Zdecydowane przykłady ułamków całkowitych. Integracja - MT1205: Analiza matematyczna dla ekonomistów - Informatyka Biznesowa

Problem znalezienia całki nieoznaczonej funkcji ułamkowo wymiernej sprowadza się do całkowania ułamków prostych. Dlatego zalecamy najpierw zapoznać się z sekcją teorii rozkładu ułamków na najprostsze.

Przykład.

Rozwiązanie.

Ponieważ stopień licznika całki jest równy stopniowi mianownika, najpierw wybieramy całą część, dzieląc wielomian przez wielomian za pomocą kolumny:

Dlatego, .

Rozkład powstałego właściwego ułamka wymiernego na prostsze ułamki ma postać . Stąd,

Wynikowa całka jest całką najprostszego ułamka trzeciego typu. Patrząc trochę w przyszłość, zauważamy, że można to wziąć pod uwagę pod znakiem różniczkowym.

Ponieważ , To . Dlatego

Stąd,

Przejdźmy teraz do opisu metod całkowania ułamków prostych każdego z czterech typów.

Całkowanie ułamków prostych pierwszego typu

Metoda integracji bezpośredniej jest idealna do rozwiązania tego problemu:

Przykład.

Rozwiązanie.

Znajdźmy całkę nieoznaczoną, korzystając z właściwości funkcji pierwotnej, tabeli funkcji pierwotnych i reguły całkowania.

Na górze strony

Całkowanie ułamków prostych drugiego typu

Metoda integracji bezpośredniej jest również odpowiednia do rozwiązania tego problemu:

Przykład.

Rozwiązanie.

Na górze strony

Całkowanie ułamków prostych trzeciego typu

Najpierw przedstawimy całkę nieoznaczoną jako suma:

Pierwszą całkę uwzględniamy pod znakiem różniczkowym:

Dlatego,

Przekształćmy mianownik powstałej całki:

Stąd,

Wzór na całkowanie ułamków prostych trzeciego typu ma postać:

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną .

Rozwiązanie.

Korzystamy z otrzymanego wzoru:

Gdybyśmy nie mieli tej formuły, co byśmy zrobili:

9. Całkowanie ułamków prostych czwartego typu

Pierwszym krokiem jest umieszczenie go pod znakiem różniczkowym:

Drugim krokiem jest znalezienie całki postaci . Całki tego typu wyznacza się za pomocą wzorów na powtarzanie. (Zobacz partycjonowanie przy użyciu formuł powtarzania). W naszym przypadku odpowiednia jest następująca formuła powtarzalna:

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie.

W przypadku tego typu całki stosujemy metodę podstawienia. Wprowadźmy nową zmienną (patrz rozdział o całkowaniu funkcji niewymiernych):

Po podstawieniu mamy:

Doszliśmy do znalezienia całki ułamka czwartego typu. W naszym przypadku mamy współczynniki M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 I n=3. Stosujemy wzór rekurencyjny:

Po zamianie odwrotnej otrzymujemy wynik:

10. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Wiele problemów sprowadza się do znalezienia całek funkcji przestępnych zawierających funkcje trygonometryczne. W tym artykule zgrupujemy najczęstsze typy całek i na przykładach rozważymy metody ich całkowania.

    Zacznijmy od całkowania sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Z tabeli funkcji pierwotnych od razu to zauważamy I .

Metoda subsumowania znaku różniczkowego pozwala obliczyć całki nieoznaczone funkcji stycznej i cotangens:

Na górze strony

Spójrzmy na pierwszy przypadek, drugi jest absolutnie podobny.

Skorzystajmy z metody podstawienia:

Doszliśmy do problemu całkowania funkcji niewymiernej. Metoda podstawienia pomoże nam również tutaj:

Pozostaje tylko przeprowadzić odwrotną wymianę i t = sinx:

Na górze strony

Więcej o zasadach ich wyszukiwania możesz dowiedzieć się w sekcji Integracja za pomocą formuł rekurencyjnych. Jeśli przestudiujesz wyprowadzenie tych wzorów, możesz łatwo przyjąć całki postaci , Gdzie M I N- liczby całkowite.

Na górze strony

Na górze strony

    Najwięcej kreatywności występuje, gdy podcałka zawiera funkcje trygonometryczne z różnymi argumentami.

Tutaj na ratunek przychodzą podstawowe wzory trygonometrii. Zapisz je więc na osobnej kartce papieru i trzymaj przed oczami.

Przykład.

Znajdź zbiór funkcji pierwotnych .

Rozwiązanie.

Podają wzory redukcyjne I .

Dlatego

Mianownik jest wzorem na sinus sumy, zatem:

Dochodzimy do sumy trzech całek.

Na górze strony

    Całki zawierające funkcje trygonometryczne można czasami sprowadzić do ułamkowych wyrażeń wymiernych przy użyciu standardowego podstawienia trygonometrycznego.

Zapiszmy wzory trygonometryczne wyrażające sinus, cosinus, tangens poprzez tangens argumentu połowy:

Podczas całkowania będziemy potrzebować także wyrażenia różniczkowego dx poprzez tangens połówki kąta.

Ponieważ , To

To jest gdzie.

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną .

Rozwiązanie.

Użyjmy standardowego podstawienia trygonometrycznego:

Zatem, .

Rozbicie całki na ułamki proste prowadzi nas do sumy dwóch całek:

Pozostaje tylko przeprowadzić odwrotną wymianę:

11. Formuły powtarzania to formuły wyrażające N Piąty członek sekwencji poprzez poprzednie elementy. Są one często używane przy znajdowaniu całek.

Nie naszym celem jest wyszczególnienie wszystkich wzorów na rekurencję, ale chcemy podać zasadę ich wyprowadzenia. Wyprowadzenie tych wzorów opiera się na przekształceniu całki i zastosowaniu metody całkowania przez części.

Na przykład całka nieoznaczona można obliczyć korzystając ze wzoru na powtarzalność .

Wyprowadzenie wzoru:

Korzystając ze wzorów trygonometrycznych możemy napisać:

Otrzymaną całkę znajdujemy metodą całkowania przez części. Jako funkcja ty(x) Weźmy cosx, stąd, .

Dlatego,

Wracamy do całki pierwotnej:

To jest,

To właśnie trzeba było pokazać.

W podobny sposób wyprowadzane są następujące wzory na powtarzanie:

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Rozwiązanie.

Używamy powtarzającej się formuły z czwartego akapitu (w naszym przykładzie n=3):

Ponieważ z tabeli funkcji pierwotnych mamy , To

Wszystko powyższe w poprzednich akapitach pozwala nam sformułować podstawowe zasady całkowania ułamków wymiernych.

1. Jeżeli ułamek wymierny jest niewłaściwy, to jest on przedstawiany jako suma wielomianu i właściwego ułamka wymiernego (patrz akapit 2).

Sprowadza to całkowanie niewłaściwego ułamka wymiernego do całkowania wielomianu i właściwego ułamka wymiernego.

2. Rozłóż mianownik ułamka właściwego.

3. Właściwy ułamek wymierny rozkłada się na sumę ułamków prostych. Sprowadza to całkowanie właściwego ułamka wymiernego do całkowania ułamków prostych.

Spójrzmy na przykłady.

Przykład 1. Znajdź .

Rozwiązanie. Poniżej całki znajduje się niewłaściwy ułamek wymierny. Wybierając całą część, otrzymujemy

Stąd,

Zauważając to, rozwińmy ułamek wymierny właściwy

na ułamki proste:

(patrz wzór (18)). Dlatego

Zatem w końcu mamy

Przykład 2. Znajdź

Rozwiązanie. Poniżej całki znajduje się ułamek wymierny właściwy.

Rozbudowując go na ułamki proste (patrz wzór (16)) otrzymujemy

Całkowanie funkcji ułamkowo-wymiernej.
Metoda niepewnych współczynników

Kontynuujemy pracę nad całkowaniem ułamków zwykłych. Przyjrzeliśmy się już całkom niektórych typów ułamków na lekcji i tę lekcję w pewnym sensie można uznać za kontynuację. Aby pomyślnie zrozumieć materiał, wymagane są podstawowe umiejętności integracyjne, więc jeśli dopiero zacząłeś uczyć się całek, czyli jesteś początkujący, musisz zacząć od artykułu Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań.

Co dziwne, teraz będziemy zajmować się nie tyle znajdowaniem całek, ile... rozwiązywaniem układów równań liniowych. Pod tym względem pilnie Polecam uczęszczanie na lekcję, mianowicie należy dobrze znać metody podstawieniowe (metodę „szkolną” i metodę dodawania (odejmowania) wyrazów układu po wyrazie).

Co to jest ułamkowa funkcja wymierna? Krótko mówiąc, funkcja ułamkowo-wymierna to ułamek, którego licznik i mianownik zawierają wielomiany lub iloczyny wielomianów. Co więcej, frakcje są bardziej wyrafinowane niż te omówione w artykule Całkowanie niektórych ułamków.

Całkowanie właściwej funkcji ułamkowo-wymiernej

Natychmiast przykład i typowy algorytm rozwiązywania całki funkcji ułamkowo-wymiernej.

Przykład 1


Krok 1. Pierwszą rzeczą, którą ZAWSZE robimy rozwiązując całkę z ułamkowej funkcji wymiernej, jest wyjaśnienie następującego pytania: czy ułamek jest właściwy? Ten krok jest wykonywany ustnie, a teraz wyjaśnię, jak:

Najpierw patrzymy na licznik i dowiadujemy się starszy stopień wielomian:

Potęga wiodąca licznika wynosi dwa.

Teraz patrzymy na mianownik i dowiadujemy się starszy stopień mianownik. Oczywistym sposobem jest otwarcie nawiasów i wprowadzenie podobnych terminów, ale można to zrobić prościej, w każdy znajdź najwyższy stopień w nawiasach

i pomnóż mentalnie: - zatem najwyższy stopień mianownika jest równy trzy. Jest całkiem oczywiste, że jeśli faktycznie otworzymy nawiasy, nie uzyskamy stopnia większego niż trzy.

Wniosek: Główny stopień licznika RYGORYSTYCZNIE jest mniejsza od największej potęgi mianownika, co oznacza, że ​​ułamek jest właściwy.

Jeśli w tym przykładzie licznik zawierał wielomian 3, 4, 5 itd. stopni, wówczas ułamek będzie wynosił zło.

Teraz rozważymy tylko prawidłowe ułamkowe funkcje wymierne. Przypadek, gdy stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, zostanie omówiony na końcu lekcji.

Krok 2. Rozłóżmy mianownik na czynniki. Spójrzmy na nasz mianownik:

Ogólnie rzecz biorąc, jest to już wypadkowa czynników, niemniej jednak zadajemy sobie pytanie: czy można rozszerzyć coś jeszcze? Przedmiotem tortur niewątpliwie będzie trójmian kwadratowy. Rozwiązanie równania kwadratowego:

Dyskryminator jest większy od zera, co oznacza, że ​​trójmian naprawdę można rozłożyć na czynniki:

Ogólna zasada: WSZYSTKO, co MOŻNA rozłożyć na mianownik – uwzględnij to

Zacznijmy formułować rozwiązanie:

Krok 3. Metodą współczynników nieoznaczonych rozbudowujemy całkę na sumę ułamków prostych (elementarnych). Teraz będzie jaśniej.

Spójrzmy na naszą funkcję całkową:

I wiesz, jakoś intuicyjnie pojawia się myśl, że fajnie byłoby zamienić naszą dużą frakcję na kilka małych. Na przykład tak:

Powstaje pytanie, czy w ogóle da się to zrobić? Odetchnijmy z ulgą, odpowiadające twierdzeniu analizy matematycznej stwierdza – JEST MOŻLIWE. Taki rozkład istnieje i jest wyjątkowy.

Jest tylko jeden haczyk – szanse są Do widzenia Nie wiemy, stąd nazwa – metoda współczynników nieokreślonych.

Jak się domyślacie, kolejne ruchy ciała właśnie tak wyglądają, nie chichoczcie! będzie miało na celu po prostu ich ROZPOZNANIE - aby dowiedzieć się, do czego są równe.

Uważaj, wyjaśnię szczegółowo tylko raz!

Zacznijmy więc tańczyć od:

Po lewej stronie sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika:

Teraz możemy bezpiecznie pozbyć się mianowników (ponieważ są takie same):

Po lewej stronie otwieramy nawiasy, ale na razie nie dotykamy nieznanych współczynników:

Jednocześnie powtarzamy szkolną regułę mnożenia wielomianów. Kiedy byłem nauczycielem, nauczyłem się wymawiać tę zasadę z powagą: Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu.

Z punktu widzenia jasnego wyjaśnienia lepiej jest umieścić współczynniki w nawiasach (chociaż osobiście nigdy tego nie robię, aby zaoszczędzić czas):

Tworzymy układ równań liniowych.
Najpierw szukamy wyższych stopni naukowych:

I zapisujemy odpowiednie współczynniki do pierwszego równania układu:

Zapamiętaj dobrze następujący punkt. Co by się stało, gdyby po prawej stronie w ogóle nie było s? Powiedzmy, czy wyglądałoby to po prostu bez żadnego kwadratu? W takim przypadku w równaniu układu należałoby postawić zero po prawej stronie: . Dlaczego zero? Ale ponieważ po prawej stronie zawsze możesz przypisać temu samemu kwadratowi zero: Jeśli po prawej stronie nie ma zmiennych i/lub wyrazu wolnego, to wstawiamy zera po prawej stronie odpowiednich równań układu.

W drugim równaniu układu zapisujemy odpowiednie współczynniki:

I wreszcie woda mineralna, wybieramy bezpłatnych członków.

Ech... w pewnym sensie żartowałem. Żarty na bok – matematyka to poważna nauka. W grupie naszego instytutu nikt się nie śmiał, gdy adiunkt powiedział, że rozrzuci wyrazy wzdłuż osi liczbowej i wybierze te największe. Bądźmy poważni. Chociaż... kto dożyje końca tej lekcji, nadal będzie się uśmiechał cicho.

System jest gotowy:

Rozwiązujemy układ:

(1) Z pierwszego równania wyrażamy je i podstawiamy do 2. i 3. równania układu. W rzeczywistości można było wyrazić (lub inną literę) z innego równania, ale w tym przypadku korzystne jest wyrażenie tego z pierwszego równania, ponieważ tam najmniejsze szanse.

(2) Podobne wyrazy przedstawiamy w drugim i trzecim równaniu.

(3) Dodajemy drugie i trzecie równanie wyraz po wyrazie, otrzymując równość , z której wynika, że

(4) Podstawiamy do drugiego (lub trzeciego) równania i skąd to znajdujemy

(5) Zastąp i do pierwszego równania, otrzymując .

Jeśli masz trudności ze sposobami rozwiązania układu, przećwicz je na zajęciach. Jak rozwiązać układ równań liniowych?

Po rozwiązaniu układu zawsze warto sprawdzić - podstawić znalezione wartości każdy równanie układu, w efekcie wszystko powinno się „zbiegać”.

Prawie na miejscu. Znaleziono współczynniki i:

Gotowa praca powinna wyglądać mniej więcej tak:




Jak widać, główną trudnością zadania było ułożenie (poprawne!) i rozwiązanie (poprawne!) układu równań liniowych. A na ostatnim etapie wszystko nie jest takie trudne: wykorzystujemy właściwości liniowości całki nieoznaczonej i całkujemy. Należy pamiętać, że pod każdą z trzech całek mamy „wolną” funkcję złożoną, o cechach jej integracji mówiłem na lekcji Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej.

Sprawdź: Odróżnij odpowiedź:

Otrzymano pierwotną funkcję całki, co oznacza, że ​​całka została znaleziona poprawnie.
Podczas weryfikacji musieliśmy sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika i nie jest to przypadkowe. Metoda współczynników nieokreślonych i sprowadzenie wyrażenia do wspólnego mianownika to działania wzajemnie odwrotne.

Przykład 2

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Wróćmy do ułamka z pierwszego przykładu: . Łatwo zauważyć, że w mianowniku wszystkie czynniki są RÓŻNE. Powstaje pytanie, co zrobić, jeśli podany zostanie np. ułamek: ? Tutaj mamy stopnie w mianowniku lub, matematycznie, wielokrotności. Ponadto istnieje trójmian kwadratowy, którego nie można rozłożyć na czynniki (łatwo sprawdzić, że dyskryminator równania jest ujemna, więc trójmianu nie można rozłożyć na czynniki). Co robić? Rozwinięcie na sumę ułamków elementarnych będzie wyglądać mniej więcej tak z nieznanymi współczynnikami na górze czy czymś innym?

Przykład 3

Przedstaw funkcję

Krok 1. Sprawdzamy, czy mamy ułamek właściwy
Główny licznik: 2
Najwyższy stopień mianownika: 8
, co oznacza, że ​​ułamek jest poprawny.

Krok 2. Czy można coś uwzględnić w mianowniku? Oczywiście, że nie, wszystko jest już ustalone. Trójmianu kwadratowego nie można rozszerzyć na iloczyn z powodów podanych powyżej. Kaptur. Mniej pracy.

Krok 3. Wyobraźmy sobie funkcję ułamkowo-wymierną jako sumę ułamków elementarnych.
W tym przypadku rozwinięcie ma następującą postać:

Spójrzmy na nasz mianownik:
Rozkładając funkcję ułamkowo-wymierną na sumę ułamków elementarnych, można wyróżnić trzy podstawowe punkty:

1) Jeśli w mianowniku znajduje się „samotny” współczynnik do pierwszej potęgi (w naszym przypadku), to na górze stawiamy współczynnik nieokreślony (w naszym przypadku). Przykłady nr 1, 2 składały się wyłącznie z takich „samotnych” czynników.

2) Jeśli mianownik ma wiele mnożnik, musisz go rozłożyć w ten sposób:
- to znaczy przejdź kolejno przez wszystkie stopnie „X” od pierwszego do n-tego stopnia. W naszym przykładzie mamy do czynienia z dwoma wieloma czynnikami: i , przyjrzyj się jeszcze raz rozwinięciu, które podałem i upewnij się, że są one rozwinięte dokładnie zgodnie z tą zasadą.

3) Jeżeli w mianowniku znajduje się nierozkładalny wielomian drugiego stopnia (w naszym przypadku), to przy dekompozycji w liczniku należy zapisać funkcję liniową o nieokreślonych współczynnikach (w naszym przypadku o nieokreślonych współczynnikach i ).

Właściwie jest jeszcze czwarty przypadek, ale będę o nim milczeć, ponieważ w praktyce jest to niezwykle rzadkie.

Przykład 4

Przedstaw funkcję jako suma ułamków elementarnych o nieznanych współczynnikach.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Ściśle przestrzegaj algorytmu!

Jeśli rozumiesz zasady, według których należy rozszerzyć funkcję ułamkowo-wymierną na sumę, możesz przeżuć prawie każdą całkę rozważanego typu.

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Krok 1. Oczywiście ułamek jest poprawny:

Krok 2. Czy można coś uwzględnić w mianowniku? Móc. Oto suma kostek . Rozłóż mianownik, korzystając ze skróconego wzoru na mnożenie

Krok 3. Stosując metodę współczynników nieokreślonych, całkę rozwijamy na sumę ułamków elementarnych:

Należy pamiętać, że wielomianu nie można rozłożyć na czynniki (sprawdź, czy dyskryminator jest ujemny), dlatego na górze umieszczamy funkcję liniową o nieznanych współczynnikach, a nie tylko jedną literę.

Sprowadzamy ułamek do wspólnego mianownika:

Skomponujmy i rozwiążmy system:

(1) Wyrażamy z pierwszego równania i podstawiamy je do drugiego równania układu (jest to najbardziej racjonalny sposób).

(2) Podobne wyrazy przedstawiamy w drugim równaniu.

(3) Dodajemy drugie i trzecie równanie układu wyraz po wyrazie.

Wszystkie dalsze obliczenia są w zasadzie ustne, ponieważ system jest prosty.

(1) Zapisujemy sumę ułamków zgodnie ze znalezionymi współczynnikami.

(2) Korzystamy z własności liniowości całki nieoznaczonej. Co się stało w drugiej całce? Możesz zapoznać się z tą metodą w ostatnim akapicie lekcji. Całkowanie niektórych ułamków.

(3) Po raz kolejny korzystamy z własności liniowości. W trzeciej całce zaczynamy izolować cały kwadrat (przedostatni akapit lekcji Całkowanie niektórych ułamków).

(4) Bierzemy drugą całkę, w trzeciej wybieramy pełny kwadrat.

(5) Weźmy trzecią całkę. Gotowy.

Rozważane są przykłady całkowania funkcji wymiernych (ułamków) z rozwiązaniami szczegółowymi.

Treść

Zobacz też: Pierwiastki równania kwadratowego

Poniżej przedstawiamy szczegółowe rozwiązania trzech przykładów całkowania następujących ułamków wymiernych:
, , .

Przykład 1

Oblicz całkę:
.

Tutaj pod znakiem całki znajduje się funkcja wymierna, ponieważ całka jest ułamkiem wielomianów. Stopień wielomianu mianownika ( 3 ) jest mniejszy niż stopień wielomianu licznika ( 4 ). Dlatego najpierw musisz wybrać całą część ułamka.

1. Wybierzmy całą część ułamka. Podziel x 4 przez x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Stąd
.

2. Rozłóżmy mianownik ułamka na czynniki. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie sześcienne:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Podstawmy x = 1 :
.

1 . Podziel przez x - 1 :

Stąd
.
Rozwiązywanie równania kwadratowego.
.
Pierwiastkami równania są: , .
Następnie
.

3. Rozłóżmy ułamek na najprostszą postać.

.

Znaleźliśmy więc:
.
Integrujmy się.

Przykład 2

Oblicz całkę:
.

Tutaj licznikiem ułamka jest wielomian stopnia zerowego ( 1 = x 0). Mianownik jest wielomianem trzeciego stopnia. Ponieważ 0 < 3 , to ułamek jest poprawny. Rozbijmy to na ułamki proste.

1. Rozłóżmy mianownik ułamka na czynniki. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie trzeciego stopnia:
.
Załóżmy, że ma co najmniej jeden pełny pierwiastek. Wtedy jest to dzielnik liczby 3 (członek bez x). Oznacza to, że cały pierwiastek może być jedną z liczb:
1, 3, -1, -3 .
Podstawmy x = 1 :
.

Zatem znaleźliśmy jeden pierwiastek x = 1 . Podziel x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

Więc,
.

Rozwiązanie równania kwadratowego:
X 2 + x + 3 = 0.
Znajdź dyskryminator: D = 1 2 - 4 3 = -11. Ponieważ D< 0 , to równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków. W ten sposób otrzymaliśmy faktoryzację mianownika:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Podstawmy x = 1 . Wtedy x - 1 = 0 ,
.

Podstawmy (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Przyrównajmy (2.1) współczynniki dla x 2 :
;
0 = A + B;
.


.

3. Integrujmy się.
(2.2) .
Aby obliczyć drugą całkę, wybieramy pochodną mianownika w liczniku i redukujemy mianownik do sumy kwadratów.

;
;
.

Oblicz I 2 .


.
Ponieważ równanie x 2 + x + 3 = 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków, to x 2 + x + 3 > 0. Dlatego znak modułu można pominąć.

Dostarczamy do (2.2) :
.

Przykład 3

Oblicz całkę:
.

Tutaj pod znakiem całki znajduje się ułamek wielomianów. Zatem całka jest funkcją wymierną. Stopień wielomianu w liczniku jest równy 3 . Stopień wielomianu mianownika ułamka jest równy 4 . Ponieważ 3 < 4 , to ułamek jest poprawny. Dlatego można go rozłożyć na ułamki proste. Ale aby to zrobić, musisz rozłożyć mianownik na czynniki.

1. Rozłóżmy mianownik ułamka na czynniki. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie czwartego stopnia:
.
Załóżmy, że ma co najmniej jeden pełny pierwiastek. Wtedy jest to dzielnik liczby 2 (członek bez x). Oznacza to, że cały pierwiastek może być jedną z liczb:
1, 2, -1, -2 .
Podstawmy x = -1 :
.

Zatem znaleźliśmy jeden pierwiastek x = -1 . Podziel przez x - (-1) = x + 1:


Więc,
.

Teraz musimy rozwiązać równanie trzeciego stopnia:
.
Jeśli założymy, że to równanie ma pierwiastek całkowity, to jest to dzielnik liczby 2 (członek bez x). Oznacza to, że cały pierwiastek może być jedną z liczb:
1, 2, -1, -2 .
Podstawmy x = -1 :
.

Znaleźliśmy więc inny pierwiastek x = -1 . Byłoby możliwe, podobnie jak w poprzednim przypadku, podzielenie wielomianu przez , ale zgrupujemy wyrazy:
.

Ponieważ równanie x 2 + 2 = 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków, wówczas otrzymujemy rozkład na czynniki mianownika:
.

2. Rozłóżmy ułamek na najprostszą postać. Szukamy rozwinięcia w postaci:
.
Pozbywamy się mianownika ułamka, mnożymy przez (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Podstawmy x = -1 . Następnie x + 1 = 0 ,
.

Rozróżniajmy (3.1) :

;

.
Podstawmy x = -1 i weź pod uwagę, że x + 1 = 0 :
;
; .

Podstawmy (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Przyrównajmy (3.1) współczynniki dla x 3 :
;
1 = B + C;
.

Znaleźliśmy więc rozkład na ułamki proste:
.

3. Integrujmy się.


.

Zobacz też:

Ułamek nazywa się prawidłowy, jeśli najwyższy stopień licznika jest mniejszy niż najwyższy stopień mianownika. Całka ułamka wymiernego właściwego ma postać:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Wzór na całkowanie ułamków wymiernych zależy od pierwiastków wielomianu w mianowniku. Jeżeli wielomian $ ax^2+bx+c $ ma:

  1. Tylko pierwiastki złożone, wówczas należy z nich wyodrębnić cały kwadrat: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
  2. Różne pierwiastki rzeczywiste $ x_1 $ i $ x_2 $, to musisz rozwinąć całkę i znaleźć współczynniki nieokreślone $ A $ i $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
  3. Jeden pierwiastek wielokrotny $ x_1 $, następnie rozwijamy całkę i znajdujemy nieokreślone współczynniki $ A $ i $ B $ dla następującego wzoru: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Jeśli ułamek jest zło, czyli najwyższy stopień w liczniku jest większy lub równy najwyższemu stopniowi mianownika, to najpierw należy go sprowadzić do prawidłowy powstaje poprzez podzielenie wielomianu z licznika przez wielomian z mianownika. W tym przypadku wzór na całkowanie ułamka wymiernego ma postać:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Przykłady rozwiązań

Przykład 1
Znajdź całkę ułamka wymiernego: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$
Rozwiązanie

Ułamek jest właściwy, a wielomian ma tylko pierwiastki zespolone. Dlatego wybieramy pełny kwadrat:

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$

Składamy cały kwadrat i umieszczamy go pod znakiem różniczkowym $ x-5 $:

$$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$

Korzystając z tabeli całek otrzymujemy:

$$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Jeśli nie możesz rozwiązać swojego problemu, wyślij go do nas. Dostarczymy szczegółowe rozwiązanie. Będziesz mógł zobaczyć postęp obliczeń i uzyskać informacje. Dzięki temu szybko otrzymasz ocenę od nauczyciela!

Odpowiedź
$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$
Przykład 2
Wykonaj całkowanie ułamków wymiernych: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$
Rozwiązanie

Rozwiążmy równanie kwadratowe: $$ x^2+5x-6 = 0 $$

$$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$

Zapisujemy korzenie:

$$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$

Uwzględniając otrzymane pierwiastki, przekształcamy całkę:

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$

Wykonujemy rozwinięcie ułamka wymiernego:

$$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$

Przyrównujemy liczniki i znajdujemy współczynniki $ A $ i $ B $:

$$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$

$$ Siekiera + 6A + Bx - B = x + 2 $$

$$ \begin(przypadki) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(przypadki) $$

$$ \begin(cases) A ​​​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$

Podstawiamy znalezione współczynniki do całki i rozwiązujemy ją:

$$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$

$$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Odpowiedź
$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$