TEMA 1 . Klasična formula za izračunavanje vjerovatnoće.

Osnovne definicije i formule:

Eksperiment čiji se ishod ne može predvidjeti naziva se nasumični eksperiment(SE).

Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u datom SE naziva se slučajni događaj.

Elementarni ishodi događaji koji ispunjavaju uslove nazivaju se:

1. kod bilo koje implementacije SE javlja se jedan i samo jedan elementarni ishod;

2. svaki događaj je određena kombinacija, određeni skup elementarnih ishoda.

Skup svih mogućih elementarnih ishoda u potpunosti opisuje SE. Takav skup se obično naziva prostor elementarnih ishoda(PEI). Izbor PEI za opisivanje datog SE je dvosmislen i zavisi od problema koji se rešava.

P(A) = n(A)/n,

gdje je n ukupan broj jednako mogućih ishoda,

n (A) – broj ishoda koji čine događaj A, kako kažu, povoljan za događaj A.

Riječi “nasumično”, “nasumično”, “nasumično” garantuju jednaku mogućnost elementarnih ishoda.

Rješavanje tipičnih primjera

Primjer 1. Iz urne koja sadrži 5 crvenih, 3 crne i 2 bijele kugle izvlače se 3 kuglice nasumce. Pronađite vjerovatnoće događaja:

A– „sve izvučene lopte su crvene“;

IN– „sve izvučene lopte su iste boje“;

WITH– “među izvađenim ima tačno 2 crna.”

Rješenje:

Elementarni ishod ovog SE je trostruka (poremećena!) kuglica. Dakle, ukupan broj ishoda je broj kombinacija: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Događaj A sastoji se samo od onih trojki koje su izvučene iz pet crvenih loptica, tj. n(A)==10.

Događaj IN Pored 10 crvenih trojki, povoljne su i crne trojke čiji je broj = 1. Dakle: n (B)=10+1=11.

Događaj WITH Prednost imaju one trojke koje sadrže 2 crne i jednu necrnu. Svaki način odabira dvije crne lopte može se kombinirati sa odabirom jedne ne-crne lopte (od sedam). Dakle: n (C) = = 3 * 7 = 21.

dakle: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

Primjer 2. U uslovima prethodnog zadatka, pretpostavićemo da kuglice svake boje imaju svoju numeraciju, počevši od 1. Odredite verovatnoće događaja:

D– „maksimalni izdvojeni broj je 4“;

E– „Maksimalni izdvojeni broj je 3.“

Rješenje:

Da bismo izračunali n(D), možemo pretpostaviti da urna ima jednu kuglu sa brojem 4, jednu loptu sa većim brojem i 8 kuglica (3k+3h+2b) sa manjim brojevima. Događaj D Favoriziraju se one trojke loptica koje obavezno sadrže lopticu sa brojem 4 i 2 loptice s manjim brojevima. Prema tome: n(D) =

P(D) = 28/120.

Da bismo izračunali n (E), uzimamo u obzir: u urni se nalaze dvije kuglice sa brojem 3, dvije sa većim brojevima i šest kuglica sa manjim brojevima (2k+2h+2b). Događaj E sastoji se od dva tipa trojki:

1. jedna lopta sa brojem 3 i dve sa manjim brojevima;

2.dve lopte sa brojem 3 i jedna sa manjim brojem.

Prema tome: n(E)=

P(E) = 36/120.

Primjer 3. Svaka od M različitih čestica nasumično se baca u jednu od N ćelija. Pronađite vjerovatnoće događaja:

A– sve čestice su pale u drugu ćeliju;

IN– sve čestice su pale u jednu ćeliju;

WITH– svaka ćelija ne sadrži više od jedne čestice (M £ N);

D– sve ćelije su zauzete (M =N +1);

E– druga ćelija sadrži tačno To čestice.

Rješenje:

Za svaku česticu postoji N načina da se uđe u određenu ćeliju. Prema osnovnom principu kombinatorike za M čestica imamo N *N *N *…*N (M puta). Dakle, ukupan broj ishoda u ovom SE n = N M .

Za svaku česticu imamo jednu priliku da uđemo u drugu ćeliju, dakle n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1, i P(A) = 1/ N M.

Ući u jednu ćeliju (za sve čestice) znači ubaciti svakoga u prvu, ili svakoga u drugu, itd. svi u Nth. Ali svaka od ovih N opcija može se implementirati na jedan način. Stoga je n (B)=1+1+…+1(N -puta)=N i R(V)=N/N M.

Događaj C znači da svaka čestica ima jedan manji broj opcija za smještaj od prethodne čestice, a prva može pasti u bilo koju od N ćelija. Zbog toga:

n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) i R(S) =

U konkretnom slučaju sa M =N: R(S)=

Događaj D znači da jedna od ćelija sadrži dvije čestice, a svaka od (N -1) preostalih ćelija sadrži jednu česticu. Da bismo pronašli n (D) razmišljamo ovako: odaberite ćeliju u kojoj će biti dvije čestice, to se može učiniti na =N načina; tada ćemo odabrati dvije čestice za ovu ćeliju, postoje načini da to učinimo. Nakon toga raspodjeljujemo preostale (N -1) čestice jednu po jednu u preostale (N -1) ćelije, za to postoji (N -1)! načine.

Dakle, n(D) =

.

Broj n(E) se može izračunati na sljedeći način: To čestice za drugu ćeliju mogu se izvršiti na način da se preostale (M – K) čestice raspodijele nasumično po (N -1) ćeliji (N -1) na M-K načine. Zbog toga:

Dakle, hajde da razgovaramo o temi koja zanima mnogo ljudi. U ovom članku ću odgovoriti na pitanje kako izračunati vjerovatnoću događaja. Dat ću formule za takav izračun i nekoliko primjera da bude jasnije kako se to radi.

Šta je vjerovatnoća

Počnimo s činjenicom da je vjerovatnoća da će se desiti ovaj ili onaj događaj određena doza povjerenja u eventualnu pojavu nekog rezultata. Za ovu kalkulaciju razvijena je formula ukupne vjerovatnoće koja vam omogućava da odredite da li će se događaj koji vas zanima desiti ili ne, kroz takozvane uslovne vjerovatnoće. Ova formula izgleda ovako: P = n/m, slova se mogu mijenjati, ali to ne utiče na samu suštinu.

Primjeri vjerovatnoće

Koristeći jednostavan primjer, analizirajmo ovu formulu i primijenimo je. Recimo da imate određeni događaj (P), neka to bude bacanje kocke, odnosno jednakostranična kocka. I moramo izračunati kolika je vjerovatnoća da dobijemo 2 boda na tome. Za ovo je potreban broj pozitivnih događaja(n), u našem slučaju – izvlačenje 2 boda za ukupan broj događaja (m). Bacanje od 2 poena može se desiti samo u jednom slučaju, ako su na kocki 2 boda, pošto će u suprotnom zbroj biti veći, sledi da je n = 1. Zatim računamo broj bacanja bilo kojih drugih brojeva na kockice, po 1 kocki - to su 1, 2, 3, 4, 5 i 6, dakle, ima 6 povoljnih slučajeva, odnosno m = 6. Sada, koristeći formulu, napravimo jednostavan proračun P = 1/ 6 i nalazimo da je bacanje 2 poena na kocki 1/6, odnosno da je vjerovatnoća događaja vrlo mala.

Pogledajmo i primjer korištenja kuglica u boji koje se nalaze u kutiji: 50 bijelih, 40 crnih i 30 zelenih. Morate odrediti kolika je vjerovatnoća da ćete izvući zelenu loptu. I tako, pošto postoji 30 kuglica ove boje, odnosno može biti samo 30 pozitivnih događaja (n = 30), broj svih događaja je 120, m = 120 (po ukupan broj sve lopte), koristeći formulu izračunavamo da će vjerovatnoća izvlačenja zelene lopte biti P = 30/120 = 0,25, odnosno 25% od 100. Na isti način možemo izračunati vjerovatnoću izvlačenja lopte druge boje (crna će biti 33% , bijela 42%).

Profesionalni kladioničar mora dobro razumjeti kvote, brzo i ispravno procijeniti vjerovatnoću događaja po koeficijentu i, ako je potrebno, biti u mogućnosti pretvoriti kvote iz jednog formata u drugi. U ovom priručniku ćemo govoriti o tome koje vrste koeficijenata postoje, a također ćemo koristiti primjere da pokažemo kako možete izračunajte vjerovatnoću koristeći poznati koeficijent i obrnuto.

Koje vrste kvota postoje?

Postoje tri glavne vrste kvota koje kladionice nude igračima: decimalne kvote, fractional kvote(engleski) i Američki izgledi. Najčešći koeficijenti u Evropi su decimalni. IN sjeverna amerika Američke kvote su popularne. Razlomke su najviše tradicionalni izgled, oni odmah odražavaju informaciju o tome koliko je potrebno uložiti da biste dobili određeni iznos.

Decimalne kvote

Decimala ili se još zovu evropske kvote je poznati format brojeva predstavljen sa decimalni tačna do stotih, a ponekad čak i hiljaditih. Primjer decimalne kvote je 1,91. Izračunavanje profita u slučaju decimalnih koeficijenata je vrlo jednostavno; potrebno je samo da pomnožite iznos vaše opklade sa ovim koeficijentom. Na primjer, u utakmici “Manchester United” - “Arsenal” pobjeda “Manchester United” je postavljena sa koeficijentom 2,05, remi se procjenjuje sa koeficijentom 3,9, a pobjeda “Arsenala” je jednaka 2.95. Recimo da smo uvjereni da će United pobijediti i kladili smo se na 1000$ na njih. Tada se naš mogući prihod izračunava na sljedeći način:

2.05 * $1000 = $2050;

Zaista nije tako komplikovano, zar ne?! Mogući prihodi se računaju na isti način kada se kladite na remi ili pobjedu Arsenala.

Izvlačenje: 3.9 * $1000 = $3900;
pobjeda Arsenala: 2.95 * $1000 = $2950;

Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći decimalne kvote?

Sada zamislite da trebamo odrediti vjerovatnoću događaja na osnovu decimalnih kvota koje je postavila kladionica. Ovo se takođe radi veoma jednostavno. Da bismo to učinili, podijelimo jedan sa ovim koeficijentom.

Uzmimo postojeće podatke i izračunajmo vjerovatnoću svakog događaja:

Pobjeda Manchester Uniteda: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Izvlačenje: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
pobjeda Arsenala: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Razlomci (engleski)

Kao što ime kaže frakcioni koeficijent predstavljeno obična frakcija. Primjer engleske kvote je 5/2. Brojač razlomka sadrži broj koji je potencijalni iznos neto dobitka, a nazivnik sadrži broj koji označava iznos na koji se mora uložiti da bi se dobio ovaj dobitak. Jednostavno rečeno, moramo se kladiti na $2 dolara da osvojimo $5. Kvote 3/2 znače da ćemo morati da se kladimo na 2$ kako bismo dobili 3$ neto dobitka.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći razlomke?

Također nije teško izračunati vjerovatnoću događaja koristeći razlomke, samo je potrebno podijeliti imenilac zbirom brojnika i nazivnika.

Za razlomak 5/2 izračunavamo vjerovatnoću: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Za razlomak 3/2 izračunavamo vjerovatnoću:

Američki izgledi

Američki izgledi nepopularan u Evropi, ali veoma popularan u Severnoj Americi. možda, ovaj tip koeficijenti je najkompleksniji, ali to je samo na prvi pogled. U stvari, u ovoj vrsti koeficijenata nema ništa komplikovano. Hajde da sada sve to shvatimo po redu.

Glavna karakteristika američkih kvota je da mogu biti bilo koje pozitivno, dakle negativan. Primjer američkih kvota - (+150), (-120). Američka kvota (+150) znači da da bismo zaradili $150 moramo se kladiti $100. Drugim riječima, pozitivan američki koeficijent odražava potencijalnu neto zaradu pri opkladi od 100 dolara. Negativne američke kvote odražavaju iznos opklade koji je potrebno napraviti da bi se dobio neto dobitak od 100 dolara. Na primjer, koeficijent (-120) nam govori da ćemo klađenjem od 120 dolara dobiti 100 dolara.

Kako izračunati vjerovatnoću događaja koristeći američke kvote?

Vjerojatnost događaja koristeći američki koeficijent izračunava se pomoću sljedećih formula:

(-(M)) / (((M)) + 100), gdje je M negativan američki koeficijent;
100/(P+100), gdje je P pozitivan američki koeficijent;

Na primjer, imamo koeficijent (-120), tada se vjerovatnoća izračunava na sljedeći način:

(-(M)) / (((M)) + 100); zamijenite vrijednost (-120) za “M”;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Dakle, vjerovatnoća događaja sa američkim kvotama (-120) iznosi 54,5%.

Na primjer, imamo koeficijent (+150), tada se vjerovatnoća izračunava na sljedeći način:

100/(P+100); zamijenite vrijednost (+150) za “P”;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Dakle, vjerovatnoća događaja sa američkim kvotama (+150) iznosi 40%.

Kako, znajući postotak vjerovatnoće, to pretvoriti u decimalni koeficijent?

Da biste izračunali decimalni koeficijent na osnovu poznatog procenta verovatnoće, potrebno je da podelite 100 sa verovatnoćom događaja u procentima. Na primjer, vjerovatnoća događaja je 55%, tada će decimalni koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak 1,81.

100 / 55% = 1,81

Kako, znajući postotak vjerovatnoće, to pretvoriti u razlomački koeficijent?

Da biste izračunali koeficijent razlomka na osnovu poznatog procenta vjerovatnoće, trebate oduzeti jedan od dijeljenja 100 sa vjerovatnoćom događaja u procentima. Na primjer, ako imamo postotak vjerovatnoće od 40%, onda će razlomak ove vjerovatnoće biti jednak 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Koeficijent frakcije je 1,5/1 ili 3/2.

Kako, znajući postotak vjerovatnoće, to pretvoriti u američki koeficijent?

Ako je vjerovatnoća događaja veća od 50%, tada se izračunavanje vrši pomoću formule:

- ((V) / (100 - V)) * 100, gdje je V vjerovatnoća;

Na primjer, ako je vjerovatnoća događaja 80%, tada će američki koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ako je vjerovatnoća događaja manja od 50%, tada se izračunavanje vrši pomoću formule:

((100 - V) / V) * 100, gdje je V vjerovatnoća;

Na primjer, ako imamo postotak vjerovatnoće događaja od 20%, tada će američki koeficijent ove vjerovatnoće biti jednak (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Kako pretvoriti koeficijent u drugi format?

Postoje slučajevi kada je potrebno pretvoriti kvote iz jednog formata u drugi. Na primjer, imamo razlomak od 3/2 i moramo ga pretvoriti u decimalni. Da bismo pretvorili razlomačnu kvotu u decimalne kvote, prvo odredimo vjerovatnoću događaja s razlomkom, a zatim ovu vjerovatnoću pretvorimo u decimalne kvote.

Vjerovatnoća događaja sa razlomkom 3/2 je 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Pretvorimo sada verovatnoću događaja u decimalni koeficijent da bismo to uradili, podelimo 100 sa verovatnoćom događaja u procentima:

100 / 40% = 2.5;

Dakle, razlomci od 3/2 su jednaki decimalnim kvotama od 2,5. Na sličan način, na primjer, američke kvote se pretvaraju u razlomke, decimalne u američke, itd. Najteže u svemu tome su samo kalkulacije.

Sa najviše drugačija pravila, uslovi pobede, nagrade, ali ima opšti principi izračunavanje vjerovatnoće dobitka, koja se može prilagoditi uslovima određene lutrije. Ali prvo, preporučljivo je definirati terminologiju.

Dakle, vjerovatnoća je izračunata procjena vjerovatnoće da će se određeni događaj dogoditi, koja se najčešće izražava u obliku omjera broja željenih događaja i ukupan broj ishodi. Na primjer, vjerovatnoća da dobijete glavu prilikom bacanja novčića je jedan prema dva.

Na osnovu ovoga, očigledno je da je vjerovatnoća dobitka omjer broja dobitne kombinacije na broj svih mogućih. Međutim, ne smijemo zaboraviti da kriteriji i definicije pojma “pobjeda” također mogu biti različiti. Na primjer, većina lutrija koristi definiciju “pobjeda”. Uslovi za osvajanje trećeg razreda su niži nego za osvajanje prvog, pa je vjerovatnoća osvajanja prvog razreda najmanja. Obično je ovaj dobitak džekpot.

Još jedna značajna tačka u proračunima je vjerovatnoća dva povezani događaji izračunava se množenjem vjerovatnoća svakog od njih. Jednostavno rečeno, ako bacite novčić dva puta, šansa da dobijete glavu svaki put je jedan prema dva, ali šansa da dobijete glavu oba puta je samo jedan prema četiri. U slučaju tri bacanja, šansa će generalno pasti na jedno od osam.

Izračunavanje kvota

Dakle, da biste izračunali šansu za osvajanje džekpota u apstraktnoj lutriji, gdje morate ispravno pogoditi nekoliko ispuštenih vrijednosti iz određeni broj loptice (na primjer, 6 od 36), morate izračunati vjerovatnoću da svaka od šest loptica ispadne i pomnožite ih zajedno. Imajte na umu da kako se broj loptica preostalih u bubnju smanjuje, vjerovatnoća dobivanja željene kuglice se mijenja. Ako je za prvu loptu vjerovatnoća da će ona izaći 6 prema 36, ​​odnosno 1 prema 6, onda je za drugu šansa 5 prema 35 i tako dalje. U ovom primjeru, vjerovatnoća da će tiket biti pobjednički je 6x5x4x3x2x1 do 36x35x34x33x32x31, odnosno 720 do 1402410240, što je jednako 1 do 1947792.

Uprkos ovim zastrašujućim brojkama, ljudi redovno pobeđuju širom sveta. Ne zaboravite to čak i ako ne uzmete Velika nagrada, postoje i druga i treća klasa, za koju je vjerovatnoća mnogo veća. Štaviše, očigledno je da najbolja strategija je kupovina više ulaznica istog tiraža, pošto svaka dodatna karta umnožava vaše šanse. Na primjer, ako kupite ne jedan tiket, već dva, tada će vjerovatnoća dobitka biti dvostruko veća: dva od 1,95 miliona, odnosno otprilike 1 od 950 hiljada.

Dovedeno na datum otvorena tegla Jedinstveni državni ispitni zadaci iz matematike (mathege.ru), čije se rješenje zasniva samo na jednoj formuli, a to je klasična definicija vjerovatnoće.

Najlakši način za razumijevanje formule je pomoću primjera.
Primjer 1. U košu se nalazi 9 crvenih i 3 plave loptice. Lopte se razlikuju samo po boji. Jednog od njih vadimo nasumce (bez gledanja). Kolika je vjerovatnoća da će lopta odabrana na ovaj način biti plava?

Komentar. U problemima u teoriji vjerovatnoće, nešto se događa (in u ovom slučaju naša akcija izvlačenja lopte), što može imati drugačiji rezultat- ishod. Treba napomenuti da se rezultat može posmatrati na različite načine. "Izvukli smo nekakvu loptu" je takođe rezultat. “Izvukli smo plavu loptu” - rezultat. "Izvukli smo upravo ovu loptu iz svih mogućih lopti" - ovaj najmanje generalizirani pogled na rezultat naziva se elementarni ishod. U formuli za izračunavanje vjerovatnoće podrazumijevaju se elementarni ishodi.

Rješenje. Sada izračunajmo vjerovatnoću odabira plave lopte.
Događaj A: "odabrana lopta se pokazala plavom"
Ukupan broj svih mogućih ishoda: 9+3=12 (broj svih loptica koje smo mogli izvući)
Broj ishoda povoljnih za događaj A: 3 (broj takvih ishoda u kojima se dogodio događaj A - odnosno broj plavih loptica)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odgovor: 0,25

Za isti problem, izračunajmo vjerovatnoću odabira crvene lopte.
Ukupan broj mogućih ishoda će ostati isti, 12. Broj povoljnih ishoda: 9. Tražena vjerovatnoća: 9/12=3/4=0,75

Vjerovatnoća bilo kojeg događaja uvijek je između 0 i 1.
Ponekad se u svakodnevnom govoru (ali ne u teoriji vjerovatnoće!) vjerovatnoća događaja procjenjuje kao postotak. Prijelaz između matematičkih i konverzacijskih rezultata se postiže množenjem (ili dijeljenjem) sa 100%.
dakle,
Štaviše, vjerovatnoća je nula za događaje koji se ne mogu dogoditi - nevjerovatno. Na primjer, u našem primjeru to bi bila vjerovatnoća izvlačenja zelene lopte iz koša. (Broj povoljnih ishoda je 0, P(A)=0/12=0, ako se izračuna pomoću formule)
Vjerovatnoća 1 ima događaje za koje je apsolutno izvjesno da će se dogoditi, bez opcija. Na primjer, vjerovatnoća da će “odabrana lopta biti ili crvena ili plava” je za naš zadatak. (Broj povoljnih ishoda: 12, P(A)=12/12=1)

Pregledali smo klasičan primjer, ilustrujući definiciju vjerovatnoće. Svi slični problemi Jedinstvenog državnog ispita iz teorije vjerojatnosti rješavaju se korištenjem ove formule.
Umesto crvenih i plavih loptica mogu biti jabuke i kruške, dečaci i devojčice, naučene i nenaučene tikete, karte koje sadrže i ne sadrže pitanje na određenu temu (prototipovi,), neispravne i kvalitetne torbe ili baštenske pumpe ( prototipovi,) - princip ostaje isti.

Oni se malo razlikuju u formulaciji problema teorije vjerovatnoće Jedinstvenog državnog ispita, gdje treba izračunati vjerovatnoću da se neki događaj dogodi određenog dana. ( , ) Kao iu prethodnim problemima, potrebno je odrediti koji je elementarni ishod, a zatim primijeniti istu formulu.

Primjer 2. Konferencija traje tri dana. Prvog i drugog dana ima 15 govornika, trećeg dana 20. Kolika je vjerovatnoća da će izvještaj profesora M. pasti trećeg dana ako se redoslijed izvještaja odredi žrijebom?

Šta je ovde osnovni ishod? – Davanje profesorskog referata jednom od svih mogućih serijski brojevi za nastup. U izvlačenju učestvuje 15+15+20=50 ljudi. Dakle, izvještaj profesora M. može dobiti jedno od 50 brojeva. To znači da postoji samo 50 osnovnih ishoda.
Koji su povoljni ishodi? - One u kojima se ispostavi da će profesor govoriti treći dan. Odnosno, zadnjih 20 brojeva.
Prema formuli, vjerovatnoća P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odgovor: 0.4

Žrijeb ovdje predstavlja uspostavljanje slučajne korespondencije između ljudi i naređenih mjesta. U primjeru 2, uspostavljanje korespondencije razmatrano je sa stanovišta koje se od mjesta može zauzeti posebna osoba. Istoj situaciji možete pristupiti i s druge strane: ko od ljudi s kojom vjerovatnoćom može doći do određenog mjesta (prototipovi , , , ):

Primjer 3. U žrijebu je 5 Nijemaca, 8 Francuza i 3 Estonca. Kolika je vjerovatnoća da će prvi (/drugi/sedmi/poslednji – nije bitno) biti Francuz.

Broj elementarnih ishoda je broj svih mogućih ljudi koji bi žrijebom mogli ući na određeno mjesto. 5+8+3=16 osoba.
Povoljni ishodi - francuski. 8 osoba.
Tražena vjerovatnoća: 8/16=1/2=0,5
Odgovor: 0,5

Prototip je malo drugačiji. Još uvijek postoje problemi s kovanicama () i kockice(), nešto kreativnije. Rješenje za ove probleme možete pronaći na stranicama prototipa.

Evo nekoliko primjera bacanja novčića ili kockice.

Primjer 4. Kada bacimo novčić, kolika je vjerovatnoća da ćemo pasti na glavu?
Postoje 2 ishoda – glava ili rep. (vjeruje se da novčić nikada ne pada na ivicu) Povoljan ishod su repovi, 1.
Vjerovatnoća 1/2=0,5
Odgovor: 0,5.

Primjer 5.Šta ako dvaput bacimo novčić? Kolika je vjerovatnoća da dobijete glave oba puta?
Glavna stvar je odrediti koje ćemo elementarne ishode uzeti u obzir kada bacamo dva novčića. Nakon bacanja dva novčića, može se dogoditi jedan od sljedećih rezultata:
1) PP – oba puta se pojavilo
2) PO – prvi put glave, drugi put glave
3) OP – glava prvi put, rep drugi put
4) OO – oba puta su se pojavile glave
Nema drugih opcija. To znači da postoje 4 elementarna ishoda. Samo je prvi, 1, povoljan.
Vjerovatnoća: 1/4=0,25
Odgovor: 0,25

Kolika je vjerovatnoća da će dva bacanja novčića rezultirati repovima?
Broj elementarnih ishoda je isti, 4. Povoljni ishodi su drugi i treći, 2.
Verovatnoća dobijanja jednog repa: 2/4=0,5

U takvim problemima može biti korisna druga formula.
Ako tokom jednog bacanja novčića moguće opcije imamo 2 rezultata, tada će za dva bacanja rezultati biti 2 2 = 2 2 = 4 (kao u primjeru 5), za tri bacanja 2 2 2 = 2 3 = 8, za četiri: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... za N bacanja mogući rezultati će biti 2·2·...·2=2 N .

Dakle, možete pronaći vjerovatnoću da dobijete 5 glava od 5 bacanja novčića.
Ukupan broj elementarnih ishoda: 2 5 =32.
Povoljni ishodi: 1. (RRRRRR – udara glavom svih 5 puta)
Verovatnoća: 1/32=0,03125

Isto važi i za kockice. Sa jednim bacanjem, postoji 6 mogućih rezultata Dakle, za dva bacanja: 6 6 = 36, za tri 6 6 6 = 216, itd.

Primjer 6. Bacamo kockice. Kolika je vjerovatnoća da će paran broj biti izbačen?

Ukupni ishodi: 6, prema broju strana.
Povoljno: 3 ishoda. (2, 4, 6)
Vjerovatnoća: 3/6=0,5

Primjer 7. Bacamo dve kocke. Kolika je vjerovatnoća da će ukupan broj biti 10? (zaokružiti na najbližu stotu)

Za jednu kocku postoji 6 mogućih ishoda. To znači da je za dvoje, prema gornjem pravilu, 6·6=36.
Koji će ishodi biti povoljni da ukupni broj dobije 10?
10 se mora razložiti u zbir dva broja od 1 do 6. To se može učiniti na dva načina: 10=6+4 i 10=5+5. To znači da su za kocke moguće sljedeće opcije:
(6 na prvom i 4 na drugom)
(4 na prvom i 6 na drugom)
(5 na prvom i 5 na drugom)
Ukupno, 3 opcije. Tražena vjerovatnoća: 3/36=1/12=0,08
Odgovor: 0.08

O drugim vrstama B6 problema će se raspravljati u budućem članku Kako riješiti.