Trupmeniškai racionalios funkcijos neapibrėžto integralo radimo problema kyla dėl paprastųjų trupmenų integravimo. Todėl rekomenduojame pirmiausia susipažinti su trupmenų skaidymo į paprasčiausią teorijos skyriumi.
Pavyzdys.
Sprendimas.
Kadangi integrando skaitiklio laipsnis yra lygus vardiklio laipsniui, pirmiausia pasirenkame visą dalį, padalydami daugianarį iš daugianario su stulpeliu: 
Štai kodėl, 
.
Gautos tinkamos racionalios trupmenos skaidymas į paprastesnes trupmenas turi formą 
. Vadinasi, 
Gautas integralas yra trečiojo tipo paprasčiausios trupmenos integralas. Žvelgdami šiek tiek į priekį, pastebime, kad tai galite padaryti įtraukę jį po diferencialo ženklu.
Nes 
, Tai 
. Štai kodėl 
Vadinasi, 
Dabar pereikime prie kiekvieno iš keturių tipų paprastų trupmenų integravimo metodų aprašymo.
Pirmojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas
Tiesioginės integracijos metodas idealiai tinka šiai problemai išspręsti:
Pavyzdys.
Sprendimas.
Raskime neapibrėžtąjį integralą naudodami antidarinės savybes, antidarinių lentelę ir integravimo taisyklę.
Puslapio viršuje
Antrojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas
Šiai problemai spręsti taip pat tinka tiesioginio integravimo metodas: 
Pavyzdys.
Sprendimas.
Puslapio viršuje
Trečiojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas 
Pirmiausia pateikiame neapibrėžtą integralą 
kaip suma:
Paimame pirmąjį integralą, įtraukdami jį į diferencialinį ženklą: 
Štai kodėl, 
Transformuokime gauto integralo vardiklį: 
Vadinasi, 
Trečiojo tipo paprastųjų trupmenų integravimo formulė yra tokia: 
Pavyzdys.
Raskite neapibrėžtą integralą 
.
Sprendimas.
Mes naudojame gautą formulę: 
Jei neturėtume šios formulės, ką darytume: 
9. Ketvirtojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas
Pirmas žingsnis yra įdėti jį po diferencialo ženklu: 
Antras žingsnis – rasti formos integralą 
. Šio tipo integralai randami naudojant pasikartojimo formules. (Žr. skaidymą naudojant pasikartojimo formules). Mūsų atveju tinka ši pasikartojanti formulė:
Pavyzdys.
Raskite neapibrėžtą integralą
Sprendimas.
Šio tipo integrandams naudojame pakeitimo metodą. Įveskime naują kintamąjį (žr. skyrių apie neracionalių funkcijų integravimą): 
Po pakeitimo turime: 
Mes radome ketvirtojo tipo trupmenos integralą. Mūsų atveju turime koeficientus M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Ir n=3. Taikome pasikartojimo formulę: 
Po atvirkštinio pakeitimo gauname rezultatą:
10. Trigonometrinių funkcijų integravimas.
Daugelis problemų kyla dėl transcendentinių funkcijų integralų, turinčių trigonometrines funkcijas, paieška. Šiame straipsnyje mes sugrupuosime dažniausiai pasitaikančius integrandų tipus ir naudosime pavyzdžius, kad apsvarstytume jų integravimo metodus.
Pradėkime integruodami sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą.
Iš antidarinių lentelės iš karto pažymime, kad 
Ir 
.
Diferencialinio ženklo sumavimo metodas leidžia apskaičiuoti neapibrėžtus liestinės ir kotangentinės funkcijų integralus: 
Puslapio viršuje
Pažiūrėkime į pirmąjį atvejį, antrasis yra visiškai panašus.
Naudokime pakeitimo metodą: 
Priėjome neracionalios funkcijos integravimo problemą. Pakeitimo metodas mums taip pat padės: 
Belieka atlikti atvirkštinį pakeitimą ir t = sinx:
Puslapio viršuje
Daugiau apie jų radimo principus galite sužinoti skyriuje integravimas naudojant pasikartojančias formules. Jei studijuojate šių formulių išvedimą, galite lengvai paimti formos integralus 
, Kur m Ir n- sveikieji skaičiai.
Puslapio viršuje
Puslapio viršuje
Daugiausia kūrybiškumo atsiranda tada, kai integrande yra trigonometrinių funkcijų su skirtingais argumentais.
Čia gelbsti pagrindinės trigonometrijos formulės. Taigi užsirašykite juos ant atskiro popieriaus lapo ir laikykite prieš akis.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos antidarinių aibę 
.
Sprendimas.
Redukcijos formulės pateikia 
Ir 
.
Štai kodėl 
Vardiklis yra sumos sinuso formulė, todėl 
Gauname trijų integralų sumą. 
Puslapio viršuje
Integrandai, kuriuose yra trigonometrinių funkcijų, kartais gali būti redukuoti į trupmenines racionalias išraiškas, naudojant standartinį trigonometrinį pakaitalą.
Išrašykime trigonometrines formules, išreiškiančias sinusą, kosinusą, liestinę per pusės argumento liestinę: 
Integruojant mums taip pat reikės diferencinės išraiškos dx per puskampio liestinę.
Nes 
, Tai 
Tai yra, kur.
Pavyzdys.
Raskite neapibrėžtą integralą 
.
Sprendimas.
Naudokime standartinį trigonometrinį pakaitalą: 
Taigi, 
.
Išskaidę integrandą į paprastas trupmenas, gauname dviejų integralų sumą: 
Belieka atlikti atvirkštinį pakeitimą: 
11. Pasikartojimo formulės yra formulės, kurios išreiškia n Antrasis sekos narys per ankstesnius narius. Jie dažnai naudojami ieškant integralų.
Mes nesiekiame išvardyti visų pasikartojimo formulių, bet norime pateikti jų išvedimo principą. Šių formulių išvedimas pagrįstas integrando transformavimu ir integravimo dalimis metodo taikymu.
Pavyzdžiui, neapibrėžtas integralas 
gali būti imtasi naudojant pasikartojimo formulę 
.
Formulės išvedimas:
Naudodami trigonometrijos formules galime parašyti:
Gautą integralą randame integravimo dalimis metodu. Kaip funkcija u(x) Paimkime cosx, vadinasi,.
Štai kodėl, 
Grįžtame prie pradinio integralo: 
Tai yra, 
Tai ir reikėjo parodyti.
Šios pasikartojimo formulės gaunamos panašiai:
Pavyzdys.
Raskite neapibrėžtą integralą.
Sprendimas.
Mes naudojame pasikartojančią formulę iš ketvirtos pastraipos (mūsų pavyzdyje n=3):
Kadangi iš antidarinių lentelės turime 
, Tai 
Visa tai, kas išdėstyta ankstesnėse pastraipose, leidžia suformuluoti pagrindines racionaliųjų trupmenų integravimo taisykles.
1. Jei racionalioji trupmena yra neteisinga, tada ji vaizduojama kaip daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos suma (žr. 2 pastraipą).
Tai sumažina netinkamos racionaliosios trupmenos integravimą į daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos integravimą.
2. Paskaičiuokite tinkamos trupmenos vardiklį.
3. Tinkama racionalioji trupmena išskaidoma į paprastųjų trupmenų sumą. Tai sumažina tinkamos racionalios trupmenos integravimą į paprastųjų trupmenų integravimą.
Pažiūrėkime į pavyzdžius.
1 pavyzdys. Rasti .
Sprendimas. Žemiau integralo yra neteisinga racionali trupmena. Pasirinkę visą dalį, gauname
Vadinasi,
Atsižvelgdami į tai, išplėskime tinkamą racionaliąją trupmeną
į paprastas trupmenas:
(žr. (18) formulę). Štai kodėl
Taigi, pagaliau turime
2 pavyzdys. Rasti
Sprendimas. Žemiau integralo yra tinkama racionalioji trupmena.
Išplėsdami jį į paprastas trupmenas (žr. (16) formulę), gauname
Trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas.
Neaiškių koeficientų metodas
Mes ir toliau dirbame integruodami trupmenas. Pamokoje jau apžvelgėme kai kurių tipų trupmenų integralus ir šią pamoką tam tikra prasme galima laikyti tęsiniu. Norint sėkmingai suprasti medžiagą, reikalingi pagrindiniai integravimo įgūdžiai, todėl jei ką tik pradėjote mokytis integralų, tai yra, esate pradedantysis, turite pradėti nuo straipsnio Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai.
Kaip bebūtų keista, dabar mes užsiimsime ne tiek integralų paieška, kiek... tiesinių lygčių sistemų sprendimu. Šiuo atžvilgiu skubiai Rekomenduoju lankyti pamoką, būtent, jūs turite gerai išmanyti pakeitimo metodus („mokyklos“ metodą ir sisteminių lygčių sudėties (atėmimo) metodą).
Kas yra trupmeninė racionali funkcija? Paprastais žodžiais tariant, trupmeninė-racionali funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario arba daugianario sandaugų. Be to, trupmenos yra sudėtingesnės nei aptariamos straipsnyje Kai kurių trupmenų integravimas.
Tinkamos trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas
Iškart pavyzdys ir tipinis trupmeninės-racionalios funkcijos integralo sprendimo algoritmas.
1 pavyzdys
1 žingsnis. Pirmas dalykas, kurį VISADA darome spręsdami trupmeninės racionalios funkcijos integralą, yra išsiaiškinti šį klausimą: ar trupmena tinkama?Šis veiksmas atliekamas žodžiu, o dabar paaiškinsiu, kaip:
Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis daugianaris: 
Pirmaujanti skaitiklio galia yra du.
Dabar žiūrime į vardiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis vardiklis. Akivaizdus būdas yra atidaryti skliaustus ir pateikti panašius terminus, bet galite tai padaryti paprasčiau kiekviena skliausteliuose raskite aukščiausią laipsnį 
ir mintyse padauginkite: - taigi, didžiausias vardiklio laipsnis lygus trims. Visiškai akivaizdu, kad jei iš tikrųjų atidarysime skliaustus, negausime laipsnio didesnio nei trys.
Išvada: Pagrindinis skaitiklio laipsnis GRIEŽTAI yra mažesnė už didžiausią vardiklio laipsnį, o tai reiškia, kad trupmena yra tinkama.
Jei šiame pavyzdyje skaitiklyje yra daugianario 3, 4, 5 ir kt. laipsnių, tada trupmena būtų negerai.
Dabar nagrinėsime tik teisingas trupmenines racionalias funkcijas. Atvejis, kai skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio laipsniui, bus aptartas pamokos pabaigoje.
2 žingsnis. Išskaidykime vardiklį faktoriais. Pažvelkime į mūsų vardiklį: 
Paprastai tariant, tai jau yra veiksnių rezultatas, bet vis dėlto klausiame savęs: ar įmanoma dar ką nors išplėsti? Kankinimo objektas neabejotinai bus kvadratinis trikampis. Kvadratinės lygties sprendimas: 
Diskriminantas yra didesnis už nulį, o tai reiškia, kad trinalį tikrai galima koeficientuoti:
Bendra taisyklė: VISKAS, kas yra vardiklyje, GALI būti faktorinuota – faktoriuota
Pradėkime formuluoti sprendimą:
3 veiksmas. Naudodamiesi neapibrėžtųjų koeficientų metodu, integrandą išplečiame į paprastųjų (elementariųjų) trupmenų sumą. Dabar bus aiškiau.
Pažvelkime į mūsų integrando funkciją: 
Ir, žinote, kažkaip intuityvi mintis iškyla, kad būtų neblogai mūsų didelę dalį paversti keliomis mažomis. Pavyzdžiui, taip: 
Kyla klausimas, ar tai apskritai įmanoma padaryti? Atsikvėpkime, atitinkama matematinės analizės teorema teigia – GALIMA. Toks skilimas egzistuoja ir yra unikalus.
Yra tik vienas laimikis, šansai yra tokie Ate Mes nežinome, todėl pavadinimas - neapibrėžtų koeficientų metodas.
Kaip atspėjote, vėlesni kūno judesiai yra tokie, neskubėkite! bus siekiama tiesiog juos ATPAŽINTI – išsiaiškinti, kam jie prilygsta.
Būkite atsargūs, išsamiai paaiškinsiu tik vieną kartą!
Taigi, pradėkime šokti nuo: 
Kairėje pusėje sumažiname išraišką iki bendro vardiklio:
Dabar galime saugiai atsikratyti vardiklių (nes jie yra vienodi):
Kairėje pusėje atidarome skliaustus, bet kol kas nelieskite nežinomų koeficientų:
Tuo pačiu kartojame mokyklos polinomų dauginimo taisyklę. Kai buvau mokytojas, išmokau ištarti šią taisyklę tiesiu veidu: Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario.
Aiškaus paaiškinimo požiūriu geriau koeficientus dėti skliausteliuose (nors aš asmeniškai niekada to nedarau, kad sutaupyčiau laiko):
Sudarome tiesinių lygčių sistemą.
Pirmiausia ieškome vyresniųjų laipsnių:
Ir mes įrašome atitinkamus koeficientus į pirmąją sistemos lygtį:
Gerai atsiminkite sekantį dalyką. Kas nutiktų, jei dešinėje pusėje iš viso nebūtų s? Tarkime, ar jis tiesiog pasirodytų be jokio kvadrato? Šiuo atveju sistemos lygtyje reikėtų dešinėje dėti nulį: . Kodėl nulis? Bet todėl, kad dešinėje pusėje visada galite priskirti tą patį kvadratą su nuliu: Jei dešinėje pusėje nėra kintamųjų ir (arba) laisvo nario, tada atitinkamų sistemos lygčių dešinėse pusėse dedame nulius.
Į antrąją sistemos lygtį įrašome atitinkamus koeficientus: 
Ir galiausiai, mineralinis vanduo, atrenkame laisvus narius.
Ech...kažkaip pajuokavau. Anekdotus atmetus – matematika yra rimtas mokslas. Mūsų instituto grupėje niekas nesijuokė, kai docentė pasakė, kad išbarstys terminus išilgai skaičių tiesės ir išrinks didžiausius. Būkime rimti. Nors... kas gyvena iki šios pamokos pabaigos, vis tiek tyliai šypsosis.
Sistema paruošta:
Mes išsprendžiame sistemą: 
(1) Iš pirmosios lygties ją išreiškiame ir pakeičiame 2 ir 3 sistemos lygtimis. Tiesą sakant, buvo galima išreikšti (ar kitą raidę) iš kitos lygties, tačiau šiuo atveju naudinga ją išreikšti iš 1-osios lygties, nes mažiausi šansai.
(2) Panašius terminus pateikiame 2-oje ir 3-ioje lygtyse.
(3) 2 ir 3 lygtis pridedame po termino, gaudami lygybę , iš kurios išplaukia, kad
(4) Mes pakeičiame į antrąją (arba trečiąją) lygtį, iš kur tai randame
(5) Pakeiskite ir į pirmąją lygtį, gaudami .
Jei kyla problemų dėl sistemos sprendimo būdų, praktikuokite juos klasėje. Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?
Išsprendus sistemą visada pravartu pasitikrinti – pakeisti rastas reikšmes kas sistemos lygtis, dėl to viskas turėtų „susivesti“.
Beveik ten. Buvo rasti koeficientai ir: 
Baigtas darbas turėtų atrodyti maždaug taip:
Kaip matote, pagrindinis užduoties sunkumas buvo sudaryti (teisingai!) ir išspręsti (teisingai!) tiesinių lygčių sistemą. Ir paskutiniame etape viskas nėra taip sunku: mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes ir integruojame. Atkreipkite dėmesį, kad kiekviename iš trijų integralų turime „nemokamą“ kompleksinę funkciją; apie jos integravimo ypatybes kalbėjau pamokoje. Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.
Patikrinkite: išskirkite atsakymą:
Gauta pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas buvo rastas teisingai.
Tikrinimo metu turėjome sumažinti išraišką iki bendro vardiklio, ir tai neatsitiktinai. Neapibrėžtų koeficientų metodas ir išraiškos redukavimas į bendrą vardiklį yra abipusiai atvirkštiniai veiksmai.
2 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą. 
Grįžkime prie pirmojo pavyzdžio trupmenos: 
. Nesunku pastebėti, kad vardiklyje visi veiksniai yra SKIRTINGI. Kyla klausimas, ką daryti, jei, pavyzdžiui, pateikiama ši trupmena: 
? Čia mes turime laipsnius vardiklyje arba, matematiškai, kartotiniai. Be to, yra kvadratinis trinaris, kurio negalima koeficientuoti (nesunku patikrinti, ar lygties diskriminantas 
yra neigiamas, todėl trinario negalima koeficientuoti). Ką daryti? Išplėtimas į elementariųjų trupmenų sumą atrodys panašiai 
su nežinomais koeficientais viršuje ar dar kažkas?
3 pavyzdys
Įveskite funkciją 
1 žingsnis. Tikrinama, ar turime tinkamą trupmeną
Pagrindinis skaitiklis: 2
Aukščiausias vardiklio laipsnis: 8
, o tai reiškia, kad trupmena yra teisinga.
2 žingsnis. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Akivaizdu, kad ne, viskas jau išdėstyta. Kvadratinis trinaris negali būti išplėstas į gaminį dėl anksčiau nurodytų priežasčių. Gaubtas. Mažiau darbo.
3 veiksmas.Įsivaizduokime trupmeninę-racionaliąją funkciją kaip elementariųjų trupmenų sumą.
Šiuo atveju išplėtimas turi tokią formą:
Pažvelkime į mūsų vardiklį:
Išskaidžius trupmeninę-racionaliąją funkciją į elementariųjų trupmenų sumą, galima išskirti tris pagrindinius dalykus:
1) Jei vardiklyje yra „vienišas“ pirmosios laipsnio koeficientas (mūsų atveju), tada viršuje (mūsų atveju) dedame neapibrėžtą koeficientą. 1, 2 pavyzdžiai susideda tik iš tokių „vienišų“ veiksnių.
2) Jei vardiklis turi daugkartinis daugiklis, tada jums reikia jį išskaidyti taip: 
- tai yra, nuosekliai eikite per visus „X“ laipsnius nuo pirmojo iki n-ojo laipsnio. Mūsų pavyzdyje yra du keli veiksniai: ir , dar kartą pažvelkite į mano pateiktą išplėtimą ir įsitikinkite, kad jie yra išplėsti tiksliai pagal šią taisyklę.
3) Jei vardiklyje yra neskaidomas antrojo laipsnio polinomas (mūsų atveju), tada skaidant skaitiklyje reikia parašyti tiesinę funkciją su neapibrėžtais koeficientais (mūsų atveju su neapibrėžtais koeficientais ir ).
Tiesą sakant, yra dar 4-asis atvejis, bet aš apie tai tylėsiu, nes praktiškai tai yra labai reta.
4 pavyzdys
Įveskite funkciją 
kaip elementariųjų trupmenų su nežinomais koeficientais suma.
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Griežtai laikykitės algoritmo!
Jei suprantate principus, pagal kuriuos reikia išplėsti trupmeninę-racionaliąją funkciją į sumą, galite peržvelgti beveik bet kurį nagrinėjamo tipo integralą.
5 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą. 
1 žingsnis. Akivaizdu, kad trupmena yra teisinga:
2 žingsnis. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Gali. Čia yra kubelių suma 
. Vardiklį koeficientuokite naudodami sutrumpintą daugybos formulę
3 veiksmas. Naudodami neapibrėžtų koeficientų metodą, integrandą išplečiame į elementariųjų trupmenų sumą:
Atkreipkite dėmesį, kad daugianario negalima koeficientuoti (patikrinkite, ar diskriminantas yra neigiamas), todėl viršuje pateikiame tiesinę funkciją su nežinomais koeficientais, o ne tik viena raide.
Suvedame trupmeną į bendrą vardiklį:
Sudarykime ir išspręskime sistemą:
(1) Išreiškiame iš pirmosios lygties ir pakeičiame ją antrąja sistemos lygtimi (tai yra racionaliausias būdas).
(2) Panašius terminus pateikiame antroje lygtyje.
(3) Antrąją ir trečiąją sistemos lygtis sudedame po terminą.
Visi tolesni skaičiavimai iš esmės yra žodiniai, nes sistema yra paprasta. 
(1) Užrašome trupmenų sumą pagal rastus koeficientus.
(2) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes. Kas atsitiko antrajame integrale? Su šiuo metodu galite susipažinti paskutinėje pamokos pastraipoje. Kai kurių trupmenų integravimas.
(3) Dar kartą naudojame tiesiškumo savybes. Trečiajame integralu pradedame atskirti visą kvadratą (priešpaskutinė pamokos pastraipa Kai kurių trupmenų integravimas).
(4) Imame antrą integralą, trečiuoju pasirenkame visą kvadratą.
(5) Paimkite trečiąjį integralą. Paruošta.
Nagrinėjami racionalių funkcijų (trupmenų) integravimo su detaliais sprendimais pavyzdžiai.
TurinysTaip pat žiūrėkite: Kvadratinės lygties šaknys
Čia pateikiame išsamius trijų šių racionalių trupmenų integravimo pavyzdžių sprendimus:
,
,
.
1 pavyzdys
Apskaičiuokite integralą:
.
Čia po integralo ženklu yra racionali funkcija, nes integrandas yra daugianario dalis. Vardiklio daugianario laipsnis ( 3 ) yra mažesnis už skaitiklio daugianario laipsnį ( 4 ). Todėl pirmiausia turite pasirinkti visą trupmenos dalį.
1.
Pasirinkime visą trupmenos dalį. Padalinkite x 4
pagal x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Iš čia
.
2.
Išskaidykime trupmenos vardiklį. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti kubinę lygtį:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Pakeiskime x = 1
:
.
1
. Padalinti iš x - 1
:
Iš čia
.
Kvadratinės lygties sprendimas.
.
Lygties šaknys yra: , .
Tada
.
3.
Išskaidykime trupmeną į paprasčiausią formą.
.
Taigi mes radome:
.
Integruosime.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite integralą:
.
Čia trupmenos skaitiklis yra nulinio laipsnio polinomas ( 1 = x 0). Vardiklis yra trečiojo laipsnio daugianario. Nes 0 < 3 , tada trupmena yra teisinga. Suskaidykime jį į paprastas trupmenas.
1.
Išskaidykime trupmenos vardiklį. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti trečiojo laipsnio lygtį:
.
Tarkime, kad jis turi bent vieną visą šaknį. Tada tai yra skaičiaus daliklis 3
(narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 3, -1, -3
.
Pakeiskime x = 1
:
.
Taigi, mes radome vieną šaknį x = 1
. Padalinkite x 3 + 2 x - 3 ant x - 1
:
Taigi,
.
Kvadratinės lygties sprendimas:
x 2 + x + 3 = 0.
Raskite diskriminantą: D = 1 2 - 4 3 = -11. Kadangi D< 0
, tada lygtis neturi realių šaknų. Taigi, mes gavome vardiklio faktorizaciją:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Pakeiskime x = 1
. Tada x - 1 = 0
,
.
Pakeiskime (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
Prilyginkime (2.1)
koeficientai x 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Integruosime.
(2.2)
.
Norėdami apskaičiuoti antrąjį integralą, skaitiklyje pasirenkame vardiklio išvestinę ir sumažiname vardiklį iki kvadratų sumos.
;
;
.
Apskaičiuokite I 2
.
.
Kadangi lygtis x 2 + x + 3 = 0 neturi tikrų šaknų, tada x 2 + x + 3 > 0. Todėl modulio ženklą galima praleisti.
Pristatome į (2.2)
:
.
3 pavyzdys
Apskaičiuokite integralą:
.
Čia po integralo ženklu yra polinomų dalis. Todėl integrandas yra racionali funkcija. Dauginamo laipsnis skaitiklyje yra lygus 3 . Trupmenos vardiklio daugianario laipsnis lygus 4 . Nes 3 < 4 , tada trupmena yra teisinga. Todėl jį galima suskaidyti į paprastas trupmenas. Tačiau norint tai padaryti, vardiklį reikia koeficientuoti.
1.
Išskaidykime trupmenos vardiklį. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti ketvirtojo laipsnio lygtį:
.
Tarkime, kad jis turi bent vieną visą šaknį. Tada tai yra skaičiaus daliklis 2
(narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2
.
Pakeiskime x = -1
:
.
Taigi, mes radome vieną šaknį x = -1
. Padalinti iš x - (-1) = x + 1:
Taigi,
.
Dabar turime išspręsti trečiojo laipsnio lygtį:
.
Jei darysime prielaidą, kad ši lygtis turi sveikąją šaknį, tada ji yra skaičiaus daliklis 2
(narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2
.
Pakeiskime x = -1
:
.
Taigi, mes radome kitą šaknį x = -1
. Galima būtų, kaip ir ankstesniu atveju, padalyti daugianarį iš , tačiau terminus sugrupuosime:
.
Kadangi lygtis x 2 + 2 = 0
neturi realių šaknų, tada gauname vardiklio faktorizaciją:
.
2.
Išskaidykime trupmeną į paprasčiausią formą. Ieškome išplėtimo tokia forma:
.
Atsikratome trupmenos vardiklio, padauginame iš (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Pakeiskime x = -1
. Tada x + 1 = 0
,
.
Atskirkime (3.1)
:
;
.
Pakeiskime x = -1
ir atsižvelgti į tai, kad x + 1 = 0
:
;
;
.
Pakeiskime (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Prilyginkime (3.1)
koeficientai x 3
:
;
1 = B + C;
.
Taigi, mes radome skaidymą į paprastas trupmenas:
.
3.
Integruosime.
.
Trupmena vadinama teisinga, jei didžiausias skaitiklio laipsnis yra mažesnis už didžiausią vardiklio laipsnį. Tinkamos racionalios trupmenos integralas turi tokią formą:
$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Racionaliųjų trupmenų integravimo formulė priklauso nuo polinomo šaknų vardiklyje. Jei daugianomas $ ax^2+bx+c $ turi:
- Tik sudėtingos šaknys, tada iš jos reikia išgauti visą kvadratą: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14 val. ^2) $$
- Skirtingos tikrosios šaknys $ x_1 $ ir $ x_2 $, tada reikia išplėsti integralą ir rasti neapibrėžtuosius koeficientus $ A $ ir $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
- Viena daugybinė šaknis $ x_1 $, tada išplečiame integralą ir randame neapibrėžtus koeficientus $ A $ ir $ B $ pagal šią formulę: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$
Jei trupmena yra negerai, tai yra, didžiausias skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus aukščiausiam vardiklio laipsniui, tada pirmiausia jis turi būti sumažintas iki teisinga suformuoti padalijus daugianarį iš skaitiklio iš daugianario iš vardiklio. Šiuo atveju racionalios trupmenos integravimo formulė yra tokia:
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Sprendimų pavyzdžiai
| 1 pavyzdys |
| Raskite racionaliosios trupmenos integralą: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ |
| Sprendimas |
|
Trupmena yra tinkama, o daugianomas turi tik sudėtingas šaknis. Todėl pasirenkame visą kvadratą: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Sulenkiame visą kvadratą ir dedame po diferencialo ženklu $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Naudodami integralų lentelę gauname: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo! |
| Atsakymas |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ |
| 2 pavyzdys |
| Atlikite racionaliųjų trupmenų integravimą: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| Sprendimas |
|
Išspręskime kvadratinę lygtį: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Užrašome šaknis: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Atsižvelgdami į gautas šaknis, transformuojame integralą: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Atliekame racionaliosios trupmenos išplėtimą: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Sulyginame skaitiklius ir randame koeficientus $ A $ ir $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(atvejai) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(atvejai) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(atvejai) $$ Rastus koeficientus pakeičiame integralu ir išsprendžiame: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
| Atsakymas |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
