Svi objekti koji nas okružuju mogu se mentalno uklopiti u jednostavna geometrijska tijela (kocka, lopta, konus, cilindar, prizma, itd.). Proučavajući oblik kocke, učimo kako nacrtati, na primjer, kuću, jer se na pojednostavljen način kuća crta istim tehnikama kao i kocka. Ima vrhove, ivice i lica, baš kao kocka. Krov kuće je višestruka prizma.

Nacrtajmo kocku iz života, a onda ćemo ovo znanje iskoristiti na sebi da prikažemo složenije objekte kao što su kuće i ulice.

Kocka je geometrijsko tijelo formirano presjekom ravnina. I, kao i svaki trodimenzionalni objekat, kada se prikaže na ravnom listu, biće podvrgnut promenama u skladu sa zakonima perspektive. Slika prikazuje liniju horizonta umjetnikov plan vizije. Sadrži tačke nestajanja paralelnih linija. U našem slučaju, to su četiri horizontalne linije koje teže tački nestajanja sa leve strane i četiri horizontalne linije koje teže tački nestajanja sa desne strane.

Predmete u svemiru prikazujemo onako kako ih naše oči percipiraju. (Što je dalje od posmatrača, objekat se čini manjim, itd.)

Početak svake slike je kompozicija. Lagane linije Ocrtavamo našu temu na listu. Uvijek bi trebalo biti malo više prostora od ruba na vrhu nego na dnu. Intuitivno odredite razmjer tako da subjekt ne izgleda gigantski ili premali.

Postavite najbližu vertikalnu ivicu tako da je nije odgovarao sa središtem lista koji prolazi kroz sjecište njegovih dijagonala. Visinu označavamo serifima; ovo je najviša ivica na našoj slici, jer je najbliža gledaocu. Na oko određujemo ugao nagiba rebara koji leže na stolu u odnosu na horizontalu. Trenirajte svoju vizuelnu memoriju pamteći ugao. Brzo pomjerite pogled ili na kocku ili na crtež.

Uradimo isto sa gornjim rebrima. Osnovni zakoni linearne perspektive objašnjavaju nam kako prenijeti prostor na listu papira. Sve paralelne linije spojiti prema liniji horizonta u jednu tačku. Stoga, da bismo dočarali da je rub dalje od posmatrača, prikazat ćemo ga manje i dogovoriti viši. Na ovaj način će sve ivice biti različite visine.

Kada su se daleke horizontalne ivice ukrštale, formirali su se vrhovi. Kroz njih prolazi najudaljenije rebro, nevidljivo oku. On početna faza Hajde da predstavimo kocku kao prozirnu da bismo razumeli kompletnu strukturu objekta.

Da bismo saznali koliko su bočne ivice smanjene, koristit ćemo se metoda nišana. Koristeći ovu metodu, percipiraju se obrisi objekta, umjetnik uči da prikazuje objekte proporcionalno i iz različitih uglova.

Kako on radi? Uzmi olovku ispruženu ruku, zatvorite jedno oko, poravnajte olovku i sliku ivice kocke u prostoru. Gornja ivica Olovka treba da se poklapa sa gornjim vrhom ivice, a prstom uštipnite tačku na olovci koja se poklapa sa donjim vrhom. Bez skidanja prsta s olovke, okrenite ga pod pravim uglom i izmjerite razmak između dva ruba. Tako ćemo vidjeti omjer visine i širine jednog lica. Zapamtite ovaj omjer i prikažite ga na crtežu. Ova metoda se također može koristiti za mjerenje i prikaz omjera rebara.

Jednom završeno linearne konstrukcije, hajde da počnemo vazdušna perspektiva , a samim tim i do sjenčanja.

Glavni zadatak umjetnika je prenijeti volumetrijske forme stavke. Vidimo tri lica naše kocke, sve različite po tonu. Lijeva strana je najtamnija - ovo je vlastitu sjenu predmet. Zahvaljujući reflektovanoj svjetlosti od okolnih objekata ili refleksima, sjenčanje postaje malo svjetlije dok se udaljavamo ulijevo. Najveći rub je napravljen kontrastnijim od svih ostalih. Tako pokazuju njegovu blizinu prvom planu.

Gornja ravnina tamnije nego vertikalni sa desne strane. Svetlost samo klizi preko njega, formirajući poluton. Imajte na umu da nego bliže na izvor svetlosti, tj upaljač biće tona. Šrafiranje se može primijeniti dijagonalno. Koristite gumicu za isticanje ruba kako biste prenijeli istaknuti dio.

Za rad na najlakšoj ivici, uzmite tvrda olovka N ili 2H. To će spriječiti da ton postane previše taman. Sjenčanje nanesite okomito, u smjeru ravnine.

Padajuće sjene su uvijek tamnije od sjene samog objekta. Bliža ivica je linija prijelaza između svjetla i sjene. Od njega počinje padajuća senka. Što je bliže subjektu, to je bogatiji ton. Reflektovana svetlost iz kocke stvara refleks unutar senke i ona malo svetli.

Crtanje jednostavno geometrijska tijela se često koristi i omogućava umjetniku početniku da nauči kako prikazati objekte u prostoru, primjenjujući zakone konstrukcije perspektive i zračne perspektive.

Dodatak br. 2

Vježbe za razvoj mašte

№1. Postoje dva načina za polaganje paralelepipeda iz četiri kocke. Hoće li površina paralelepipeda biti ista u prvom i drugom slučaju?

№2. Zapremina paralelepipeda je 64 cm 3 , širina - 4 cm, visina - 2 cm. Dužina ovog paralelepipeda je smanjena za 3 cm. (Uz pomoć nastavnika, učenici moraju zamisliti da je paralelepiped koji je naveden u uvjetu isječen na dva paralelepipeda, a dužina „isječenog“ paralelepipeda je 3 cm, pa je za rješavanje zadatka potrebno smanjiti zapremina originalnog paralelepipeda sa zapreminom „odsečenog“ dela.)

№ 3 . Nacrtajte pravu liniju i označite je slovom a. Konstruirajte nekoliko tačaka koje se nalaze od prave a na udaljenosti od 2 cm.

№ 4. Na slici je prikazan žičani model kocke. Imenujte ivice koje izlaze iz temena M.

№ 5. Zasenčite vidljiva lica kocke, koristeći drugu boju za svako lice.

№ 6 . Na slici je prikazan pravougaoni paralelepiped okrenut prema posmatraču sa ivicom LN. Ocrtajte vidljive rubove punim linijama, nevidljive rubove isprekidanim linijama..

№ 7. Slika 11 pokazuje kako se konstruiše pravougaonik. Opišite predloženi metod riječima i dovršite konstrukciju.

№ 8. Razmislite koja bi od figura prikazanih na slici mogla biti mreža kocke?

№ 9. Koje tačke će se poravnati prilikom lijepljenja razvoja prikazanog na crtanje?

Završetku ovog zadatka učenici moraju da prethode skeniranjem sa lista papira.

№ 10. Duž površine staklene kocke prolazi isprekidana linija od žice. Nacrtajte ovu poliliniju na sliku kocke s prednje, gornje i lijeve strane.

№ 11. Koliko kocki je potrebno za izgradnju tornja prikazanog na slici?

№ 13. Rasporedite slova na rasklopima kocke u skladu sa već navedenim. B – bočni rub, B – gornji, H – donji.

№ 14 . Kocka je gledana odozgo desno. Nacrtajte pune linije tako da je kocka vidljiva dolje lijevo, gore desno, dolje desno.

№ 15. Koliko se različitih kvadrata sa vrhovima u datim tačkama može nacrtati na slici?

№ 16. Koji najmanji broj kocke potrebne za izgradnju tornja? Ilustracija prikazuje pogled sprijeda i pogled slijeva.

№ 17. Konstruirajte odsječak AC ako je poznato da je tačka B središte ovog segmenta i da je odsječak BC jednak 4 cm 2 mm.

№ 18 . Nacrtajte simetralu rasklopljenog ugla i simetralu svakog od rezultirajućih uglova. Koliko uglova ima ukupno? Pronađite veličine ovih uglova.

№ 19. Koliko će lica imati poliedar koji nastaje odsijecanjem svih vrhova kocke?

№ 20. Nacrtajte pune linije oko rubova kocke tako da je vidljiva odozgo desno (dolje lijevo; gore lijevo; dolje desno).

br. 21. List papira u obliku pravougaonika presavijen je na pola, kao što je prikazano na slici. Zatim izrežite duž isprekidane linije

a manji odrezani dio je odmotao. Kakav je razvojni oblik manjeg rezanog komada?

Br. 22. Pogledajte kako možete napraviti crtež spajanjem tačaka. Pokušajte sami nacrtati nešto spajanjem tačaka.

PONOVITE TEORIJU

260. Dovršite teoriju.

1) Svako lice pravougaonog paralelepipeda je pravougaonik.
2) Stranice lica pravougaonog paralelepipeda nazivaju se ivicama, vrhovi lica su vrhova pravougaonog paralelepipeda.
3) Paralelepiped ima 6 lica, 12 ivica, 8 vrhova.
4) Zovu se lica pravougaonog paralelepipeda koja nemaju zajedničke vrhove suprotno.
5) Suprotne strane pravougaonog paralelepipeda su jednake.
6) Površina paralelepipeda se naziva zbir površina njegovih lica.
7) Dužine tri ivice kvadra koji imaju zajednički vrh nazivaju se dimenzijama kvadra.
8) Da biste razlikovali dimenzije pravokutnog paralelepipeda, koristite nazive: dužina, širina i visina.
9) Kocka je pravougaoni paralelepiped sa sve dimenzije su jednake.
10) Površina kocke se sastoji od šest jednakih kvadrata.

RJEŠAVANJE PROBLEMA

261. Na slici je prikazan pravougaoni paralelepiped ABCDMKEF. Popuni praznine.

1) Vertex B pripada licima AMKV, ABCD, KVSE.
2) Rub EF jednak je rubovima KM, AB, CD.
3) Gornja strana paralelepipeda je pravougaonik MKEF.
4) Ivica DF je zajednička ivica lica AMFD i FECD.
5) Lice AMKV je jednako licu FESD.

262. Izračunaj površinu kocke čija je ivica 6 cm.

Rješenje:
Površina jednog lica je jednaka
6 2 -6*6 = 36 (cm 2)
Površina je jednaka
6*36 = 216 (cm 2)

Odgovori: Površina je 216 cm 2 .

263. Na slici je prikazan pravougaoni paralelepiped MNKPEFCD, čije su dimenzije 8 cm, 5 cm i 3 cm. Izračunaj zbir dužina svih njegovih ivica i površine.

Rješenje:
Zbir ivica
4*(8+5+3) = 64 (cm)
Površina je:
2*(8*3+8*5+5*3) = 158 (cm 2)

Odgovori: zbir dužina svih njegovih ivica je 64 cm, površina je 158 cm 2.

264. Popunite prazna polja.

1) Površina piramide sastoji se od bočnih strana - trokuta koji imaju zajednički vrh i bazu.
2) Zajednički vrh bočnih strana se zove vrh piramide.
3) Stranice osnove piramide se nazivaju bazna rebra, i stranice bočnih strana koje ne pripadaju bazi - bočna rebra.

265. Slika prikazuje SABCDE piramidu. Popuni praznine.

1) Na slici je prikazana piramida sa 5 uglova.
2) Bočne strane piramide su trouglovi SAB, SBC, SCD, SDE, SEA, a osnova je kvadrat 5, ABCDE.
3) Vrh piramide je tačka S.
4) Ivice osnove piramide su segmenti AB, BC, CD, DE, EA, a bočne ivice su segmenti SA, SB, SC, SD, SE.

266. Na slici je prikazana piramida DABC. Sve njene strane su jednakostranični trouglovi sa stranicama od 4 cm.

Rješenje:
Zbir dužina ivica je
6*4 = 24 (cm)

Odgovori: 24 cm.

267. Na slici je prikazana piramida MAVSD, čije su bočne strane jednakokraki trouglovi sa stranicama od 7 cm, a osnova je kvadrat sa stranicom od 8 cm. Koliki je zbir dužina svih ivica piramide?

Rješenje:
Zbir dužina bočnih ivica jednak je
4*7 = 28 (cm)
Zbir dužina ivica baze jednak je
4*8 = 32 (cm)
Zbir dužina svih ivica
28+32 = 60 (cm)

Odgovori: zbir dužina svih ivica piramide je 60 cm.

268. Može li imati (da, ne) oblik pravougaonog paralelepipeda:
1) jabuka; 2) kutija; 3) kolač; 4) drvo; 5) komad sira; 6) komad sapuna?

Odgovori: 1) ne; 2) da; 3) da; 4) ne; 5) da; 6) da.

269. Na slici je prikazan redoslijed koraka na slici pravokutnog paralelepipeda. Na isti način nacrtajte paralelepiped.

270. Slika prikazuje redoslijed koraka slike piramide. Nacrtajte istu piramidu.

271. Kolika je veličina ivice kocke ako je njena površina 96 cm 2?

Rješenje:
1) 96:6 = 16 (cm 2) - površina jedne strane kocke.
2) 4*4 = 16, što znači da je ivica kocke 4 cm.

Odgovori: 4 cm.

272. Zapišite formulu za izračunavanje površine S:

1) kocka čija je ivica jednaka a;
2) pravougaoni paralelepiped čije su dimenzije a, b, c.

Odgovori: 1) S = 6a 2 ; 2) S = 2(ab+as+bs)

273. Za farbanje kocke prikazane na slici lijevo potrebno je 270 g boje. Dio kocke je izrezan. Koliko će grama boje biti potrebno za farbanje dijela površine rezultirajućeg tijela, označenog plavom bojom.

Rješenje:
1) 270:6:9 = 45:9 = 5 (g) - za farbanje jednog lica
2) 5*12 = 60 (g) - za farbanje plave površine

Odgovori: trebat će vam 60 g boje

274. Koja od figura A, B, C, D, D dopunjuje figuru E u paralelepiped?

275. Pravougaoni paralelepiped i kocka imaju jednake površine površine. Visina paralelepipeda je 4 cm, što je 3 puta manje od njegove dužine i 5 cm manje od širine. Pronađite ivicu kocke.

Rješenje:
1) 4*3 = 12 (cm) dužine perellepipeda
2) 4+5 = 9 (cm) širine paralelepipeda
3) 2*(4*12+4*9+12*9) = 384 (cm 2) površine paralelepipeda
4) 384:6 = 64 (cm 2) površine površine kocke
5) 64 = 8*8 = 8 2, što znači da je ivica kocke 8 cm.

Odgovori: ivica kocke 8 cm.

276. Olovkom u boji ocrtaj vidljive ivice na slici kocke tako da se kocka vidi: 1) odozgo i desno; 2) ispod i lijevo.

277. Površine kocke su numerisane brojevima od 1 do 6. Na slici su prikazane dve verzije razvoja iste kocke dobijene jednakim rezanjem. Koji broj treba zamijeniti upitnik?

Rješavanje problema je praktična umjetnost, baš kao plivanje i trčanje. To se može naučiti samo kroz imitaciju i praksu.
D. Polya

Igranje kockica je važno u životu malog djeteta. Ali njihova uloga se ne smanjuje tokom školovanja, posebno kada studiraju matematiku. Uvijek moramo imati na umu da je učenik, školarac, prije svega dijete. On poput sunđera upija sve informacije iz svijeta oko sebe. Uvijek možete pronaći situacije ili stvoriti uslove koji mogu poslužiti kao poticaj za duboko promišljanje i kreativne i istraživačke aktivnosti kod učenika. „Da bi se dijete potaknulo na određene ideje, potrebna su i specifična sredstva Nemoguće je računati na to da će samo promatranje slučajnih događaja omogućiti djeci da otkriju vjerojatne zakonitosti, potrebno je uvesti elemente takmičenja budite uzbudljivi i budite prirodnu radoznalost djeteta, suočite ga sa stvarnošću, a pobijajte i lažne ideje“, kažu M. Gleman i T. Varga. I sa njima se ne može ne složiti.

Zadaci igraju veliku ulogu u životu osobe. Zadaci koje čovjek postavlja sebi, i zadaci koje mu postavljaju drugi ljudi i životne okolnosti, usmjeravaju sve njegove aktivnosti kroz život. Poznati ruski metodolog V.A. Evtuševski je funkcije zadataka u nastavi ovako okarakterisao: „Zadaci koji se nude u učionici sadrže živi materijal za vježbanje mišljenja učenika, za izvođenje matematičkih pravila i za uvježbavanje primjene ovih pravila u rješavanju određenih praktičnih pitanja.

Predstavljeni zabavni zadaci sa kockama su raznovrsni, jer možete odabrati kocke na čijim licima su prikazani brojevi, slova, crteži i boje. Ovakvi zadaci su primjenjivi za djecu široke starosne grupe u različitim fazama nastave matematike iu vannastavnim aktivnostima. Svi oni doprinose:

• učenje čitanja grafičkih informacija, slika geometrijskih objekata;
• razvoj prostorne mašte;
• razvijanje sposobnosti mentalnog zamišljanja različitih položaja objekta i promjena njegovog položaja ovisno o različitim referentnim točkama i sposobnosti fiksiranja ove ideje na slici;
• podučavanje logičkih opravdanja geometrijskih činjenica;
• razvoj dizajnerskih sposobnosti, modeliranje;
• razvoj kognitivni procesi: percepcija, pažnja, pamćenje, mišljenje;
• razvoj istraživačkih vještina.

Zabavni zadaci s kockicama privući će pažnju djece i učiniti njihovo zanimanje za matematiku prilično upornim, pomažući u ovladavanju matematičkim vještinama ne samo jakim učenicima, već i onima kojima je ovaj školski predmet najteži.

Zadaci.

Zadatak br. 1. Označite 8 vrhova kocke rednim brojevima (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) tako da zbir brojeva na svakoj od njenih šest strana bude isti (slika 1a).

Odgovori. Svaki vrh kocke pripada trima stranama, tako da zbir 1 + 2 + : + 8 treba pomnožiti sa 3, a zatim podijeliti sa 6 (brojem lica), dobićete 18 - zbir brojeva na svakoj strani (Sl. 1b).

Slika 1.

Zadatak br. 2. Da li je moguće "numerisati" sve ivice celim brojevima tako da su sumi brojeva ivica koje konvergiraju u svakom vrhu jednake ako su to brojevi: a) 1; 2; :; 12; b) -6; -5; :; -1; 1; 2; :; 6?

a) Ne Pretpostavimo da je to moguće i da je zbir broja ivica koje konvergiraju u svakom vrhu jednak x. Tada je zbir brojeva na svih osam ivica kocke 8x. S druge strane, pošto je svaki broj dva puta uključen u ovaj zbir, onda je isti taj zbir jednak: (1 + 2 + : + 11 + 12) 2 = (1 + 12) 12 = 156. Jednačina 8x = 156 u cjelobrojna rješenja ne, tako da je naša pretpostavka netačna.

b) Da. Zbir broja ivica koje konvergiraju na svakom vrhu jednak je 0 (slika 2).

Slika 2.

Zadatak br. 3. Na sl. Slika 3 prikazuje figuru koja je razvoj kocke. Tanke linije su linije preklapanja. Mentalno presavijte kocku iz rasklopljenog uzorka. Odredite koje je lice na vrhu ako je zasjenjeno lice donje.

Slika 3.

Odgovori. "V".

Zadatak br. 4. Slova su napisana na stranama neprozirne kocke kao što je prikazano na sl. 4a. Kocka je bačena i pala je tako da je jedno od slova počelo da se nalazi kao što je prikazano na sl. 4b. Nacrtajte odgovarajuća slova na preostale strane kocke (mogu se rotirati). Provjerite svoj odgovor pomoću modela kocke.

Slika 4.

Odgovori. Rice. 4c.

Zadatak br. 5. Mentalno otkotrljajte kocku iz svakog razvoja datog na sl. 5 i odredite koje je lice gornje ako je donje lice zasjenjeno.

Odgovori. a) D, b) B, c) D, d) C.

Slika 5.

Zadatak br. 6. Sve kocke na sl. 6a su isti. Ponovo nacrtajte uzorak jedne od kocki (slika 6b) i stavite slova koja nedostaju.

Slika 6.

Odgovori. Rice. 6. vek

Zadatak br. 7. Bacili smo kocku (sl. 7a) tako da je pala, kao što je prikazano na sl. 7b popuniti prazne vidljive strane kocke.

Odgovori. Rice. 7. vek

Slika 7.

Zadatak br. 8. Na pravo mjesto na prednjoj strani kocke upišite slova G i P na ispravno mjesto (slika 8).

Slika 8.

Odgovori. Rice. 9.

Slika 9.

Zadatak br. 9. Posmatrajući okvir kocke prvo s prednje strane (pogled A), zatim slijeva (pogled B) i na kraju odozgo (pogled C), pročitajte riječ formiranu podebljanim linijama (Sl. 10). ).

Odgovori. 1) BOR, 2) SMREKA, 3) BES.

Slika 10.

Problem br. 10. Na sl. 11 prikazuje figuru koja je razvoj kocke ( fine linije- ovo su linije pregiba). Koje tačke će se poklapati sa tačkom A prilikom lijepljenja razvoja prikazanog na slici?

Slika 11.

Odgovori. M, H.

Zadatak br. 11. Nakon što ste tačno prikazali tri pravougaone projekcije kocke sa slovima pomaknutim jedno između drugog, pročitajte ruski narodna mudrost(Sl. 12a).

Odgovori. Lijenost je majka poroka (slika 12b).

Slika 12.

Zadatak br. 12. Od kartona je zalijepljena kocka sa ispisanim slovima na ivicama. Na sl. 13a prikazuje jednu verziju razvoja ove kocke sa slikom slova na njenim licima.

Slika 13.

Nacrtajte slova na praznim stranama druge verzije razvoja ove kocke (sl. 13b-d).

Odgovori. Rice. 14.

Slika 14.

Zadatak br. 13. Ako pogodite kako rasporediti slova na kockama (na prednjim stranama), onda će slova na gornjim stranama formirati novu riječ (Sl. 15).

Odgovori. MAČICA - MAJMAN.

Slika 15.

Problem br. 14. Iz slika prikazanih na sl. 16, odaberite one koje su dimenzije kocke. Istaknite ih bojom. Ponovo nacrtajte podatke slike, izrežite ih i provjerite svoj izbor.

Slika 16.

Odgovori. “a”, “b”, “d”, “d”, “f”, “g”.

Zadatak br. 15. Koja se od kocki prikazanih na slikama 17b-h može zalijepiti iz izgleda (Slika 17a)?

Slika 17.

Odgovori. "e".

Problem br. 16. Na sl. 18 vidite tri dječja bloka. Svi su okrenuti prema nama istim uzorkom - šarom riblje kosti. Označite koje ćemo slike vidjeti na svakoj od kocki, gledajući ih odozgo, uzimajući u obzir razvoj kocke.

Slika 18.

Odgovori. a) lopta, b) list, c) oblak.

Zadatak br. 17. Označite boje lica kocke na razvoju prikazanom na sl. 19a-b, ako je na Sl. 19v-d kocka je predstavljena u tri različita položaja.

Slika 19.

Odgovori. Rice. 20.

Slika 20.

Zadatak br. 18. Površine kocke su obojene kao što je prikazano na sl. 21. Kocka je bačena. Pao je tako da je prednja ivica postala prozirna ivica. Obojite preostale strane kocke u odgovarajuće boje (slika 21). Razmotrite sve moguće opcije. Napravite neophodan pregled. Izreci to i provjeri svoj odgovor.

Slika 21.

Odgovori. Rice. 22.

Slika 22.

Zadatak br. 19. Od raznobojnih kockica napravljena je igračka (sl. 23a). Obojite kocke ako je crvena između plave i žute, a žuta ispod zelene.

Slika 23.

Odgovori. Rice. 23b.

Zadatak br. 20. Obojite maksimalan broj vrhova kocke crvenom bojom tako da među crvenim vrhovima nije moguće izabrati tri koja čine jednakostranični trougao.

Odgovori. Maksimalni mogući broj crvenih vrhova je četiri. Dokažimo to.

Moguće je slikati četiri vrha. Na primjer, možete obojiti četiri vrha jednog lica. U ovom slučaju, crveni vrhovi formiraju kvadrat i među njima nema tri koja čine jednakostranični trokut.

Dokažimo da je nemoguće obojiti pet vrhova kocke koji zadovoljavaju uslov. Obojimo četiri vrha kocke Plava boja, a preostale - zelenom (Sl. 24). Imajte na umu da postoji ista udaljenost između bilo koja dva vrha iste boje. Hajde da budemo u mogućnosti da prebojimo pet vrhova u crveno. Zatim su neke tri od njih ofarbane u istu boju. Stoga formiraju jednakostranični trokut.

Slika 24.

Zadatak br. 21. Na stranama kocke nalaze se figure kao na sl. 25a. Kocka se sukcesivno kotrlja od lica do lica, kao što je prikazano na sl. 25b. Koje figure treba da se nalaze na gornjoj i desnoj strani zadnje slike kocke?

Slika 25.

Odgovori. Na gornjoj strani je krug, na desnoj strani je kvadrat.

Zadatak br. 22. Bijela kocka, čija je ivica 3 cm, obojena je plavom bojom, a zatim isječena na kocke sa ivicom dužine 1 cm Koliko ih ima jedno obojeno lice, dvije obojene, tri boje lica? Postoji li kocka sa neobojenim licima?

Odgovori. Imaju jedno oslikano lice - 6 kocki, dva oslikana lica - 12 kockica, tri oslikana lica - 8 kocki, kocku sa neobojenim licima - 1 kocku.

Zadatak br. 23. Dvije kocke, čije su suprotne strane obojene istom bojom, spojene su na različite načine. Zaboravili su da obojaju neke strane kocke. Obojite ih odgovarajućim bojama (slika 26).

Slika 26.

Odgovori. Rice. 27.

Slika 27.

Zadatak br. 24. Nakon što se razvoj savije u kocku, koja će se od sljedećih kocki dobiti (slika 28)? (Zanemarite položaj slika.)

Odgovori. "G".

Slika 28.

Zadatak br. 25. Koja kocka je zalijepljena iz ovog razvoja (Sl. 29)?

Odgovori. "A".

Slika 29.

Zadatak br. 26. Pronađite spoj tri dijela kocke lijevo od znakova jednakosti (sl. 30a, b) i nacrtajte ga desno od znakova jednakosti kao što je prikazano u primjeru (slika 31) .

Slika 30.

Slika 31.

Odgovori. Rice. 32.

Slika 32.

Zadatak br. 27. Svaka od figura prikazanih lijevo od znakova jednakosti (Sl. 33) je spoj dva dijela kocke dobijenog presjecanjem ravninom koja prolazi kroz centar. Vratite ove dijelove, prikazujući odgovor u obliku sličnom prethodnom zadatku.

Slika 33.

Odgovori. Rice. 34.

Slika 34.

Zadatak br. 28. Sve strane kocke su obojene različitim bojama, a svako lice je obojeno istom bojom. Ako ovu kocku pogledate s jedne strane, možete vidjeti plava, žuta i bijela lica. Sa druge strane vidljive su crne, plave i crvene ivice. Na trećoj strani vidljive su zelene, crne i bijele ivice. Koja ivica je nasuprot bijeloj?

Odgovori. Nasuprot bijeloj ivici je crvena ivica.

Zadatak br. 29. Koliko kocki je utrošeno za izgradnju tornja (Sl. 35)?

Slika 35.

Odgovori. a) 28; b) 44.

Zadatak br. 30. Koliko kocki je potrebno da se savije takva figura (Sl. 36)?

Odgovori. 106 kockica.

Slika 36.

Problem br. 31. Na sl. 37a prikazuje četiri kocke. Različito su obojene, ali svaka od njih ima suprotne ivice iste boje. Od ovih kockica sagradili su figure „postolje“, a zatim i paralelepiped. Napravili su ga tako da su dodirne površine kocki iste boje. Završite bojenje figura na sl. 37b,c i označite brojeve kocki.

Slika 37.

Odgovori. Rice. 38.

Slika 38.

Problem br. 32. Putovanje muhe. Muva, počevši od tačke A, može obići četiri strane osnove kocke za 4 minute. Koliko će joj vremena trebati da stigne od A do suprotnog vrha B (slika 39a).

Slika 39.

Odgovori. Pametna muva bi izabrala putanju označenu na sl. 39b sa punom linijom, biće potrebno 2,236 minuta da se savlada. Staza označena isprekidanom linijom je duža i trajat će duže da se završi.

Zadatak br. 33. Velika kocka je zalijepljena od malih drvenih kockica. U njemu je izbušeno 6 prolaznih rupa, paralelno sa rebrima (sl. 40). Koliko malih kockica je ostalo netaknuto?

Slika 40.

Odgovori. 44 kocke.

Zadatak br. 34. Imam komad sira u obliku kocke. Kako da napravim jedan ravan rez nožem tako da dva nova lica budu pravilni šesterokuti? Naravno, ako sečemo sir u pravcu isprekidane linije na sl. 41a, onda dobijamo dva kvadrata. Pokušajte da dobijete šesterokute.

Odgovori. Označite sredine rebara BC, CH, HE, EF, FG i GB. Zatim, počevši od vrha, napravite rez duž ravnine označene isprekidanom linijom (Sl. 41b). Tada će svaka od dvije nove površine biti pravilan šestougao, a desni dio će izgledati nešto poput onog prikazanog na sl. 41c.

Slika 41.

Problem br. 35. Reklamna agencija poslala je ove crteže kupcu - proizvođaču ambalaže. Od njega je zatraženo da odluči koja boja treba biti na strani paketa koja je nasuprot žutoj strani na slici. 42 P: Sledećeg dana zvala je mušterija. Koje je pitanje postavio?

Slika 42.

Odgovori. Pitao je: „Da li je tu greška ili ste namerno ponovili žuta? " Kompletan dijagram je prikazan na slici 43.

Slika 43.

Zadatak br. 36. Na ovim arhitektonskim modelima svaka kocka je zaseban stan (sl. 44). Ugovor o izgradnji će dobiti arhitekta čiji model ima najviše stanova. Koji raspored ispunjava ovaj zahtjev?

Slika 44.

Odgovori. Raspored zgrade A ispunjava ovaj uslov; ova zgrada ima 80 stanova, dok zgrada B ima samo 79.

Problem br. 37. Legenda povezana s problemom udvostručavanja površine kocke postala je klasična. Filopon priča kako su Atinjani, uplašeni epidemijom kuge 432. p.n.e. e., obratio se Platonu za savjet. Ali prije nego što su došli kod velikog filozofa, obratili su se Apolonu, koji im je, kroz usta delfskog proročišta, naredio da udvostruče veličinu zlatnog oltara u svom hramu. Međutim, pokazalo se da Atinjani nisu u stanju da to učine. Platon je rekao da ih je zadesila nesreća zbog zlonamjernog zanemarivanja uzvišene nauke geometrije, i žalio se da među njima nema nijedne osobe dovoljno mudre da riješi ovaj problem.

Problem Delfskog orakula, gdje se jednostavno radi o udvostručenju kocke, toliko je usko povezan s problemom Platonovih kocki da ih autori koji nisu baš iskusni u matematici često brkaju. Posljednji problem se također naziva problemom Platonovih geometrijskih brojeva, obično tvrdeći da se gotovo ništa ne zna o njegovim pravim uslovima. Neki čak veruju da su njeni uslovi izgubljeni.

Postoji drevni opis masivna kocka podignuta u centru popločane platforme i nije potrebna velika mašta da se ovaj spomenik poveže sa Platonovim problemom. Na slici 45 vidite Platona kako razmišlja o tako masivnoj mramornoj kocki, koja se sastoji od niza manjih kockica. Spomenik se uzdiže u sredini kvadratne platforme obložene istim malim mramornim kockama.

Slika 45.

Broj kocki na lokalitetu iu spomeniku je isti. Reci mi koliko je kocki potrebno da se napravi spomenik i kvadratna platforma i riješit ćeš veliki problem Platonovih geometrijskih brojeva.

Odgovori. Problem zahtijeva pronalaženje broja koji će, kada je narezan na kocku, dati tačan kvadrat. Ispostavilo se da se to dešava sa bilo kojim brojem koji je i sam kvadrat. Najmanji kvadrat (ne računajući 1) je 4, tako da bi spomenik mogao sadržavati 64 male kocke (4 * 4 * 4) i stajati u sredini kvadrata 8 * 8, naravno, to se ne slaže s prikazanim proporcijama figura. Stoga ćemo pokušati sa sljedećim kvadratom, 9, što rezultira spomenikom od 729 kocki koji stoji na kvadratu 27 * 27. Ovo je tačan odgovor, jer se jedino slaže sa slikom.

Problem br. 38. Na istoku, umjetnost miješanja različitih vrsta čaja ne zanemaruje milioniti dio unce! Kažu da su se tajne nekih mješavina čuvale u dubokoj tajnosti i da se nisu mogle ponoviti vekovima.

Da bismo ilustrirali koliko je teško proniknuti u umjetnost miješanja čaja, predstavljamo vam jedan jednostavan zadatak u kojem se miješaju samo dvije vrste.

Blender je dobio dvije kutije čaja. Obje su bile kubičnog oblika, ali su bile različite veličine. Veća kutija sadržavala je crni čaj, a manja zeleni čaj. Pomiješavši sadržaj ovih kutija, čovjek je otkrio da je nastala mješavina uspjela napuniti tačno 22 kubične kutije i iste veličine. Pretpostavimo da su unutrašnje dimenzije kutija izražene kao konačni decimalni razlomak. Možete li odrediti udio crnog i zelenog čaja u ovoj mješavini? Drugim riječima, pronađite dva različita racionalni brojevi, tako da se pri sabiranju njihovih kocki dobije rezultat koji bi, nakon dijeljenja sa 22, a zatim uzimanja kubnog korijena, također vodio do racionalnog broja.

Odgovori. Kocka sa ivicom od 17,299 inča i kocka sa ivicom od 25,469 inča imaju ukupnu zapreminu (21697,794418608 kubnih inča) tačno jednaku ukupnoj zapremini 22 kocke sa ivicom od 9,954 inča svaka. Stoga su zeleni i crni čaj pomiješani u omjeru (17299) 3 prema (25469) 3.

Bibliografija:

1. Bizam D., Herceg Y. Igra i logika. 85 logičkih zadataka / prev. sa mađarskog Yu.A. Danilova. - M.: Mir, 1975. - 358 str.
2. Vannastavne aktivnosti iz matematike u 4-5 razredima / ur. S.I. Shvartsburda. - M.: Obrazovanje, 1974. - 191 str.
3. Vannastavni rad iz matematike u 6-8 razredima / ur. S.I. Shvartsburda. - M.: Obrazovanje, 1977. - 288 str.
4. Gardner M. Hajde, pogodi! / per. sa engleskog - M.: Mir, 1984. - 213 str.
5. Gardner M. Matematička čuda i tajne: trans. sa engleskog / ed. G.E. Shilova. - 5th ed. - M.: Nauka, 1986. - 128 str.
6. Gardner M. Matematičko slobodno vrijeme: trans. sa engleskog / ed. Ya.A. Smorodinski. - M.: Mir, 1972. - 496 str.
7. Gardner M. Matematičke kratke priče: trans. sa engleskog / ed. Ya.A. Smorodinski. - M.: Mir, 1974. - 456 str.
8. Gleman M., Varga T. Verovatnoća u igricama i zabavi: elementi teorije verovatnoće u toku okruženja. Škole: priručnik za nastavnike / prev. od fr. A.K. Zvonkina. - M.: Obrazovanje, 1979. - 176 str.
9. Zabavna matematika. 5-11 razredi. (Kako da časovi matematike ne budu dosadni) / autor.-kom. T.D. Gavrilova. - Volgograd: Učitelj, 2005. - 96 str.
10. Kordemsky B.A. Matematičke enticements. - M.: Izdavačka kuća ONYX: Alliance-V, 2000. - 512 str.
11. Matematika: Intelektualni maratoni, turniri, bitke: od 5. do 11. razreda. Knjiga za nastavnike. - M.: Izdavačka kuća "Prvi septembar", 2003. - 256 str.
12. Mosteller F. Pedeset zabavnih probabilističkih problema s rješenjima / prev. sa engleskog - M.: Nauka, 1985. - 88 str.
13. Olimpijski zadaci iz matematike. 5-8 razreda. 500 nestandardnih zadataka za održavanje takmičenja i olimpijada: razvoj kreativne suštine učenika / autor. N.V. Zobolotneva. - Volgograd: Učitelj, 2005. - 99 str.
14. Perelman Ya.I. Zabavni zadaci i eksperimenti. - M.: Dječija književnost, 1972. - 464 str.
15. Russell K., Carter F. Intelligence training. - M.: Eksmo, 2003. - 96 str.
16. Friedman L.M. Zadaci iz matematike. Istorija, teorija, metodologija. - M.: Školska štampa, 2002. - 208 str.
17. Sharygin I.F., Shevkin A.V. Matematika: zadaci za domišljatost: udžbenik. dodatak za 5-6 razreda. opšte obrazovanje institucije. - M.: Obrazovanje, 1995. - 80 str.

Klub 5. razreda

Šef Blinkov Aleksandar Davidovič
2005/2006 akademska godina

Kocka i njen razvoj (9.03 i 11.03)

Buratino je sa jedne strane imao papir prekriven polietilenom. Napravio je prazninu prikazanu na slici da od nje zalijepi karton od mlijeka. Lisica Alis je rekla da bi mogla napraviti još jednu prazninu i zalijepiti istu vrećicu. Koji?

Tijela prikazana na slici su sastavljena od kocki. Koliko kockica ima u svakoj od njih?

On vidljive ivice Kocka sadrži brojeve 1, 2 i 3. A na skeniranju - dva navedena broja ili jedan. Postavite brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6 na stranice kocke tako da zbir brojeva na suprotnim stranama bude jednak 7.

Isprekidane linije Na slici su prikazane nevidljive ivice kocke. Shodno tome, vidljive linije su prikazane punim linijama. Pogledali smo kocku u gornjem desnom uglu. Na slikama a, b, c nacrtajte pune linije tako da se kocka vidi
a) dole desno;
b) gore lijevo;
c) dolje lijevo.

Dodatni zadaci

Drvena kocka spolja je bila obojena plavom bojom. Nakon toga, svako rebro je podijeljeno na 5 dijelova i ova kocka je izrezana na male s rebrom 5 puta manjim. Koliko si malih kockica dobio?
A) Koliko kocki ima tri obojene stranice?
B) Dva lica?
C) Jedna ivica?
D) Nijedan?

Segment koji povezuje dva većina daleki prijatelj jedan od drugog vrha kocke naziva se njena dijagonala. Kako izmjeriti dijagonalu neprazne kocke pomoću ravnala i imati tri takve kocke?

Crtež za zadatak 2