Trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas.
Neaiškių koeficientų metodas

Mes ir toliau dirbame integruodami trupmenas. Pamokoje jau apžvelgėme kai kurių tipų trupmenų integralus ir šią pamoką tam tikra prasme galima laikyti tęsiniu. Norint sėkmingai suprasti medžiagą, reikalingi pagrindiniai integravimo įgūdžiai, todėl jei ką tik pradėjote mokytis integralų, tai yra, esate pradedantysis, turite pradėti nuo straipsnio Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Kaip bebūtų keista, dabar mes užsiimsime ne tiek integralų paieška, kiek... tiesinių lygčių sistemų sprendimu. Šiuo atžvilgiu skubiai Rekomenduoju lankyti pamoką, būtent, jūs turite gerai išmanyti pakeitimo metodus („mokyklos“ metodą ir sisteminių lygčių sudėties (atėmimo) metodą).

Kas yra trupmeninė racionali funkcija? Paprastais žodžiais tariant, trupmeninė-racionali funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario arba daugianario sandaugų. Be to, trupmenos yra sudėtingesnės nei aptariamos straipsnyje Kai kurių trupmenų integravimas.

Tinkamos trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas

Iškart pavyzdys ir tipinis trupmeninės-racionalios funkcijos integralo sprendimo algoritmas.

1 pavyzdys

1 žingsnis. Pirmas dalykas, kurį VISADA darome spręsdami trupmeninės racionalios funkcijos integralą, yra išsiaiškinti šį klausimą: ar trupmena tinkama?Šis veiksmas atliekamas žodžiu, o dabar paaiškinsiu, kaip:

Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis daugianaris:

Pirmaujanti skaitiklio galia yra du.

Dabar žiūrime į vardiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis vardiklis. Akivaizdus būdas yra atidaryti skliaustus ir pateikti panašius terminus, bet galite tai padaryti paprasčiau kiekviena skliausteliuose raskite aukščiausią laipsnį

ir mintyse padauginkite: - taigi, didžiausias vardiklio laipsnis lygus trims. Visiškai akivaizdu, kad jei iš tikrųjų atidarysime skliaustus, negausime laipsnio didesnio nei trys.

Išvada: Pagrindinis skaitiklio laipsnis GRIEŽTAI yra mažesnė už didžiausią vardiklio laipsnį, o tai reiškia, kad trupmena yra tinkama.

Jei šiame pavyzdyje skaitiklyje yra daugianario 3, 4, 5 ir kt. laipsnių, tada trupmena būtų negerai.

Dabar nagrinėsime tik teisingas trupmenines racionalias funkcijas. Atvejis, kai skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio laipsniui, bus aptartas pamokos pabaigoje.

2 žingsnis. Išskaidykime vardiklį faktoriais. Pažvelkime į mūsų vardiklį:

Paprastai tariant, tai jau yra veiksnių rezultatas, bet vis dėlto klausiame savęs: ar įmanoma dar ką nors išplėsti? Kankinimo objektas neabejotinai bus kvadratinis trikampis. Kvadratinės lygties sprendimas:

Diskriminantas yra didesnis už nulį, o tai reiškia, kad trinalį tikrai galima koeficientuoti:

Bendra taisyklė: VISKAS, kas yra vardiklyje, GALI būti faktorinuota – faktoriuota

Pradėkime formuluoti sprendimą:

3 veiksmas. Naudodamiesi neapibrėžtųjų koeficientų metodu, integrandą išplečiame į paprastųjų (elementariųjų) trupmenų sumą. Dabar bus aiškiau.

Pažvelkime į mūsų integrando funkciją:

Ir, žinote, kažkaip intuityvi mintis iškyla, kad būtų neblogai mūsų didelę dalį paversti keliomis mažomis. Pavyzdžiui, taip:

Kyla klausimas, ar tai apskritai įmanoma padaryti? Atsikvėpkime, atitinkama matematinės analizės teorema teigia – GALIMA. Toks skilimas egzistuoja ir yra unikalus.

Yra tik vienas laimikis, šansai yra tokie Ate Mes nežinome, todėl pavadinimas - neapibrėžtų koeficientų metodas.

Kaip atspėjote, vėlesni kūno judesiai yra tokie, neskubėkite! bus siekiama tiesiog juos ATPAŽINTI – išsiaiškinti, kam jie prilygsta.

Būkite atsargūs, išsamiai paaiškinsiu tik vieną kartą!

Taigi, pradėkime šokti nuo:

Kairėje pusėje sumažiname išraišką iki bendro vardiklio:

Dabar galime saugiai atsikratyti vardiklių (nes jie yra vienodi):

Kairėje pusėje atidarome skliaustus, bet kol kas nelieskite nežinomų koeficientų:

Tuo pačiu kartojame mokyklos polinomų dauginimo taisyklę. Kai buvau mokytojas, išmokau ištarti šią taisyklę tiesiu veidu: Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario.

Aiškaus paaiškinimo požiūriu geriau koeficientus dėti skliausteliuose (nors aš asmeniškai niekada to nedarau, kad sutaupyčiau laiko):

Sudarome tiesinių lygčių sistemą.
Pirmiausia ieškome vyresniųjų laipsnių:

Ir mes įrašome atitinkamus koeficientus į pirmąją sistemos lygtį:

Gerai atsiminkite sekantį dalyką. Kas nutiktų, jei dešinėje pusėje iš viso nebūtų s? Tarkime, ar jis tiesiog pasirodytų be jokio kvadrato? Šiuo atveju sistemos lygtyje reikėtų dešinėje dėti nulį: . Kodėl nulis? Bet todėl, kad dešinėje pusėje visada galite priskirti tą patį kvadratą su nuliu: Jei dešinėje pusėje nėra kintamųjų ir (arba) laisvo nario, tada atitinkamų sistemos lygčių dešinėse pusėse dedame nulius.

Į antrąją sistemos lygtį įrašome atitinkamus koeficientus:

Ir galiausiai, mineralinis vanduo, atrenkame laisvus narius.

Ech...kažkaip pajuokavau. Juokaujame – matematika yra rimtas mokslas. Mūsų instituto grupėje niekas nesijuokė, kai docentė pasakė, kad išbarstys terminus išilgai skaičių tiesės ir išrinks didžiausius. Būkime rimti. Nors... kas gyvena iki šios pamokos pabaigos, vis tiek tyliai šypsosis.

Sistema paruošta:

Mes išsprendžiame sistemą:

(1) Iš pirmosios lygties ją išreiškiame ir pakeičiame 2 ir 3 sistemos lygtimis. Tiesą sakant, buvo galima išreikšti (ar kitą raidę) iš kitos lygties, tačiau šiuo atveju naudinga ją išreikšti iš 1-osios lygties, nes mažiausi šansai.

(2) Panašius terminus pateikiame 2-oje ir 3-ioje lygtyse.

(3) 2 ir 3 lygtis pridedame po termino, gaudami lygybę , iš kurios išplaukia, kad

(4) Mes pakeičiame į antrąją (arba trečiąją) lygtį, iš kur tai randame

(5) Pakeiskite ir į pirmąją lygtį, gaudami .

Jei kyla problemų dėl sistemos sprendimo būdų, praktikuokite juos klasėje. Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?

Išsprendus sistemą visada pravartu pasitikrinti – pakeisti rastas reikšmes kas sistemos lygtis, dėl to viskas turėtų „susivesti“.

Beveik ten. Buvo rasti koeficientai ir:

Baigtas darbas turėtų atrodyti maždaug taip:

Kaip matote, pagrindinis užduoties sunkumas buvo sudaryti (teisingai!) ir išspręsti (teisingai!) tiesinių lygčių sistemą. Ir paskutiniame etape viskas nėra taip sunku: mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes ir integruojame. Atkreipkite dėmesį, kad kiekviename iš trijų integralų turime „nemokamą“ kompleksinę funkciją; apie jos integravimo ypatybes kalbėjau pamokoje. Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Patikrinkite: išskirkite atsakymą:

Gauta pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas buvo rastas teisingai.
Tikrinimo metu turėjome sumažinti išraišką iki bendro vardiklio, ir tai neatsitiktinai. Neapibrėžtų koeficientų metodas ir išraiškos redukavimas į bendrą vardiklį yra abipusiai atvirkštiniai veiksmai.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Grįžkime prie pirmojo pavyzdžio trupmenos: . Nesunku pastebėti, kad vardiklyje visi veiksniai yra SKIRTINGI. Kyla klausimas, ką daryti, jei, pavyzdžiui, pateikiama ši trupmena: ? Čia mes turime laipsnius vardiklyje arba, matematiškai, kartotiniai. Be to, yra kvadratinis trinaris, kurio negalima koeficientuoti (nesunku patikrinti, ar lygties diskriminantas yra neigiamas, todėl trinario negalima koeficientuoti). Ką daryti? Išplėtimas į elementariųjų trupmenų sumą atrodys panašiai su nežinomais koeficientais viršuje ar dar kažkas?

3 pavyzdys

Įveskite funkciją

1 žingsnis. Tikrinama, ar turime tinkamą trupmeną
Pagrindinis skaitiklis: 2
Aukščiausias vardiklio laipsnis: 8
, o tai reiškia, kad trupmena yra teisinga.

2 žingsnis. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Akivaizdu, kad ne, viskas jau išdėstyta. Kvadratinis trinaris negali būti išplėstas į gaminį dėl anksčiau nurodytų priežasčių. Gaubtas. Mažiau darbo.

3 veiksmas.Įsivaizduokime trupmeninę-racionaliąją funkciją kaip elementariųjų trupmenų sumą.
Šiuo atveju išplėtimas turi tokią formą:

Pažvelkime į mūsų vardiklį:
Išskaidžius trupmeninę-racionaliąją funkciją į elementariųjų trupmenų sumą, galima išskirti tris pagrindinius dalykus:

1) Jei vardiklyje yra „vienišas“ pirmosios laipsnio koeficientas (mūsų atveju), tada viršuje (mūsų atveju) dedame neapibrėžtą koeficientą. 1, 2 pavyzdžiai susideda tik iš tokių „vienišų“ veiksnių.

2) Jei vardiklis turi daugkartinis daugiklis, tada jums reikia jį išskaidyti taip:
- tai yra, nuosekliai eikite per visus „X“ laipsnius nuo pirmojo iki n-ojo laipsnio. Mūsų pavyzdyje yra du keli veiksniai: ir , dar kartą pažvelkite į mano pateiktą išplėtimą ir įsitikinkite, kad jie yra išplėsti tiksliai pagal šią taisyklę.

3) Jei vardiklyje yra neskaidomas antrojo laipsnio polinomas (mūsų atveju), tada skaidant skaitiklyje reikia parašyti tiesinę funkciją su neapibrėžtais koeficientais (mūsų atveju su neapibrėžtais koeficientais ir ).

Tiesą sakant, yra dar 4-asis atvejis, bet aš apie tai tylėsiu, nes praktiškai tai yra labai reta.

4 pavyzdys

Įveskite funkciją kaip elementariųjų trupmenų su nežinomais koeficientais suma.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Griežtai laikykitės algoritmo!

Jei suprantate principus, pagal kuriuos reikia išplėsti trupmeninę-racionaliąją funkciją į sumą, galite peržvelgti beveik bet kurį nagrinėjamo tipo integralą.

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

1 žingsnis. Akivaizdu, kad trupmena teisinga:

2 žingsnis. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Gali. Čia yra kubelių suma . Vardiklį koeficientuokite naudodami sutrumpintą daugybos formulę

3 veiksmas. Naudodami neapibrėžtų koeficientų metodą, integrandą išplečiame į elementariųjų trupmenų sumą:

Atkreipkite dėmesį, kad daugianario negalima koeficientuoti (patikrinkite, ar diskriminantas yra neigiamas), todėl viršuje pateikiame tiesinę funkciją su nežinomais koeficientais, o ne tik viena raide.

Suvedame trupmeną į bendrą vardiklį:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

(1) Išreiškiame iš pirmosios lygties ir pakeičiame ją antrąja sistemos lygtimi (tai yra racionaliausias būdas).

(2) Panašius terminus pateikiame antroje lygtyje.

(3) Antrąją ir trečiąją sistemos lygtis sudedame po terminą.

Visi tolesni skaičiavimai iš esmės yra žodiniai, nes sistema yra paprasta.

(1) Užrašome trupmenų sumą pagal rastus koeficientus.

(2) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes. Kas atsitiko antrajame integrale? Su šiuo metodu galite susipažinti paskutinėje pamokos pastraipoje. Kai kurių trupmenų integravimas.

(3) Dar kartą naudojame tiesiškumo savybes. Trečiajame integralu pradedame atskirti visą kvadratą (priešpaskutinė pamokos pastraipa Kai kurių trupmenų integravimas).

(4) Imame antrą integralą, trečiuoju pasirenkame visą kvadratą.

(5) Paimkite trečiąjį integralą. Paruošta.

Pateiktas keturių tipų paprasčiausių, elementarių, trupmenų integralų skaičiavimo formulių išvedimas. Sudėtingesni integralai iš ketvirtojo tipo trupmenų apskaičiuojami naudojant redukcijos formulę. Nagrinėjamas ketvirtojo tipo trupmenos integravimo pavyzdys.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Neapibrėžtų integralų lentelė
Neapibrėžtinių integralų skaičiavimo metodai

Kaip žinoma, bet kurią racionalią kurio nors kintamojo x funkciją galima išskaidyti į daugianarį ir paprasčiausias elementariąsias trupmenas. Yra keturi paprastųjų trupmenų tipai:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Čia a, A, B, b, c yra realieji skaičiai. Lygtis x 2 + bx + c = 0 neturi tikrų šaknų.

Pirmųjų dviejų tipų trupmenų integravimas

Pirmosios dvi trupmenos integruojamos naudojant šias formules iš integralų lentelės:
,
, n ≠ - 1 .

1. Pirmojo tipo trupmenų integravimas

Pirmojo tipo trupmena redukuojama į lentelės integralą, pakeičiant t = x - a:
.

2. Antrojo tipo trupmenų integravimas

Antrojo tipo trupmena redukuojama į lentelės integralą tuo pačiu pakeitimu t = x - a:

.

3. Trečiojo tipo trupmenų integravimas

Panagrinėkime trečiojo tipo trupmenos integralą:
.
Apskaičiuosime dviem etapais.

3.1. 1 veiksmas. Skaitiklyje pasirinkite vardiklio išvestinę

Išskirkime vardiklio išvestinę trupmenos skaitiklyje. Pažymėkime: u = x 2 + bx + c. Atskirkime: u′ = 2 x + b. Tada
;
.
Bet
.
Modulio ženklą praleidome, nes .

Tada:
,
Kur
.

3.2. Žingsnis 2. Apskaičiuokite integralą, kai A = 0, B = 1

Dabar apskaičiuojame likusį integralą:
.

Trupmenos vardiklį suvedame į kvadratų sumą:
,
Kur.
Manome, kad lygtis x 2 + bx + c = 0 neturi šaknų. Štai kodėl .

Padarykime pakaitalą
,
.
.

Taigi,
.

Taigi, mes radome trečiojo tipo trupmenos integralą:

,
Kur.

4. Ketvirtojo tipo trupmenų integravimas

Ir galiausiai, apsvarstykite ketvirtojo tipo trupmenos integralą:
.
Skaičiuojame trimis etapais.

4.1) Skaitiklyje pasirinkite vardiklio išvestinę:
.

4.2) Apskaičiuokite integralą
.

4.3) Apskaičiuokite integralus
,
naudojant redukcijos formulę:
.

4.1. 1 veiksmas. Vardiklio išvestinės išskyrimas skaitiklyje

Išskirkime vardiklio išvestinę skaitiklyje, kaip tai padarėme . Pažymime u = x 2 + bx + c. Atskirkime: u′ = 2 x + b. Tada
.

.
Bet
.

Pagaliau turime:
.

4.2. Žingsnis 2. Apskaičiuokite integralą, kurio n = 1

Apskaičiuokite integralą
.
Jo apskaičiavimas aprašytas .

4.3. 3 žingsnis. Redukcijos formulės išvedimas

Dabar apsvarstykite integralą
.

Kvadratinį trinarį sumažiname iki kvadratų sumos:
.
čia .
Padarykime pakaitalą.
.
.

Atliekame transformacijas ir integruojame dalimis.

.

Padauginti iš 2 (n - 1):
.
Grįžkime prie x ir I n.
,
;
;
.

Taigi, I n gavome redukcijos formulę:
.
Nuosekliai taikydami šią formulę integralą I n sumažiname į I 1 .

Pavyzdys

Apskaičiuokite integralą

1. Išskirkime vardiklio išvestinę skaitiklyje.
;
;

.
Čia
.

2. Apskaičiuojame paprasčiausios trupmenos integralą.

.

3. Taikome sumažinimo formulę:

integralui.
Mūsų atveju b = 1 , c = 1 , 4 c – b 2 = 3. Išrašome šią formulę n = 2 ir n = 3 :
;
.
Iš čia

.

Pagaliau turime:

.
Raskite koeficientą .
.

Taip pat žiūrėkite:

Trupmeniškai racionalios funkcijos neapibrėžto integralo radimo problema kyla dėl paprastųjų trupmenų integravimo. Todėl rekomenduojame pirmiausia susipažinti su trupmenų skaidymo į paprasčiausią teorijos skyriumi.

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą.

Sprendimas.

Kadangi integrando skaitiklio laipsnis yra lygus vardiklio laipsniui, pirmiausia pasirenkame visą dalį, padalydami daugianarį iš daugianario su stulpeliu:

Štai kodėl, .

Gautos tinkamos racionalios trupmenos skaidymas į paprastesnes trupmenas turi formą . Vadinasi,

Gautas integralas yra trečiojo tipo paprasčiausios trupmenos integralas. Žvelgdami šiek tiek į priekį, pastebime, kad tai galite padaryti įtraukę jį po diferencialo ženklu.

Nes , Tai . Štai kodėl

Vadinasi,

Dabar pereikime prie kiekvieno iš keturių tipų paprastų trupmenų integravimo metodų aprašymo.

Pirmojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Tiesioginės integracijos metodas idealiai tinka šiai problemai išspręsti:

Pavyzdys.

Raskite funkcijos antidarinių aibę

Sprendimas.

Raskime neapibrėžtąjį integralą naudodami antidarinės savybes, antidarinių lentelę ir integravimo taisyklę.

Puslapio viršuje

Antrojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Šiai problemai spręsti taip pat tinka tiesioginio integravimo metodas:

Pavyzdys.

Sprendimas.

Puslapio viršuje

Trečiojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Pirmiausia pateikiame neapibrėžtą integralą kaip suma:

Paimame pirmąjį integralą, įtraukdami jį į diferencialinį ženklą:

Štai kodėl,

Transformuokime gauto integralo vardiklį:

Vadinasi,

Trečiojo tipo paprastųjų trupmenų integravimo formulė yra tokia:

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą .

Sprendimas.

Mes naudojame gautą formulę:

Jei neturėtume šios formulės, ką darytume:

Puslapio viršuje

Ketvirtojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Pirmas žingsnis yra įdėti jį po diferencialo ženklu:

Antras žingsnis – rasti formos integralą . Šio tipo integralai randami naudojant pasikartojimo formules. (Žr. skyrių apie integravimą naudojant pasikartojimo formules.) Mūsų atveju tinka ši pasikartojanti formulė:

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą

Sprendimas.

Šio tipo integrandams naudojame pakeitimo metodą. Įveskime naują kintamąjį (žr. skyrių apie neracionalių funkcijų integravimą):

Po pakeitimo turime:

Mes radome ketvirtojo tipo trupmenos integralą. Mūsų atveju turime koeficientus M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Ir n=3. Taikome pasikartojimo formulę:

Po atvirkštinio pakeitimo gauname rezultatą:

Trigonometrinių funkcijų integravimas

1.Formos integralai

apskaičiuojami transformuojant trigonometrinių funkcijų sandaugą į sumą, naudojant formules:

Pavyzdžiui, 2. Formos integralai

, Kur m arba n– nelyginis teigiamas skaičius, apskaičiuojamas sudėjus jį po diferencialiniu ženklu. Pavyzdžiui,

3.Formos integralai

, Kur m Ir n– net teigiami skaičiai apskaičiuojami naudojant laipsnio mažinimo formules: Pavyzdžiui,

4.Integralai

kur apskaičiuojami pakeitus kintamąjį: arba Pavyzdžiui,

5. Formos integralai redukuojami į racionaliųjų trupmenų integralus naudojant universalųjį trigonometrinį pakaitalą tada (nes

=[padalijus skaitiklį ir vardiklį iš ]= ;

Pavyzdžiui,

Reikėtų pažymėti, kad universalaus pakeitimo naudojimas dažnai sukelia sudėtingus skaičiavimus.

§5. Paprasčiausių iracionalumų integravimas

Panagrinėkime paprasčiausių neracionalumo tipų integravimo būdus. 1.

Šio tipo funkcijos integruojamos taip pat, kaip ir paprasčiausios racionalios 3 tipo trupmenos: vardiklyje iš kvadratinio trinalio išskiriamas visas kvadratas ir įvedamas naujas kintamasis. Pavyzdys.

(po integralo ženklu – racionali argumentų funkcija). Šio tipo integralai apskaičiuojami naudojant pakaitalą. Visų pirma, formos integraluose, kuriuos žymime . Jei integrandas turi skirtingo laipsnio šaknis:

, tada pažymėkite kur n– mažiausias bendrasis skaičių kartotinis m,k. 1 pavyzdys.

2 pavyzdys.

-netinkama racionali trupmena, pasirinkite visą dalį:

–

3.Formos integralai apskaičiuojami naudojant trigonometrinius pakaitalus:

45 Apibrėžtinis integralas

Apibrėžtasis integralas- adityvus monotoninis normalizuotas funkcinis, apibrėžtas porų rinkinyje, kurio pirmasis komponentas yra integruojama funkcija arba funkcinis, o antrasis yra šios funkcijos (funkcinio) aibės domenas.

Apibrėžimas

Leiskite tai apibrėžti . Padalinkime jį į dalis su keliais savavališkais taškais. Tada jie sako, kad segmentas buvo padalintas. Tada pasirinkite savavališką tašką , ,

Apibrėžtasis funkcijos integralas intervale yra integralinių sumų riba, nes skaidinio rangas linkęs į nulį, jei jis egzistuoja nepriklausomai nuo skaidinio ir taškų pasirinkimo, tai yra

Jei nurodyta riba egzistuoja, tada sakoma, kad funkcija yra integruojama Riemann.

Pavadinimai

· - apatinė riba.

· - viršutinis limitas.

· - integrand funkcija.

· - dalinio segmento ilgis.

· - atitinkamos skaidinio funkcijos integralioji suma.

· - maksimalus dalinio segmento ilgis.

Savybės

Jei funkcija yra Riemann integruojama , tada ji yra apribota.

Geometrinė reikšmė

Apibrėžtasis integralas kaip figūros plotas

Apibrėžiamasis integralas yra skaitiniu būdu lygus figūros plotui, kurį riboja abscisių ašis, tiesės ir funkcijos grafikas.

Niutono-Leibnizo teorema

[Redaguoti]

(peradresuota iš "Newton-Leibniz Formula")

Niutono-Leibnizo formulė arba pagrindinė analizės teorema pateikia ryšį tarp dviejų operacijų: imant apibrėžtąjį integralą ir apskaičiuojant antidarinį.

Įrodymas

Tegu intervale pateikiama integruojamoji funkcija. Pradėkime tai pastebėdami

tai yra, nesvarbu, kuri raidė (arba) yra po ženklu apibrėžtajame integrale virš segmento.

Nustatykime savavališką reikšmę ir apibrėžkime naują funkciją . Jis apibrėžiamas visoms reikšmėms , nes žinome, kad jei yra integralas į , tai taip pat yra integralas į , kur . Prisiminkime, kad mes svarstome pagal apibrėžimą

(1)

pastebėti, kad

Parodykime, kad jis yra tęstinis intervale . Tiesą sakant, tegul ; Tada

o jei , tai tada

Taigi jis yra tęstinis, nepaisant to, ar jis turi, ar neturi nutrūkimų; svarbu, kad jis būtų integruojamas .

Paveikslėlyje parodytas grafikas. Kintamosios figūros plotas yra . Jo prieaugis yra lygus figūros plotui , kuris dėl savo ribotumo akivaizdžiai linkęs į nulį, neatsižvelgiant į tai, ar tai tęstinumo, ar nenuoseklumo taškas, pavyzdžiui, taškas.

Tegul dabar funkcija ne tik integruojama įjungta , bet ir tęstinė taške . Įrodykime, kad tada išvestinė šiame taške yra lygi

(2)

Tiesą sakant, nurodytam taškui

(1) , (3)

Mes įdedame , o kadangi jis yra pastovus, palyginti su ,TO . Be to, dėl tęstinumo taške, bet kuris gali nurodyti taip, kad už .

kuris įrodo, kad kairioji šios nelygybės pusė yra o (1), kai .

Perėjimas prie ribos (3) at parodo taško išvestinės egzistavimą ir lygybės (2) galiojimą. Kai čia kalbame atitinkamai apie dešiniąją ir kairiąją vedinius.

Jei funkcija yra nuolatinė , tada, remiantis tuo, kas buvo įrodyta aukščiau, atitinkama funkcija

(4)

turi išvestinę, lygią . Todėl funkcija yra .

Ši išvada kartais vadinama kintamojo viršutinės ribos integralo teorema arba Barrow teorema.

Įrodėme, kad savavališka funkcija, kuri tęsiasi intervale, turi šio intervalo antidarinę, apibrėžtą lygybe (4). Tai įrodo, kad egzistuoja antidarinys bet kuriai funkcijai, kuri tęsiasi intervale.

Tegul dabar yra savavališkas funkcijos antidarinys. Mes tai žinome, kur yra tam tikra konstanta. Darant prielaidą, kad ši lygybė ir atsižvelgiant į tai , gauname .

Taigi,. Bet

Netinkamas integralas

[Redaguoti]

Medžiaga iš Vikipedijos – laisvosios enciklopedijos

Apibrėžtasis integralas paskambino ne savo, jei tenkinama bent viena iš šių sąlygų:

· Riba a arba b (arba abi ribos) yra begalinės;

· Funkcija f(x) turi vieną ar daugiau lūžio taškų atkarpos viduje.

[taisyti] Netinkami pirmosios rūšies integralai

. Tada:

1. Jeigu o integralas vadinamas . Tokiu atveju vadinama konvergentine.

, arba tiesiog skiriasi.

Leisti būti apibrėžtas ir tęstinis rinkinyje nuo ir . Tada:

1. Jeigu , tada naudojamas žymėjimas o integralas vadinamas netinkamas pirmosios rūšies Riemann integralas. Tokiu atveju vadinama konvergentine.

2. Jei baigtinio nėra ( arba ), tada sakoma, kad integralas nukrypsta į , arba tiesiog skiriasi.

Jei funkcija apibrėžta ir ištisinė visoje skaičių eilutėje, tada gali būti netinkamas šios funkcijos integralas su dviem begalinėmis integravimo ribomis, apibrėžtomis formule:

, kur c yra savavališkas skaičius.

[Redaguoti] Pirmosios rūšies netinkamo integralo geometrinė reikšmė

Netinkamas integralas išreiškia be galo ilgos kreivinės trapecijos plotą.

[Redaguoti] Pavyzdžiai

[taisyti] Netinkami antrojo tipo integralai

Tegul jis yra apibrėžtas , kenčia begalinį pertrūkį taške x=a ir . Tada:

1. Jeigu , tada naudojamas žymėjimas o integralas vadinamas

vadinamas skirtingu į , arba tiesiog skiriasi.

Tegul jis yra apibrėžtas , kenčia begalinį pertrūkį ties x=b ir . Tada:

1. Jeigu , tada naudojamas žymėjimas o integralas vadinamas netinkamas antrosios rūšies Riemann integralas. Šiuo atveju integralas vadinamas konvergentiniu.

2. Jei arba , tada žymėjimas išlieka toks pat, ir vadinamas skirtingu į , arba tiesiog skiriasi.

Jei funkcija nutrūksta vidiniame atkarpos taške, tada netinkamas antrojo tipo integralas nustatomas pagal formulę:

[Redaguoti] Antrosios rūšies netinkamų integralų geometrinė reikšmė

Netinkamas integralas išreiškia begalinio aukščio lenktos trapecijos plotą

[Redaguoti] Pavyzdys

[taisyti] Atskiras atvejis

Tegul funkcija yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje ir taškuose turi nutrūkimą.

Tada galime rasti netinkamą integralą

[taisyti] Košio kriterijus

1. Tegul jis yra apibrėžtas aibėje iš ir .

Tada susilieja

2. Leisti apibrėžti ir .

Tada susilieja

[taisyti] Absoliutus konvergencija

Integralinis paskambino absoliučiai konvergencija, Jei susilieja.
Jei integralas absoliučiai konverguoja, tada jis konverguoja.

[taisyti]Sąlyginė konvergencija

Integralas vadinamas sąlyginai konvergencinis, jei jis susilieja, bet skiriasi.

48 12. Netinkami integralai.

Nagrinėdami apibrėžtuosius integralus, darėme prielaidą, kad integracijos sritis yra ribota (konkrečiau, tai segmentas [ a ,b ]); Kad egzistuotų apibrėžtasis integralas, integrandas turi būti apribotas [ a ,b ]. Mes vadinsime apibrėžtuosius integralus, kuriems tenkinamos abi šios sąlygos (ir integracijos srities, ir integrando ribos) savo; integralai, kuriems šie reikalavimai pažeidžiami (t. y. arba integrandas, arba integravimo sritis yra neribota, arba abu) ne savo. Šiame skyriuje tyrinėsime netinkamus integralus.

12.1. Netinkami integralai neribotame intervale (netinkami pirmosios rūšies integralai).

12.1.1. Netinkamo integralo per begalinį intervalą apibrėžimas. Pavyzdžiai.
12.1.2. Niutono-Leibnizo formulė netinkamam integralui.
12.1.3. Neneigiamų funkcijų palyginimo kriterijai.

12.1.3.1. Palyginimo ženklas.
12.1.3.2. Palyginimo ženklas kraštutiniu pavidalu.

12.1.4. Absoliuti netinkamų integralų konvergencija per begalinį intervalą.
12.1.5. Abelio ir Dirichlet konvergencijos testai.

12.2. Netinkami neribotų funkcijų integralai (netinkami antrojo tipo integralai).

12.2.1. Neribotos funkcijos netinkamo integralo apibrėžimas.

12.2.1.1. Singuliarumas yra kairiajame integravimo intervalo gale.
12.2.1.2. Niutono-Leibnizo formulės taikymas.
12.2.1.3. Singuliarumas dešiniajame integravimo intervalo gale.
12.2.1.4. Singuliarumas vidiniame integravimo intervalo taške.
12.2.1.5. Kelios integravimo intervalo funkcijos.

12.2.2. Neneigiamų funkcijų palyginimo kriterijai.

12.2.2.1. Palyginimo ženklas.
12.2.2.2. Palyginimo ženklas kraštutiniu pavidalu.

12.2.3. Absoliuti ir sąlyginė nenuoseklių funkcijų netinkamų integralų konvergencija.
12.2.4. Abelio ir Dirichlet konvergencijos testai.

12.1. Netinkami integralai neribotame intervale

(netinkami pirmosios rūšies integralai).

12.1.1. Netinkamo integralo per begalinį intervalą apibrėžimas. Tegul funkcija f (x ) yra apibrėžtas pusašyje ir yra integruojamas bet kuriuo intervalu [ iš, kiekvienu iš šių atvejų reiškiančių atitinkamų ribų egzistavimą ir baigtinumą. Dabar pavyzdžių sprendimai atrodo paprastesni: .

12.1.3. Neneigiamų funkcijų palyginimo kriterijai. Šiame skyriuje manysime, kad visi integrandai yra neneigiami visoje apibrėžimo srityje. Iki šiol integralo konvergenciją nustatydavome ją skaičiuodami: jeigu yra baigtinė antidarinės riba su atitinkama tendencija ( arba ), tai integralas konverguoja, kitu atveju divergenuoja. Tačiau sprendžiant praktines problemas svarbu pirmiausia nustatyti patį konvergencijos faktą, o tik po to skaičiuoti integralą (be to, antidarinė dažnai neišreiškiama elementariomis funkcijomis). Suformuluokime ir įrodykime keletą teoremų, leidžiančių nustatyti neneigiamų funkcijų netinkamų integralų konvergenciją ir divergenciją jų neskaičiuojant.
12.1.3.1. Palyginimo ženklas. Tegul funkcijos f (x ) Ir g (x ) integralas

Pavyzdys.

Sprendimas.

Kadangi integrando skaitiklio laipsnis yra lygus vardiklio laipsniui, pirmiausia pasirenkame visą dalį, padalydami daugianarį iš daugianario su stulpeliu:

Štai kodėl, .

Gautos tinkamos racionalios trupmenos skaidymas į paprastesnes trupmenas turi formą . Vadinasi,

Gautas integralas yra trečiojo tipo paprasčiausios trupmenos integralas. Žvelgdami šiek tiek į priekį, pastebime, kad tai galite padaryti įtraukę jį po diferencialo ženklu.

Nes , Tai . Štai kodėl

Vadinasi,

Dabar pereikime prie kiekvieno iš keturių tipų paprastų trupmenų integravimo metodų aprašymo.

Pirmojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Tiesioginės integracijos metodas idealiai tinka šiai problemai išspręsti:

Pavyzdys.

Sprendimas.

Raskime neapibrėžtąjį integralą naudodami antidarinės savybes, antidarinių lentelę ir integravimo taisyklę.

Puslapio viršuje

Antrojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Šiai problemai spręsti taip pat tinka tiesioginio integravimo metodas:

Pavyzdys.

Sprendimas.

Puslapio viršuje

Trečiojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Pirmiausia pateikiame neapibrėžtą integralą kaip suma:

Paimame pirmąjį integralą, įtraukdami jį į diferencialinį ženklą:

Štai kodėl,

Transformuokime gauto integralo vardiklį:

Vadinasi,

Trečiojo tipo paprastųjų trupmenų integravimo formulė yra tokia:

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą .

Sprendimas.

Mes naudojame gautą formulę:

Jei neturėtume šios formulės, ką darytume:

9. Ketvirtojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Pirmas žingsnis yra įdėti jį po diferencialo ženklu:

Antras žingsnis – rasti formos integralą . Šio tipo integralai randami naudojant pasikartojimo formules. (Žr. skaidymą naudojant pasikartojimo formules). Mūsų atveju tinka ši pasikartojanti formulė:

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą

Sprendimas.

Šio tipo integrandams naudojame pakeitimo metodą. Įveskime naują kintamąjį (žr. skyrių apie neracionalių funkcijų integravimą):

Po pakeitimo turime:

Mes radome ketvirtojo tipo trupmenos integralą. Mūsų atveju turime koeficientus M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Ir n=3. Taikome pasikartojimo formulę:

Po atvirkštinio pakeitimo gauname rezultatą:

10. Trigonometrinių funkcijų integravimas.

Daugelis problemų kyla dėl transcendentinių funkcijų integralų, turinčių trigonometrines funkcijas, paieška. Šiame straipsnyje mes sugrupuosime dažniausiai pasitaikančius integrandų tipus ir naudosime pavyzdžius, kad apsvarstytume jų integravimo metodus.

Pradėkime integruodami sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą.

Iš antidarinių lentelės iš karto pažymime, kad Ir .

Diferencialinio ženklo sumavimo metodas leidžia apskaičiuoti neapibrėžtus liestinės ir kotangentinės funkcijų integralus:

Puslapio viršuje

Pažiūrėkime į pirmąjį atvejį, antrasis yra visiškai panašus.

Naudokime pakeitimo metodą:

Priėjome neracionalios funkcijos integravimo problemą. Pakeitimo metodas mums taip pat padės:

Belieka atlikti atvirkštinį pakeitimą ir t = sinx:

Puslapio viršuje

Daugiau apie jų radimo principus galite sužinoti skyriuje integravimas naudojant pasikartojančias formules. Jei studijuojate šių formulių išvedimą, galite lengvai paimti formos integralus , Kur m Ir n- sveikieji skaičiai.

Puslapio viršuje

Daugiausia kūrybiškumo atsiranda tada, kai integrande yra trigonometrinių funkcijų su skirtingais argumentais.

Čia gelbsti pagrindinės trigonometrijos formulės. Taigi užsirašykite juos ant atskiro popieriaus lapo ir laikykite prieš akis.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos antidarinių aibę .

Sprendimas.

Redukcijos formulės pateikia Ir .

Štai kodėl

Vardiklis yra sumos sinuso formulė, todėl

Gauname trijų integralų sumą.

Puslapio viršuje

Integrandai, kuriuose yra trigonometrinių funkcijų, kartais gali būti redukuoti į trupmenines racionalias išraiškas, naudojant standartinį trigonometrinį pakaitalą.

Išrašykime trigonometrines formules, išreiškiančias sinusą, kosinusą, liestinę per pusės argumento liestinę:

Integruojant mums taip pat reikės diferencinės išraiškos dx per puskampio liestinę.

Nes , Tai

Tai yra, kur.

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą .

Sprendimas.

Naudokime standartinį trigonometrinį pakaitalą:

Taigi, .

Išskaidę integrandą į paprastas trupmenas, gauname dviejų integralų sumą:

Belieka atlikti atvirkštinį pakeitimą:

11. Pasikartojimo formulės yra formulės, kurios išreiškia n Antrasis sekos narys per ankstesnius narius. Jie dažnai naudojami ieškant integralų.

Mes nesiekiame išvardyti visų pasikartojimo formulių, bet norime pateikti jų išvedimo principą. Šių formulių išvedimas pagrįstas integrando transformavimu ir integravimo dalimis metodo taikymu.

Pavyzdžiui, neapibrėžtas integralas gali būti imtasi naudojant pasikartojimo formulę .

Formulės išvedimas:

Naudodami trigonometrijos formules galime parašyti:

Gautą integralą randame integravimo dalimis metodu. Kaip funkcija u(x) Paimkime cosx, vadinasi,.

Štai kodėl,

Grįžtame prie pradinio integralo:

Tai yra,

Tai ir reikėjo parodyti.

Šios pasikartojimo formulės gaunamos panašiai:

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą.

Sprendimas.

Mes naudojame pasikartojančią formulę iš ketvirtos pastraipos (mūsų pavyzdyje n=3):

Kadangi iš antidarinių lentelės turime , Tai

Visa tai, kas išdėstyta ankstesnėse pastraipose, leidžia suformuluoti pagrindines racionaliųjų trupmenų integravimo taisykles.

1. Jei racionalioji trupmena yra neteisinga, tada ji vaizduojama kaip daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos suma (žr. 2 pastraipą).

Tai sumažina netinkamos racionaliosios trupmenos integravimą į daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos integravimą.

2. Paskaičiuokite tinkamos trupmenos vardiklį.

3. Tinkama racionalioji trupmena išskaidoma į paprastųjų trupmenų sumą. Tai sumažina tinkamos racionalios trupmenos integravimą į paprastųjų trupmenų integravimą.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 pavyzdys. Rasti .

Sprendimas. Žemiau integralo yra neteisinga racionali trupmena. Pasirinkę visą dalį, gauname

Vadinasi,

Atsižvelgdami į tai, išplėskime tinkamą racionaliąją trupmeną

į paprastas trupmenas:

(žr. (18) formulę). Štai kodėl