Šta je vjerovatnoća?

Prvi put kada sam se susreo sa ovim terminom, ne bih razumeo šta je to. Stoga ću pokušati da objasnim jasno.

Vjerovatnoća je šansa da se dogodi događaj koji želimo.

Na primjer, odlučili ste otići kod prijatelja, sjećate se ulaza, pa čak i sprata na kojem živi. Ali sam zaboravio broj i lokaciju stana. A sada stojite na stepeništu, a ispred vas su vrata za izbor.

Koja je šansa (vjerovatnoća) da ako pozvonite na prva vrata, vaš prijatelj otvori vrata umjesto vas? Postoje samo stanovi, a samo iza jednog od njih živi prijatelj. Uz jednake šanse možemo izabrati bilo koja vrata.

Ali kakva je ovo šansa?

Vrata, desna vrata. Vjerovatnoća pogađanja zvonjavom na prva vrata: . Odnosno, jednom od tri tačno ćete pogoditi.

Želimo znati, nakon što smo jednom pozvali, koliko često ćemo pogoditi vrata? Pogledajmo sve opcije:

1. Zvao si 1st vrata
2. Zvao si 2nd vrata
3. Zvao si 3rd vrata

Sada pogledajmo sve opcije gdje bi prijatelj mogao biti:

A. Iza 1st vrata
b. Iza 2nd vrata
V. Iza 3rd vrata

Uporedimo sve opcije u obliku tabele. Kvačica označava opcije kada se vaš izbor poklapa sa lokacijom prijatelja, križić - kada se ne poklapa.

Kako vidite sve Možda opcije lokacija vašeg prijatelja i vaš izbor na koja vrata ćete zvoniti.

A povoljni ishodi svih . Odnosno, jednom ćete pogoditi tako što ćete jednom pozvoniti na vrata, tj. .

Ovo je vjerovatnoća - omjer povoljnog ishoda (kada se vaš izbor poklopi sa lokacijom vašeg prijatelja) i broja mogućih događaja.

Definicija je formula. Verovatnoća se obično označava sa p, pa:

Nije baš zgodno napisati takvu formulu, pa uzmimo za - broj povoljnih ishoda, i za - ukupno ishodi.

Vjerovatnoća se može napisati kao postotak; da biste to učinili, trebate pomnožiti rezultirajući rezultat sa:

Vjerovatno vam je zapela za oko riječ „ishodi“. Budući da matematičari razne radnje (u našem slučaju, takva radnja je zvono na vratima) nazivaju eksperimentima, rezultat takvih eksperimenata se obično naziva ishod.

Pa, ima povoljnih i nepovoljnih ishoda.

Vratimo se na naš primjer. Recimo da smo pozvonili na jedna vrata, ali su nam otvorena stranac. Nismo pogodili. Kolika je vjerovatnoća da će nam prijatelj otvoriti ako pozvonimo na neka od preostalih vrata?

Ako ste tako mislili, onda je ovo greška. Hajde da to shvatimo.

Ostala su nam dvoja vrata. Dakle, imamo moguće korake:

1) Pozovite 1st vrata
2) Pozovite 2nd vrata

Prijatelj, i pored svega ovoga, definitivno stoji iza jednog od njih (uostalom, nije stajao iza onoga koga smo zvali):

a) Prijatelj za 1st vrata
b) Prijatelj za 2nd vrata

Ponovo nacrtajmo tabelu:

Kao što vidite, postoje samo opcije, od kojih su povoljne. Odnosno, vjerovatnoća je jednaka.

Zašto ne?

Situacija koju smo razmatrali jeste primjer zavisnih događaja. Prvi događaj je prvo zvono na vratima, drugi događaj je drugo zvono na vratima.

A nazivaju se zavisnim jer utiču na sledeće radnje. Na kraju krajeva, ako bi se nakon prvog zvona na vrata javio prijatelj, kolika bi bila vjerovatnoća da je on bio iza jednog od druga dva? U redu, .

Ali ako postoje zavisni događaji, onda ih također moraju postojati nezavisni? Tako je, dešavaju se.

Primjer iz udžbenika je bacanje novčića.

1. Baci novčić jednom. Kolika je vjerovatnoća da dobijete glave, na primjer? Tako je - jer postoje sve opcije (bilo glave ili repa, zanemarićemo vjerovatnoću da novčić sleti na njegovu ivicu), ali samo nama to odgovara.
2. Ali to je palo na pamet. Ok, bacimo ga ponovo. Kolika je vjerovatnoća da sada dobijete glave? Ništa se nije promenilo, sve je isto. Koliko opcija? Dva. Sa koliko smo zadovoljni? Jedan.

I neka se pojavi barem hiljadu puta zaredom. Vjerovatnoća da dobijete glave odjednom će biti ista. Uvek postoje opcije, i to povoljne.

Lako je razlikovati zavisne događaje od nezavisnih:

1. Ako se eksperiment izvede jednom (jednom baci novčić, jednom pozvoni na vrata itd.), događaji su uvijek nezavisni.
2. Ako se eksperiment izvodi nekoliko puta (jednom se baci novčić, nekoliko puta se zvoni na vratima), tada je prvi događaj uvijek nezavisan. A onda, ako se promijeni broj povoljnih ili broj svih ishoda, onda su događaji zavisni, a ako ne, nezavisni.

Hajde da malo vežbamo određivanje verovatnoće.

Primjer 1.

Novčić se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da dobijete glave dva puta zaredom?

Rješenje:

Hajde da razmotrimo sve moguće opcije:

1. Eagle-eagle
2. Glava-rep
3. Tails-Heads
4. Repovi-repovi

Kao što vidite, postoje samo opcije. Od ovih smo samo zadovoljni. Odnosno, vjerovatnoća:

Ako uvjet traži jednostavno pronalaženje vjerovatnoće, onda odgovor treba dati u obliku decimalni. Kada bi se preciziralo da odgovor treba dati u procentima, onda bismo pomnožili sa.

odgovor:

Primjer 2.

U kutiji čokolade, sve čokolade su upakovane u isti omot. Međutim, od slatkiša - sa orasima, sa konjakom, sa višnjama, sa karamelom i sa nugatom.

Kolika je vjerovatnoća da uzmete jedan slatkiš i dobijete bombon sa orasima? Odgovor dajte u procentima.

Rješenje:

Koliko je mogućih ishoda? .

Odnosno, ako uzmete jedan slatkiš, to će biti jedan od dostupnih u kutiji.

Koliko je povoljnih ishoda?

Jer kutija sadrži samo čokolade sa orasima.

odgovor:

Primjer 3.

U kutiji balona. od kojih su bijele i crne.

1. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?
2. Dodali smo još crnih loptica u kutiju. Kolika je sada vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?

Rješenje:

a) U kutiji su samo loptice. Od njih su bijeli.

Vjerovatnoća je:

b) Sada ima više loptica u kutiji. I belaca je ostalo isto toliko - .

odgovor:

Potpuna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja jednaka je ().

Recimo da se u kutiji nalaze crvene i zelene kuglice. Kolika je vjerovatnoća da izvučete crvenu loptu? Zelena lopta? Crvena ili zelena lopta?

Verovatnoća izvlačenja crvene lopte

zelena lopta:

Crvena ili zelena lopta:

Kao što vidite, zbir svih mogućih događaja je jednak (). Razumijevanje ove tačke pomoći će vam da riješite mnoge probleme.

Primjer 4.

U kutiji se nalaze markeri: zeleni, crveni, plavi, žuti, crni.

Kolika je vjerovatnoća da NE nacrtate crveni marker?

Rješenje:

Hajde da izbrojimo broj povoljni ishodi.

NIJE crveni marker, to znači zeleno, plavo, žuto ili crno.

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerovatnoći da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Već znate šta su nezavisni događaji.

Šta ako trebate pronaći vjerovatnoću da će se dva (ili više) nezavisnih događaja dogoditi zaredom?

Recimo da želimo da znamo kolika je verovatnoća da ćemo, ako jednom bacimo novčić, dvaput videti glave?

Već smo razmotrili - .

Šta ako jednom bacimo novčić? Kolika je vjerovatnoća da ćete vidjeti orla dvaput zaredom?

Ukupno mogućih opcija:

1. Eagle-eagle-eagle
2. Glava-glava-rep
3. Glava-repa-glava
4. Glava-repa-repa
5. Repovi-glave-glave
6. Repovi-glavi-repovi
7. Repovi-repovi-glave
8. Repovi-repovi-repovi

Ne znam za vas, ali ja sam nekoliko puta pogriješio prilikom sastavljanja ove liste. Vau! I jedina opcija (prva) nam odgovara.

Za 5 bacanja možete sami napraviti listu mogućih ishoda. Ali matematičari nisu tako vredni kao vi.

Stoga su prvo uočili, a zatim i dokazali da se vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja svaki put smanjuje za vjerovatnoću jednog događaja.

Drugim riječima,

Pogledajmo primjer istog nesretnog novčića.

Vjerovatnoća da ćete dobiti glave u izazovu? . Sada bacamo novčić jednom.

Kolika je vjerovatnoća da dobijete glave u nizu?

Ovo pravilo ne funkcioniše samo ako se od nas traži da pronađemo verovatnoću da će se isti događaj desiti nekoliko puta zaredom.

Kada bismo hteli da pronađemo sekvencu REPOVI-GLAVE-REPOVI za uzastopna bacanja, uradili bismo isto.

Verovatnoća dobijanja repova je , glava - .

Verovatnoća dobijanja sekvence REP-GLAVE-REPOVI-REPOVI:

To možete sami provjeriti tako što ćete napraviti tabelu.

Pravilo za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja.

Zato prestani! Nova definicija.

Hajde da to shvatimo. Uzmimo naš istrošeni novčić i bacimo ga jednom.
Moguće opcije:

1. Eagle-eagle-eagle
2. Glava-glava-rep
3. Glava-repa-glava
4. Glava-repa-repa
5. Repovi-glave-glave
6. Repovi-glavi-repovi
7. Repovi-repovi-glave
8. Repovi-repovi-repovi

Dakle, nespojivi događaji su određeni, dati niz događaja. - ovo su nespojivi događaji.

Ako želimo da utvrdimo kolika je verovatnoća dva (ili više) nekompatibilnih događaja, onda sabiramo verovatnoće tih događaja.

Morate shvatiti da su glava ili rep dva nezavisna događaja.

Ako želimo da odredimo verovatnoću da će se niz (ili bilo koji drugi) pojaviti, onda koristimo pravilo množenja verovatnoća.
Kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu pri prvom bacanju, a repove pri drugom i trećem bacanju?

Ali ako želimo da znamo kolika je verovatnoća da dobijemo jednu od nekoliko sekvenci, na primer, kada se glave pojave tačno jednom, tj. opcije i tada moramo sabrati vjerovatnoće ovih nizova.

Ukupne opcije nam odgovaraju.

Istu stvar možemo dobiti ako zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svakog niza:

Stoga, dodajemo vjerovatnoće kada želimo da odredimo vjerovatnoću određenih, nekonzistentnih slijeda događaja.

Postoji odlično pravilo koje će vam pomoći da izbjegnete zabunu kada množiti, a kada sabirati:

Vratimo se na primjer gdje smo jednom bacili novčić i htjeli znati vjerovatnoću da ćemo jednom vidjeti glave.
Šta će se dogoditi?

Trebalo bi ispasti:
(glave I repovi I repovi) ILI (repovi I glave I repovi) OR (repovi I repovi I glave).
Ovako ispada:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 5.

U kutiji su olovke. crvena, zelena, narandžasta i žuta i crna. Kolika je vjerovatnoća da izvučete crveno ili zelena olovka I?

Rješenje:

Primjer 6.

Dice bacanje dvaput, kolika je vjerovatnoća da dobijete ukupno 8 poena?

Rješenje.

Kako možemo dobiti bodove?

(i) ili (i) ili (i) ili (i) ili (i).

Vjerovatnoća da dobijete jedno (bilo koje) lice je .

Izračunavamo vjerovatnoću:

Trening.

Mislim da sada razumete kada treba da izračunate verovatnoće, kada da ih dodate, a kada da ih pomnožite. Nije li? Vježbajmo malo.

Zadaci:

Uzmimo špil karata koji sadrži karte uključujući pikove, srca, 13 trefa i 13 karata. Od do Asa svake boje.

1. Kolika je vjerovatnoća da izvučemo štafete u nizu (prvu izvučenu kartu vratimo u špil i promiješamo je)?
2. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja crne karte (pik ili trefa)?
3. Kolika je vjerovatnoća da se izvuče slika (valet, dama, kralj ili as)?
4. Kolika je vjerovatnoća da se izvuku dvije slike za redom (uklanjamo prvu izvučenu kartu iz špila)?
5. Kolika je vjerovatnoća da se, uzimajući dvije karte, sakupi kombinacija - (jack, dama ili kralj) i as? Redoslijed u kojem se karte izvlače nije bitan.

odgovori:

Ako ste uspjeli sami riješiti sve probleme, onda ste odlični! Sada ćete kao ludi razbijati probleme teorije vjerovatnoće na Jedinstvenom državnom ispitu!

TEORIJA VEROVATNOSTI. PROSJEČAN NIVO

Pogledajmo primjer. Recimo da bacimo kocku. Kakva je ovo kost, znate li? To je ono što zovu kocka sa brojevima na licu. Koliko lica, toliko brojeva: od do koliko? Prije.

Dakle, bacamo kockice i želimo da ispadne ili. I shvatili smo.

U teoriji vjerovatnoće kažu šta se dogodilo povoljan događaj(ne brkati sa prosperitetnim).

Da se to dogodi, događaj bi takođe bio povoljan. Ukupno se mogu desiti samo dva povoljna događaja.

Koliko je nepovoljnih? Pošto ima ukupno mogućih događaja, to znači da su oni nepovoljni događaji (ovo je ako ili ispadne).

definicija:

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja. Odnosno, vjerovatnoća pokazuje koliki je udio svih mogućih događaja povoljan.

Označava vjerovatnoću latinično pismo(očigledno od engleska riječ vjerovatnoća - vjerovatnoća).

Uobičajeno je da se vjerovatnoća mjeri u procentima (vidi temu,). Da biste to učinili, vrijednost vjerovatnoće se mora pomnožiti sa. U primjeru s kockicama, vjerovatnoća.

I u procentima: .

Primjeri (odlučite sami):

1. Kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu prilikom bacanja novčića? Kolika je vjerovatnoća sletanja glava?
2. Kolika je vjerovatnoća da dobijete kada bacate kocku čak broj? Koji je čudan?
3. U kutiji jednostavnih, plavih i crvenih olovaka. Nasumce crtamo jednu olovku. Kolika je vjerovatnoća da dobijete jednostavnu?

rješenja:

1. Koliko opcija postoji? Glava i rep - samo dva. Koliko ih je povoljnih? Samo jedan je orao. Dakle, vjerovatnoća

   Isto je i sa repovima: .

2. Ukupno opcija: (koliko strana ima kocka, toliko različitih opcija). Povoljni: (ovo su sve parni brojevi:).
   Vjerovatnoća. Naravno, isto je i sa neparnim brojevima.
3. Ukupno: . Povoljno: . Verovatnoća: .

Potpuna vjerovatnoća

Sve olovke u kutiji su zelene. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati crvenu olovku? Nema šanse: vjerovatnoća (na kraju krajeva, povoljni događaji -).

Takav događaj se naziva nemogućim.

Kolika je vjerovatnoća da nacrtate zelenu olovku? Postoji potpuno isti broj povoljnih događaja koliko i ukupnih događaja (svi događaji su povoljni). Dakle, vjerovatnoća je jednaka ili.

Takav događaj se naziva pouzdanim.

Ako kutija sadrži zelene i crvene olovke, kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati zelenu ili crvenu? Još jednom. Zapazimo ovo: vjerovatnoća izvlačenja zelene je jednaka, a crvene je jednaka.

Sve u svemu, ove vjerovatnoće su potpuno jednake. To je, zbir vjerovatnoća svih mogućih događaja jednak je ili.

primjer:

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, obične, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da ne nacrtate zeleno?

Rješenje:

Sjećamo se da se sve vjerovatnoće sabiraju. I vjerovatnoća da dobijete zelenu boju je jednaka. To znači da je vjerovatnoća da se ne izvuče zeleno jednaka.

Zapamtite ovaj trik: Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerovatnoći da će se događaj dogoditi.

Nezavisni događaji i pravilo množenja

Bacate novčić jednom i želite da oba puta padne na glavu. Koja je vjerovatnoća za ovo?

Prođimo kroz sve moguće opcije i odredimo koliko ih ima:

Glave-glave, repove-glave, glave-repe, repove-repove. Šta još?

Total options. Od njih nam samo jedan odgovara: Orao-Orao. Ukupno, vjerovatnoća je jednaka.

U redu. Sada bacimo novčić jednom. Izračunaj sam. Desilo se? (odgovor).

Možda ste primijetili da se sa dodavanjem svakog sljedećeg bacanja vjerovatnoća smanjuje za polovicu. Opšte pravilo pozvao pravilo množenja:

Vjerovatnoće nezavisnih događaja se mijenjaju.

Šta su nezavisni događaji? Sve je logično: to su oni koji ne zavise jedni od drugih. Na primjer, kada bacimo novčić nekoliko puta, svaki put se izvrši novo bacanje, čiji rezultat ne ovisi o svim prethodnim bacanjima. Isto tako lako možemo baciti dva različita novčića u isto vrijeme.

Više primjera:

1. Kockice se bacaju dva puta. Kolika je vjerovatnoća da dobijete oba puta?
2. Novčić se baca jednom. Kolika je vjerovatnoća da će prvi put iskrsnuti, a zatim dva puta ispasti?
3. Igrač baca dvije kockice. Kolika je vjerovatnoća da će zbir brojeva na njima biti jednak?

odgovori:

1. Događaji su nezavisni, što znači da pravilo množenja radi: .
2. Vjerovatnoća glava je jednaka. Vjerovatnoća repova je ista. pomnožiti:
3. 12 se može dobiti samo ako se bacaju dva -ki: .

Nekompatibilni događaji i pravilo zbrajanja

Događaji koji se međusobno nadopunjuju nazivaju se nekompatibilnim. puna verovatnoća. Kao što ime govori, ne mogu se desiti istovremeno. Na primjer, ako bacimo novčić, može se pojaviti ili glava ili rep.

Primjer.

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, obične, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati zeleno ili crveno?

Rješenje .

Vjerovatnoća da se nacrta zelena olovka je jednaka. Crvena - .

Povoljni događaji u svemu: zeleno + crveno. To znači da je vjerovatnoća izvlačenja zelene ili crvene boje jednaka.

Ista vjerovatnoća se može predstaviti u ovom obliku: .

Ovo je pravilo dodavanja: vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Problemi mješovitog tipa

Primjer.

Novčić se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će rezultati probijanja biti drugačiji?

Rješenje .

To znači da ako je prvi rezultat glava, drugi mora biti rep, i obrnuto. Ispostavilo se da postoje dva para nezavisnih događaja, a ti parovi su međusobno nekompatibilni. Kako se ne zbuniti oko toga gdje pomnožiti, a gdje dodati.

Za takve situacije postoji jednostavno pravilo. Pokušajte opisati šta će se dogoditi koristeći veznike “I” ili “ILI”. Na primjer, u u ovom slučaju:

Trebalo bi doći gore (glave i repovi) ili (repovi i glave).

Tamo gdje postoji veznik "i" bit će množenje, a gdje je "ili" bit će zbrajanje:

Probajte sami:

1. Kolika je vjerovatnoća da će, ako se novčić baci dva puta, novčić oba puta pasti na istu stranu?
2. Kockice se bacaju dva puta. Kolika je vjerovatnoća da dobijete ukupan broj bodova?

rješenja:

Drugi primjer:

Baci novčić jednom. Kolika je vjerovatnoća da će se glave pojaviti barem jednom?

Rješenje:

TEORIJA VEROVATNOSTI. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja.

Nezavisni događaji

Dva događaja su nezavisna ako pojava jednog ne mijenja vjerovatnoću da se drugi dogodi.

Potpuna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja jednaka je ().

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerovatnoći da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća svakog događaja

Nekompatibilni događaji

Nekompatibilni događaji su oni koji se ne mogu dogoditi istovremeno kao rezultat eksperimenta. Formira se niz nespojivih događaja puna grupa događaji.

Vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Nakon što smo opisali šta bi se trebalo dogoditi, koristeći veznike “AND” ili “OR”, umjesto “AND” stavljamo znak množenja, a umjesto “OR” stavljamo znak za sabiranje.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspešan polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub.

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Razumijem da svi žele unaprijed znati kako će se sportski događaj završiti, ko će pobijediti, a ko izgubiti. Sa ovim informacijama možete se kladiti na sportskih događaja. Ali da li je to uopšte moguće, i ako jeste, kako izračunati verovatnoću nekog događaja?

Vjerovatnoća je relativna vrijednost, stoga ne može sa sigurnošću govoriti ni o jednom događaju. Ova vrijednost omogućava vam da analizirate i procijenite potrebu da se kladite na određeno takmičenje. Određivanje vjerovatnoća je čitava nauka koja zahtijeva pažljivo proučavanje i razumijevanje.

Koeficijent vjerovatnoće u teoriji vjerovatnoće

U sportskom klađenju postoji nekoliko opcija za ishod takmičenja:

• pobjeda prvog tima;
• pobjeda drugog tima;
• draw;
• ukupno

Svaki ishod takmičenja ima svoju vjerovatnoću i učestalost s kojom će se ovaj događaj dogoditi, pod uslovom da se zadrže početne karakteristike. Kao što smo ranije rekli, nemoguće je precizno izračunati vjerovatnoću bilo kojeg događaja - može se, ali i ne mora podudarati. Dakle, vaša opklada može ili dobiti ili izgubiti.

Ne može postojati 100% tačna prognoza rezultata takmičenja, jer mnogo faktora utiče na ishod utakmice. Naravno, kladionice ne znaju unaprijed ishod utakmice i samo pretpostavljaju rezultat, donoseći odluke koristeći svoj sistem analize i nudeći određene kvote za klađenje.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja?

Pretpostavimo da su kvote kladionice 2,1/2 – dobijamo 50%. Ispada da je koeficijent 2 jednak vjerovatnoći od 50%. Koristeći isti princip, možete dobiti koeficijent vjerovatnoće preloma - 1/vjerovatnoća.

Mnogi igrači misle da će se nakon nekoliko ponovljenih poraza sigurno dogoditi pobjeda - to je pogrešno mišljenje. Verovatnoća dobijanja opklade ne zavisi od broja gubitaka. Čak i ako okrenete nekoliko glava zaredom u igri novčića, vjerovatnoća okretanja repa ostaje ista - 50%.

Pojava teorije verovatnoće datira sredinom 17. veka, kada su se matematičari zainteresovali za postavljene probleme. kockari i još nisu studirali matematiku. U procesu rješavanja ovih problema iskristalisali su se pojmovi kao što su vjerovatnoća i matematičko očekivanje. U isto vrijeme, naučnici tog vremena - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) i Bernoulli (1654-1705) bili su uvjereni da jasni obrasci mogu nastati na osnovu masovnih slučajnih događaji. I samo stanje prirodne nauke dovelo je do toga da je kockanje dugo vremena ostalo gotovo jedini konkretan materijal na osnovu kojeg su stvoreni koncepti i metode teorije vjerovatnoće. Ova okolnost je ostavila traga i na formalnom matematičkom aparatu kojim su se rješavali problemi koji su se pojavili u teoriji vjerovatnoće: sveden je isključivo na elementarne aritmetičke i kombinatorne metode.

Ozbiljni zahtjevi prirodne nauke i društvene prakse (teorija grešaka u posmatranju, problemi teorije snimanja, problemi statistike, prvenstveno statistike stanovništva) doveli su do potrebe dalji razvoj teorija vjerovatnoće i upotreba razvijenijeg analitičkog aparata. Posebno značajnu ulogu u razvoju analitičkih metoda teorije vjerovatnoće imali su Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840). Sa formalne analitičke strane, rad tvorca neeuklidske geometrije, Lobačevskog (1792-1856), posvećen teoriji grešaka u merenjima na sferi i sproveden sa ciljem uspostavljanja geometrijskog sistema koji dominira svemirom. , susjedna je ovom istom pravcu.

Teorija vjerojatnosti, kao i druge grane matematike, nastala je iz potreba prakse: u apstraktnom obliku odražava obrasce svojstvene slučajnim događajima masovni karakter. Ovi uzorci igraju isključivo važnu ulogu u fizici i drugim oblastima prirodnih nauka, raznim tehničkim disciplinama, ekonomiji, sociologiji, biologiji. U vezi sa širokim razvojem preduzeća koja proizvode masovne proizvode, rezultati teorije verovatnoće počeli su da se koriste ne samo za odbacivanje već proizvedenih proizvoda, već i za organizaciju samog proizvodnog procesa (statistička kontrola u proizvodnji).

Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće

Teorija vjerojatnosti objašnjava i istražuje različite obrasce koji upravljaju slučajnim događajima i slučajnim varijablama. Događaj je svaka činjenica koja se može navesti kao rezultat posmatranja ili iskustva. Posmatranje ili iskustvo je ostvarenje određenih uslova pod kojima se događaj može dogoditi.

Iskustvo znači da je pomenuti splet okolnosti stvoren svjesno. Tokom posmatranja, posmatrački kompleks ovih uslova ne stvara niti utiče na njega. Stvaraju ga ili sile prirode ili drugi ljudi.

Šta trebate znati da biste odredili vjerovatnoću događaja

Svi događaji koje ljudi posmatraju ili sami kreiraju dijele se na:

• pouzdani događaji;
• nemogući događaji;
• slučajni događaji.

Pouzdani događaji uvijek nastaju kada se stvore određene okolnosti. Na primjer, ako radimo, za to dobijemo nagradu, ako položimo ispite i prođemo na konkursu, možemo pouzdano računati da ćemo biti uvršteni u broj studenata. Pouzdani događaji se mogu posmatrati u fizici i hemiji. U ekonomiji, pouzdani događaji su povezani sa postojećim društvena struktura i zakonodavstvo. Na primjer, ako smo položili novac u banku i izrazili želju da ga primimo u određenom vremenskom periodu, onda ćemo novac dobiti. Ovo se može računati kao pouzdan događaj.

Nemogući događaji definitivno ne nastaju ako je stvoren određeni skup uslova. Na primjer, voda se ne smrzava ako je temperatura plus 15 stepeni Celzijusa, proizvodnja se ne odvija bez struje.

Slučajni događaji Kada se realizuje određeni skup uslova, oni se mogu ili ne moraju pojaviti. Na primjer, ako jednom bacimo novčić, grb može ili ne mora ispasti, ovisno o tome srećka možete ili ne morate pobijediti; proizvedeni proizvod može ili ne mora biti prikladan. Pojava neispravnog proizvoda je slučajan događaj, rjeđi od proizvodnje odgovarajućih proizvoda.

Očekivana učestalost pojavljivanja slučajnih događaja usko je povezana sa konceptom vjerovatnoće. Teorijom vjerovatnoće proučava se obrasci pojavljivanja i nenastupanja slučajnih događaja.

Ako se skup potrebnih uslova realizuje samo jednom, onda dobijamo nedovoljno informacija o slučajnom događaju, budući da se on može, ali i ne mora dogoditi. Ako se skup uslova implementira mnogo puta, tada se pojavljuju poznati obrasci. Na primjer, nikada se ne može znati koji aparat za kafu u radnji će zatrebati sljedeći kupac, ali ako su poznate marke aparata za kafu koje su već duže vrijeme najtraženije, onda je na osnovu ovih podataka moguće organizovati proizvodnju ili ponudu kako bi zadovoljili potražnju.

Poznavanje obrazaca koji upravljaju masovnim slučajnim događajima omogućava nam da predvidimo kada će se ti događaji dogoditi. Na primjer, kao što je prethodno napomenuto, nemoguće je unaprijed predvidjeti rezultat bacanja novčića, ali ako se novčić baci mnogo puta, tada je moguće predvidjeti da će grb ispasti. Greška može biti mala.

Metode teorije vjerovatnoće se široko koriste u različitim granama prirodnih nauka, teorijskoj fizici, geodeziji, astronomiji, teoriji automatizovanog upravljanja, teoriji uočavanja grešaka i u mnogim drugim teorijskim i praktičnim naukama. Teorija vjerovatnoće se široko koristi u planiranju i organizaciji proizvodnje, analizi kvaliteta proizvoda, tehnološkim procesima, osiguranje, statistiku stanovništva, biologiju, balistiku i druge industrije.

Slučajni događaji se obično označavaju velikim slovima latinične abecede A, B, C, itd.

Slučajni događaji mogu biti:

• nekompatibilno;
• joint.

Događaji A, B, C... se nazivaju nekompatibilno , ako se kao rezultat jednog testa može dogoditi jedan od ovih događaja, ali se dva ili više događaja ne mogu dogoditi.

Ako pojava jednog slučajnog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja, onda se takvi događaji nazivaju joint . Na primjer, ako je drugi dio uklonjen s pokretne trake i događaj A znači “dio zadovoljava standard”, a događaj B znači “dio ne zadovoljava standard”, tada su A i B nekompatibilni događaji. Ako događaj C znači „zauzet dio razreda II“, onda je ovaj događaj zajednički sa događajem A, ali nije kompatibilan sa događajem B.

Ako se u svakom promatranju (testiranju) dogodi jedan i samo jedan od nekompatibilnih slučajnih događaja, onda ti događaji čine kompletan skup (sistem) događaja .

Pouzdan događaj je pojava najmanje jednog događaja iz kompletnog skupa događaja.

Ako događaji koji čine kompletan skup događaja parovi nedosledni , tada se kao rezultat posmatranja može dogoditi samo jedan od ovih događaja. Na primjer, učenik mora riješiti dva problema testni rad. Jedan jedini od sljedećih događaja će se sigurno dogoditi:

• prvi problem će biti riješen, a drugi problem neće biti riješen;
• drugi problem će biti riješen, a prvi problem neće biti riješen;
• oba problema će biti rešena;
• nijedan problem neće biti rešen.

Ovi događaji se formiraju kompletan skup nekompatibilnih događaja .

Ako se kompletan skup događaja sastoji od samo dva nekompatibilna događaja, onda se oni pozivaju međusobno suprotne ili alternativa događaji.

Događaj suprotan događaju je označen sa . Na primjer, u slučaju jednog bacanja novčića, može se pojaviti apoen () ili grb ().

Događaji se zovu podjednako moguće , ako nijedan od njih nema objektivne prednosti. Takvi događaji takođe čine kompletan skup događaja. To znači da se kao rezultat promatranja ili testa, mora definitivno dogoditi barem jedan od jednako mogućih događaja.

Na primjer, kompletna grupa događaja formirana je gubitkom apoena i amblema prilikom jednog bacanja novčića, prisustvom 0, 1, 2, 3 i više od 3 greške na jednoj odštampanoj stranici teksta.

Definicije i svojstva vjerovatnoće

Klasična definicija vjerovatnoće. Prilika ili povoljan slučaj je slučaj kada se u toku sprovođenja određenog spleta okolnosti desi događaj A desiti. Klasična definicija vjerovatnoće uključuje direktno izračunavanje broja povoljnih slučajeva ili prilika.

Klasična i statistička vjerovatnoća. Formule vjerovatnoće: klasične i statističke

Vjerovatnoća događaja A nazovite omjer broja prilika povoljnih za ovaj događaj prema broju svih jednako mogućih nespojivih događaja N koji se mogu pojaviti kao rezultat jednog ispitivanja ili posmatranja. Formula vjerovatnoće događaji A:

Ako je potpuno jasno o kojoj je vjerovatnoći događaja riječ, tada je vjerovatnoća označena malim slovom str, bez navođenja oznake događaja.

Da bi se izračunala vjerovatnoća prema klasičnoj definiciji, potrebno je pronaći broj svih jednako mogućih nespojivih događaja i odrediti koliko ih je povoljno za definiciju događaja A.

Primjer 1. Pronađite vjerovatnoću da dobijete broj 5 kada bacite kocku.

Rješenje. Poznato je da svih šest lica imaju jednake šanse da završe na vrhu. Broj 5 je označen samo na jednoj strani. Broj svih podjednako mogućih nespojivih događaja je 6, od kojih je samo jedna povoljna mogućnost broj 5 ( M= 1). To znači da je željena vjerovatnoća bacanja broja 5

Primjer 2. Kutija sadrži 3 crvene i 12 bijelih kuglica iste veličine. Jedna lopta je uzeta bez gledanja. Odrediti vjerovatnoću da je crvena kugla uzeta.

Rješenje. Potrebna vjerovatnoća

Sami pronađite vjerovatnoće i onda vidite rješenje

Primjer 3. Kocke su bačene. Događaj B- bacanje paran broj. Izračunajte vjerovatnoću ovog događaja.

Primjer 5. U urni se nalazi 5 bijelih i 7 crnih kuglica. 1 lopta je nasumično izvučena. Događaj A- izvlači se bela lopta. Događaj B- crna lopta se izvlači. Izračunajte vjerovatnoće ovih događaja.

Klasična vjerovatnoća se također naziva prethodna vjerovatnoća jer se izračunava prije početka testa ili promatranja. Iz apriorne prirode klasična verovatnoća ona teče glavni nedostatak: samo u u rijetkim slučajevima Već prije početka posmatranja moguće je izračunati sve podjednako moguće nekompatibilne događaje, uključujući i povoljne događaje. Takve prilike se obično javljaju u situacijama sličnim igrama.

Kombinacije. Ako redoslijed događaja nije važan, broj mogućih događaja se računa kao broj kombinacija:

Primjer 6. U grupi je 30 učenika. Tri studenta treba da odu na odsjek informatike da pokupe i donesu kompjuter i projektor. Izračunajte vjerovatnoću da će tri određena učenika to učiniti.

Rješenje. Izračunavamo broj mogućih događaja koristeći formulu (2):

Vjerovatnoća da će tri određena studenta ići na odjel:

Primjer 7. Prodato 10 mobilni telefoni. 3 od njih imaju nedostatke. Kupac je odabrao 2 telefona. Izračunajte vjerovatnoću da će oba odabrana telefona imati kvarove.

Rješenje. Broj svih jednako mogućih događaja nalazi se pomoću formule (2):

Koristeći istu formulu, nalazimo broj prilika pogodnih za događaj:

Željena vjerovatnoća da će oba odabrana telefona imati kvarove.

Teorija vjerovatnoće je grana matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava: slučajne događaje, slučajne varijable, njihova svojstva i operacije nad njima.

Za dugo vremena teorija vjerovatnoće nije imala jasnu definiciju. Formulisan je tek 1929. Pojava teorije vjerovatnoće kao nauke datira iz srednjeg vijeka i prvih pokušaja matematičke analize kockanja (pahuljica, kockica, rulet). Francuski matematičari iz 17. stoljeća Blaise Pascal i Pierre Fermat, istražujući predviđanje dobitaka u kockanje, otkrio prve probabilističke obrasce koji nastaju prilikom bacanja kocke.

Teorija vjerovatnoće je nastala kao nauka iz vjerovanja da su masovni slučajni događaji zasnovani na određenim obrascima. Teorija vjerovatnoće proučava ove obrasce.

Teorija vjerovatnoće bavi se proučavanjem događaja čiji se nastanak ne zna sa sigurnošću. Omogućava vam da procenite stepen verovatnoće nastanka nekih događaja u poređenju sa drugim.

Na primjer: nemoguće je nedvosmisleno odrediti rezultat "glava" ili "repa" kao rezultat bacanja novčića, ali se pri ponovljenom bacanju pojavljuje približno isti broj "glava" i "repova", što znači da vjerovatnoća da će “glave” ili “repovi” pasti”, jednaka je 50%.

Test u ovom slučaju se naziva implementacija određenog skupa uslova, odnosno u ovom slučaju bacanje novčića. Izazov se može odigrati neograničen broj puta. U ovom slučaju, skup uslova uključuje slučajne faktore.

Rezultat testa je događaj. Događaj se dešava:

1. Pouzdan (uvijek se javlja kao rezultat testiranja).
2. Nemoguće (nikad se ne dešava).
3. Nasumično (može ili ne mora da se pojavi kao rezultat testa).

Na primjer, prilikom bacanja novčića, nemoguć događaj - novčić će pasti na njegovu ivicu, slučajni događaj - pojava "glava" ili "repova". Specifični rezultat testa se zove elementarni događaj. Kao rezultat testa, javljaju se samo elementarni događaji. Zove se skup svih mogućih, različitih, specifičnih ishoda testa prostor elementarnih događaja.

Osnovni koncepti teorije

Vjerovatnoća- stepen mogućnosti nastanka događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodi nadjačaju suprotne razloge, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim.

Slučajna vrijednost- to je količina koja, kao rezultat testiranja, može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju. Na primjer: broj po vatrogasnoj stanici dnevno, broj pogodaka sa 10 hitaca itd.

Slučajne varijable se mogu podijeliti u dvije kategorije.

1. Diskretna slučajna varijabla je veličina koja, kao rezultat testiranja, može poprimiti određene vrijednosti sa određenom vjerovatnoćom, formirajući prebrojiv skup (skup čiji se elementi mogu numerisati). Ovaj skup može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, broj hitaca prije prvog pogotka u metu je diskretna slučajna varijabla, jer ova količina može poprimiti beskonačan, iako prebrojiv broj vrijednosti.
2. Kontinuirana slučajna varijabla je veličina koja može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Očigledno je da je količina moguće vrijednosti kontinuirana slučajna varijabla na neodređeno vrijeme.

Prostor vjerovatnoće- koncept koji je uveo A.N. Kolmogorov 30-ih godina 20. vijeka da formalizuje koncept vjerovatnoće, što je dovelo do naglog razvoja teorije vjerovatnoće kao stroge matematičke discipline.

Prostor vjerovatnoće je trostruka (ponekad zatvorena u ugaone zagrade: , gdje

Ovo je proizvoljan skup, čiji se elementi nazivaju elementarni događaji, ishodi ili tačke;
- sigma algebra podskupova koji se nazivaju (slučajni) događaji;
- mjera vjerovatnoće ili vjerovatnoća, tj. sigma-aditivna konačna mjera takva da .

De Moivre-Laplaceova teorema- jedna od graničnih teorema teorije vjerovatnoće, koju je ustanovio Laplace 1812. godine. Navodi da je broj uspjeha pri ponavljanju istog slučajnog eksperimenta iznova i iznova s ​​dva moguća ishoda približno normalno raspoređen. Omogućava vam da pronađete približnu vrijednost vjerovatnoće.

Ako je za svaki od nezavisnih pokušaja vjerovatnoća pojave nekog slučajnog događaja jednaka () i predstavlja broj pokušaja u kojima se on stvarno dogodi, tada je vjerovatnoća da je nejednakost istinita bliska (za velike vrijednosti) vrijednost Laplaceovog integrala.

Funkcija distribucije u teoriji vjerojatnosti- funkcija koja karakterizira distribuciju slučajne varijable ili slučajnog vektora; vjerovatnoća da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost manju ili jednaku x, gdje je x proizvoljan realan broj. Predmet poznatim uslovima potpuno određuje slučajnu varijablu.

Očekivana vrijednost- prosječna vrijednost slučajne varijable (ovo je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable, razmatrana u teoriji vjerovatnoće). U literaturi na engleskom jeziku označava se sa , u ruskom - . U statistici se često koristi notacija.

Neka su dati prostor vjerovatnoće i slučajna varijabla definirana na njemu. To je, po definiciji, mjerljiva funkcija. Zatim, ako postoji Lebesgueov integral od nad prostorom, onda se to naziva matematičko očekivanje ili srednja vrijednost i označava se .

Varijanca slučajne varijable- mjera širenja date slučajne varijable, odnosno njenog odstupanja od matematičkog očekivanja. Označava se u ruskoj i stranoj literaturi. U statistici se često koristi notacija ili. Kvadratni korijen od varijanse se naziva standardna devijacija, standardna devijacija ili standardni namaz.

Neka je slučajna varijabla definirana na nekom prostoru vjerovatnoće. Onda

gdje simbol označava matematičko očekivanje.

U teoriji vjerovatnoće nazivaju se dva slučajna događaja nezavisni, ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Slično, pozivaju se dvije slučajne varijable zavisan, ako vrijednost jednog od njih utječe na vjerovatnoću vrijednosti drugog.

Najjednostavniji oblik zakona veliki brojevi je Bernulijeva teorema, koja kaže da ako je vjerovatnoća događaja ista u svim pokušajima, onda kako se broj pokušaja povećava, učestalost događaja teži vjerovatnoći događaja i prestaje biti slučajna.

Zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće kaže da je aritmetička sredina konačnog uzorka iz fiksne distribucije blizu teorijske sredine te distribucije. U zavisnosti od vrste konvergencije, pravi se razlika između slabog zakona velikih brojeva, kada se konvergencija dešava po verovatnoći, i jakog zakona velikih brojeva, kada je konvergencija skoro sigurna.

Opšte značenje zakona velikih brojeva je zajedničko djelovanje veliki broj identični i nezavisni slučajni faktori dovode do rezultata koji, u krajnjoj liniji, ne zavisi od slučajnosti.

Metode za procjenu vjerovatnoće zasnovane na analizi konačnog uzorka zasnivaju se na ovoj osobini. Jasan primjer je prognoza izbornih rezultata na osnovu ankete uzorka birača.

Centralne granične teoreme- klasa teorema u teoriji vjerovatnoće u kojima se navodi da je zbir dovoljan velika količina slabo zavisne slučajne varijable koje imaju približno iste skale (ni jedan pojam ne dominira niti daje odlučujući doprinos zbiru) ima distribuciju blisku normalnoj.

Budući da se mnoge slučajne varijable u aplikacijama formiraju pod utjecajem nekoliko slabo zavisnih slučajnih faktora, njihova se raspodjela smatra normalnom. U ovom slučaju mora biti ispunjen uslov da nijedan od faktora nije dominantan. Centralne granične teoreme u ovim slučajevima opravdavaju upotrebu normalne distribucije.

Teorija vjerovatnoće je prilično opsežna nezavisna grana matematike. U školskom kursu se teorija vjerovatnoće govori vrlo površno, ali na Jedinstvenom državnom ispitu i državnom ispitu postoje problemi na ovu temu. Međutim, rješavanje školskih zadataka nije tako teško (barem što se aritmetičkih operacija tiče) - ovdje ne morate brojati izvode, uzimati integrale i rješavati složene trigonometrijske transformacije- Glavna stvar je biti u stanju da se nosiš primarni brojevi i razlomci.

Teorija vjerovatnoće - osnovni pojmovi

Glavni pojmovi teorije vjerovatnoće su test, ishod i slučajni događaj. Test u teoriji vjerovatnoće je eksperiment - bacanje novčića, izvlačenje karte, ždrijeb - sve su to testovi. Rezultat testa, kao što ste možda pretpostavili, naziva se ishod.

Šta je slučajni događaj? U teoriji vjerovatnoće, pretpostavlja se da se test provodi više puta i da ima mnogo ishoda. Slučajni događaj je skup ishoda suđenja. Na primjer, ako bacite novčić, mogu se dogoditi dva slučajna događaja - glava ili rep.

Nemojte brkati koncepte ishoda i slučajnog događaja. Ishod je jedan rezultat jednog ispitivanja. Slučajni događaj- ovo je skup mogućih ishoda. Usput, postoji termin nemogući događaj. Na primjer, događaj "baciti broj 8" na standardnu ​​kocku je nemoguć.

Kako pronaći vjerovatnoću?

Svi otprilike razumijemo šta je vjerovatnoća i često koristimo data reč u tvom vokabularu. Osim toga, možemo čak izvući neke zaključke o vjerovatnoći određenog događaja, na primjer, ako je snijeg izvan prozora, najvjerovatnije možemo reći da nije ljeto. Međutim, kako možemo numerički izraziti ovu pretpostavku?

Da bismo uveli formulu za pronalaženje vjerovatnoće, uvodimo još jedan pojam - povoljan ishod, odnosno ishod koji je povoljan za određeni događaj. Definicija je, naravno, prilično dvosmislena, ali prema uslovima problema uvijek je jasno koji je ishod povoljan.

Na primjer: U razredu ima 25 ljudi, od kojih su tri Katya. Učiteljica dodjeljuje Olyu na dužnost, a njoj je potreban partner. Kolika je vjerovatnoća da će Katya postati vaš partner?

U ovom primjeru, povoljan ishod je partnerka Katya. Ovaj problem ćemo riješiti malo kasnije. Ali prvo, koristeći dodatnu definiciju, uvodimo formulu za pronalaženje vjerovatnoće.

• P = A/N, gdje je P vjerovatnoća, A je broj povoljnih ishoda, N je ukupan broj ishoda.

Svi školski problemi se vrte oko ove jedne formule, a glavna poteškoća obično leži u pronalaženju ishoda. Ponekad ih je lako pronaći, ponekad ne toliko.

Kako riješiti probleme vjerovatnoće?

Problem 1

Dakle, hajde da riješimo gornji problem.

Broj povoljnih ishoda (nastavnik će izabrati Katju) je tri, jer su u razredu tri Katje, a ukupan rezultat je 24 (25-1, jer je Olya već izabrana). Tada je vjerovatnoća: P = 3/24=1/8=0,125. Dakle, vjerovatnoća da će Olyin partner biti Katya iznosi 12,5%. Nije teško, zar ne? Pogledajmo nešto malo komplikovanije.

Problem 2

Novčić je bačen dvaput, kolika je vjerovatnoća da dobijete jednu glavu i jedan rep?

Dakle, hajde da razmotrimo opšte rezultate. Kako kovanice mogu sletjeti - glave/glave, repove/repove, glave/repe, repove/glave? znači, ukupan broj ishodi - 4. Koliko je povoljnih ishoda? Dva - glava/rep i rep/glava. Dakle, vjerovatnoća dobijanja kombinacije glava/rep je:

• P = 2/4 = 0,5 ili 50 posto.

Pogledajmo sada ovaj problem. Maša ima 6 novčića u džepu: dva nominalne vrijednosti 5 rubalja i četiri nominalne vrijednosti 10 rubalja. Maša je premjestila 3 novčića u drugi džep. Kolika je vjerovatnoća da će novčići od 5 rubalja završiti u različitim džepovima?

Radi jednostavnosti, označimo kovanice brojevima - 1,2 - kovanice od pet rubalja, 3,4,5,6 - kovanice od deset rubalja. Dakle, kako novčići mogu biti u vašem džepu? Ukupno ima 20 kombinacija:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na prvi pogled može izgledati da neke kombinacije nedostaju, na primjer, 231, ali u našem slučaju kombinacije 123, 231 i 321 su ekvivalentne.

Sada brojimo koliko imamo povoljnih ishoda. Za njih uzimamo one kombinacije koje sadrže ili broj 1 ili broj 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Ima ih 12. Dakle, vjerovatnoća je jednaka:

• P = 12/20 = 0,6 ili 60%.

Problemi vjerovatnoće koji su ovdje predstavljeni su prilično jednostavni, ali nemojte misliti da je vjerovatnoća jednostavna grana matematike. Ako odlučite da nastavite školovanje na fakultetu (s izuzetkom humanističkih), sigurno ćete imati parove višu matematiku, gdje ćete se upoznati sa više složeni pojmovi zadatu teoriju, a zadaci će tamo biti mnogo teži.