Definíciou je matematické očakávanie
Čaká sa mat jeden z najdôležitejších pojmov v matematickej štatistike a teórii pravdepodobnosti, charakterizujúci rozdelenie hodnôt resp pravdepodobnosti náhodná premenná. Zvyčajne sa vyjadruje ako vážený priemer všetkých možných parametrov náhodnej premennej. Široko používaný v technickej analýze, štúdiu číselných radov a štúdiu súvislých a časovo náročných procesov. Je dôležitý pri hodnotení rizík, predpovedaní cenových ukazovateľov pri obchodovaní na finančných trhoch a využíva sa pri vývoji stratégií a metód hernej taktiky v hazardných teórií.
Čakanie mat- Toto stredná hodnota náhodnej premennej, rozdelenie pravdepodobnosti Náhodná premenná je považovaná v teórii pravdepodobnosti.
Čaká sa mat miera priemernej hodnoty náhodnej premennej v teórii pravdepodobnosti. Mat očakávaniu náhodnej premennej X označené M(x).
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Čaká sa mat
Čaká sa mat v teórii pravdepodobnosti vážený priemer všetkých možných hodnôt, ktoré môže nadobudnúť náhodná premenná.
Čaká sa mat súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a pravdepodobnosti týchto hodnôt.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Čaká sa mat priemerný úžitok z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno posudzovať v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti.
Čaká sa mat v teórii hazardných hier výška výhier, ktoré môže špekulant v priemere zarobiť alebo stratiť pri každej stávke. V jazyku hazardu špekulantov niekedy sa tomu hovorí "výhoda" špekulant“ (ak je pre špekulanta pozitívny) alebo „domová hrana“ (ak je pre špekulanta negatívny).
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Čaká sa mat zisk na výhru vynásobený priemerom zisk, mínus strata, vynásobená priemernou stratou.
Matematické očakávanie náhodnej premennej v matematickej teórii
Jednou z dôležitých číselných charakteristík náhodnej premennej je očakávaná hodnota. Predstavme si koncept systému náhodných premenných. Uvažujme množinu náhodných premenných, ktoré sú výsledkom toho istého náhodného experimentu. Ak je jednou z možných hodnôt systému, potom udalosť zodpovedá určitej pravdepodobnosti, ktorá spĺňa Kolmogorovove axiómy. Funkcia definovaná pre všetky možné hodnoty náhodných premenných sa nazýva zákon spoločného rozdelenia. Táto funkcia vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosti akýchkoľvek udalostí. Najmä kĺb zákona distribúcie náhodných premenných a, ktoré nadobúdajú hodnoty z množiny a sú dané pravdepodobnosťou.
Výraz „mat. očakávanie“ zaviedol Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) a vychádza z pojmu „očakávaná hodnota výhier“, ktorý sa prvýkrát objavil v 17. storočí v teórii hazardných hier v dielach Blaise Pascala a Christiaana Huygensa. Prvé úplné teoretické pochopenie a posúdenie tohto konceptu však poskytol Pafnuty Ľvovič Čebyšev (polovica 19. storočia).
zákon distribúcie náhodných číselných premenných (funkcia rozdelenia a distribučné rady alebo hustota pravdepodobnosti) úplne opisujú správanie náhodnej premennej. Ale v mnohých problémoch stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a prípadnú odchýlku od nej), aby sme mohli odpovedať na položenú otázku. Hlavnými numerickými charakteristikami náhodných premenných sú očakávanie, rozptyl, modus a medián.
Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčet súčinov jej možných hodnôt a ich zodpovedajúcich pravdepodobností. Niekedy nadávky. očakávanie sa nazýva vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej počas veľkého počtu experimentov. Z definície očakávanej hodnoty vyplýva, že jej hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie je väčšia ako najväčšia. Očakávaná hodnota náhodnej premennej je nenáhodná (konštantná) premenná.
Matematické očakávanie má jednoduchý fyzikálny význam: ak položíte jednotkovú hmotnosť na priamku, umiestnite určitú hmotnosť do niektorých bodov (pre diskrétne rozdelenie) alebo ju „rozmažete“ určitou hustotou (pre absolútne spojité rozdelenie) , potom bod zodpovedajúci matematickému očakávaniu bude súradnica "ťažisko" je priama.
Priemerná hodnota náhodnej premennej je určité číslo, ktoré je akoby jej „reprezentantom“ a nahrádza ho v zhruba približných výpočtoch. Keď hovoríme: „priemerná doba prevádzky lampy je 100 hodín“ alebo „priemerný bod dopadu je posunutý vzhľadom na cieľ o 2 m doprava“, označujeme tým určitú číselnú charakteristiku náhodnej premennej, ktorá opisuje jej polohu. na číselnej osi, t.j. „charakteristiky polohy“.
Spomedzi charakteristík pozície v teórii pravdepodobnosti zohráva najdôležitejšiu úlohu očakávaná hodnota náhodnej premennej, ktorá sa niekedy nazýva jednoducho priemerná hodnota náhodnej premennej.
Zvážte náhodnú premennú X s možnými hodnotami x1, x2, …, xn s pravdepodobnosťami p1, p2, …, pn. Musíme nejakým číslom charakterizovať polohu hodnôt náhodnej premennej na osi x s vziať do úvahyže tieto hodnoty majú rôzne pravdepodobnosti. Na tento účel je prirodzené použiť takzvaný „vážený priemer“ hodnôt xi a každá hodnota xi počas spriemerovania by sa mala brať do úvahy s „váhou“ úmernou pravdepodobnosti tejto hodnoty. Vypočítame teda priemer náhodnej premennej X, ktorý označujeme M |X|:
Tento vážený priemer sa nazýva očakávaná hodnota náhodnej premennej. Uviedli sme teda do úvahy jeden z najdôležitejších konceptov teórie pravdepodobnosti – koncept matematiky. očakávania. Mat. Očakávanie náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a pravdepodobnosti týchto hodnôt.
Mat. čakanie na náhodnú premennú X je spojená zvláštnou závislosťou s aritmetickým priemerom pozorovaných hodnôt náhodnej premennej počas veľkého počtu experimentov. Táto závislosť je rovnakého typu ako závislosť medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou, a to: pri veľkom počte experimentov sa aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej približuje (pravdepodobne konverguje) k jej matematike. čakanie. Z prítomnosti spojenia medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou možno v dôsledku toho odvodiť prítomnosť podobného spojenia medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním. Skutočne, zvážte náhodnú premennú X, charakterizované distribučným radom:
Nech sa vyrába N nezávislé experimenty, v každom z nich hodnotu X nadobúda určitú hodnotu. Predpokladajme, že hodnota x1 objavil m1 krát, hodnota x2 objavil m2časy, všeobecný význam xi objavil sa mi krát. Vypočítajme aritmetický priemer pozorovaných hodnôt hodnoty X, ktorý na rozdiel od matematického očakávania M|X| označujeme M*|X|:
S pribúdajúcim počtom experimentov N frekvencie pi sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) zodpovedajúcim pravdepodobnostiam. V dôsledku toho aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej M|X| s nárastom počtu experimentov sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) k svojej očakávanej hodnote. Vyššie formulované spojenie medzi aritmetickým priemerom a matematikou. očakávanie je obsahom jednej z foriem zákona veľkých čísel.
Už vieme, že všetky formy zákona veľkých čísel uvádzajú skutočnosť, že niektoré priemery sú stabilné počas veľkého počtu experimentov. Tu hovoríme o stabilite aritmetického priemeru zo série pozorovaní rovnakej veličiny. Pri malom počte experimentov je aritmetický priemer ich výsledkov náhodný; pri dostatočnom zvýšení počtu experimentov sa stáva „takmer nenáhodným“ a stabilizujúc sa približuje konštantnej hodnote – mat. čakanie.
Stabilitu priemerov vo veľkom počte experimentov možno ľahko overiť experimentálne. Napríklad pri vážení telesa v laboratóriu na presných váhach získame v dôsledku váženia zakaždým novú hodnotu; Aby sme znížili chybu pozorovania, teleso niekoľkokrát odvážime a použijeme aritmetický priemer získaných hodnôt. Je ľahké vidieť, že s ďalším zvyšovaním počtu experimentov (vážení) aritmetický priemer na tento nárast reaguje čoraz menej a pri dostatočne veľkom počte experimentov sa prakticky prestáva meniť.
Treba si uvedomiť, že najdôležitejšou charakteristikou polohy náhodnej veličiny je mat. očakávanie – neexistuje pre všetky náhodné premenné. Je možné vytvárať príklady takých náhodných premenných, pre ktoré mat. neexistuje žiadne očakávanie, pretože zodpovedajúci súčet alebo integrál sa líšia. Takéto prípady však nie sú pre prax výrazne zaujímavé. Náhodné premenné, s ktorými sa zaoberáme, majú zvyčajne obmedzený rozsah možných hodnôt a, samozrejme, majú matematické očakávania.
Okrem najdôležitejších charakteristík polohy náhodnej premennej - očakávanej hodnoty - sa v praxi niekedy používajú aj ďalšie charakteristiky polohy, najmä modus a medián náhodnej premennej.
Mód náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Výraz „najpravdepodobnejšia hodnota“ sa striktne vzťahuje len na nespojité množstvá; pre spojitú veličinu je mod hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna. Obrázky znázorňujú režim pre nespojité a spojité náhodné premenné.
Ak má distribučný polygón (krivka rozdelenia) viac ako jedno maximum, rozdelenie sa nazýva „multimodálne“.
Niekedy existujú distribúcie, ktoré majú v strede skôr minimum ako maximum. Takéto distribúcie sa nazývajú „antimodálne“.
Vo všeobecnom prípade sa režim a očakávaná hodnota náhodnej premennej nezhodujú. V špeciálnom prípade, keď je rozloženie symetrické a modálne (t.j. má mód) a je tam mat. očakávaní, potom sa zhoduje s módom a stredom symetrie distribúcie.
Často sa používa aj iná charakteristika polohy – takzvaný medián náhodnej premennej. Táto charakteristika sa zvyčajne používa len pre spojité náhodné premenné, aj keď môže byť formálne definovaná pre nespojitú premennú. Geometricky je medián úsečkou bodu, v ktorom je plocha ohraničená distribučnou krivkou rozdelená na polovicu.
V prípade symetrického modálneho rozloženia sa medián zhoduje s mat. očakávania a módy.
Očakávaná hodnota je priemerná hodnota náhodnej premennej – číselná charakteristika rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej. Najvšeobecnejším spôsobom dajte mat očakávaniu náhodnej premennej X(w) je definovaný ako Lebesgueov integrál vzhľadom na mieru pravdepodobnosti R v pôvodnom priestore pravdepodobnosti:
Mat. očakávanie možno vypočítať aj ako Lebesgueov integrál X podľa rozdelenia pravdepodobnosti px množstvá X:
Je prirodzené definovať pojem náhodnej premennej s nekonečným očakávaním. Typickým príkladom sú časy repatriácie pri niektorých náhodných vychádzkach.
S pomocou mat. očakávania definujú mnohé numerické a funkčné charakteristiky rozdelenia (ako matematické očakávanie zodpovedajúcich funkcií z náhodnej premennej), napríklad generujúca funkcia, charakteristická funkcia, momenty ľubovoľného rádu, najmä disperzia, kovariancia.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Matematické očakávanie je charakteristikou umiestnenia hodnôt náhodnej premennej (priemerná hodnota jej distribúcie). V tejto funkcii slúži matematické očakávanie ako nejaký „typický“ distribučný parameter a jeho úloha je podobná úlohe statického momentu – súradnice ťažiska rozloženia hmoty – v mechanike. Očakávanie sa líši od ostatných charakteristík umiestnenia, pomocou ktorých je distribúcia popísaná vo všeobecných pojmoch - mediány, mody, rohože - o väčšiu hodnotu, ktorú má v limitných vetách teórie pravdepodobnosti ona a zodpovedajúca charakteristika rozptylu - disperzia. Význam očakávaného partnera najviac odhaľuje zákon veľkých čísel (Čebyševova nerovnosť) a posilnený zákon veľkých čísel.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
Nech existuje nejaká náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť jednu z niekoľkých číselných hodnôt (napríklad počet bodov pri hode kockou môže byť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6). V praxi pri takejto hodnote často vyvstáva otázka: akú hodnotu má „v priemere“ pri veľkom počte testov? Aký bude náš priemerný príjem (alebo strata) z každej z rizikových transakcií?
Povedzme, že existuje nejaký druh lotérie. Chceme pochopiť, či je rentabilné sa na ňom zúčastniť (alebo sa ho zúčastniť opakovane, pravidelne). Povedzme, že každý štvrtý lístok je víťazný, cena bude 300 rubľov a každý lístok bude 100 rubľov. Pri nekonečne veľkom počte účastí sa to deje. V troch štvrtinách prípadov prehráme, každé tri straty budú stáť 300 rubľov. V každom štvrtom prípade vyhráme 200 rubľov. (cena mínus náklady), to znamená, že za štyri účasti stratíme v priemere 100 rubľov, za jednu - v priemere 25 rubľov. Celkovo bude priemerná sadzba našej ruiny 25 rubľov za lístok.
Hádžeme kockou. Ak nejde o podvádzanie (bez posunutia ťažiska a pod.), tak koľko bodov budeme mať v priemere naraz? Keďže každá možnosť je rovnako pravdepodobná, jednoducho vezmeme aritmetický priemer a dostaneme 3,5. Keďže ide o PRIEMER, netreba sa rozhorčovať, že žiadny konkrétny hod neprinesie 3,5 bodu – no, táto kocka nemá tvár s takým číslom!
Teraz si zhrňme naše príklady:
Pozrime sa na práve uvedený obrázok. Vľavo je tabuľka rozdelenia náhodnej premennej. Hodnota X môže nadobudnúť jednu z n možných hodnôt (zobrazených v hornom riadku). Žiadne iné významy nemôžu byť. Pod každou možnou hodnotou je nižšie napísaná jej pravdepodobnosť. Vpravo je vzorec, kde M(X) sa nazýva mat. čakanie. Význam tejto hodnoty je, že pri veľkom počte testov (s veľkou vzorkou) bude mať priemerná hodnota tendenciu k rovnakému očakávaniu.
Vráťme sa opäť k tej istej hracej kocke. Mat. predpokladaný počet bodov pri hode je 3,5 (ak mi neveríte, vypočítajte si to sami pomocou vzorca). Povedzme, že ste to párkrát hodili. Výsledky boli 4 a 6. Priemer bol 5, čo ani zďaleka nie je 3,5. Hodili to ešte raz, dostali 3, teda v priemere (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Akosi ďaleko od podložky. očakávania. Teraz urobte bláznivý experiment - hoďte kocku 1000-krát! A aj keď priemer nebude presne 3,5, bude sa k tomu blížiť.
Vypočítajme mat. čakanie na lotériu opísanú vyššie. Doska bude vyzerať takto:
Potom bude očakávanie matu také, ako sme stanovili vyššie:
Ďalšia vec je, že robiť to „na prstoch“ bez vzorca by bolo ťažké, keby bolo viac možností. Povedzme, že by bolo 75 % stratených lístkov, 20 % výherných lístkov a 5 % najmä výherných.
Teraz niektoré vlastnosti spĺňajú očakávania.
Mat. očakávanie je lineárne. Je ľahké dokázať:
Konštantný multiplikátor môže byť odstránený za znakom matu. očakávania, teda:
Toto je špeciálny prípad vlastnosti linearity očakávaného partnera.
Ďalším dôsledkom lineárnosti mat. očakávania:
teda mat. očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní náhodných premenných.
Nech X, Y sú nezávislé náhodné premenné, Potom:
To sa dá aj ľahko dokázať) Práca XY sama o sebe je náhodná premenná, a ak by počiatočné hodnoty mohli nadobudnúť n A m hodnoty podľa toho XY môže nadobudnúť hodnoty nm. každá hodnota je vypočítaná na základe skutočnosti, že pravdepodobnosti nezávislých udalostí sa násobia. V dôsledku toho dostaneme toto:
Očakávanie spojitej náhodnej premennej
Spojité náhodné veličiny majú takú charakteristiku, ako je hustota distribúcie (hustota pravdepodobnosti). V podstate charakterizuje situáciu, že náhodná premenná naberá niektoré hodnoty z množiny reálnych čísel častejšie a niektoré menej často. Zvážte napríklad tento graf:
Tu X- skutočná náhodná premenná, f(x)- hustota distribúcie. Súdiac podľa tohto grafu, počas experimentov hodnota X bude často číslo blízke nule. Šance sú prekonané 3 alebo byť menší -3 skôr čisto teoretické.
Ak je známa hustota distribúcie, očakávaná hodnota sa zistí takto:
Nech je napríklad rovnomerné rozdelenie:
Poďme nájsť mat. očakávanie:
To je celkom v súlade s intuitívnym chápaním. Povedzme, že ak dostaneme veľa náhodných reálnych čísel s rovnomerným rozdelením, každý zo segmentov |0; 1| , potom by mal byť aritmetický priemer približne 0,5.
Aj tu sú aplikovateľné vlastnosti matematických očakávaní - linearita atď., použiteľné pre diskrétne náhodné premenné.
Vzťah medzi matematickým očakávaním a inými štatistickými ukazovateľmi
IN štatistické analýza spolu s matematickým očakávaním existuje systém vzájomne závislých ukazovateľov, ktoré odrážajú homogenitu javov a stabilitu procesy. Variačné ukazovatele často nemajú samostatný význam a používajú sa na ďalšiu analýzu údajov. Výnimkou je variačný koeficient, ktorý charakterizuje homogenitu údajovčo je cenné štatistické charakteristický.
Stupeň variability alebo stability procesy v štatistickej vede možno merať pomocou niekoľkých ukazovateľov.
Najdôležitejší ukazovateľ charakterizujúci variabilita náhodná premenná je Disperzia, ktorá najužšie a bezprostredne súvisí s mat. čakanie. Tento parameter sa aktívne používa v iných typoch štatistických analýz (testovanie hypotéz, analýza vzťahov príčin a následkov atď.). Rovnako ako priemerná lineárna odchýlka, rozptyl tiež odráža mieru rozptylu údajov okolo priemernej hodnoty.
Je užitočné preložiť jazyk znakov do jazyka slov. Ukazuje sa, že rozptyl je priemerná štvorec odchýlok. To znamená, že najprv sa vypočíta priemerná hodnota, potom sa vezme rozdiel medzi každou pôvodnou a priemernou hodnotou, umocní sa, pripočíta sa a potom sa vydelí počtom hodnôt v populácii. Rozdiel medzi jednotlivou hodnotou a priemerom odráža mieru odchýlky. Umocňuje sa tak, aby sa všetky odchýlky stali výlučne kladnými číslami a aby sa zabránilo vzájomnému zničeniu kladných a záporných odchýlok pri ich sčítavaní. Potom, vzhľadom na druhú mocninu odchýlok, jednoducho vypočítame aritmetický priemer. Priemer - štvorec - odchýlky. Odchýlky sa umocnia na druhú a vypočíta sa priemer. Odpoveď na čarovné slovíčko „rozptyl“ spočíva v troch slovách.
Avšak v čistej forme, ako je aritmetický priemer alebo disperzia, sa nepoužíva. Je to skôr pomocný a prechodný ukazovateľ, ktorý sa používa pre iné typy štatistických analýz. Nemá ani normálnu mernú jednotku. Súdiac podľa vzorca, ide o druhú mocninu jednotky merania pôvodných údajov.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Poďme zmerať náhodnú premennú N krát, napríklad desaťkrát meriame rýchlosť vetra a chceme zistiť priemernú hodnotu. Ako súvisí priemerná hodnota s distribučnou funkciou?
Alebo hodíme kockou veľakrát. Počet bodov, ktoré sa objavia na kocke pri každom hode, je náhodná premenná a môže nadobudnúť akúkoľvek prirodzenú hodnotu od 1 do 6. Aritmetický priemer klesnutých bodov vypočítaný pre všetky hody kockami je tiež náhodná premenná, ale pre veľké N inklinuje k veľmi konkrétnemu číslu – mat. čakanie Mx. V tomto prípade Mx = 3,5.
Ako ste získali túto hodnotu? Vpustiť N testy n1 akonáhle získate 1 bod, n2 raz - 2 body a tak ďalej. Potom počet výsledkov, pri ktorých padol jeden bod:
Podobne pre výsledky, keď sa hodia 2, 3, 4, 5 a 6 bodov.
Predpokladajme teraz, že poznáme rozdelenia náhodnej premennej x, teda vieme, že náhodná premenná x môže nadobudnúť hodnoty x1, x2,..., xk s pravdepodobnosťami p1, p2,..., pk .
Matematické očakávanie Mx náhodnej premennej x sa rovná:
Matematické očakávania nie sú vždy rozumným odhadom nejakej náhodnej premennej. Na odhad priemernej mzdy je teda rozumnejšie použiť pojem medián, teda takú hodnotu, aby počet ľudí zarábajúcich menej ako medián plat a veľké, zhodujú sa.
Pravdepodobnosť p1, že náhodná premenná x bude menšia ako x1/2, a pravdepodobnosť p2, že náhodná premenná x bude väčšia ako x1/2, sú rovnaké a rovné 1/2. Medián nie je určený jednoznačne pre všetky distribúcie.
Štandardná alebo štandardná odchýlka v štatistike sa miera odchýlky pozorovaných údajov alebo súborov od priemernej hodnoty nazýva. Označuje sa písmenami s alebo s. Malá štandardná odchýlka znamená, že údaje sa zhlukujú okolo priemeru, zatiaľ čo veľká štandardná odchýlka znamená, že počiatočné údaje sa nachádzajú ďaleko od neho. Smerodajná odchýlka sa rovná druhej odmocnine veličiny nazývanej rozptyl. Je to priemer súčtu druhých mocnín rozdielov počiatočných údajov, ktoré sa odchyľujú od priemernej hodnoty. Štandardná odchýlka náhodnej premennej je druhá odmocnina rozptylu:
Príklad. V testovacích podmienkach pri streľbe na cieľ vypočítajte rozptyl a štandardnú odchýlku náhodnej premennej:
Variácia- kolísanie, premenlivosť hodnoty znaku medzi jednotkami obyvateľstva. Jednotlivé číselné hodnoty charakteristiky nájdenej v skúmanej populácii sa nazývajú variantné hodnoty. Nedostatočnosť priemernej hodnoty na úplnú charakterizáciu populácie nás núti doplniť priemerné hodnoty o ukazovatele, ktoré nám umožňujú posúdiť typickosť týchto priemerov meraním variability (variácie) skúmanej charakteristiky. Variačný koeficient sa vypočíta podľa vzorca:
Rozsah variácií(R) predstavuje rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami atribútu v skúmanej populácii. Tento ukazovateľ poskytuje najvšeobecnejšiu predstavu o variabilite študovanej charakteristiky, ako ukazuje rozdiel iba medzi krajnými hodnotami možností. Závislosť od extrémnych hodnôt charakteristiky dáva rozsahu variácií nestabilný, náhodný charakter.
Priemerná lineárna odchýlka predstavuje aritmetický priemer absolútnych (modulo) odchýlok všetkých hodnôt analyzovanej populácie od ich priemernej hodnoty:
Matematické očakávania v teórii hazardných hier
Čaká sa mat priemerná suma peňazí, ktorú môže hazardný špekulant vyhrať alebo prehrať pri danej stávke. Toto je pre špekulantov veľmi dôležitý pojem, pretože je základom pre posúdenie väčšiny hazardných situácií. Mat je tiež optimálnym nástrojom na analýzu základných rozložení kariet a herných situácií.
Povedzme, že hráte hru o mince s kamarátom, pričom zakaždým vsádzate rovnako 1 dolár, bez ohľadu na to, čo príde. Chvosty znamená, že vyhráte, hlavy prehráte. Šanca je jedna ku jednej, že to príde hore, takže stavíte 1 až 1 dolár. Vaše očakávanie matu sa teda rovná nule, pretože Z matematického hľadiska nemôžete vedieť, či po dvoch hodoch alebo po 200 budete viesť alebo prehrávať.
Váš hodinový zisk je nula. Hodinové výhry predstavujú sumu peňazí, ktorú očakávate, že vyhráte za hodinu. Môžete si hodiť mincou 500-krát za hodinu, no nevyhráte ani neprehráte, pretože... vaše šance nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Z pohľadu vážneho špekulanta tento stávkový systém nie je zlý. Ale toto je jednoducho strata času.
Povedzme však, že niekto chce staviť 2 doláre proti vášmu 1 doláru na rovnakú hru. Potom máte hneď pozitívne očakávanie 50 centov z každej stávky. Prečo 50 centov? V priemere jednu stávku vyhráte a druhú prehráte. Vsaďte ako prvé a prehráte 1 dolár, vsaďte ako druhé a vyhráte 2 doláre. Stavíte dvakrát 1 dolár a máte náskok o 1 dolár. Takže každá z vašich stávok za jeden dolár vám dala 50 centov.
Ak sa minca objaví 500-krát za hodinu, vaša hodinová výhra už bude 250 $, pretože... v priemere si jeden stratil dolár 250-krát a dvakrát vyhral dolár 250-krát. 500 $ mínus 250 $ sa rovná 250 $, čo je celková výhra. Upozorňujeme, že očakávaná hodnota, čo je priemerná suma, ktorú vyhráte na stávku, je 50 centov. Vyhrali ste 250 $ stávkou 500-krát dolár, čo sa rovná 50 centom na stávku.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Mat. čakanie nemá nič spoločné s krátkodobými výsledkami. Váš súper, ktorý sa rozhodol staviť proti vám 2 doláre, vás mohol poraziť v prvých desiatich hodoch v rade, ale vy, ak máte výhodu stávkovania 2 ku 1, za rovnakých okolností, zarobíte 50 centov z každej stávky 1 dolár v ľubovoľnom okolnosti. Nezáleží na tom, či vyhráte alebo prehráte jednu stávku alebo niekoľko stávok, pokiaľ máte dostatok hotovosti na pohodlné pokrytie nákladov. Ak budete pokračovať v stávkovaní rovnakým spôsobom, potom sa vaše výhry budú počas dlhého obdobia blížiť k súčtu očakávaní v jednotlivých hodoch.
Zakaždým, keď urobíte najlepšiu stávku (stávka, ktorá sa môže ukázať ako zisková z dlhodobého hľadiska), keď sú kurzy vo váš prospech, musíte na nej niečo vyhrať, bez ohľadu na to, či ju prehráte alebo nie. podaná ruka. Naopak, ak urobíte stávku na smolu (stávka, ktorá je z dlhodobého hľadiska nerentabilná), keď je kurz proti vám, niečo stratíte bez ohľadu na to, či vyhráte alebo prehráte.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Stavíte s najlepším výsledkom, ak sú vaše očakávania pozitívne, a kladné je, ak sú kurzy na vašej strane. Keď umiestnite stávku s najhorším výsledkom, máte negatívne očakávania, čo sa stane, keď sú kurzy proti vám. Seriózni špekulanti vsádzajú len na najlepší výsledok, ak dôjde k najhoršiemu, založia. Čo znamená kurz vo váš prospech? Môžete nakoniec vyhrať viac, ako prinášajú skutočné kurzy. Skutočné šance na pristátie hlavy sú 1 ku 1, ale vďaka pomeru šancí dostanete 2 ku 1. V tomto prípade sú šance vo váš prospech. Najlepší výsledok určite dosiahnete s pozitívnym očakávaním 50 centov za stávku.
Tu je zložitejší príklad mat. očakávania. Priateľ si zapíše čísla od jedna do päť a vsadí 5 USD proti vášmu 1 USD, že číslo neuhádnete. Mali by ste súhlasiť s takouto stávkou? Aké je tu očakávanie?
V priemere sa pomýlite štyrikrát. Na základe toho je pravdepodobnosť, že uhádnete číslo, 4 ku 1. Pravdepodobnosť, že stratíte jeden dolár na jeden pokus. Vyhrávate však 5 ku 1 s možnosťou prehry 4 ku 1. Takže kurz je vo váš prospech, môžete staviť a dúfať v najlepší výsledok. Ak urobíte túto stávku päťkrát, v priemere štyrikrát prehráte 1 USD a raz vyhráte 5 USD. Na základe toho za všetkých päť pokusov zarobíte 1 dolár s pozitívnym matematickým očakávaním 20 centov na stávku.
Špekulant, ktorý očakáva, že vyhrá viac, ako vsadí, ako v príklade vyššie, riskuje. Naopak, kazí svoje šance, keď očakáva, že vyhrá menej, ako vsadí. Špekulant uzatvárajúci stávku môže mať pozitívne alebo negatívne očakávania, čo závisí od toho, či vyhrá alebo zruinuje kurz.
Ak vsadíte 50 USD na výhru 10 USD so šancou na výhru 4 ku 1, dostanete negatívne očakávanie 2 USD, pretože V priemere štyrikrát vyhráte 10 USD a raz prehráte 50 USD, čo ukazuje, že strata na stávku bude 10 USD. Ale ak vsadíte 30 USD na výhru 10 USD s rovnakým kurzom na výhru 4 ku 1, potom v tomto prípade máte pozitívne očakávanie 2 USD, pretože opäť vyhráte štyrikrát 10 USD a raz prehráte 30 USD, čo je zisk za 10 dolárov. Tieto príklady ukazujú, že prvá stávka je zlá a druhá dobrá.
Mat. predvídanie je stredobodom každej hernej situácie. Keď stávková kancelária povzbudzuje futbalových fanúšikov, aby stavili 11 dolárov na výhru 10 dolárov, má pozitívne očakávanie 50 centov na každých 10 dolárov. Ak kasíno zaplatí párne peniaze z rady prihrávok v kockách, potom pozitívne očakávanie kasína bude približne 1,40 USD za každých 100 USD, pretože Táto hra je štruktúrovaná tak, že každý, kto vsadí na túto líniu, prehrá v priemere 50,7 % a vyhrá 49,3 % z celkového času. Nepochybne práve toto zdanlivo minimálne pozitívne očakávanie prináša majiteľom kasín po celom svete kolosálne zisky. Ako poznamenal majiteľ kasína Vegas World Bob Stupak, „tisícina percent negatívna pravdepodobnosť na dostatočne veľkú vzdialenosť zruinuje najbohatšieho človeka na svete.“
Očakávanie pri hraní pokru
Hra Poker je najnázornejším a najnázornejším príkladom z pohľadu využitia teórie a vlastností očakávaného partnera.
Mat. Očakávaná hodnota v pokri je priemerný úžitok z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno zvážiť v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti. Úspešná pokerová hra je vždy akceptovať ťahy s kladnou očakávanou hodnotou.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Matematický význam matematiky. Pri hraní pokru sa očakáva, že sa pri rozhodovaní často stretávame s náhodnými premennými (nevieme presne, aké karty má súper v rukách, aké karty prídu v nasledujúcich kolách obchodu). Každé z riešení musíme zvážiť z pohľadu teórie veľkých čísel, ktorá tvrdí, že pri dostatočne veľkej vzorke bude mať priemerná hodnota náhodnej veličiny tendenciu k jej očakávanej hodnote.
Spomedzi konkrétnych vzorcov na výpočet očakávaní partnera je v pokri najviac použiteľné:
Pri hraní pokerového matu. očakávanie možno vypočítať pre stávky aj cally. V prvom prípade by sa mal brať do úvahy fold equity, v druhom prípade vlastné kurzy banky. Pri posudzovaní mat. očakávania konkrétneho pohybu, treba mať na pamäti, že fold má vždy nulové očakávania. Zahodenie kariet bude teda vždy výnosnejším rozhodnutím ako akýkoľvek negatívny krok.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Očakávanie vám povie, čo môžete očakávať (alebo stratu) pri každom riziku, ktoré podstúpite. Kasína zarábajú peniaze peniaze, keďže mat je očakávaním od všetkých hier, ktoré sa v nich cvičia, v prospech kasína. Pri dostatočne dlhej sérii hier môžete očakávať, že klient prehrá svoje peniaze, keďže „pravdepodobnosť“ je v prospech kasína. Profesionálni kasíno špekulanti však obmedzujú svoje hry na krátke časové úseky, čím zvyšujú šance v ich prospech. To isté platí pre investovanie. Ak sú vaše očakávania pozitívne, môžete zarobiť viac peňazí vykonaním mnohých obchodov v krátkom čase obdobiečas. Očakávanie je vaše percento zisku na výhru vynásobené vaším priemerným ziskom mínus vaša pravdepodobnosť straty vynásobená vašou priemernou stratou.
Na poker sa dá pozerať aj z pohľadu očakávaní matu. Môžete predpokladať, že určitý ťah je ziskový, ale v niektorých prípadoch nemusí byť najlepší, pretože iný ťah je ziskovejší. Povedzme, že ste v pokri s piatimi kartami dosiahli plný počet. Váš súper urobí stávku. Viete, že ak zvýšite stávku, odpovie. Zvyšovanie sa preto javí ako najlepšia taktika. Ak však navýšite stávku, zvyšní dvaja špekulanti určite založia karty. Ale ak zavoláte, máte plnú dôveru, že ďalší dvaja špekulanti po vás urobia to isté. Keď zvýšite svoju stávku, dostanete jednu jednotku a keď dorovnáte, dostanete dve. Dorovnanie vám teda dáva vyššiu pozitívnu očakávanú hodnotu a bude tou najlepšou taktikou.
Mat. očakávania môžu tiež poskytnúť predstavu o tom, ktoré pokrové taktiky sú menej ziskové a ktoré sú ziskovejšie. Napríklad, ak hráte určitú kombináciu a myslíte si, že vaša strata bude v priemere 75 centov vrátane ante, potom by ste mali hrať túto kombináciu, pretože je to lepšie ako zahodiť, keď je ante 1 dolár.
Ďalší dôležitý dôvod na pochopenie podstaty mate. očakáva sa, že vám dá pocit pokoja, či už stávku vyhráte alebo nie: ak ste vsadili dobre alebo zložili karty v správnom čase, budete vedieť, že ste zarobili alebo našetrili určitú sumu peňazí, ktorú by mohol slabší špekulant neuložiť. Je oveľa ťažšie zahodiť, ak ste naštvaný, pretože váš súper vytiahol silnejšiu kombináciu. Pri tom všetkom sa to, čo ste ušetrili tým, že ste nehrali, namiesto stávkovania, pripočítalo k vašim výhram za noc alebo za mesiac.
Len si pamätajte, že ak by ste zmenili ruky, váš súper by vás dorovnal, a ako uvidíte v článku Fundamental Theorem of Poker, je to len jedna z vašich výhod. Mali by ste byť šťastní, keď sa to stane. Možno sa dokonca naučíte tešiť zo straty handy, pretože viete, že iní špekulanti na vašej pozícii by stratili oveľa viac.
Ako už bolo spomenuté v príklade hry s mincami na začiatku, hodinový pomer zisku je prepojený s očakávanou splatnosťou a tento koncept je dôležitý najmä pre profesionálnych špekulantov. Keď idete hrať poker, mali by ste v duchu odhadnúť, koľko môžete vyhrať za hodinu hry. Vo väčšine prípadov sa budete musieť spoľahnúť na svoju intuíciu a skúsenosti, ale môžete použiť aj nejakú matematiku. Napríklad, hráte draw lowball a vidíte, že traja hráči vsadili 10 $ a potom vymenili dve karty, čo je veľmi zlá taktika, môžete prísť na to, že zakaždým, keď vsadia 10 $, prehrajú približne 2 $. Každý z nich to robí osemkrát za hodinu, čo znamená, že všetci traja stratia približne 48 dolárov za hodinu. Ste jedným zo zvyšných štyroch špekulantov, ktorí sú si približne rovní, takže títo štyria špekulanti (a vy medzi nimi) si musia rozdeliť 48 dolárov, pričom každý bude mať zisk 12 dolárov za hodinu. Váš hodinový kurz sa v tomto prípade jednoducho rovná vášmu podielu na množstve peňazí, o ktoré prišli traja zlí špekulanti za hodinu.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Celková výhra špekulanta je počas dlhého obdobia súčtom jeho matematických očakávaní v jednotlivých rukách. Čím viac rúk hráte s pozitívnym očakávaním, tým viac vyhrávate a naopak, čím viac rúk hráte s negatívnym očakávaním, tým viac prehrávate. V dôsledku toho by ste si mali vybrať hru, ktorá môže maximalizovať vaše pozitívne očakávania alebo negovať vaše negatívne očakávania, aby ste mohli maximalizovať svoje hodinové výhry.
Pozitívne matematické očakávania v hernej stratégii
Ak viete počítať karty, môžete mať oproti kasínu výhodu, pokiaľ si vás nevšimnú a vyhodia vás von. Kasína milujú opitých špekulantov a neznesú počítanie kariet. Výhoda vám umožní viackrát vyhrať, ako časom prehrať. Dobrá správa peňazí pri použití výpočtov očakávaného partnera vám môže pomôcť získať väčší zisk z vašej výhody a znížiť straty. Bez výhody je lepšie dať peniaze na charitu. V hre na burze je výhoda daná herným systémom, ktorý vytvára väčšie zisky ako straty, rozdiel ceny a provízie. žiadne riadenie kapitálu nezachráni zlý herný systém.
Pozitívne očakávanie je definované ako hodnota väčšia ako nula. Čím väčšie je toto číslo, tým silnejšie sú štatistické očakávania. Ak je hodnota menšia ako nula, potom mat. očakávanie bude tiež negatívne. Čím väčší modul zápornej hodnoty, tým horšia situácia. Ak je výsledok nula, potom je čakanie vyrovnané. Vyhrať môžete len vtedy, keď máte pozitívne matematické očakávania a rozumný herný systém. Hra podľa intuície vedie ku katastrofe.
Matematické očakávanie a
Očakávanie matu je pomerne široko požadovaný a obľúbený štatistický ukazovateľ pri obchodovaní na burze s finančnými prostriedkami trhy. V prvom rade sa tento parameter používa na analýzu úspešnosti obchodu. Nie je ťažké uhádnuť, že čím je táto hodnota vyššia, tým viac dôvodov považovať študovaný odbor za úspešný. Samozrejme, analýza práca obchodník nemôže byť uskutočnený iba pomocou tohto parametra. Avšak vypočítaná hodnota v kombinácii s inými metódami hodnotenia kvality práca, môže výrazne zlepšiť presnosť analýzy.
Očakávaný mat sa často počíta v službách monitorovania obchodných účtov, čo vám umožňuje rýchlo vyhodnotiť prácu vykonanú na vklade. Výnimkou sú stratégie, ktoré využívajú „vysedenie“ neziskových obchodov. Obchodníkšťastie ho môže nejaký čas sprevádzať, a preto v jeho práci nemusia byť vôbec žiadne straty. V tomto prípade sa nebude možné riadiť iba matematickým očakávaním, pretože sa nebudú brať do úvahy riziká použité v práci.
Pri obchodovaní ďalej trhu mat sa najčastejšie používa pri predpovedaní ziskovosti akejkoľvek obchodnej stratégie alebo pri predpovedaní príjmu obchodník na základe štatistických údajov z jeho predchádzajúceho ponuky.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Pokiaľ ide o správu peňazí, je veľmi dôležité pochopiť, že pri obchodovaní s negatívnymi očakávaniami neexistuje žiadny vzor zvládanie peniaze, ktoré určite môžu priniesť vysoké zisky. Ak budete hrať ďalej burza cenných papierov za týchto podmienok, potom bez ohľadu na spôsob zvládanie peniaze, prídete o celý účet, bez ohľadu na to, aký veľký bol na začiatku.
Táto axióma platí nielen pre hry alebo obchody s negatívnymi očakávaniami, ale aj pre hry s rovnakými šancami. Šancu na zisk z dlhodobého hľadiska teda máte len vtedy, ak obchodujete s kladnou očakávanou hodnotou.
Rozdiel medzi negatívnym očakávaním a pozitívnym očakávaním je rozdiel medzi životom a smrťou. Nezáleží na tom, aké pozitívne alebo negatívne je očakávanie; Dôležité je len to, či je to pozitívne alebo negatívne. Preto pred zvážením otázok riadenia kapitál musíte nájsť hru s pozitívnym očakávaním.
Ak túto hru nemáte, potom vás nezachráni všetok money management na svete. Na druhej strane, ak máte pozitívne očakávania, môžete ich pomocou správneho hospodárenia s peniazmi premeniť na funkciu exponenciálneho rastu. Nezáleží na tom, aké malé je pozitívne očakávanie! Inými slovami, nezáleží na tom, aký ziskový je obchodný systém založený na jedinom kontrakte. Ak máte systém, ktorý vyhráva 10 USD za kontrakt na obchod (po províziách a sklze), môžete použiť techniky riadenia kapitál spôsobom, ktorý ho robí ziskovejším ako systém, ktorý vykazuje priemerný zisk 1 000 USD na obchod (po províziách a sklze).
Nie je dôležité, nakoľko bol systém ziskový, ale nakoľko sa dá povedať, že systém bude v budúcnosti vykazovať aspoň minimálny zisk. Najdôležitejšou prípravou, ktorú možno urobiť, je preto zabezpečiť, aby systém v budúcnosti vykazoval pozitívnu očakávanú hodnotu.
Aby ste mali v budúcnosti pozitívnu očakávanú hodnotu, je veľmi dôležité neobmedzovať stupne voľnosti vášho systému. To sa dosiahne nielen odstránením alebo znížením počtu parametrov, ktoré sa majú optimalizovať, ale aj znížením čo najväčšieho počtu systémových pravidiel. Každý parameter, ktorý pridáte, každé pravidlo, ktoré urobíte, každá malá zmena, ktorú vykonáte v systéme, znižuje počet stupňov voľnosti. V ideálnom prípade musíte vybudovať pomerne primitívny a jednoduchý systém, ktorý bude trvalo generovať malé zisky na takmer akomkoľvek trhu. Opäť je dôležité, aby ste pochopili, že nezáleží na tom, aký ziskový je systém, pokiaľ je ziskový. Peniaze, ktoré zarobíte obchodovaním, získate efektívnym riadením peňazí.
Matematické očakávanie (priemer populácie) je
Obchodný systém je jednoducho nástroj, ktorý vám dáva pozitívnu očakávanú hodnotu, aby ste mohli využívať správu peňazí. Systémy, ktoré fungujú (vykazujú aspoň minimálne zisky) len na jednom alebo niekoľkých trhoch, prípadne majú rôzne pravidlá či parametre pre rôzne trhy, s najväčšou pravdepodobnosťou nebudú fungovať v reálnom čase dlho. Problém väčšiny technicky orientovaných obchodníkov je, že trávia príliš veľa času a úsilia optimalizáciou rôznych pravidiel a hodnôt parametrov obchodného systému. To dáva úplne opačné výsledky. Namiesto plytvania energiou a počítačovým časom na zvyšovanie ziskov obchodného systému nasmerujte svoju energiu na zvyšovanie úrovne spoľahlivosti získavania minimálneho zisku.
S vedomím, že riadenie kapitálu je len hra s číslami, ktorá vyžaduje použitie pozitívnych očakávaní, obchodník môže prestať hľadať „svätý grál“ obchodovania s akciami. Namiesto toho môže začať testovať svoju obchodnú metódu, zistiť, nakoľko je táto metóda logická a či dáva pozitívne očakávania. Správne metódy správy peňazí, aplikované na akékoľvek, dokonca aj veľmi priemerné obchodné metódy, urobia zvyšok práce samy.
Aby každý obchodník uspel vo svojej práci, musí vyriešiť tri najdôležitejšie úlohy:. Zabezpečiť, aby počet úspešných transakcií prevýšil nevyhnutné chyby a nesprávne výpočty; Nastavte si obchodný systém tak, aby ste mali možnosť zarábať peniaze čo najčastejšie; Dosahujte stabilné pozitívne výsledky z vašich operácií.
A tu, pre nás pracujúcich obchodníkov, môže byť dobrým pomocníkom mate. očakávanie. Tento pojem je jedným z kľúčových v teórii pravdepodobnosti. S jeho pomocou môžete poskytnúť priemerný odhad nejakej náhodnej hodnoty. Očakávanie náhodnej premennej je podobné ako ťažisko, ak si všetky možné pravdepodobnosti predstavíte ako body s rôznou hmotnosťou.
Vo vzťahu k obchodnej stratégii sa na hodnotenie jej efektívnosti najčastejšie používa očakávanie zisku (alebo straty). Tento parameter je definovaný ako súčet súčinov daných úrovní ziskov a strát a pravdepodobnosti ich výskytu. Napríklad vyvinutá obchodná stratégia predpokladá, že 37 % všetkých transakcií prinesie zisk a zvyšná časť – 63 % – bude nerentabilných. Zároveň priemer príjem z úspešného obchodu bude 7 USD a priemerná strata bude 1,4 USD. Poďme si vypočítať matematiku. očakávanie obchodovania pomocou tohto systému:
Čo toto číslo znamená? Hovorí sa v nej, že pri dodržaní pravidiel tohto systému dostaneme v priemere 1 708 dolárov z každej uzavretej transakcie. Keďže výsledné hodnotenie účinnosti je väčšie ako nula, takýto systém je možné použiť na skutočnú prácu. Ak sa v dôsledku výpočtu matu ukáže, že očakávanie je negatívne, znamená to už priemernú stratu, čo povedie k záhube.
Veľkosť zisku na transakciu možno vyjadriť aj ako relatívnu hodnotu vo forme %. Napríklad:
Percento príjmu na 1 transakciu je 5 %;
Percento úspešných obchodných operácií je 62 %;
Percento straty na 1 obchod - 3%;
Percento neúspešných transakcií je 38 %;
V tomto prípade mat. očakávanie bude:
To znamená, že priemerný obchod prinesie 1,96%.
Je možné vyvinúť systém, ktorý aj napriek prevahe nerentabilných obchodov prinesie pozitívny výsledok, keďže jeho MO>0.
Samotné čakanie však nestačí. Je ťažké zarobiť peniaze, ak systém dáva veľmi málo obchodných signálov. V tomto prípade bude porovnateľný s bankovým úrokom. Nech každá operácia vyprodukuje v priemere len 0,5 dolára, ale čo ak systém zahŕňa 1000 operácií ročne? V relatívne krátkom čase to bude veľmi významná suma. Z toho logicky vyplýva, že za ďalšiu charakteristickú črtu dobrého obchodného systému možno považovať krátke obdobie držania pozícií.
Zdroje a odkazy
dic.academic.ru - akademický online slovník
mathematics.ru - vzdelávacia webová stránka v oblasti matematiky
nsu.ru - vzdelávacia stránka Štátnej univerzity v Novosibirsku
webmath.ru je vzdelávací portál pre študentov, uchádzačov a školákov.
Vzdelávacia matematická webová stránka exponenta.ru
ru.tradimo.com - bezplatná online obchodná škola
crypto.hut2.ru - multidisciplinárny informačný zdroj
poker-wiki.ru - bezplatná encyklopédia pokru
sernam.ru - Vedecká knižnica vybraných prírodovedných publikácií
reshim.su - webová stránka VYRIEŠIME problémy s testovaním
unfx.ru - Forex na UNFX: školenia, obchodné signály, správa dôvery
- — matematické očakávanie Jedna z číselných charakteristík náhodnej premennej, často nazývaná jej teoretický priemer. Pre diskrétnu náhodnú premennú X matematické... ... Technická príručka prekladateľaOČAKÁVANÁ HODNOTA- (očakávaná hodnota) Priemerná hodnota distribúcie ekonomickej premennej, ktorú môže nadobudnúť. Ak рt je cena produktu v čase t, jeho matematické očakávanie sa označí Ept. Na označenie časového bodu, do ktorého ... ... Ekonomický slovník
Očakávaná hodnota- priemerná hodnota náhodnej premennej. Matematické očakávanie je deterministická veličina. Aritmetický priemer realizácií náhodnej premennej je odhadom matematického očakávania. Priemer…… Oficiálna terminológia - (priemerná hodnota) náhodnej veličiny - číselná charakteristika náhodnej veličiny. Ak náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom priestore (pozri Teória pravdepodobnosti), potom jej M. o. MX (alebo EX) je definovaný ako Lebesgueov integrál: kde... Fyzická encyklopédia
OČAKÁVANÁ HODNOTA- náhodná veličina je jej číselná charakteristika. Ak má náhodná premenná X distribučnú funkciu F(x), potom jej M. o. bude: . Ak je rozdelenie X diskrétne, potom M.o.: , kde x1, x2, ... možné hodnoty diskrétnej náhodnej premennej X; p1... Geologická encyklopédia
OČAKÁVANÁ HODNOTA- Angličtina očakávaná hodnota nemecký Erwartung matematické. Stochastický priemer alebo stred rozptylu náhodnej premennej. antinacistický. Encyklopédia sociológie, 2009 ... Encyklopédia sociológie
Očakávaná hodnota- Pozri tiež: Podmienené matematické očakávanie Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej premennej, rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej, o ktorom sa uvažuje v teórii pravdepodobnosti. V anglickojazyčnej literatúre a v matematickej... ... Wikipédii
Očakávaná hodnota- 1.14 Matematické očakávanie E (X) kde xi je hodnota diskrétnej náhodnej premennej; p = P (X = xi); f(x) hustota spojitej náhodnej premennej * Ak tento výraz existuje v zmysle absolútnej konvergencie Zdroj ... Slovník-príručka termínov normatívnej a technickej dokumentácie
knihy
Pre čo najlepšiu prezentáciu našej stránky používame cookies. Pokračovaním v používaní tejto stránky s tým súhlasíte. OK
Matematické očakávanie súčinu dvoch náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní plus korelačný moment:
Dôkaz. Budeme vychádzať z definície korelačného momentu:
Transformujme tento výraz pomocou vlastností matematického očakávania:
ktorý je zjavne ekvivalentný vzorcu (10.2.17).
Ak náhodné premenné nekorelujú, vzorec (10.2.17) má tvar:
to znamená, že matematické očakávanie súčinu dvoch nekorelovaných náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.
Táto pozícia je známa ako teorém násobenia matematických očakávaní.
Vzorec (10.2.17) nie je nič iné ako vyjadrenie druhého zmiešaného centrálneho momentu systému cez druhý zmiešaný počiatočný moment a matematické očakávania:
. (10.2.19)
Tento výraz sa v praxi často používa pri výpočte korelačného momentu rovnakým spôsobom, že pre jednu náhodnú premennú sa rozptyl často počíta cez druhý počiatočný moment a matematické očakávanie.
Veta o násobení matematických očakávaní je zovšeobecnená na ľubovoľný počet faktorov, len v tomto prípade na jej aplikáciu nestačí, že veličiny sú nekorelované, ale vyžaduje sa, aby niektoré vyššie zmiešané momenty, ktorých počet závisí na počte výrazov v produkte zmiznú. Tieto podmienky sú určite splnené, ak sú náhodné premenné zahrnuté v produkte nezávislé. V tomto prípade
, (10.2.20)
to znamená, že matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.
Tento návrh možno ľahko dokázať úplnou indukciou.
Rozptyl súčinu nezávislých náhodných veličín
Dokážme to pre nezávislé veličiny
Dôkaz. Označme . Podľa definície rozptylu
Keďže množstvá sú nezávislé, a
Keď sú nezávislé, množstvá sú tiež nezávislé; teda,
, 
Neexistuje však nič viac ako druhý počiatočný moment veľkosti, a preto je vyjadrený rozptylom:
;
podobne
.
Dosadením týchto výrazov do vzorca (10.2.22) a uvedením podobných členov dostaneme vzorec (10.2.21).
V prípade, že sa násobia centrované náhodné premenné (premenné s matematickými očakávaniami rovnými nule), vzorec (10.2.21) má tvar:
, (10.2.23)
to znamená, že rozptyl súčinu nezávislých centrovaných náhodných premenných sa rovná súčinu ich rozptylov.
Najvyššie momenty súčtu náhodných premenných
V niektorých prípadoch je potrebné vypočítať najvyššie momenty súčtu nezávislých náhodných veličín. Dokážme niektoré súvisiace vzťahy.
1) Ak sú množstvá nezávislé, potom
Matematické očakávanie (priemerná hodnota) náhodnej premennej X danej na diskrétnom pravdepodobnostnom priestore je číslo m =M[X]=∑x i p i, ak rad absolútne konverguje.
Účel služby. Používanie online služby vypočítajú sa matematické očakávania, rozptyl a smerodajná odchýlka(pozri príklad). Okrem toho sa vykreslí graf distribučnej funkcie F(X).
Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej
- Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná sebe samej: M[C]=C, C – konštanta;
- M=C M[X]
- Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: M=M[X]+M[Y]
- Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M=M[X] M[Y] , ak sú X a Y nezávislé.
Disperzné vlastnosti
- Rozptyl konštantnej hodnoty je nula: D(c)=0.
- Konštantný faktor možno vybrať spod znamienka rozptylu jeho umocnením: D(k*X)= k 2 D(X).
- Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, potom sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Ak sú náhodné premenné X a Y závislé: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Pre disperziu platí nasledujúci výpočtový vzorec:
D(X)=M(X2)-(M(X)) 2
Príklad. Matematické očakávania a rozptyly dvoch nezávislých náhodných premenných X a Y sú známe: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej Z=9X-8Y+7.
Riešenie. Na základe vlastností matematického očakávania: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na základe vlastností disperzie: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmus na výpočet matematického očakávania
Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty možno prečíslovať prirodzenými číslami; Každej hodnote priraďte nenulovú pravdepodobnosť.- Dvojice po jednom násobíme: x i podľa p i .
- Pridajte súčin každého páru x i p i .
Napríklad pre n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Príklad č.1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematické očakávanie nájdeme pomocou vzorca m = ∑x i p i .
Očakávanie M[X].
M[x] = 1 x 0,1 + 3 x 0,2 + 4 x 0,1 + 7 x 0,3 + 9 x 0,3 = 5,9
Rozptyl nájdeme pomocou vzorca d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Rozptyl D[X].
D[X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Smerodajná odchýlka σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Príklad č.2. Diskrétna náhodná premenná má nasledujúce distribučné rady:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Riešenie. Hodnota a sa zistí zo vzťahu: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 alebo 0,24 = 3 a , odkiaľ a = 0,08
Príklad č.3. Určte distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej, ak je známy jej rozptyl a x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
d(x) = 12,96
Riešenie.
Tu musíte vytvoriť vzorec na nájdenie rozptylu d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kde očakávanie m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pre naše údaje
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
alebo -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Preto musíme nájsť korene rovnice a budú dva.
x3=8, x3=12
Vyberte ten, ktorý spĺňa podmienku x 1
Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
x 1 = 6; x2 = 9; x3 = 12; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
Ako je už známe, distribučný zákon úplne charakterizuje náhodnú premennú. Zákon o distribúcii je však často neznámy a človek sa musí obmedziť na menej informácií. Niekedy je ešte výhodnejšie použiť čísla, ktoré opisujú náhodnú premennú ako celok; takéto čísla sa volajú číselné charakteristiky náhodnej premennej.
Jednou z dôležitých numerických charakteristík je matematické očakávanie.
Matematické očakávanie sa približne rovná priemernej hodnote náhodnej premennej.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých jeho možných hodnôt a ich pravdepodobnosti.
Ak je náhodná premenná charakterizovaná konečným distribučným radom:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | p 2 | p 3 | … | r p |
potom matematické očakávanie M(X) určený podľa vzorca:
Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej je určené rovnosťou:
kde je hustota pravdepodobnosti náhodnej premennej X.
Príklad 4.7. Nájdite matematické očakávanie počtu bodov, ktoré sa objavia pri hode kockou.
Riešenie:
Náhodná hodnota X nadobúda hodnoty 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vytvorme zákon jeho rozloženia:
| X | ||||||
| R |
Potom matematické očakávanie je:
Vlastnosti matematického očakávania:
1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante:
M(S) = S.
2. Konštantný faktor možno vyňať z matematického znaku očakávania:
M (CX) = CM (X).
3. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:
M(XY) = M(X)M(Y).
Príklad 4.8. Nezávislé náhodné premenné X A Y sú dané nasledujúcimi distribučnými zákonmi:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej XY.
Riešenie.
Poďme nájsť matematické očakávania každej z týchto veličín:
Náhodné premenné X A Y nezávislé, preto požadované matematické očakávanie je:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Dôsledok. Matematické očakávanie súčinu niekoľkých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.
4. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Dôsledok. Matematické očakávanie súčtu niekoľkých náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní členov.
Príklad 4.9. Vystrelia sa 3 výstrely s pravdepodobnosťou zasiahnutia cieľa rovnajúcou sa p 1 = 0,4; p2= 0,3 a p 3= 0,6. Nájdite matematické očakávanie celkového počtu zásahov.
Riešenie.
Počet zásahov pri prvom výstrele je náhodná veličina X 1, ktorá môže nadobudnúť iba dve hodnoty: 1 (zásah) s pravdepodobnosťou p 1= 0,4 a 0 (chyba) s pravdepodobnosťou q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematické očakávanie počtu zásahov pri prvom výstrele sa rovná pravdepodobnosti zásahu:
Podobne nájdeme matematické očakávania počtu zásahov pre druhý a tretí výstrel:
M(X 2)= 0,3 a M(X3)= 0,6.
Celkový počet zásahov je tiež náhodná premenná pozostávajúca zo súčtu zásahov v každom z troch záberov:
X = Xi + X2 + X3.
Požadované matematické očakávanie X zistíme podľa vety o matematickom očakávaní súčtu:
M(X) = M(X1 + X2 + X3) = M(X1) + M(X2) + M (X3)= 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3 (zásahy).
– počet chlapcov medzi 10 novorodencami.
Je úplne jasné, že toto číslo nie je vopred známe a ďalších desať narodených detí môže zahŕňať:
Alebo chlapci - jeden a len jeden z uvedených možností.
A aby ste sa udržali vo forme, trochu telesnej výchovy:
- vzdialenosť skoku do diaľky (v niektorých jednotkách).
To nevie predpovedať ani majster športu :)
Avšak, vaše hypotézy?
2) Spojitá náhodná premenná – akceptuje Všetkyčíselné hodnoty z nejakého konečného alebo nekonečného intervalu.
Poznámka : skratky DSV a NSV sú populárne v náučnej literatúre
Najprv analyzujme diskrétnu náhodnú premennú, potom - nepretržitý.
Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
- Toto korešpondencia medzi možnými hodnotami tejto veličiny a ich pravdepodobnosťou. Zákon je najčastejšie napísaný v tabuľke: 
Termín sa objavuje pomerne často riadok
distribúcia, no v niektorých situáciách to vyznieva dvojzmyselne, a tak sa budem držať „zákona“.
A teraz veľmi dôležitý bod: od náhodnej premennej Nevyhnutne prijme jedna z hodnôt, potom sa vytvoria zodpovedajúce udalosti celá skupina a súčet pravdepodobností ich výskytu sa rovná jednej:
alebo ak je napísané skrátene:
Napríklad zákon o rozdelení pravdepodobnosti bodov hodených na kocke má nasledujúcu podobu: 
Bez komentára.
Môžete mať dojem, že diskrétna náhodná premenná môže nadobúdať iba „dobré“ celočíselné hodnoty. Poďme rozptýliť ilúziu - môžu to byť čokoľvek:
Príklad 1
Niektoré hry majú nasledujúci výherný distribučný zákon: 
...o takýchto úlohách ste už asi dlho snívali :) Prezradím vám tajomstvo - ja tiež. Najmä po ukončení prác na teória poľa.
Riešenie: keďže náhodná premenná môže nadobudnúť iba jednu z troch hodnôt, tvoria sa zodpovedajúce udalosti celá skupina, čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej: 
Odhalenie „partizána“: 
– teda pravdepodobnosť výhry konvenčných jednotiek je 0,4.
Kontrola: to sme sa potrebovali uistiť.
Odpoveď:
Nie je nezvyčajné, keď si zákon o distribúcii potrebujete vypracovať sami. Na to používajú klasická definícia pravdepodobnosti, násobiace/sčítacie teorémy pre pravdepodobnosti udalostí a iné čipy tervera:
Príklad 2
Krabica obsahuje 50 lotériových lístkov, z ktorých 12 vyhráva a 2 z nich vyhrávajú po 1 000 rubľov a zvyšok - každý po 100 rubľov. Zostavte zákon o rozdelení náhodnej veličiny - veľkosti výhry, ak sa náhodne vyžrebuje jeden tiket zo schránky.
Riešenie: ako ste si všimli, hodnoty náhodnej premennej sú zvyčajne umiestnené v vo vzostupnom poradí. Preto začíname s najmenšími výhrami, a to rubľmi.
Takýchto lístkov je spolu 50 - 12 = 38 a podľa klasická definícia:
– pravdepodobnosť, že náhodne vyžrebovaný tiket prehrá.
V iných prípadoch je všetko jednoduché. Pravdepodobnosť výhry rubľov je:
Kontrola: – a to je obzvlášť príjemný moment takýchto úloh!
Odpoveď: požadovaný zákon rozdelenia výhier: 
Nasledujúcu úlohu musíte vyriešiť sami:
Príklad 3
Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je . Zostavte distribučný zákon pre náhodnú premennú - počet zásahov po 2 výstreloch.
...Vedel som, že ti chýba :) Poďme si zaspomínať vety o násobení a sčítaní. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.
Distribučný zákon úplne popisuje náhodnú premennú, ale v praxi môže byť užitočné (a niekedy užitočnejšie) poznať len niektoré z nich číselné charakteristiky .
Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
Jednoducho povedané, je to tak priemerná očakávaná hodnota keď sa testovanie mnohokrát opakuje. Nech náhodná premenná nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťou 
resp. Potom sa matematické očakávanie tejto náhodnej premennej rovná súčet produktov všetky jeho hodnoty s príslušnými pravdepodobnosťami:
alebo zbalené: 
Vypočítajme napríklad matematické očakávanie náhodnej premennej - počtu bodov hodených kockou:
Teraz si spomeňme na našu hypotetickú hru: 
Vynára sa otázka: je výhodné hrať túto hru vôbec? ...kto ma nejake dojmy? Takže to nemôžete povedať „na rovinu“! Ale na túto otázku možno ľahko odpovedať výpočtom matematického očakávania, v podstate - Vážený priemer podľa pravdepodobnosti výhry:
Teda matematické očakávania tejto hry stratiť.
Neverte svojim dojmom – dôverujte číslam!
Áno, tu môžete vyhrať 10 a dokonca 20-30 krát za sebou, ale z dlhodobého hľadiska nás čaká neodvratná skaza. A také hry by som ti neradil :) No možno len pre zábavu.
Zo všetkého uvedeného vyplýva, že matematické očakávanie už nie je NÁHODNÁ hodnota.
Kreatívna úloha pre nezávislý výskum:
Príklad 4
Pán X hrá európsku ruletu podľa nasledujúceho systému: neustále vsádza 100 rubľov na „červenú“. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej - jej výhry. Vypočítajte matematické očakávania výhier a zaokrúhlite ich na najbližší kopeck. Koľko priemer Prehráva hráč za každú vsadenú stovku?
Odkaz : Európska ruleta obsahuje 18 červených, 18 čiernych a 1 zelený sektor („nula“). Ak sa objaví „červená“, hráč dostane dvojnásobok stávky, inak ide do príjmu kasína
Existuje mnoho ďalších ruletových systémov, pre ktoré si môžete vytvoriť vlastné pravdepodobnostné tabuľky. Ale to je prípad, keď nepotrebujeme žiadne distribučné zákony alebo tabuľky, pretože bolo s istotou stanovené, že matematické očakávania hráča budú úplne rovnaké. Jediná vec, ktorá sa mení zo systému na systém, je
