon što smo izvršili množenje u stupcu bez uzimanja u obzir zareza, dobivamo sljedeću sliku:

Sada u proizvodu trebate odvojiti 8 znamenki s desne strane zarezom, jer je ukupan broj decimalnih mjesta pomnoženih razlomaka osam. Ali u proizvodu ima samo 7 znamenki, stoga morate dodati što više nula lijevo kako biste mogli odvojiti 8 znamenki zarezom. U našem slučaju, moramo dodijeliti dvije nule:

Time se završava množenje decimalnih razlomaka po stupcu.

Množenje decimala sa 0,1, 0,01 itd.

Često morate pomnožiti decimalne razlomke sa 0,1, 0,01 itd. Stoga je preporučljivo formulirati pravilo za množenje decimalnog razlomka ovim brojevima, koje proizlazi iz principa množenja decimalnih razlomaka o kojima je bilo riječi.

dakle, množenje date decimale sa 0,1, 0,01, 0,001 itd. daje razlomak koji se dobija od originalnog ako se u njegovoj notaciji zarez pomakne ulijevo za 1, 2, 3 i tako redom cifre, a ako nema dovoljno cifara za pomicanje zareza, onda morate dodajte potreban broj nula na lijevo.

Na primjer, da pomnožite decimalni razlomak 54,34 sa 0,1, trebate pomjeriti decimalni zarez u razlomku 54,34 ulijevo za 1 znamenku, što će vam dati razlomak 5,434, odnosno 54,34·0,1=5,434. Dajemo još jedan primjer. Pomnožite decimalni razlomak 9,3 sa 0,0001. Da bismo to učinili, trebamo pomaknuti decimalni zarez 4 znamenke ulijevo u pomnoženom decimalnom razlomku 9.3, ali zapis razlomka 9.3 ne sadrži toliko znamenki. Stoga, trebamo dodijeliti toliko nula lijevo od razlomka 9,3 da bismo mogli lako pomjeriti decimalni zarez na 4 znamenke, imamo 9,3·0,0001=0,00093.

Imajte na umu da navedeno pravilo za množenje decimalnog razlomka sa 0,1, 0,01, ... važi i za beskonačne decimalne razlomke. Na primjer, 0.(18)·0.01=0.00(18) ili 93.938…·0.1=9.3938… .

Množenje decimale prirodnim brojem

U svojoj srži množenje decimala prirodnim brojevima ne razlikuje se od množenja decimale sa decimalom.

Najprikladnije je pomnožiti konačni decimalni razlomak prirodnim brojem u koloni, u ovom slučaju trebate se pridržavati pravila za množenje decimalnih razlomaka u koloni, o kojima je bilo riječi u jednom od prethodnih paragrafa.

Izračunajte proizvod 15·2.27.

Pomnožimo prirodni broj sa decimalnim razlomkom u koloni:

Kada se periodični decimalni razlomak množi prirodnim brojem, periodični razlomak treba zamijeniti običnim razlomkom.

Pomnožite decimalni razlomak 0.(42) prirodnim brojem 22.

Prvo, pretvorimo periodični decimalni razlomak u običan razlomak:

Sada uradimo množenje: . Ovaj rezultat kao decimala je 9,(3) .

A kada množite beskonačan neperiodični decimalni razlomak prirodnim brojem, prvo morate izvršiti zaokruživanje.

Pomnožite 4·2,145….

Zaokružujući izvorni beskonačni decimalni razlomak na stotinke, dolazimo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka. Imamo 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Množenje decimale sa 10, 100, ...

Često morate pomnožiti decimalne razlomke sa 10, 100,... Stoga je preporučljivo da se detaljnije zadržimo na ovim slučajevima.

Hajde da to izgovorimo pravilo za množenje decimalnog razlomka sa 10, 100, 1.000 itd. Kada množite decimalni razlomak sa 10, 100, ... u njegovoj notaciji, trebate pomaknuti decimalni zarez udesno na 1, 2, 3, ... znamenke, i odbaciti dodatne nule s lijeve strane; ako zapis razlomka koji se množi nema dovoljno znamenki za pomicanje decimalnog zareza, potrebno je dodati potreban broj nula na desno.

Pomnožite decimalni razlomak 0,0783 sa 100.

Pomjerimo razlomak 0,0783 za dvije cifre udesno i dobićemo 007,83. Ispuštanjem dvije nule na lijevoj strani dobije se decimalni razlomak 7,38. Dakle, 0,0783·100=7,83.

Pomnožite decimalni razlomak 0,02 sa 10.000.

Da pomnožimo 0,02 sa 10.000, trebamo pomaknuti decimalni zarez 4 znamenke udesno. Očigledno je da u razlomku 0,02 nema dovoljno cifara da se decimalni zarez pomeri za 4 znamenke, pa ćemo dodati nekoliko nula udesno kako bi se decimalni zarez mogao pomeriti. U našem primjeru, dovoljno je dodati tri nule, imamo 0,02000. Nakon pomjeranja zareza, dobivamo unos 00200.0. Ako odbacimo nule na lijevoj strani, imamo broj 200,0, koji je jednak prirodnom broju 200, koji je rezultat množenja decimalnog razlomka 0,02 sa 10.000.

Navedeno pravilo vrijedi i za množenje beskonačnih decimalnih razlomaka sa 10, 100,... Prilikom množenja periodičnih decimalnih razlomaka treba paziti na period razlomka koji je rezultat množenja.

Pomnožite periodični decimalni razlomak 5,32(672) sa 1000.

Prije množenja, zapišimo periodični decimalni razlomak kao 5,32672672672..., to će nam omogućiti da izbjegnemo greške. Sada pomjerite zarez udesno za 3 mjesta, imamo 5 326.726726…. Tako se nakon množenja dobije periodični decimalni razlomak 5 326,(726).

5,32(672)·1,000=5,326,(726) .

Kada množite beskonačne neperiodične razlomke sa 10, 100, ..., prvo morate zaokružiti beskonačni razlomak na određenu znamenku, a zatim izvršiti množenje.

Množenje decimale razlomkom ili mješovitim brojem

Da biste pomnožili konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični decimalni razlomak običnim razlomkom ili mješovitim brojem, trebate predstaviti decimalni razlomak kao običan razlomak, a zatim izvršiti množenje.

Pomnožite decimalni razlomak 0,4 mješovitim brojem.

Pošto je 0,4=4/10=2/5 i onda. Dobijeni broj se može napisati kao periodični decimalni razlomak 1,5(3).

Kada množite beskonačan neperiodični decimalni razlomak razlomkom ili mješovitim brojem, zamijenite razlomak ili mješoviti broj decimalnim razlomkom, a zatim zaokružite pomnožene razlomke i završite računanje.

Pošto je 2/3=0,6666..., onda. Nakon zaokruživanja pomnoženih razlomaka na hiljadite, dolazimo do proizvoda dva konačna decimalna razlomka 3,568 i 0,667. Uradimo kolonsko množenje:

Dobijeni rezultat treba zaokružiti na najbližu hiljaditu, pošto su pomnoženi razlomci uzeti tačno na hiljaditu, imamo 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Množenje decimala. Pravila

Nađite površinu pravougaonika sa jednakim stranicama
1,4 dm i 0,3 dm. Pretvorimo decimetre u centimetre:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Sada izračunajmo površinu u centimetrima.

S = 14 3 = 42 cm 2.

Pretvorite kvadratne centimetre u kvadratne centimetre
decimetri:

d m 2 = 0,42 d m 2.

To znači S = 1,4 dm 0,3 dm = 0,42 dm 2.

Množenje dva decimalna razlomka radi se ovako:
1) brojevi se množe bez uzimanja zareza u obzir.
2) zarez u proizvodu se stavlja tako da se odvaja na desnoj strani
isti broj znakova koji su razdvojeni u oba faktora
kombinovano. Na primjer:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Primjeri množenja decimalnih razlomaka u koloni:

Umjesto množenja bilo kojeg broja sa 0,1; 0,01; 0,001
ovaj broj možete podijeliti sa 10; 100 ; odnosno 1000.
Na primjer:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Kada množimo decimalni razlomak prirodnim brojem, moramo:

1) množite brojeve ne obraćajući pažnju na zarez;

2) u rezultirajućem proizvodu stavite zarez tako da je na desnoj strani
imao je isti broj cifara kao decimalni razlomak.

Pronađimo proizvod 3.12 10. Prema gore navedenom pravilu
Prvo pomnožimo 312 sa 10. Dobijamo: 312 10 = 3120.
Sada odvajamo dvije cifre na desnoj strani zarezom i dobijamo:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

To znači da smo prilikom množenja 3,12 sa 10 pomjerili decimalni zarez za jedan
broj na desnoj strani. Ako pomnožimo 3,12 sa 100, dobićemo 312, tj
Zarez je pomjeren za dvije cifre udesno.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Kada množite decimalni razlomak sa 10, 100, 1000, itd., trebate
u ovom razlomku pomaknite decimalni zarez udesno za onoliko mjesta koliko ima nula
vredi multiplikator. Na primjer:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Zadaci na temu "Množenje decimala"

school-assistant.ru

Sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje decimala

Sabiranje i oduzimanje decimala je slično sabiranju i oduzimanju prirodnih brojeva, ali uz određene uslove.

Pravilo. izvodi cifre cijelog broja i razlomaka kao prirodni brojevi.

U pisanoj formi sabiranje i oduzimanje decimala zarez koji odvaja cijeli broj od razlomka treba da se nalazi na sabircima i zbiru ili na minus, oduzeti dio i razliku u jednom stupcu (zarez ispod zareza od pisanja uvjeta do kraja izračunavanja).

Sabiranje i oduzimanje decimala na liniju:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Sabiranje i oduzimanje decimala u koloni:

Dodavanje decimala zahtijeva dodatnu gornju liniju za snimanje brojeva kada zbir vrijednosti mjesta prelazi deset. Oduzimanje decimala zahtijeva dodatnu gornju liniju da označi mjesto gdje je 1 posuđena.

Ako nema dovoljno znamenki razlomničkog dijela desno od sabirka ili minusa, onda desno u razlomljenom dijelu možete dodati onoliko nula (povećajte znamenku razlomničkog dijela) koliko ima cifara u drugom sabirku ili minuend.

Množenje decimala izvodi se na isti način kao množenje prirodnih brojeva, po istim pravilima, ali se u proizvodu zarez stavlja prema zbiru cifara faktora u razlomku, računajući s desna na lijevo (zbir cifre množitelja je broj cifara nakon decimalnog zareza za faktore uzeti zajedno).

At množenje decimala u koloni, prva značajna znamenka na desnoj strani je potpisana ispod prve značajne znamenke na desnoj strani, kao u prirodnim brojevima:

Zapis množenje decimala u koloni:

Zapis podjela decimala u koloni:

Podvučeni znakovi su znakovi nakon kojih slijedi zarez jer djelitelj mora biti cijeli broj.

Pravilo. At dijeljenje razlomaka Decimalni djelitelj se povećava za onoliko cifara koliko ima cifara u razlomku. Kako bi se osiguralo da se razlomak ne mijenja, dividenda se povećava za isti broj cifara (u razdjelniku i djelitelju zarez se pomiče na isti broj cifara). Zarez se stavlja u količnik u onoj fazi dijeljenja kada je cijeli dio razlomka podijeljen.

Za decimalne razlomke, kao i za prirodne brojeve, ostaje pravilo: Ne možete podijeliti decimalni razlomak sa nulom!

U srednjoj i srednjoj školi učenici su obrađivali temu „Razlomci“. Međutim, ovaj koncept je mnogo širi od onoga što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često, a ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.

Šta je razlomak?

Istorijski gledano, razlomci su nastali iz potrebe mjerenja. Kao što praksa pokazuje, često postoje primjeri određivanja dužine segmenta i volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se učenici upoznaju sa konceptom dionice. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, tada će svaka osoba dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj jedan dio od osam naziva se udio.

Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovina; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Zapisi oblika 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se obični razlomci. Običan razlomak je podijeljen na brojnik i imenilac. Između njih je frakciona traka, ili frakciona traka. Razlomka se može nacrtati kao horizontalna ili kosa linija. U ovom slučaju, označava znak podjele.

Imenilac predstavlja na koliko jednakih delova je podeljena količina ili objekat; a brojilac je koliko je identičnih udjela uzeto. Brojnik je napisan iznad razlomka, a nazivnik ispod.

Najprikladnije je prikazati obične razlomke na koordinatnoj zraci. Ako je jedan segment podijeljen na 4 jednaka dijela, svaki dio je označen latiničnim slovom, onda rezultat može biti odlična vizualna pomoć. Dakle, tačka A pokazuje udeo jednak 1/4 celokupnog segmenta jedinice, a tačka B označava 2/8 datog segmenta.

Vrste razlomaka

Razlomci mogu biti obični, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na pravilne i nepravilne. Ova klasifikacija je prikladnija za obične frakcije.

Pravi razlomak je broj čiji je brojilac manji od nazivnika. Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojilac veći od nazivnika. Drugi tip se obično piše kao mješoviti broj. Ovaj izraz se sastoji od cijelog broja i razlomka. Na primjer, 1½. 1 je cijeli broj, ½ je razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili pretvaranje), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.

Tačan frakcijski izraz je uvijek manji od jedan, a netačan je uvijek veći ili jednak 1.

Što se tiče ovog izraza, mislimo na zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se imenilac razlomka može izraziti kao jedinica sa nekoliko nula. Ako je razlomak pravilan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti jednak nuli.

Da biste napisali decimalni razlomak, prvo morate napisati cijeli dio, odvojiti ga od razlomka pomoću zareza, a zatim napisati izraz razlomka. Treba imati na umu da nakon decimalnog zareza brojnik mora sadržavati isti broj digitalnih znakova kao što su nule u nazivniku.

Primjer. Izrazite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

Pogrešno je napisati nepravilan razlomak u odgovoru na zadatak, pa ga treba pretvoriti u mješoviti broj:

podijeliti brojilac sa postojećim nazivnikom;
u konkretnom primjeru, nepotpuni količnik je cjelina;
a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47 / 5.

Rješenje. 47: 5. Parcijalni količnik je 9, ostatak = 2. Dakle, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Ponekad morate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:

cijeli broj se množi sa nazivnikom razlomka;
rezultirajući proizvod se dodaje brojiocu;
rezultat je upisan u brojiocu, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Predstavite mješoviti broj kao nepravilan razlomak: 9 8 / 10.

Rješenje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojilac.

Odgovori: 98 / 10.

Množenje razlomaka

Na običnim razlomcima mogu se izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, potrebno je da pomnožite brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Štaviše, množenje razlomaka sa različitim nazivnicima ne razlikuje se od množenja razlomaka sa istim nazivnicima.

Dešava se da nakon pronalaženja rezultata trebate smanjiti razlomak. IN obavezno morate pojednostaviti rezultirajući izraz što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je nepravilan razlomak u odgovoru greška, ali ga je teško nazvati i tačnim odgovorom.

Primjer. Pronađite proizvod dva obična razlomka: ½ i 20/18.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja proizvoda, dobiva se reducibilna frakcija. I brojnik i imenilac u ovom slučaju su podijeljeni sa 4, a rezultat je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka se po svom principu prilično razlikuje od proizvoda običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:

dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da su krajnje desne cifre jedna ispod druge;
morate pomnožiti napisane brojeve, uprkos zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
prebrojati broj cifara iza decimalnog zareza u svakom broju;
u rezultatu koji se dobije nakon množenja potrebno je izbrojati s desne strane onoliko digitalnih simbola koliko ih sadrži zbir u oba faktora nakon decimalne točke i staviti znak za razdvajanje;
ako je u proizvodu manje brojeva, onda morate ispred njih napisati što više nula da pokrijete ovaj broj, staviti zarez i dodati cijeli dio jednak nuli.

Primjer. Izračunajte proizvod dva decimalna razlomka: 2,25 i 3,6.

Rješenje.

Množenje mješovitih razlomaka

Da biste izračunali umnožak dva mješovita razlomka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
naći umnožak brojilaca;
pronaći proizvod nazivnika;
zapišite rezultat;
pojednostavite izraz što je više moguće.

Primjer. Pronađite proizvod 4½ i 6 2/5.

Množenje broja sa razlomkom (razlomci brojem)

Osim pronalaženja umnožaka dva razlomka i mješovitih brojeva, postoje zadaci gdje je potrebno množiti razlomkom.

Dakle, da biste pronašli proizvod decimalnog razlomka i prirodnog broja, trebate:

upišite broj ispod razlomka tako da su krajnje desne cifre jedna iznad druge;
pronaći proizvod uprkos zarezu;
u rezultirajućem rezultatu odvojite cijeli broj od razlomka pomoću zareza, računajući s desna broj cifara koje se nalaze iza decimalne točke u razlomku.

Da biste običan razlomak pomnožili brojem, morate pronaći proizvod brojnika i prirodnog faktora. Ako odgovor rezultira razlomkom koji se može smanjiti, treba ga pretvoriti.

Primjer. Izračunaj proizvod 5/8 i 12.

Rješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovori: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno smanjiti rezultujući rezultat i pretvoriti netačan razlomak u mješoviti broj.

Množenje razlomaka također se odnosi na pronalaženje proizvoda broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli dio mješovitog faktora pomnožiti brojem, pomnožiti brojilac sa istom vrijednošću, a imenilac ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, rezultat je potrebno pojednostaviti što je više moguće.

Primjer. Pronađite proizvod 9 5 / 6 i 9.

Rješenje. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odgovori: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Sljedeće pravilo slijedi iz prethodnog stava. Da biste pomnožili decimalni razlomak sa 10, 100, 1000, 10000, itd., trebate pomaknuti decimalni zarez udesno za onoliko cifara koliko ima nula u faktoru iza jedinice.

Primjer 1. Pronađite proizvod 0,065 i 1000.

Rješenje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovori: 65.

Primjer 2. Pronađite proizvod 3,9 i 1000.

Rješenje. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovori: 3900.

Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, itd., trebali biste pomaknuti zarez u rezultirajućem proizvodu ulijevo za onoliko znakova cifara koliko ima nula ispred jedan. Ako je potrebno, dovoljan broj nula upisuje se ispred prirodnog broja.

Primjer 1. Pronađite proizvod 56 i 0,01.

Rješenje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovori: 0,56.

Primjer 2. Pronađite proizvod 4 i 0,001.

Rješenje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovori: 0,004.

Dakle, pronalaženje proizvoda različitih razlomaka ne bi trebalo uzrokovati nikakve poteškoće, osim možda izračunavanja rezultata; u ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.

U ovom članku ćemo pogledati akciju množenja decimala. Počnimo s navođenjem općih principa, zatim pokažimo kako se pomnoži jedan decimalni razlomak drugim i razmotrimo metodu množenja stupcem. Sve definicije će biti ilustrovane primerima. Zatim ćemo pogledati kako pravilno pomnožiti decimalne razlomke običnim, kao i mješovitim i prirodnim brojevima (uključujući 100, 10, itd.)

U ovom materijalu ćemo se dotaknuti samo pravila za množenje pozitivnih razlomaka. Slučajevi sa negativnim brojevima posebno su obrađeni u člancima o množenju racionalnih i realnih brojeva.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hajde da formulišemo opšte principe koji se moraju poštovati prilikom rešavanja zadataka koji uključuju množenje decimalnih razlomaka.

Podsjetimo prvo da decimalni razlomci nisu ništa drugo do poseban oblik pisanja običnih razlomaka, stoga se proces njihovog množenja može svesti na sličan za obične razlomke. Ovo pravilo radi i za konačne i za beskonačne razlomke: nakon što ih pretvorite u obične razlomke, lako je množiti s njima prema pravilima koja smo već naučili.

Pogledajmo kako se takvi problemi rješavaju.

Primjer 1

Izračunajte proizvod 1,5 i 0,75.

Rješenje: Prvo, zamijenimo decimalne razlomke običnim. Znamo da je 0,75 75/100, a 1,5 15/10. Možemo smanjiti razlomak i odabrati cijeli dio. Dobijeni rezultat 125 1000 zapisaćemo kao 1,125.

odgovor: 1 , 125 .

Možemo koristiti metodu brojanja stupaca, baš kao i za prirodne brojeve.

Primjer 2

Pomnožite jedan periodični razlomak 0, (3) sa drugim 2, (36).

Prvo, smanjimo originalne razlomke na obične. dobićemo:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Dakle, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.

Rezultirajući obični razlomak može se pretvoriti u decimalni oblik dijeljenjem brojnika sa nazivnikom u stupcu:

odgovor: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

Ako u navodu problema imamo beskonačne neperiodične razlomke, onda moramo izvršiti njihovo preliminarno zaokruživanje (pogledajte članak o zaokruživanju brojeva ako ste zaboravili kako se to radi). Nakon toga možete izvršiti radnju množenja sa već zaokruženim decimalnim razlomcima. Dajemo primjer.

Primjer 3

Izračunajte proizvod 5, 382... i 0, 2.

Rješenje

U našem zadatku imamo beskonačan razlomak koji se prvo mora zaokružiti na stotinke. Ispada da je 5.382... ≈ 5.38. Nema smisla zaokružiti drugi faktor na stotinke. Sada možete izračunati traženi proizvod i zapisati odgovor: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.

odgovor: 5.382…·0.2 ≈ 1.076.

Metoda brojanja kolona može se koristiti ne samo za prirodne brojeve. Ako imamo decimale, možemo ih pomnožiti na potpuno isti način. Izvedemo pravilo:

Definicija 1

Množenje decimalnih razlomaka po koloni izvodi se u 2 koraka:

1. Izvršite množenje stupaca, ne obraćajući pažnju na zareze.

2. Postavite decimalni zarez u konačni broj, odvojite ga sa onoliko cifara na desnoj strani jer oba faktora zajedno sadrže decimalna mjesta. Ako rezultat nije dovoljan broj za ovo, dodajte nule lijevo.

Pogledajmo primjere takvih proračuna u praksi.

Primjer 4

Pomnožite decimale 63, 37 i 0, 12 kolonama.

Rješenje

Prvo, pomnožimo brojeve, zanemarujući decimalne točke.

Sada treba da stavimo zarez na pravo mesto. Odvojit će četiri cifre na desnoj strani jer je zbir decimala u oba faktora 4. Nema potrebe dodavati nule, jer dovoljno znakova:

odgovor: 3,37 0,12 = 7,6044.

Primjer 5

Izračunajte koliko je 3,2601 puta 0,0254.

Rješenje

Brojimo bez zareza. Dobijamo sljedeći broj:

Sa desne strane stavićemo zarez koji razdvaja 8 cifara, jer originalni razlomci zajedno imaju 8 decimalnih mesta. Ali naš rezultat ima samo sedam znamenki i ne možemo bez dodatnih nula:

odgovor: 3,2601 0,0254 = 0,08280654.

Kako pomnožiti decimalu sa 0,001, 0,01, 01, itd.

Množenje decimala takvim brojevima je uobičajeno, pa je važno to učiniti brzo i precizno. Zapišimo posebno pravilo koje ćemo koristiti za ovo množenje:

Definicija 2

Ako pomnožimo decimalu sa 0, 1, 0, 01, itd., na kraju ćemo dobiti broj sličan originalnom razlomku, sa decimalnim zarezom pomaknutim ulijevo za potreban broj mjesta. Ako nema dovoljno brojeva za prijenos, morate dodati nule lijevo.

Dakle, da biste pomnožili 45, 34 sa 0, 1, trebate pomjeriti decimalni zarez u originalnom decimalnom razlomku za jedno mjesto. Na kraju ćemo imati 4.534.

Primjer 6

Pomnožite 9,4 sa 0,0001.

Rješenje

Morat ćemo pomjeriti decimalni zarez za četiri mjesta prema broju nula u drugom faktoru, ali brojevi u prvom faktoru nisu dovoljni za ovo. Dodijelimo potrebne nule i dobijemo da je 9,4 · 0,0001 = 0,00094.

odgovor: 0 , 00094 .

Za beskonačne decimale koristimo isto pravilo. Tako, na primjer, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) ili 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... i sl.

Proces takvog množenja se ne razlikuje od radnje množenja dva decimalna razlomka. Zgodno je koristiti metodu množenja stupaca ako izraz problema sadrži konačni decimalni razlomak. U ovom slučaju, potrebno je uzeti u obzir sva pravila o kojima smo govorili u prethodnom paragrafu.

Primjer 7

Izračunajte koliko je 15 · 2,27.

Rješenje

Pomnožimo originalne brojeve kolonom i odvojimo dva zareza.

odgovor: 15 · 2,27 = 34,05.

Ako pomnožimo periodični decimalni razlomak prirodnim brojem, prvo moramo promijeniti decimalni razlomak u običan.

Primjer 8

Izračunajte proizvod 0 , (42) i 22 .

Svedujmo periodični razlomak na običan oblik.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Konačan rezultat možemo zapisati u obliku periodičnog decimalnog razlomka kao 9, (3).

odgovor: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Beskonačni razlomci se prvo moraju zaokružiti prije izračunavanja.

Primjer 9

Izračunajte koliko će biti 4 · 2, 145....

Rješenje

Zaokružimo originalni beskonačni decimalni razlomak na stotinke. Nakon toga dolazimo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka:

4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.

odgovor: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.

Kako pomnožiti decimalu sa 1000, 100, 10 itd.

Množenje decimalnog razlomka sa 10, 100 itd. često se susreće u problemima, pa ćemo ovaj slučaj analizirati zasebno. Osnovno pravilo množenja je:

Definicija 3

Da biste pomnožili decimalni razlomak sa 1000, 100, 10, itd., trebate pomjeriti njegovu decimalnu zarezu na 3, 2, 1 znamenku u zavisnosti od množitelja i odbaciti dodatne nule s lijeve strane. Ako nema dovoljno brojeva za pomicanje zareza, dodajemo onoliko nula na desno koliko nam je potrebno.

Pokažimo na primjeru kako se to tačno radi.

Primjer 10

Pomnožite 100 i 0,0783.

Rješenje

Da bismo to učinili, trebamo pomaknuti decimalni zarez za 2 znamenke udesno. Na kraju ćemo dobiti 007, 83 Nule na lijevoj strani se mogu odbaciti i rezultat zapisati kao 7, 38.

odgovor: 0,0783 100 = 7,83.

Primjer 11

Pomnožite 0,02 sa 10 hiljada.

Rješenje: Zarez ćemo pomjeriti četiri cifre udesno. Nemamo dovoljno znakova za ovo u originalnom decimalnom razlomku, pa ćemo morati dodati nule. U ovom slučaju, tri 0 će biti dovoljna. Rezultat je 0, 02000, pomjerite zarez i dobijete 00200, 0. Zanemarujući nule na lijevoj strani, možemo napisati odgovor kao 200.

odgovor: 0,02 · 10.000 = 200.

Pravilo koje smo dali radit će isto i u slučaju beskonačnih decimalnih razlomaka, ali ovdje treba biti vrlo oprezan sa periodom konačnog razlomka, jer je u njemu lako pogriješiti.

Primjer 12

Izračunajte proizvod 5,32 (672) puta 1000.

Rješenje: prvo ćemo periodični razlomak napisati kao 5, 32672672672 ..., pa će vjerovatnoća da se napravi greška biti manja. Nakon toga možemo premjestiti zarez na potreban broj znakova (tri). Rezultat će biti 5326, 726726... Stavimo tačku u zagrade i napišemo odgovor kao 5,326, (726).

odgovor: 5, 32 (672) · 1,000 = 5,326, (726) .

Ako uslovi problema sadrže beskonačne neperiodične razlomke koji se moraju pomnožiti sa deset, sto, hiljadu, itd., ne zaboravite ih zaokružiti prije množenja.

Da biste izvršili množenje ovog tipa, trebate predstaviti decimalni razlomak kao običan razlomak, a zatim nastaviti prema već poznatim pravilima.

Primjer 13

Pomnožite 0, 4 sa 3 5 6

Rješenje

Prvo, pretvorimo decimalni razlomak u običan razlomak. Imamo: 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Odgovor smo dobili u obliku mješovitog broja. Možete ga napisati kao periodični razlomak 1, 5 (3).

odgovor: 1 , 5 (3) .

Ako je u izračun uključen beskonačan neperiodični razlomak, morate ga zaokružiti na određeni broj, a zatim ga pomnožiti.

Primjer 14

Izračunaj proizvod 3, 5678. . . · 2 3

Rješenje

Drugi faktor možemo predstaviti kao 2 3 = 0, 6666…. Zatim zaokružite oba faktora na hiljadito mjesto. Nakon toga, morat ćemo izračunati proizvod dva konačna decimalna razlomka 3,568 i 0,667. Prebrojimo sa kolonom i dobijemo odgovor: