Całkowanie funkcji ułamkowo-wymiernej.
Metoda niepewnych współczynników

Kontynuujemy pracę nad całkowaniem ułamków zwykłych. Przyjrzeliśmy się już całkom niektórych typów ułamków na lekcji i tę lekcję w pewnym sensie można uznać za kontynuację. Aby pomyślnie zrozumieć materiał, wymagane są podstawowe umiejętności integracyjne, więc jeśli dopiero zacząłeś uczyć się całek, czyli jesteś początkujący, musisz zacząć od artykułu Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań.

Co dziwne, teraz będziemy zajmować się nie tyle znajdowaniem całek, ile... rozwiązywaniem układów równań liniowych. Pod tym względem pilnie Polecam uczęszczanie na lekcję, mianowicie należy dobrze znać metody podstawieniowe (metodę „szkolną” i metodę dodawania (odejmowania) wyrazów układu po wyrazie).

Co to jest ułamkowa funkcja wymierna? Krótko mówiąc, funkcja ułamkowo-wymierna to ułamek, którego licznik i mianownik zawierają wielomiany lub iloczyny wielomianów. Co więcej, frakcje są bardziej wyrafinowane niż te omówione w artykule Całkowanie niektórych ułamków.

Całkowanie właściwej funkcji ułamkowo-wymiernej

Natychmiast przykład i typowy algorytm rozwiązywania całki funkcji ułamkowo-wymiernej.

Przykład 1

Krok 1. Pierwszą rzeczą, którą ZAWSZE robimy rozwiązując całkę z ułamkowej funkcji wymiernej, jest wyjaśnienie następującego pytania: czy ułamek jest właściwy? Ten krok jest wykonywany ustnie, a teraz wyjaśnię, jak:

Najpierw patrzymy na licznik i dowiadujemy się starszy stopień wielomian:

Potęga wiodąca licznika wynosi dwa.

Teraz patrzymy na mianownik i dowiadujemy się starszy stopień mianownik. Oczywistym sposobem jest otwarcie nawiasów i wprowadzenie podobnych terminów, ale można to zrobić prościej, w każdy znajdź najwyższy stopień w nawiasach

i pomnóż mentalnie: - zatem najwyższy stopień mianownika jest równy trzy. Jest całkiem oczywiste, że jeśli faktycznie otworzymy nawiasy, nie uzyskamy stopnia większego niż trzy.

Wniosek: Główny stopień licznika RYGORYSTYCZNIE jest mniejsza od największej potęgi mianownika, co oznacza, że ułamek jest właściwy.

Jeśli w tym przykładzie licznik zawierał wielomian 3, 4, 5 itd. stopni, wówczas ułamek będzie wynosił zło.

Teraz rozważymy tylko prawidłowe ułamkowe funkcje wymierne. Przypadek, gdy stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, zostanie omówiony na końcu lekcji.

Krok 2. Rozłóżmy mianownik na czynniki. Spójrzmy na nasz mianownik:

Ogólnie rzecz biorąc, jest to już wypadkowa czynników, niemniej jednak zadajemy sobie pytanie: czy można rozszerzyć coś jeszcze? Przedmiotem tortur niewątpliwie będzie trójmian kwadratowy. Rozwiązanie równania kwadratowego:

Dyskryminator jest większy od zera, co oznacza, że trójmian naprawdę można rozłożyć na czynniki:

Ogólna zasada: WSZYSTKO, co MOŻNA rozłożyć na mianownik – uwzględnij to

Zacznijmy formułować rozwiązanie:

Krok 3. Metodą współczynników nieoznaczonych rozbudowujemy całkę na sumę ułamków prostych (elementarnych). Teraz będzie jaśniej.

Spójrzmy na naszą funkcję całkową:

I wiesz, jakoś intuicyjnie pojawia się myśl, że fajnie byłoby zamienić naszą dużą frakcję na kilka małych. Na przykład tak:

Powstaje pytanie, czy w ogóle da się to zrobić? Odetchnijmy z ulgą, odpowiadające twierdzeniu analizy matematycznej stwierdza – JEST MOŻLIWE. Taki rozkład istnieje i jest wyjątkowy.

Jest tylko jeden haczyk – szanse są Do widzenia Nie wiemy, stąd nazwa – metoda współczynników nieokreślonych.

Jak się domyślacie, kolejne ruchy ciała właśnie tak wyglądają, nie chichoczcie! będzie miało na celu po prostu ich ROZPOZNANIE - aby dowiedzieć się, do czego są równe.

Uważaj, wyjaśnię szczegółowo tylko raz!

Zacznijmy więc tańczyć od:

Po lewej stronie sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika:

Teraz możemy bezpiecznie pozbyć się mianowników (ponieważ są takie same):

Po lewej stronie otwieramy nawiasy, ale na razie nie dotykamy nieznanych współczynników:

Jednocześnie powtarzamy szkolną regułę mnożenia wielomianów. Kiedy byłem nauczycielem, nauczyłem się wymawiać tę zasadę z powagą: Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu.

Z punktu widzenia jasnego wyjaśnienia lepiej jest umieścić współczynniki w nawiasach (chociaż osobiście nigdy tego nie robię, aby zaoszczędzić czas):

Tworzymy układ równań liniowych.
Najpierw szukamy wyższych stopni naukowych:

I zapisujemy odpowiednie współczynniki do pierwszego równania układu:

Zapamiętaj dobrze następujący punkt. Co by się stało, gdyby po prawej stronie w ogóle nie było s? Powiedzmy, czy wyglądałoby to po prostu bez żadnego kwadratu? W takim przypadku w równaniu układu należałoby postawić zero po prawej stronie: . Dlaczego zero? Ale ponieważ po prawej stronie zawsze możesz przypisać temu samemu kwadratowi zero: Jeśli po prawej stronie nie ma zmiennych i/lub wyrazu wolnego, to wstawiamy zera po prawej stronie odpowiednich równań układu.

W drugim równaniu układu zapisujemy odpowiednie współczynniki:

I wreszcie woda mineralna, wybieramy bezpłatnych członków.

Ech... w pewnym sensie żartowałem. Żarty na bok – matematyka to poważna nauka. W grupie naszego instytutu nikt się nie śmiał, gdy adiunkt powiedział, że rozrzuci wyrazy wzdłuż osi liczbowej i wybierze te największe. Bądźmy poważni. Chociaż... kto dożyje końca tej lekcji, nadal będzie się uśmiechał cicho.

System jest gotowy:

Rozwiązujemy układ:

(1) Z pierwszego równania wyrażamy je i podstawiamy do 2. i 3. równania układu. W rzeczywistości można było wyrazić (lub inną literę) z innego równania, ale w tym przypadku korzystne jest wyrażenie tego z pierwszego równania, ponieważ tam najmniejsze szanse.

(2) Podobne wyrazy przedstawiamy w drugim i trzecim równaniu.

(3) Dodajemy drugie i trzecie równanie wyraz po wyrazie, otrzymując równość , z której wynika, że

(4) Podstawiamy do drugiego (lub trzeciego) równania i skąd to znajdujemy

(5) Zastąp i do pierwszego równania, otrzymując .

Jeśli masz trudności ze sposobami rozwiązania układu, przećwicz je na zajęciach. Jak rozwiązać układ równań liniowych?

Po rozwiązaniu układu zawsze warto sprawdzić - podstawić znalezione wartości każdy równanie układu, w efekcie wszystko powinno się „zbiegać”.

Prawie na miejscu. Znaleziono współczynniki i:

Gotowa praca powinna wyglądać mniej więcej tak:

Jak widać, główną trudnością zadania było ułożenie (poprawne!) i rozwiązanie (poprawne!) układu równań liniowych. A na ostatnim etapie wszystko nie jest takie trudne: wykorzystujemy właściwości liniowości całki nieoznaczonej i całkujemy. Należy pamiętać, że pod każdą z trzech całek mamy „wolną” funkcję złożoną, o cechach jej integracji mówiłem na lekcji Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

Sprawdź: Odróżnij odpowiedź:

Otrzymano pierwotną funkcję całki, co oznacza, że całka została znaleziona poprawnie.
Podczas weryfikacji musieliśmy sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika i nie jest to przypadkowe. Metoda współczynników nieokreślonych i sprowadzenie wyrażenia do wspólnego mianownika to działania wzajemnie odwrotne.

Przykład 2

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Wróćmy do ułamka z pierwszego przykładu: . Łatwo zauważyć, że w mianowniku wszystkie czynniki są RÓŻNE. Powstaje pytanie, co zrobić, jeśli podany zostanie np. ułamek: ? Tutaj mamy stopnie w mianowniku lub, matematycznie, wielokrotności. Ponadto istnieje trójmian kwadratowy, którego nie można rozłożyć na czynniki (łatwo sprawdzić, że dyskryminator równania jest ujemna, więc trójmianu nie można rozłożyć na czynniki). Co robić? Rozwinięcie na sumę ułamków elementarnych będzie wyglądać mniej więcej tak z nieznanymi współczynnikami na górze czy czymś innym?

Przykład 3

Przedstaw funkcję

Krok 1. Sprawdzamy, czy mamy ułamek właściwy
Główny licznik: 2
Najwyższy stopień mianownika: 8
, co oznacza, że ułamek jest poprawny.

Krok 2. Czy można coś uwzględnić w mianowniku? Oczywiście, że nie, wszystko jest już ustalone. Trójmianu kwadratowego nie można rozszerzyć na iloczyn z powodów podanych powyżej. Kaptur. Mniej pracy.

Krok 3. Wyobraźmy sobie funkcję ułamkowo-wymierną jako sumę ułamków elementarnych.
W tym przypadku rozwinięcie ma następującą postać:

Spójrzmy na nasz mianownik:
Rozkładając funkcję ułamkowo-wymierną na sumę ułamków elementarnych, można wyróżnić trzy podstawowe punkty:

1) Jeśli w mianowniku znajduje się „samotny” współczynnik do pierwszej potęgi (w naszym przypadku), to na górze stawiamy współczynnik nieokreślony (w naszym przypadku). Przykłady nr 1, 2 składały się wyłącznie z takich „samotnych” czynników.

2) Jeśli mianownik ma wiele mnożnik, musisz go rozłożyć w ten sposób:
- to znaczy przejdź kolejno przez wszystkie stopnie „X” od pierwszego do n-tego stopnia. W naszym przykładzie mamy do czynienia z dwoma wieloma czynnikami: i , przyjrzyj się jeszcze raz rozwinięciu, które podałem i upewnij się, że są one rozwinięte dokładnie zgodnie z tą zasadą.

3) Jeżeli w mianowniku znajduje się nierozkładalny wielomian drugiego stopnia (w naszym przypadku), to przy dekompozycji w liczniku należy zapisać funkcję liniową o nieokreślonych współczynnikach (w naszym przypadku o nieokreślonych współczynnikach i ).

Właściwie jest jeszcze czwarty przypadek, ale będę o nim milczeć, ponieważ w praktyce jest to niezwykle rzadkie.

Przykład 4

Przedstaw funkcję jako suma ułamków elementarnych o nieznanych współczynnikach.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Ściśle przestrzegaj algorytmu!

Jeśli rozumiesz zasady, według których należy rozszerzyć funkcję ułamkowo-wymierną na sumę, możesz przeżuć prawie każdą całkę rozważanego typu.

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Krok 1. Oczywiście ułamek jest poprawny:

Krok 2. Czy można coś uwzględnić w mianowniku? Móc. Oto suma kostek . Rozłóż mianownik, korzystając ze skróconego wzoru na mnożenie

Krok 3. Stosując metodę współczynników nieokreślonych, całkę rozwijamy na sumę ułamków elementarnych:

Należy pamiętać, że wielomianu nie można rozłożyć na czynniki (sprawdź, czy dyskryminator jest ujemny), dlatego na górze umieszczamy funkcję liniową o nieznanych współczynnikach, a nie tylko jedną literę.

Sprowadzamy ułamek do wspólnego mianownika:

Skomponujmy i rozwiążmy system:

(1) Wyrażamy z pierwszego równania i podstawiamy je do drugiego równania układu (jest to najbardziej racjonalny sposób).

(2) Podobne wyrazy przedstawiamy w drugim równaniu.

(3) Dodajemy drugie i trzecie równanie układu wyraz po wyrazie.

Wszystkie dalsze obliczenia są w zasadzie ustne, ponieważ system jest prosty.

(1) Zapisujemy sumę ułamków zgodnie ze znalezionymi współczynnikami.

(2) Korzystamy z własności liniowości całki nieoznaczonej. Co się stało w drugiej całce? Możesz zapoznać się z tą metodą w ostatnim akapicie lekcji. Całkowanie niektórych ułamków.

(3) Po raz kolejny korzystamy z własności liniowości. W trzeciej całce zaczynamy izolować cały kwadrat (przedostatni akapit lekcji Całkowanie niektórych ułamków).

(4) Bierzemy drugą całkę, w trzeciej wybieramy pełny kwadrat.

(5) Weźmy trzecią całkę. Gotowy.

Podano wyprowadzenie wzorów do obliczania całek najprostszych, elementarnych ułamków czterech typów. Bardziej złożone całki z ułamków czwartego typu oblicza się za pomocą wzoru redukcyjnego. Rozważany jest przykład całkowania ułamka czwartego typu.

Treść

Zobacz też: Tabela całek nieoznaczonych
Metody obliczania całek nieoznaczonych

Jak wiadomo, każdą funkcję wymierną jakiejś zmiennej x można rozłożyć na wielomian i najprostsze, elementarne ułamki. Istnieją cztery rodzaje ułamków prostych:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Tutaj a, A, B, b, c są liczbami rzeczywistymi. Równanie x 2 + bx + do = 0 nie ma prawdziwych korzeni.

Całkowanie ułamków dwóch pierwszych typów

Całkowanie dwóch pierwszych ułamków odbywa się za pomocą następujących wzorów z tabeli całek:
,
, n ≠ - 1 .

1. Całkowanie ułamków pierwszego typu

Ułamek pierwszego typu sprowadza się do całki tabelarycznej przez podstawienie t = x - a:
.

2. Całkowanie ułamków drugiego typu

Ułamek drugiego typu redukuje się do całki tabelarycznej przez to samo podstawienie t = x - a:

.

3. Całkowanie ułamków trzeciego typu

Rozważmy całkę ułamka trzeciego typu:
.
Obliczymy to w dwóch krokach.

3.1. Krok 1. Wybierz pochodną mianownika w liczniku

Wyodrębnijmy pochodną mianownika w liczniku ułamka. Oznaczmy: u = x 2 + bx + do. Rozróżnijmy: u′ = 2 x + b. Następnie
;
.
Ale
.
Pominęliśmy znak modułu, ponieważ .

Następnie:
,
Gdzie
.

3.2. Krok 2. Oblicz całkę dla A = 0, B = 1

Teraz obliczamy pozostałą całkę:
.

Doprowadzamy mianownik ułamka do sumy kwadratów:
,
Gdzie .
Uważamy, że równanie x 2 + bx + do = 0 nie ma korzeni. Dlatego .

Dokonajmy zamiany
,
.
.

Więc,
.

W ten sposób znaleźliśmy całkę ułamka trzeciego typu:

,
Gdzie .

4. Całkowanie ułamków czwartego typu

Na koniec rozważ całkę ułamka czwartego typu:
.
Obliczamy to w trzech krokach.

4.1) Wybierz pochodną mianownika w liczniku:
.

4.2) Oblicz całkę
.

4.3) Oblicz całki
,
korzystając ze wzoru redukcyjnego:
.

4.1. Krok 1. Wyodrębnienie pochodnej mianownika w liczniku

Wyodrębnijmy pochodną mianownika w liczniku, tak jak to zrobiliśmy w . Oznaczmy u = x 2 + bx + do. Rozróżnijmy: u′ = 2 x + b. Następnie
.

.
Ale
.

Wreszcie mamy:
.

4.2. Krok 2. Oblicz całkę przy n = 1

Oblicz całkę
.
Jego obliczenie opisano w .

4.3. Krok 3. Wyprowadzenie wzoru redukcyjnego

Rozważmy teraz całkę
.

Redukujemy trójmian kwadratowy do sumy kwadratów:
.
Tutaj .
Dokonajmy zamiany.
.
.

Wykonujemy przekształcenia i integrujemy w częściach.

.

Pomnożyć przez 2(n - 1):
.
Wróćmy do x i I n.
,
;
;
.

Zatem dla I n otrzymaliśmy wzór redukcyjny:
.
Konsekwentnie stosując ten wzór, redukujemy całkę I n do I 1 .

Przykład

Oblicz całkę

1. Wyodrębnijmy pochodną mianownika w liczniku.
;
;

.
Tutaj
.

2. Obliczamy całkę z najprostszego ułamka.

.

3. Stosujemy wzór redukcyjny:

dla całki.
W naszym przypadku b = 1 , c = 1 , 4 do - b 2 = 3. Zapisujemy ten wzór dla n = 2 i n = 3 :
;
.
Stąd

.

Wreszcie mamy:

.
Znajdź współczynnik dla .
.

Zobacz też:

Problem znalezienia całki nieoznaczonej funkcji ułamkowo wymiernej sprowadza się do całkowania ułamków prostych. Dlatego zalecamy najpierw zapoznać się z sekcją teorii rozkładu ułamków na najprostsze.

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Rozwiązanie.

Ponieważ stopień licznika całki jest równy stopniowi mianownika, najpierw wybieramy całą część, dzieląc wielomian przez wielomian za pomocą kolumny:

Dlatego, .

Rozkład powstałego właściwego ułamka wymiernego na prostsze ułamki ma postać . Stąd,

Wynikowa całka jest całką najprostszego ułamka trzeciego typu. Patrząc trochę w przyszłość, zauważamy, że można to wziąć pod uwagę pod znakiem różniczkowym.

Ponieważ , To . Dlatego

Stąd,

Przejdźmy teraz do opisu metod całkowania ułamków prostych każdego z czterech typów.

Całkowanie ułamków prostych pierwszego typu

Metoda integracji bezpośredniej jest idealna do rozwiązania tego problemu:

Przykład.

Znajdź zbiór funkcji pierwotnych

Rozwiązanie.

Znajdźmy całkę nieoznaczoną, korzystając z właściwości funkcji pierwotnej, tabeli funkcji pierwotnych i reguły całkowania.

Na górze strony

Całkowanie ułamków prostych drugiego typu

Metoda integracji bezpośredniej jest również odpowiednia do rozwiązania tego problemu:

Przykład.

Rozwiązanie.

Na górze strony

Całkowanie ułamków prostych trzeciego typu

Najpierw przedstawimy całkę nieoznaczoną jako suma:

Pierwszą całkę uwzględniamy pod znakiem różniczkowym:

Dlatego,

Przekształćmy mianownik powstałej całki:

Stąd,

Wzór na całkowanie ułamków prostych trzeciego typu ma postać:

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną .

Rozwiązanie.

Korzystamy z otrzymanego wzoru:

Gdybyśmy nie mieli tej formuły, co byśmy zrobili:

Na górze strony

Całkowanie ułamków prostych czwartego typu

Pierwszym krokiem jest umieszczenie go pod znakiem różniczkowym:

Drugim krokiem jest znalezienie całki postaci . Całki tego typu wyznacza się za pomocą wzorów na powtarzanie. (Zobacz sekcję dotyczącą integracji przy użyciu formuł powtarzania.) W naszym przypadku odpowiednia jest następująca formuła powtarzalna:

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie.

W przypadku tego typu całki stosujemy metodę podstawienia. Wprowadźmy nową zmienną (patrz rozdział o całkowaniu funkcji niewymiernych):

Po podstawieniu mamy:

Doszliśmy do znalezienia całki ułamka czwartego typu. W naszym przypadku mamy współczynniki M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 I n=3. Stosujemy wzór rekurencyjny:

Po zamianie odwrotnej otrzymujemy wynik:

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

1.Całki postaci

oblicza się poprzez przekształcenie iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę za pomocą wzorów:

Na przykład 2. Całki postaci

, Gdzie M Lub N– nieparzysta liczba dodatnia, obliczana poprzez podciągnięcie jej pod znak różniczkowy. Na przykład,

3.Całki postaci

, Gdzie M I N–liczby parzyste dodatnie obliczane są przy użyciu wzorów na zmniejszanie stopnia: np.

4. Całki

gdzie są obliczane poprzez zmianę zmiennej: lub Na przykład

5. Całki postaci sprowadzamy do całek ułamków wymiernych, stosując wówczas uniwersalne podstawienie trygonometryczne (ponieważ

=[po podzieleniu licznika i mianownika przez ]= ;

Na przykład,

Należy zaznaczyć, że stosowanie podstawienia uniwersalnego często prowadzi do uciążliwych obliczeń.

§5. Integracja najprostszych irracjonalności

Rozważmy metody integracji najprostszych typów irracjonalności. 1.

Funkcje tego typu integruje się w taki sam sposób, jak najprostsze ułamki wymierne trzeciego typu: w mianowniku oddziela się pełny kwadrat od trójmianu kwadratowego i wprowadza się nową zmienną. Przykład.

(pod znakiem całki – wymierna funkcja argumentów). Całki tego typu oblicza się metodą podstawienia. W szczególności w całkach postaci, które oznaczamy . Jeśli podcałka zawiera pierwiastki różnych stopni:

, a następnie wskaż gdzie N– najmniejsza wspólna wielokrotność liczb m, k. Przykład 1.

Przykład 2.

-niewłaściwy ułamek wymierny, wybierz całą część:

–

3.Całki postaci oblicza się za pomocą podstawień trygonometrycznych:

45 Całka oznaczona

Określona całka- addytywny, monotoniczny funkcjonał znormalizowany zdefiniowany na zbiorze par, którego pierwsza składowa jest funkcją całkowalną lub funkcjonałem, a druga jest dziedziną w zbiorze określającym tę funkcję (funkcjonalnością).

Definicja

Niech to zostanie określone na . Podzielmy go na części z kilkoma dowolnymi punktami. Następnie mówią, że odcinek został podzielony, a następnie wybierają dowolny punkt , ,

Całka oznaczona funkcji na przedziale jest granicą sum całkowitych, gdy stopień podziału dąży do zera, jeżeli istnieje niezależnie od podziału i wyboru punktów, czyli

Jeżeli istnieje określona granica, to mówimy, że funkcja jest całkowalna Riemanna.

Oznaczenia

· - dolna granica.

· - Górna granica.

· - funkcja całkowa.

· - długość odcinka częściowego.

· - suma całkowita funkcji na odpowiednim przegrodzie.

· - maksymalna długość odcinka częściowego.

Nieruchomości

Jeśli funkcja jest całkowalna Riemanna na , to jest na niej ograniczona.

Znaczenie geometryczne

Całka oznaczona jako obszar figury

Całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni figury ograniczonej osią odciętych, liniami prostymi i wykresem funkcji.

Twierdzenie Newtona-Leibniza

[edytować]

(przekierowano z „Wzór Newtona-Leibniza”)

Wzór Newtona-Leibniza Lub główne twierdzenie analizy podaje związek między dwiema operacjami: przyjęciem całki oznaczonej i obliczeniem funkcji pierwotnej.

Dowód

Niech funkcja całkowalna będzie dana na przedziale. Zacznijmy od zauważenia tego

to znaczy nie ma znaczenia, która litera (lub) znajduje się pod znakiem całki oznaczonej po segmencie.

Ustalmy dowolną wartość i zdefiniujmy nową funkcję . Jest ona zdefiniowana dla wszystkich wartości , ponieważ wiemy, że jeśli istnieje całka z on , to istnieje również całka z on , gdzie . Przypomnijmy, że rozważamy z definicji

(1)

Zauważ, że

Pokażmy, że jest to ciągłość na przedziale . W rzeczywistości niech ; Następnie

a jeśli, to

Zatem jest ciągły niezależnie od tego, czy ma nieciągłości, czy nie; ważne jest, aby można było go zintegrować z platformą .

Rysunek przedstawia wykres. Pole zmiennej to . Jego przyrost jest równy obszarowi figury , który ze względu na swoją granicę oczywiście dąży do zera, niezależnie od tego, czy jest to punkt ciągłości, czy nieciągłości, np. punkt.

Niech teraz funkcja będzie nie tylko całkowalna na , ale ciągła w punkcie . Udowodnijmy, że wtedy pochodna w tym punkcie jest równa

(2)

Właściwie dla wskazanego punktu

(1) , (3)

Ustawiamy , i ponieważ jest ono stałe względem ,TO . Ponadto, ze względu na ciągłość w punkcie, dla każdego można określić tak, że dla .

co dowodzi, że lewa strona tej nierówności to o(1) dla .

Przejście do granicy w (3) w pokazuje istnienie pochodnej w punkcie i zasadność równości (2). Kiedy mówimy tutaj odpowiednio o prawej i lewej pochodnej.

Jeśli funkcja jest ciągła na , to w oparciu o to, co zostało udowodnione powyżej, odpowiednia funkcja

(4)

ma pochodną równą . Dlatego funkcja jest funkcją pierwotną dla .

Wniosek ten jest czasami nazywany twierdzeniem o całce o zmiennej górnej granicy lub twierdzeniem Barrowa.

Udowodniliśmy, że dowolna funkcja ciągła na przedziale ma funkcję pierwotną na tym przedziale określoną przez równość (4). Dowodzi to istnienia funkcji pierwotnej dla dowolnej funkcji ciągłej na przedziale.

Niech teraz istnieje dowolna funkcja pierwotna funkcji na . Wiemy, że , gdzie jest pewna stała. Zakładając tę równość i biorąc pod uwagę, że , otrzymujemy .

Zatem, . Ale

Niewłaściwa integralność

[edytować]

Materiał z Wikipedii – wolnej encyklopedii

Określona całka zwany nie twoje, jeżeli spełniony jest co najmniej jeden z poniższych warunków:

· Limit a lub b (lub oba limity) są nieskończone;

· Funkcja f(x) ma jeden lub więcej punktów przerwania wewnątrz segmentu.

[edytuj] Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju

. Następnie:

1. Jeśli i nazywa się całkę . W tym przypadku nazywa się zbieżnym.

lub po prostu rozbieżne.

Niech będzie zdefiniowany i ciągły na zbiorze od i . Następnie:

1. Jeśli , wówczas stosowana jest notacja i nazywa się całkę Całka niewłaściwa Riemanna pierwszego rodzaju. W tym przypadku nazywa się zbieżnym.

2. Jeśli nie ma skończonego ( lub ), wówczas całka jest rozbieżna lub po prostu rozbieżne.

Jeżeli funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej osi liczbowej, to może istnieć całka niewłaściwa tej funkcji z dwoma nieskończonymi granicami całkowania, określonymi wzorem:

, gdzie c jest dowolną liczbą.

[edytować] Znaczenie geometryczne całki niewłaściwej pierwszego rodzaju

Całka niewłaściwa wyraża obszar nieskończenie długiego zakrzywionego trapezu.

[edytować] Przykłady

[edytuj] Całki niewłaściwe drugiego rodzaju

Niech to będzie określone na , cierpi na nieskończoną nieciągłość w punkcie x=a i . Następnie:

1. Jeśli , wówczas stosowana jest notacja i nazywa się całkę

nazywany rozbieżnym do lub po prostu rozbieżne.

Niech to będzie określone na , cierpi na nieskończoną nieciągłość w x=b i . Następnie:

1. Jeśli , wówczas stosowana jest notacja i nazywa się całkę całka niewłaściwa Riemanna drugiego rodzaju. W tym przypadku całkę nazywamy zbieżną.

2. Jeśli lub , to oznaczenie pozostaje takie samo, i nazywany rozbieżnym do lub po prostu rozbieżne.

Jeżeli funkcja ma nieciągłość w wewnętrznym punkcie odcinka , to całkę niewłaściwą drugiego rodzaju wyznacza się ze wzoru:

[edytować] Znaczenie geometryczne całek niewłaściwych drugiego rodzaju

Całka niewłaściwa wyraża obszar nieskończenie wysokiego zakrzywionego trapezu

[edytować] Przykład

[edytuj] Odosobniony przypadek

Niech funkcja będzie zdefiniowana na całej osi liczbowej i będzie miała nieciągłość w punktach.

Wtedy znajdziemy całkę niewłaściwą

[edytuj] Kryterium Cauchy’ego

1. Niech będzie zdefiniowane na zbiorze od i .

Następnie zbiega się

2. Niech będzie zdefiniowany na i .

Następnie zbiega się

[edytuj]Zbieżność absolutna

Całka zwany absolutnie zbieżny, Jeśli zbiega się.
Jeśli całka jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna.

[edytuj] Zbieżność warunkowa

Całka nazywa się warunkowo zbieżny, jeśli jest zbieżny, ale rozbieżny.

48 12. Całki niewłaściwe.

Rozważając całki oznaczone założyliśmy, że obszar całkowania jest ograniczony (a dokładniej jest to odcinek [ A ,B ]); Aby istniała całka oznaczona, całka musi być ograniczona przez [ A ,B ] Całki oznaczone będziemy nazywać, dla których spełnione są oba te warunki (ograniczenie zarówno dziedziny całkowania, jak i całki) własny; całki, dla których te wymagania są naruszone (tj. całka lub dziedzina całkowania jest nieograniczona, lub jedno i drugie) nie twoje. W tej części zajmiemy się całkami niewłaściwymi.

12.1. Całki niewłaściwe po nieograniczonym przedziale (całki niewłaściwe pierwszego rodzaju).

12.1.1. Definicja całki niewłaściwej po nieskończonym przedziale. Przykłady.
12.1.2. Wzór Newtona-Leibniza na całkę niewłaściwą.
12.1.3. Kryteria porównania dla funkcji nieujemnych.

12.1.3.1. Znak porównania.
12.1.3.2. Znak porównania w skrajnej formie.

12.1.4. Zbieżność absolutna całek niewłaściwych w nieskończonym przedziale.
12.1.5. Testy zbieżności Abela i Dirichleta.

12.2. Całki niewłaściwe funkcji nieograniczonych (całki niewłaściwe drugiego rodzaju).

12.2.1. Definicja całki niewłaściwej funkcji nieograniczonej.

12.2.1.1. Osobliwość znajduje się na lewym końcu przedziału całkowania.
12.2.1.2. Zastosowanie wzoru Newtona-Leibniza.
12.2.1.3. Osobliwość na prawym końcu przedziału całkowania.
12.2.1.4. Osobliwość w wewnętrznym punkcie przedziału całkowania.
12.2.1.5. Kilka funkcji w przedziale całkowania.

12.2.2. Kryteria porównania dla funkcji nieujemnych.

12.2.2.1. Znak porównania.
12.2.2.2. Znak porównania w skrajnej formie.

12.2.3. Zbieżność bezwzględna i warunkowa całek niewłaściwych funkcji nieciągłych.
12.2.4. Testy zbieżności Abela i Dirichleta.

12.1. Całki niewłaściwe po nieograniczonym przedziale

(całki niewłaściwe pierwszego rodzaju).

12.1.1. Definicja całki niewłaściwej po nieskończonym przedziale. Niech funkcja F (X ) jest zdefiniowany na półosi i jest całkowalny po dowolnym przedziale [ z, implikując w każdym z tych przypadków istnienie i skończoność odpowiednich granic. Teraz rozwiązania przykładów wyglądają prościej: .

12.1.3. Kryteria porównania dla funkcji nieujemnych. W tej sekcji założymy, że wszystkie całki są nieujemne w całym obszarze definicji. Do tej pory zbieżność całki wyznaczaliśmy obliczając ją: jeśli istnieje skończona granica funkcji pierwotnej z odpowiednią tendencją ( lub ), to całka jest zbieżna, w przeciwnym razie jest rozbieżna. Przy rozwiązywaniu problemów praktycznych należy jednak najpierw ustalić sam fakt zbieżności, a dopiero potem obliczyć całkę (poza tym funkcja pierwotna często nie jest wyrażana w postaci funkcji elementarnych). Sformułujmy i udowodnijmy szereg twierdzeń, które pozwalają nam ustalić zbieżność i rozbieżność całek niewłaściwych funkcji nieujemnych bez ich obliczania.
12.1.3.1. Znak porównania. Niech funkcje F (X ) I G (X ) całka

Przykład.

Rozwiązanie.

Ponieważ stopień licznika całki jest równy stopniowi mianownika, najpierw wybieramy całą część, dzieląc wielomian przez wielomian za pomocą kolumny:

Dlatego, .

Rozkład powstałego właściwego ułamka wymiernego na prostsze ułamki ma postać . Stąd,

Wynikowa całka jest całką najprostszego ułamka trzeciego typu. Patrząc trochę w przyszłość, zauważamy, że można to wziąć pod uwagę pod znakiem różniczkowym.

Ponieważ , To . Dlatego

Stąd,

Przejdźmy teraz do opisu metod całkowania ułamków prostych każdego z czterech typów.

Całkowanie ułamków prostych pierwszego typu

Metoda integracji bezpośredniej jest idealna do rozwiązania tego problemu:

Przykład.

Rozwiązanie.

Znajdźmy całkę nieoznaczoną, korzystając z właściwości funkcji pierwotnej, tabeli funkcji pierwotnych i reguły całkowania.

Na górze strony

Całkowanie ułamków prostych drugiego typu

Metoda integracji bezpośredniej jest również odpowiednia do rozwiązania tego problemu:

Przykład.

Rozwiązanie.

Na górze strony

Całkowanie ułamków prostych trzeciego typu

Najpierw przedstawimy całkę nieoznaczoną jako suma:

Pierwszą całkę uwzględniamy pod znakiem różniczkowym:

Dlatego,

Przekształćmy mianownik powstałej całki:

Stąd,

Wzór na całkowanie ułamków prostych trzeciego typu ma postać:

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną .

Rozwiązanie.

Korzystamy z otrzymanego wzoru:

Gdybyśmy nie mieli tej formuły, co byśmy zrobili:

9. Całkowanie ułamków prostych czwartego typu

Pierwszym krokiem jest umieszczenie go pod znakiem różniczkowym:

Drugim krokiem jest znalezienie całki postaci . Całki tego typu wyznacza się za pomocą wzorów na powtarzanie. (Zobacz partycjonowanie przy użyciu formuł powtarzania). W naszym przypadku odpowiednia jest następująca formuła powtarzalna:

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie.

W przypadku tego typu całki stosujemy metodę podstawienia. Wprowadźmy nową zmienną (patrz rozdział o całkowaniu funkcji niewymiernych):

Po podstawieniu mamy:

Doszliśmy do znalezienia całki ułamka czwartego typu. W naszym przypadku mamy współczynniki M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 I n=3. Stosujemy wzór rekurencyjny:

Po zamianie odwrotnej otrzymujemy wynik:

10. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Wiele problemów sprowadza się do znalezienia całek funkcji przestępnych zawierających funkcje trygonometryczne. W tym artykule zgrupujemy najczęstsze typy całek i na przykładach rozważymy metody ich całkowania.

Zacznijmy od całkowania sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Z tabeli funkcji pierwotnych od razu to zauważamy I .

Metoda subsumowania znaku różniczkowego pozwala obliczyć całki nieoznaczone funkcji stycznej i cotangens:

Na górze strony

Spójrzmy na pierwszy przypadek, drugi jest absolutnie podobny.

Skorzystajmy z metody podstawienia:

Doszliśmy do problemu całkowania funkcji niewymiernej. Metoda podstawienia pomoże nam również tutaj:

Pozostaje tylko przeprowadzić odwrotną wymianę i t = sinx:

Na górze strony

Więcej o zasadach ich wyszukiwania możesz dowiedzieć się w sekcji Integracja za pomocą formuł rekurencyjnych. Jeśli przestudiujesz wyprowadzenie tych wzorów, możesz łatwo przyjąć całki postaci , Gdzie M I N- liczby całkowite.

Na górze strony

Najwięcej kreatywności występuje, gdy podcałka zawiera funkcje trygonometryczne z różnymi argumentami.

Tutaj na ratunek przychodzą podstawowe wzory trygonometrii. Zapisz je więc na osobnej kartce papieru i trzymaj przed oczami.

Przykład.

Znajdź zbiór funkcji pierwotnych .

Rozwiązanie.

Podają wzory redukcyjne I .

Dlatego

Mianownik jest wzorem na sinus sumy, zatem:

Dochodzimy do sumy trzech całek.

Na górze strony

Całki zawierające funkcje trygonometryczne można czasami sprowadzić do ułamkowych wyrażeń wymiernych przy użyciu standardowego podstawienia trygonometrycznego.

Zapiszmy wzory trygonometryczne wyrażające sinus, cosinus, tangens poprzez tangens argumentu połowy:

Podczas całkowania będziemy potrzebować także wyrażenia różniczkowego dx poprzez tangens połówki kąta.

Ponieważ , To

To jest gdzie.

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną .

Rozwiązanie.

Użyjmy standardowego podstawienia trygonometrycznego:

Zatem, .

Rozbicie całki na ułamki proste prowadzi nas do sumy dwóch całek:

Pozostaje tylko przeprowadzić odwrotną wymianę:

11. Formuły powtarzania to formuły wyrażające N Piąty członek sekwencji poprzez poprzednie elementy. Są one często używane przy znajdowaniu całek.

Nie naszym celem jest wyszczególnienie wszystkich wzorów na rekurencję, ale chcemy podać zasadę ich wyprowadzenia. Wyprowadzenie tych wzorów opiera się na przekształceniu całki i zastosowaniu metody całkowania przez części.

Na przykład całka nieoznaczona można obliczyć korzystając ze wzoru na powtarzalność .

Wyprowadzenie wzoru:

Korzystając ze wzorów trygonometrycznych możemy napisać:

Otrzymaną całkę znajdujemy metodą całkowania przez części. Jako funkcja ty(x) Weźmy cosx, stąd, .

Dlatego,

Wracamy do całki pierwotnej:

To jest,

To właśnie trzeba było pokazać.

W podobny sposób wyprowadzane są następujące wzory na powtarzanie:

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Rozwiązanie.

Używamy powtarzającej się formuły z czwartego akapitu (w naszym przykładzie n=3):

Ponieważ z tabeli funkcji pierwotnych mamy , To

Wszystko powyższe w poprzednich akapitach pozwala nam sformułować podstawowe zasady całkowania ułamków wymiernych.

1. Jeżeli ułamek wymierny jest niewłaściwy, to jest on przedstawiany jako suma wielomianu i właściwego ułamka wymiernego (patrz akapit 2).

Sprowadza to całkowanie niewłaściwego ułamka wymiernego do całkowania wielomianu i właściwego ułamka wymiernego.

2. Rozłóż mianownik ułamka właściwego.

3. Właściwy ułamek wymierny rozkłada się na sumę ułamków prostych. Sprowadza to całkowanie właściwego ułamka wymiernego do całkowania ułamków prostych.

Spójrzmy na przykłady.

Przykład 1. Znajdź .

Rozwiązanie. Poniżej całki znajduje się niewłaściwy ułamek wymierny. Wybierając całą część, otrzymujemy

Stąd,

Zauważając to, rozwińmy ułamek wymierny właściwy

na ułamki proste:

(patrz wzór (18)). Dlatego