Potraga za našim porijeklom je sok tog slatkog voća koji donosi toliko zadovoljstva u misli filozofa.

Luca Pacioli (1445–1517)
Samo nekoliko velikih slikara u ljudskoj istoriji bili su i nadareni matematičari. Međutim, izraz "renesansni čovjek" u našem rječniku označava osobu koja je oličila renesansni ideal najšireg pogleda i obrazovanja. Tako su tri najpoznatija umjetnika renesanse - Italijani Piero della Francesca (oko 1412-1492) i Leonardo da Vinci i Nijemac Albrecht Dürer, također dali vrlo značajan doprinos matematici. Možda nije iznenađujuće što su matematička istraživanja sva tri bila povezana sa zlatnim rezom. Najaktivniji matematičar ovog briljantnog tria virtuoza bio je Piero della Francesca. Zapisi Antonija Marije Gracijanija, koji je bio u srodstvu sa Pjerovim praunucima i koji je kupio umetnikovu kuću, ukazuju da je Pjero rođen 1412. godine u Borgo Sansepolkrou u centralnoj Italiji. Njegov otac Benedetto bio je uspješan kožar i obućar. O Pjerovom djetinjstvu se gotovo ništa više ne zna, ali su nedavno otkriveni dokumenti koji jasno govore da je prije 1431. proveo neko vrijeme kao šegrt kod umjetnika Antonija D'Angiarija, čija djela do nas nisu stigla. Krajem 1430-ih Piero se preselio u Firencu, gdje je počeo da sarađuje sa umjetnikom Domenico Venezianom. U Firenci se mladi umjetnik upoznao sa radovima ranih renesansnih umjetnika – uključujući Fra Angelica i Masaccia – i sa skulpturama Donatela. Posebno ga je dojmila veličanstvena vedrina Fra Angelicovih djela na vjerske teme, a njegova sopstveni stil odražava ovaj utjecaj u svemu što se odnosi na svjetlost i sjenu i boju. U narednim godinama, Pierrot je neumorno radio u većini različitim gradovima– uključujući Rimini, Arezzo i Rim. Pierrotove figure odlikovale su se arhitektonskom strogošću i monumentalnošću, kao u "Kristovom bičevanju" (sada se slika čuva u National Gallery Marche u Urbinu; pirinač. 45), ili se činilo da su prirodni nastavak pozadine, kao u „Krštenju“ (trenutno u Nacionalnoj galeriji u Londonu; sl. 46). Prvi istoričar umetnosti Giorgio Vasari (1511–1574) u svom „Životu najpoznatijih slikara, vajara i arhitekata“ piše da Pjero sa ranu mladost pokazao izuzetne matematičke sposobnosti, a zaslužan je za pisanje "brojnih" matematičkih rasprava. Neki od njih su nastali u starosti, kada umjetnik zbog nemoći više nije mogao slikati. U posvetnom pismu vojvodi Gvidobaldu od Urbina, Piero spominje jednu od svojih knjiga, napisanu „kako njegov um ne bi postao krut od neupotrebe“. Do nas su stigla tri Pierrotova djela o matematici: “ De Prospectiva pingendi"("O perspektivi u slikarstvu"), " Libellus de Quinque Corporibus Regularibus"("Knjiga o pet pravilnih poliedara") i " Trattato d ’Abaco"("Traktat o računima").

Rice. 45

Rice. 46
Rasprava O perspektivi (sredina 1470. - 1480.) sadrži mnoge reference na Euklidove elemente i optiku, jer je Piero della Francesca odlučio da dokaže da je tehnika prenošenja perspektive u slikarstvu u potpunosti zasnovana na matematičkim i fizičkim svojstvima vizuelne perspektive. Na slikama samog umjetnika, perspektiva je prostrana posuda koja je u potpunosti u skladu s geometrijskim svojstvima figura sadržanih u njoj. Zapravo, za Pierrota, samo slikanje se prvenstveno svodilo na „prikazivanje tijela smanjene ili uvećane veličine na avionu“. Ovakav pristup je jasno vidljiv na primjeru „Bičevanja“ (sl. 45 i 47): ovo je jedna od rijetkih slika renesanse gdje je perspektiva građena i razrađena vrlo pažljivo. Kako piše savremeni umjetnik David Hockney u svojoj knjizi Tajno znanje ( David Hockney. Tajno znanje, 2001.), Pierrot slika figure „onakve kakve on vjeruje da bi trebale biti, a ne onakve kakvima ih on vidi“.

Povodom 500. godišnjice Pierove smrti, naučnici Laura Geatti sa Univerziteta u Rimu i Luciano Fortunati iz Nacionalnog istraživačkog vijeća u Pizi izvršili su detaljnu analizu bičavanja pomoću kompjutera. Digitalizirali su cijelu sliku, odredili koordinate svih tačaka, izmjerili sve udaljenosti i sastavili potpuna analiza perspektive zasnovane na algebarskim proračunima. To im je omogućilo da precizno odrede lokaciju "tačke nestajanja" gdje se ukrštaju sve linije koje vode do horizonta od posmatrača (slika 47), zahvaljujući čemu je Pierrot uspio postići "dubinu" koja ostavlja tako snažan utisak .

Rice. 47
Pierrotova knjiga o perspektivi, koju odlikuje jasnoća prezentacije, postala je standardni vodič za umjetnike koji pokušavaju crtati ravne figure i geometrijska tijela, a oni njezini dijelovi koji nisu preopterećeni matematikom (i koji su razumljiviji) uključeni su u većinu narednih radova. na perspektivu. Vasari tvrdi da je Pierrot dobio solidno matematičko obrazovanje i da je stoga "bolje od bilo kojeg drugog geometra razumio kako najbolje crtati krugove u pravilnim tijelima, a on je bio taj koji je rasvijetlio ova pitanja" ( u daljem tekstu per. A. Gabričevski i A. Benediktov). Primjer kako je Pierrot pažljivo razvio metodu crtanja pravilnog pentagona u perspektivi može se vidjeti na Sl. 48.

I u svom Traktatu o Abakusu i u svojoj Knjizi o pet pravilnih poliedara, Pierrot postavlja (i rješava) mnoge probleme koji uključuju pentagon i pet Platonovih tijela. Izračunava bočne i dijagonalne dužine, površine i zapremine. Mnoge odluke se zasnivaju na zlatni omjer, a neke od Pierrotovih tehnika svjedoče o njegovoj domišljatosti i originalnosti razmišljanja.

Rice. 48
Piero je, kao i njegov prethodnik Fibonači, napisao Raspravu o Abakusu uglavnom da bi svojim savremenicima biznismena pružio aritmetičke „recepte“ i geometrijska pravila. U svijetu trgovine u to vrijeme nije postojao jedinstven sistem težina i mjera, pa čak ni dogovori o veličinama i oblicima kontejnera, tako da je bilo nemoguće bez mogućnosti izračunavanja zapremine cifara. Međutim, Pierrotova matematička radoznalost odvela ga je daleko dalje od tema koje su svedene na svakodnevne potrebe. Stoga u njegovim knjigama nalazimo i "beskorisne" probleme - na primjer, izračunavanje dužine ivice oktaedra upisanog u kocku, ili prečnika pet malih krugova upisanih u krug većeg prečnika (Sl. 49) . Za rješavanje posljednjeg problema koristi se pravilan pentagon, a samim tim i zlatni rez.

Rice. 49
Pierrotovo algebarsko istraživanje uglavnom je uključeno u knjigu koju je objavio Luca Pacioli (1445–1517) pod naslovom „ Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita"("Kodeks znanja iz aritmetike, geometrije, proporcija i proporcionalnosti"). Pierova djela o poliedrima, napisana na latinskom, preveo je na talijanski isti Luca Pacioli - i ponovo uključena (ili, manje delikatno, jednostavno ukradena) u njegovu čuvenu knjigu o zlatnom rezu pod naslovom "O božanskoj proporciji" (" O božanskoj proporciji” („O božanskoj proporciji”) Divina Proportione »).

Ko je on bio, ovaj kontradiktorni matematičar Luca Pacioli? Najveći plagijator u istoriji matematike - ili još uvek veliki popularizator matematičke nauke?

Neopevani heroj renesanse?

Luca Pacioli je rođen 1445. godine u istom toskanskom gradu Borgo Sansepolcro gdje je rođen Piero della Francesca i držao svoju radionicu. Osim toga, Luca je svoje osnovno obrazovanje stekao u Pierrotovoj radionici. Međutim, za razliku od drugih učenika koji su pokazali sklonost slikanju - neki od njih, na primjer, Pietro Perugino, bili su predodređeni da postanu veliki slikari - ispostavilo se da je Luca bio skloniji matematici. Pjero i Pacioli su i ubuduće održavali prijateljske odnose: dokaz za to je da je Pjero prikazao Paciolija u liku Svetog Petra od Verone (Petra Mučenika) na „oltaru Montefeltra“. Dok je još bio relativno mlad, Pacioli se preselio u Veneciju i tamo postao mentor trojici sinova bogatog trgovca. U Veneciji je nastavio svoje matematičko obrazovanje pod vodstvom matematičara Domenica Bragadina i napisao prvu knjigu o aritmetici.

Godine 1470. Pacioli je studirao teologiju i postao franjevački redovnik. Od tada je postalo uobičajeno zvati ga Fra Luca Pacioli. U narednim godinama mnogo je putovao, predavajući matematiku na sveučilištima u Perugi, Zadru, Napulju i Rimu. U to vrijeme, Pacioli je vjerovatno neko vrijeme podučavao i Gvidobalda Montefeltra, koji je 1482. godine trebao postati vojvoda od Urbina. Možda najbolji portret matematičara je slika Jacopa de Barbarija (1440–1515), koja prikazuje Luca Paciolija kako drži lekciju geometrije (slika 50, slika se nalazi u muzeju Capodimonte u Napulju). Desno na Paciolijevoj knjizi" Summa» počiva jedno od Platonovih tijela - dodekaedar. Sam Pacioli, u franjevačkom mantiju (također sličnom pravilnom poliedru, ako dobro pogledate), kopira crtež iz XIII knjige Euklidovih elemenata. Prozirni poliedar nazvan rombikuboktaedar (jedno od arhimedovih čvrstih tijela, poliedar sa 26 lica, od kojih je 18 kvadrata, a 8 jednakostraničnih trokuta), visi u zraku i do pola ispunjen vodom, simbolizira čistoću i vječnost matematike. . Umjetnik je uspio sa zadivljujućom vještinom prenijeti prelamanje i refleksiju svjetlosti u staklenom poliedru. Identitet Paciolijevog učenika prikazanog na ovoj slici bio je predmet kontroverzi. Konkretno, pretpostavlja se da je ovaj mladić sam vojvoda Guidobaldo. Engleski matematičar Nick MacKinnon iznio je zanimljivu hipotezu 1993. godine. U svom članku “Portret fra Luce Paciolija”, objavljenom u “ Mathematical Gazette” i na osnovu vrlo solidnog istraživanja, MacKinnon zaključuje da je riječ o portretu velikog njemačkog slikara Albrechta Dürera, kojeg su jako zanimale i geometrija i perspektiva (a na njegov odnos s Paciolijem vratit ćemo se malo kasnije). Zaista, lice učenika zapanjujuće liči na Direrov autoportret.

Rice. 50
Godine 1489. Pacioli se vratio u Borgo Sansepolcro, pošto je dobio neke privilegije od samog pape, ali ga je lokalni vjerski establišment dočekao s ljubomornim neprijateljstvom. Oko dvije godine mu je čak bilo zabranjeno da predaje. Godine 1494, Pacioli je otišao u Veneciju da štampa svoju knjigu " Summa“, koji je bio posvećen vojvodi Gvidobaldu. " Summa„po prirodi i obimu (oko 600 stranica) je istinski enciklopedijsko djelo, gdje je Pacioli objedinio sve što je u to vrijeme bilo poznato u oblasti aritmetike, algebre, geometrije i trigonometrije. Pacioli se u svojoj knjizi ne ustručava da probleme o ikosaedru i dodekaedru pozajmi iz “Traktata” Piera della Francesca i druge probleme u geometriji, kao i u algebri, iz radova Fibonaccija i drugih naučnika (međutim, obično izražava zahvalnost autoru, kako se i očekivalo). Pacioli priznaje da mu je glavni izvor Fibonači i kaže da tamo gdje nema referenci na nekog drugog, djela pripadaju Leonardu iz Pize. Zanimljiva rubrika" Summa» – računovodstveni sistem dvostrukog unosa, metoda koja vam omogućava da pratite odakle je novac došao i kuda je otišao. Ovaj sistem nije izmislio sam Pacioli, on je samo spojio tehnike venecijanskih trgovaca renesanse, ali se vjeruje da je ovo prva knjiga o računovodstvu u istoriji čovječanstva. Paciolijeva želja da "omogući biznismenu da odmah dobije informacije o svojoj imovini i finansijskim obavezama" mu je donijela nadimak "otac računovodstva", a računovođe širom svijeta su 1994. godine proslavile petstogodišnjicu " Summa„u Sansepolcrou, kako se ovaj grad sada zove.

Godine 1480. mjesto vojvode od Milana je zapravo preuzeo Ludovico Sforza. U stvarnosti, on je bio samo regent pravom vojvodi, koji je tada imao samo sedam godina; ovim događajem okončan je period političkih intriga i ubistava. Ludovico je odlučio da svoj dvor ukrasi umjetnicima i naučnicima i 1482. godine pozvao je Leonarda da Vincija u “koledž vojvodskih inženjera”. Leonardo je bio veoma zainteresovan za geometriju, posebno za njenu praktičnu primenu u mehanici. Prema njegovim riječima, "Mehanika je raj među matematičkim naukama, jer ona daje plodove matematike." A kasnije, 1496. godine, Leonardo je najvjerovatnije osigurao da vojvoda pozove Paciolija na dvor kao nastavnika matematike. Leonardo je nesumnjivo studirao geometriju od Paciolija i usadio mu ljubav prema slikarstvu.

Dok je bio u Milanu, Pacioli je završio rad na trotomnoj raspravi O božanskoj proporciji, koja je objavljena u Veneciji 1509. Prvi tom, " Compendio de Divina Proportione” (“Kompendij o božanskoj proporciji”), sadrži detaljan sažetak svih kvaliteta zlatnog omjera (koji Pacioli naziva “božanskom proporcijom”) i proučavanje Platonovih tijela i drugih poliedara. Na prvoj stranici “O božanskoj proporciji” Pacioli pomalo pompezno izjavljuje da je to “djelo neophodno za sve radoznale, jasne ljudske umove, u kojem svako ko voli da proučava filozofiju, perspektivu, slikarstvo, skulpturu, arhitekturu, muziku i druge matematičke discipline naći će vrlo suptilno, elegantno i šarmantno učenje i uživaće u raznim pitanjima koja utiču na sve tajne nauke.”

Pacioli je prvi tom svoje rasprave “O božanskoj proporciji” posvetio Ludoviku Sforci, a u petom poglavlju navodi pet razloga zašto, po njegovom mišljenju, zlatni rez ne treba nazivati ​​drugačije nego božanskom proporcijom.

1. “Ona je jedna, ujedinjena i sveobuhvatna.” Pacioli upoređuje jedinstvenost zlatnog preseka sa činjenicom da je „Jedan“ „najviši epitet samog Boga“.

2. Pacioli vidi sličnost između činjenice da definicija zlatnog preseka uključuje tačno tri dužine (AC, CB i AB na sl. 24), i postojanja Svetog Trojstva – Oca, Sina i Svetoga Duha.

3. Za Paciolija su neshvatljivost Boga i činjenica da je zlatni rez iracionalan broj ekvivalentni. Evo kako on piše: „Kao što se Gospod ne može pravilno definisati i ne može pojmiti rečima, tako se ni naša proporcija ne može preneti u razumljivim brojevima i izraziti bilo kojom racionalnom količinom, ona će zauvek ostati misterija, skrivena od svih, i matematičari to nazivaju iracionalnim.”

4. Pacioli upoređuje sveprisutnost i nepromjenjivost Boga sa samosličnošću, koja je povezana sa zlatnim rezom: njegova vrijednost je uvijek nepromijenjena i ne zavisi od dužine segmenta koji je podijeljen u odgovarajućoj proporciji, ili od veličine pravilnog pentagona, u kojem se računaju omjeri dužina.

5. Peti razlog pokazuje da je Pacioli imao čak više platonističkih pogleda na biće nego sam Platon. Pacioli tvrdi da je kao što je Bog dao život univerzumu kroz kvintesenciju koja se ogleda u dodekaedru, tako je zlatni rez dao život dodekaedru, jer je nemoguće izgraditi dodekaedar bez zlatnog preseka. Pacioli dodaje da je nemoguće upoređivati ​​druga platonska tijela (simbole vode, zemlje, vatre i zraka) jedno s drugim bez oslanjanja na zlatni rez.
U samoj knjizi, Pacioli neprestano brblja o kvalitetama zlatnog preseka. On uzastopno analizira 13 takozvanih “efekta” “božanske proporcije” i svakom od ovih “efekta” pripisuje epitete kao što su “inherentan”, “jedinstven”, “divan”, “vrhovni” itd. efekat” da se zlatni pravougaonici mogu upisati u ikosaedar (slika 22), on naziva “nerazumljivim”. On se zaustavlja na 13 „efekata“, zaključujući da „ova lista mora biti popunjena za spas duše“, budući da je za stolom tokom Tajne večere sjedilo 13 ljudi.

Nema sumnje da je Pacioli bio veoma zainteresovan za slikarstvo, a svrha stvaranja rasprave "O božanskoj proporciji" bila je delimično da se izoštri matematička osnova. likovne umjetnosti. Već na prvoj stranici knjige Pacioli izražava želju da umjetnicima otkrije “tajnu” harmonijskih formi kroz zlatni rez. Da bi osigurao atraktivnost svog rada, Pacioli je angažovao usluge najboljeg ilustratora o kojem je bilo koji pisac mogao sanjati: sam Leonardo da Vinci je dao knjizi 60 crteža poliedara, kako u obliku „skeleta” (slika 51) tako i u obliku čvrstih tela (Sl. 52). O zahvalnosti nije bilo reči – Pacioli je o Leonardu i njegovom doprinosu knjizi ovako pisao: „Najbolji slikar i majstor perspektive, najbolji arhitekta, muzičar, čovek obdaren svim mogućim vrlinama – Leonardo da Vinči, koji je izumeo i izveo niz šematskih slika pravilnih geometrijskih tijela " Sam tekst, doduše, ne ostvaruje zadate visoke ciljeve. Iako knjiga počinje senzacionalnim tiradama, ono što slijedi je prilično običan skup matematičkih formula, nemarno razvodnjenih filozofskim definicijama.

Rice. 51

Rice. 52
Druga knjiga rasprave „O božanskoj proporciji“ posvećena je uticaju zlatnog preseka na arhitekturu i njegovim manifestacijama u strukturi ljudskog tela. Paciolijeva rasprava je u velikoj mjeri zasnovana na djelu rimskog arhitekte Marka Vitruvija Poliona (oko 70–25. pne.). Vitruvije je napisao:
Centralna tačka ljudskog tela je, naravno, pupak. Uostalom, ako osoba leži licem prema dolje na leđima i raširi ruke i noge, a kompas mu se stavi na pupak, tada će njegovi prsti na rukama i nogama dodirnuti opisani krug. I kao što se ljudsko tijelo uklapa u krug, tako možete dobiti kvadrat iz njega. Uostalom, ako izmjerimo udaljenost od tabana do vrha glave, a zatim primijenimo ovu mjeru na ispružene ruke, ispostavit će se da je širina figure tačno jednaka visini, kao u slučaju ravne površine u obliku savršenog kvadrata.
Renesansni naučnici su ovaj odlomak smatrali dodatnim dokazom veze između prirodne i geometrijske osnove ljepote, što je dovelo do stvaranja koncepta Vitruvijskog čovjeka, kojeg je Leonardo tako lijepo prikazao (Sl. 53, crtež se trenutno čuva u Galerija Accademia u Veneciji). Slično, Paciolijeva knjiga počinje raspravom o proporcijama ljudskog tijela, "pošto se u ljudskom tijelu mogu pronaći proporcije svih vrsta, otkrivene voljom Svemogućeg kroz skrivene tajne prirode."

Rice. 53
U literaturi se često mogu naći izjave da je Pacioli navodno vjerovao da zlatni rez određuje proporcije svih umjetničkih djela, ali u stvarnosti to uopće nije tako. Kada se govori o proporcijama i eksternoj strukturi, Pacioli uglavnom misli na Vitruvijev sistem zasnovan na jednostavnim (racionalnim) razlomcima. Pisac Roger Hertz-Fischler prati porijeklo uobičajene zablude da je zlatni rez bio Paciolijev kanon proporcija: to seže do lažne izjave koju su u izdanju Istorije matematike iz 1799. dali francuski matematičari Jean Etienne Montucle i Jerome de Lalande ( Jean Etienne Montucla, Jerome de Lalande. Histoire de Mathématiques).

Treći tom rasprave O božanskoj proporciji (kratka knjiga u tri dijela o pet pravilnih geometrijskih tijela) u suštini je doslovan prijevod na talijanski Pet pravilnih poliedara Piera della Francesca, napisan na latinskom. Činjenica da Pacioli nikada ne spominje da je samo prevodilac knjige izazvala je žestoku osudu istoričara umjetnosti Giorgia Vasarija. Vasari piše o Pieru della Francesca:

Smatran rijetkim majstorom u savladavanju teškoća pravilnih tijela, kao i aritmetike i geometrije, on, u starosti pogođen tjelesnim sljepoćom, a potom i smrću, nije stigao da objavi svoja hrabra djela i brojne knjige koje je napisao, a koje su i dalje čuva u Borgu, u svojoj domovini. Onaj koji je trebao svim silama da pokuša da uveća svoju slavu i slavu, jer je od njega naučio sve što je znao, pokušao je, poput zlikovac i zao čovek, da uništi ime Pjeroa, svog mentora, i da prigrabi za sebe počasti koje je trebalo da pripadne samo Pierrotu, objavljujući u svoje ime, naime brat Luca od Borgo [Pacioli], sva dela ovog časnog starca, koji je, pored gore navedenih nauka, bio odličan slikar. ( Per. M. Globacheva)
Dakle, može li se Pacioli smatrati plagijatorom? Vrlo vjerovatno, iako u " Summa“On i dalje odaje počast Pierrotu, nazivajući ga “monarhom u slikarstvu našeg vremena” i čovjekom koji je “čitaocu poznat iz brojnih radova o umjetnosti slikanja i snazi ​​linije u perspektivi”.

R. Emmett Taylor (1889–1956) objavio je knjigu 1942. godine pod naslovom „Ne postoji kraljev put. Luca Pacioli i njegovo vrijeme" ( R. Emmett Taylor. Nema kraljevskog puta: Luca Pacioli i njegova vremena). U ovoj knjizi Tejlor se sa velikom simpatijom odnosi prema Pacioliju i brani stav da, na osnovu stila, Pacioli verovatno nije imao nikakve veze sa trećim tomom rasprave O božanskoj proporciji, a ovo delo se samo njemu pripisuje.

Ne zna se da li je to tačno ili ne, ali je sigurno da nije tako štampano Paciolijevi radovi i Pierrotove ideje i matematičke konstrukcije, koji nisu objavljeni u štampi, vjerovatno ne bi stekli slavu koju su stekli kao rezultat. Štaviše, do vremena Paciolija, zlatni rez je bio poznat pod zastrašujućim nazivima kao što su „ekstremni i srednji omjer” ili „proporcija koja ima srednju vrednost i dva ekstrema”, a sam ovaj koncept bio je poznat samo matematičarima.

Objavljivanje "O božanskoj proporciji" 1509. godine izazvalo je novo izbijanje interesovanja za temu zlatnog preseka. Sada je koncept ispitan, kako kažu, sa novim pogledom: pošto je o tome objavljena knjiga, znači da je vrijedan poštovanja. Ispostavilo se da je sam naziv zlatnog presjeka obdaren teološkim i filozofskim značenjem ( božanstveno proporcija), a to je takođe učinilo zlatni rez ne samo matematičkim pitanjem, već temom u koju su intelektualci svih vrsta mogli da se udube, a ta raznolikost se vremenom samo širila. Konačno, pojavom Paciolijevog rada, umjetnici su počeli proučavati i zlatni rez, jer se sada o njemu govorilo ne samo u otvorenim matematičkim raspravama - Pacioli je o tome govorio na način da se ovaj koncept mogao koristiti.

Izvestan uticaj na čitalačku publiku imali su i Leonardovi crteži za raspravu „O božanskoj proporciji“, nacrtani (kako je rekao Pacioli) „njegom neopisivom levom rukom“. Ovo su vjerovatno bile prve slike poliedara u šematskom, skeletnom obliku, što je omogućilo njihovo lako zamišljanje sa svih strana. Moguće je da je Leonardo poliedre nacrtao iz drvenih modela, jer dokumenti Firentinskog vijeća bilježe da je grad kupio komplet Paciolijevih drvenih modela kako bi ih izložio javnosti. Leonardo nije samo crtao dijagrame za Paciolijevu knjigu, svuda u njegovim bilješkama vidimo skice svih vrsta poliedara. U jednom trenutku Leonardo daje približnu metodu za konstruisanje pravilnog pentagona. Spoj matematike i likovne umjetnosti dostiže vrhunac u " Trattato della pittura("Traktat o slikarstvu"), koji je sastavio Francesco Melzi, koji je, prema njegovim bilješkama, naslijedio Leonardove rukopise. Traktat počinje upozorenjem: „Niko ko nije matematičar ne treba da čita moja dela!“ – teško da možete naći takvu izjavu u savremenim udžbenicima likovne umjetnosti!

Crteži geometrijskih tijela iz rasprave “O božanskoj proporciji” također su inspirisali fra Giovannija da Veronu da stvori djela u tehnologiji intarzija. Intarzija je posebna vrsta drvene intarzije na drvo, koja stvara složene ravne mozaike. Oko 1520. Fra Giovanni je stvorio intarzirane ploče koje prikazuju ikosaedar, gotovo sigurno koristeći Leonardove šematske crteže kao model.

Putevi Leonarda i Paciolija ukrštali su se nekoliko puta čak i nakon završetka rasprave „O božanskoj proporciji“. U oktobru 1499. obojica su pobjegli iz Milana kada ga je zauzela francuska vojska kralja Luja XII. Zatim su se nakratko zaustavili u Mantovi i Veneciji i nastanili se neko vrijeme u Firenci. U periodu kada su bili prijatelji, Pacioli je stvorio još dva rada o matematici koja su proslavila njegovo ime - prevod na latinski Euklidovih elemenata i knjigu o matematičkoj zabavi koja je ostala neobjavljena. Paciolijev prijevod Elementa bila je verzija s komentarima zasnovana na ranijem prijevodu Giovannija Campana (1220–1296), koji je štampan u Veneciji 1482. (ovo je bio prvi štampano izdanje). Ostvarite objavljivanje zbirke zabavnih matematičkih zadataka i izreka " De Viribus Quantitatis"("O sposobnostima brojeva") Pacioli to nikada nije mogao učiniti za svog života - umro je 1517. Ovo djelo je plod suradnje Paciolija i Leonarda, a Leonardove vlastite bilješke sadrže dosta problema iz rasprave. De Viribus Quantitatis ».

Naravno, fra Luca Pacioli nije bio slavljen originalnošću naučne misli, već svojim uticajem na razvoj matematike uopšte i na istoriju zlatnog preseka posebno, i ove njegove zasluge se ne mogu poreći.

Melanholija

Zanimljiv spoj umjetničkih i matematičkih interesovanja bio je karakterističan i za još jednog velikog mislioca renesanse - poznatog njemačkog slikara Albrechta Durera.

Dürer se često smatra najvećim njemački umjetnik Renesansa. Rođen je 21. maja 1471. godine u carskom gradu Nirnbergu u porodici draguljara koji je neumorno radio. Već sa 19 godina Albrecht je pokazao izuzetan talenat kao slikar i drvorezbar i primjetno nadmašio svog učitelja, najboljeg nirnberškog slikara i ilustratora knjiga Michaela Wolgemuta. Stoga je Direr putovao četiri godine i za to vreme došao do ubeđenja da matematika – „najtačnija, najlogičnija i grafički verifikovana od svih nauka“ – treba da bude važna komponenta vizuelne umetnosti.

Po povratku je u Nirnbergu ostao samo kratko, ali je za to vreme uspeo da se oženi Agnes Frey, ćerkom uspešnog zanatlije, a zatim ponovo otputuje - u Italiju - kako bi proširio svoje vidike u oba. matematike i likovne umjetnosti. Očigledno je ovaj cilj u potpunosti ostvario tokom svoje posjete Veneciji 1494–1495. Susret sa osnivačem venecijanske slikarske škole Giovannijem Belinijem (oko 1426–1516) uticao je na mladi umetnik neizbrisiv utisak, divio se Beliniju do kraja svojih dana. U isto vrijeme, Dürer je upoznao Jacopa de Barbarija, istog onog koji je naslikao portret Luce Paciolija (Sl. 50), i kao rezultat toga proučavao Paciolijeve radove o matematici i njenom značaju u likovnoj umjetnosti. De Barbari je posebno pokazao Direru kako se pravi muški i ženska figura koristeći geometrijske metode, a to je potaknulo Durera da proučava proporcije i kretanje ljudskog tijela.

Možda se Dürer lično sreo s Paciolijem - to je bilo u Bolonji tokom njegove druge posjete Italiji (1501-1507). U jednom pismu iz tog vremena spominje da je put u Bolonju preduzet „zbog umjetnosti, jer tamo postoji čovjek koji će me naučiti tajnoj umjetnosti perspektive“. Tajanstveni “čovjek iz Bologne”, prema mnogim tumačima, je Pacioli, iako su predložena i druga imena, na primjer, istaknuti arhitekta Donato di Angelo Bramante (1444–1514) i teoretičar arhitekture Sebastiano Serlio (1475–1554). Tokom istog putovanja u Italiju, Dürer je ponovo sreo Jacopo di Barbari. Međutim, Dürerova druga posjeta bila je zasjenjena paranoičnim sumnjama: bojao se da će mu drugi umjetnici, zavidni na njegovoj slavi, nauditi. Posebno je odbijao pozive na večere iz straha da će ga neko pokušati otrovati.

Od 1495. Dürer je pokazao ozbiljno interesovanje za matematiku. Dugo je proučavao Elemente (u Veneciji je nabavio latinski prijevod, iako nije dobro znao latinski), Paciolijeva djela iz matematike i likovne umjetnosti, te autoritativna djela o arhitekturi, proporcijama i perspektivi rimskog arhitekte Vitruvija i italijanski arhitekta i teoretičar Leon Baptista Alberti (1404-1472).

Direrov doprinos istoriji zlatnog preseka sastoji se i od pisanih dela i od dela likovne umetnosti. Godine 1525. njegova glavna rasprava “ Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit("Traktat o mjerenjima šestarom i ravnalom"), jedna od prvih knjiga o matematici objavljenih u Njemačkoj. U ovom eseju, Dürer se žali da mnogi umjetnici ne znaju geometriju, “bez koje niko ne može biti ili postati savršen umjetnik”. Prva od četiri knjige koje čine Traktat daje detaljne preporuke, kako konstruisati različite krive, uključujući i logaritamsku (jednakokutnu) spiralu, koja je, kao što smo već vidjeli, usko povezana sa zlatnim rezom. Druga knjiga sadrži tačne i aproksimativne metode za konstruisanje različitih poligona, uključujući dve metode za konstruisanje pravilnog pentagona (jedan tačan, drugi približan). Četvrta knjiga govori o Platonovim telima, kao i o drugim poliedrima - od kojih je neke sam Dürer izmislio - te o teoriji perspektive i chiaroscuro. Direrova knjiga nije posebno zamišljena kao udžbenik iz geometrije, on daje samo jedan primjer dokaza. Naprotiv, Dürer uvijek počinje s praktičnom primjenom, a zatim navodi najosnovnije teorijske informacije. Knjiga također sadrži prve primjere razvoja poliedara. Razvoj je crtež na ravni koji prikazuje površinu poliedra u takvom obliku da se može izrezati i saviti u trodimenzionalni poliedar iz rezultirajuće figure. Crtež dodekaedra (povezan, kao što znamo, sa zlatnim rezom), koji je napravio Dürer, može se vidjeti na Sl. 54.

Rice. 54
Interes za graviranje i duborez, u kombinaciji sa zanimanjem za matematiku, ogleda se u Direrovom zagonetnom alegorijskom djelu Melanholija I (sl. 55). Ovo je jedna od tri izuzetne gravure (druge dvije su naslovljene "Vitez, smrt i đavo" i "Sveti Jeronim u svojoj keliji"). Pretpostavlja se da je Durer stvorio ovu gravuru tokom napada melanholije nakon smrti njegove majke. Centralna figura “Melanholije” je krilata žena, koja u potpunom očaju i apatiji sjedi na kamenom parapetu. U desnoj ruci drži kompas čije su noge otvorene, kao za mjerenje. Gotovo sve što je prikazano na ovoj gravuri ima složeno simboličko značenje, a čitavi članci posvećeni su njenom tumačenju. Na primjer, vjeruje se da su lonac na ognjištu u sredini lijevo i vaga na vrhu simboli alhemije. "Čarobni kvadrat" u gornjem desnom uglu (tj. kvadrat u kojem je zbir brojeva u svakom redu, koloni, dijagonalno, i zbir brojeva u četiri ugla i zbir četiri centralna broja jednak do 34 - inače, ovo je Fibonačijev broj), očigledno simbolizuje matematiku (Sl. 56). Srednja dva broja u donjem redu su 1514, datum kada je gravura nastala. Vjerovatno je magični kvadrat posljedica Paciolijevog utjecaja, jer u Paciolijevoj raspravi “ De Viribus» je dato cela linija magični kvadrati. Očigledno, glavno značenje gravure sa svim njenim geometrijskim figurama, ključevima, šišmišom, morskim pejzažom i tako dalje je melanholija koja je obuzela umjetnika ili mislioca, zaglibila u sumnje i razmišljanja o tome šta radi, a u međuvremenu - pješčani sat na vrhu - ne stoji mirno.

Rice. 55

Rice. 56
Čudni poliedar na lijevoj strani u sredini bio je predmet ozbiljne rasprave i raznih pokušaja rekonstrukcije. Na prvi pogled se čini da se radi o kocki sa dva odsječena suprotna ugla (što je izazvalo neka frojdovska tumačenja), ali u stvarnosti to nije slučaj. Većina istraživača se slaže da je ovo takozvani romboedar (geometrijsko tijelo sa šest lica, od kojih je svaka romb, vidi sliku 57), isječenom tako da se može upisati u sferu. Počiva na jednom od trouglasta lica, a njegov prednji dio je usmjeren direktno na magični kvadrat. Uglovi lica poliedra takođe su bili predmet kontroverzi. Mnogi naučnici pretpostavljaju da su oni bili 72 stepena, što bi povezivalo figuru sa zlatnim presekom (vidi sliku 25), ali je holandski kristalograf K. G. Macgillavry zaključio, na osnovu analize perspektive, da su uglovi bili 80 stepeni. Tajanstvena svojstva ovog geometrijskog tijela savršeno su opisana u članku T. Lyncha, objavljenom 1982. godine u “ Časopis Instituta Warburg i Courtauld" Ovo je zaključak do kojeg autor dolazi: „Budući da se prikazivanje poliedra smatralo jednim od glavnih zadataka perspektivne geometrije, Dürer, želeći da dokaže svoje znanje u ovoj oblasti, teško je mogao pronaći bolji način za to nego da postavi na svoju gravirati geometrijsko tijelo, tako novo i, možda čak i jedinstveno, i prepustiti drugim geometrima da odluče šta je i odakle dolazi.”

Rice. 57
Izuzev autoritativnog Paciolijeva djela i istraživanja umjetnika Leonarda i Durera na raskrsnici matematike i likovne umjetnosti, ništa posebno novo se nije dogodilo u historiji zlatnog preseka u 16. vijeku. Iako su se mnogi matematičari, uključujući Raphaela Bombellija (1526–1572) i Françoisa Foya (Flussates) (1502–1594), oslanjali na zlatni rez za rješavanje širokog spektra problema, uključujući one koji uključuju pravilan pentagon i Platonova tijela, zanimljiviji su primena naših odnosa pojavila se tek na samom kraju ovog veka. Međutim, radovi Paciolija, Dürera i drugih naučnika oživjeli su interesovanje za učenja Platona i Pitagore. Renesansni mislioci odjednom su uvideli pravu priliku da povežu matematiku i racionalnu logiku sa strukturom univerzuma – u duhu Platonovog pogleda na svet. Koncepti poput "božanske proporcije", s jedne strane, izgradili su mostove između matematike i strukture svemira, as druge, omogućili su vezu između fizike, teologije i metafizike. A ovu očaravajuću mješavinu matematike i misticizma posebno je živopisno utjelovio u svojim idejama i djelima niko drugi do Johannes Kepler.

Mysterium Cosmographicum

Johanesa Keplera pamte uglavnom kao izvanrednog astronoma, koji nam je, između ostalog, ostavio i tri zakona kretanja planeta koji nose njegovo ime. Međutim, Kepler je bio i talentovani matematičar, suptilni metafizičar i plodan pisac. Rođen je u vrijeme velikih političkih previranja i vjerskih ratova, koji su radikalno utjecali na njegovo obrazovanje, život i razmišljanje. Kepler je rođen 27. decembra 1571. godine u Njemačkoj, u carskom gradu Weil der Stadt, u kući svog djeda Sebalda. Johannov otac Hajnrih, unajmljeni vojnik, proveo je skoro sve sinovljevo djetinjstvo u pohodima, a tokom njegovih kratkih boravaka, prema Kepleru, ponašao se “uvredljivo, grubo i svadljivo”. Kada je Kepler imao oko šesnaest godina, njegov otac je otišao od kuće i nikada više nije viđen. Navodno je učestvovao u nekoj vrsti pomorskog putovanja kao dio flote Napuljske kraljevine i poginuo na putu kući. Shodno tome, Keplera je odgajala uglavnom njegova majka Katarina, koja je radila u hotelu koji je držao njen otac. I sama Katarina bila je čudna žena, prilično neugodna, koja je sakupljala bilje i uvjerila se u njihovu magičnu ljekovitost. Splet okolnosti - lične pritužbe, nesretni tračevi i pohlepa - na kraju je doveo do toga da je Katarina, već u dubokoj starosti, 1620. godine, uhapšena pod optužbom za vještičarenje. Takve optužbe nisu bile neuobičajene u to vrijeme između 1615. i 1629. godine, najmanje 38 žena je pogubljeno zbog vještičarenja u Weil der Stadtu. Kepler je već bio poznata ličnost u vrijeme hapšenja svoje majke, a vijest o suđenju njegovoj majci izazvala ga je “neopisivu tugu”. Zapravo, on je preuzeo njenu odbranu na sudu i zatražio pomoć pravnog fakulteta Univerziteta u Tibingenu. Suđenje je bilo dugo, ali su na kraju optužbe protiv Katarine Kepler odbačene, uglavnom zbog njenog svedočenja, datog pod pretnjom strašno mučenje: Katarina je tvrdoglavo negirala svoju krivicu. Ova priča prenosi atmosferu u kojoj se odigrala. naučni rad Keplera i dominantnog mentaliteta u to vrijeme. Kepler je rođen u društvu koje je, samo pola veka ranije, doživelo odlazak Martina Lutera iz katolička crkva i njegovu izjavu da je jedino što je Gospodu potrebno od osobe vjera. Ovo društvo je tek trebalo da uroni u krvavo ludilo Tridesetogodišnjeg rata. Može se samo čuditi kako je Kepler, čovjek iz takvog okruženja, koji je imao takve uspone i padove, tako buran život, uspio doći do otkrića koje mnogi smatraju pravim rođenjem moderne nauke.

Kepler je započeo svoja naučna istraživanja još u školi u samostanu Maulbronn, a zatim je 1589. godine dobio stipendiju od vojvode od Württemberga i dobio priliku da pohađa luteransku bogosloviju na Univerzitetu u Tibingenu. Najviše su ga zanimale dvije teme, teologija i matematika; u njegovom umu oni su bili blisko povezani. Astronomija se u to vrijeme smatrala dijelom matematike, a Keplerov mentor u astronomiji bio je eminentni naučnik Michael Maestlin (1550–1631); Kepler je održavao kontakt s njim čak i nakon što je napustio Tibingen. Tokom formalne nastave, Mestlin je, naravno, predavao samo tradicionalni ptolomejski, geocentrični sistem, prema kojem se Mjesec, Merkur, Venera, Sunce, Mars, Jupiter i Saturn okreću oko nepokretne Zemlje. Međutim, Mestlin je bio dobro svjestan heliocentričnog sistema Nikole Kopernika, o kojem je informacija objavljena 1543. godine, i privatno je razgovarao o prednostima ovog sistema sa svojim omiljenim učenikom Keplerom. Prema Kopernikanskom sistemu, šest planeta (uključujući Zemlju, ali isključujući Mjesec, koji se više nije smatrao planetom, već "satelitom") kruži oko Sunca. Na isti način na koji iz automobila u pokretu možete posmatrati samo relativno kretanje drugih automobila, u Kopernikanskom sistemu kretanje planeta na mnogo načina jednostavno odražava kretanje same Zemlje.

Čini se da se Kepleru odmah dopao Kopernikanski sistem. Temeljna ideja ove kosmologije, prema kojoj je centralno Sunce okruženo sferom fiksnih zvijezda, a između Sunca i sfere ostaje nešto prostora, tačno je odgovarala Keplerovoj ideji ​Univerzuma. Kepler je bio duboko religiozan čovjek i vjerovao je da je Univerzum odraz Stvoritelja. Jedinstvo Sunca, zvijezda i prostora između njih bilo je za njega simbolična sličnost Presvetog Trojstva – Oca, Sina i Svetoga Duha.

Kada je Kepler diplomirao sa odličnim uspehom na Fakultetu likovnih umetnosti i bio spreman da završi svoje teološko obrazovanje, dogodio se događaj koji je promenio njegov izbor profesije: on nije postao pastor, već nastavnik matematike. Protestantska sjemeništa u austrijskom gradu Grazu zatražila je od Univerziteta u Tibingenu da preporuči zamjenu za jednog od svojih nastavnika matematike koji je iznenada preminuo, a univerzitet je izabrao Keplera. U martu 1594. Kepler je otišao na nevoljni put u Graz u austrijskoj pokrajini Štajerskoj; Putovao je cijeli mjesec.

Shvativši da mu je sudbina nametnula karijeru matematičara, Kepler je postao odlučan da ispuni svoju kršćansku dužnost kakvu je zamišljao: da shvati stvaranje Gospodina, strukturu Univerzuma. Stoga je proučavao prijevode Elementa i djela aleksandrijskih geometara Apolonija i Papa. Na osnovu osnovnog principa kopernikanskog heliocentričnog sistema, Kepler je odlučio da pronađe odgovore na dva glavna pitanja: zašto postoji tačno šest planeta i šta određuje upravo takve udaljenosti između planetarnih orbita. Pitanja "zašto" i "šta" bila su nova u astronomiji. Za razliku od svojih prethodnika, koji su se zadovoljavali samo da zapažaju posmatrane položaje planeta, Kepler je nastojao da izvede teoriju koja bi sve objasnila. Kepler je vrlo lijepo objasnio svoj novi pristup, dostižući novi nivo radoznalosti:

U svakom mentalnom istraživanju dešava se da počnemo od onoga što pogađa čula, a zatim se um, zahvaljujući svojoj strukturi, uzdiže do najvišeg, do onoga što se ne može shvatiti, ma koliko naša čula bila akutna. Ista stvar se dešava i u astronomskim studijama, kada pre svega svojim očima opažamo različite položaje planeta u različito vreme, a onda logika ulazi u igru ​​i, na osnovu ovih zapažanja, navodi um da shvati strukturu Univerzuma. .
Međutim, Kepler je postavio još jedno pitanje: kojim instrumentom je Bog dizajnirao svoj univerzum? Prve misli, koje su se kasnije razvile u apsolutno fantastične odgovore na kosmička pitanja, Kepleru su došle 19. jula 1595. godine, kada je pokušavao da objasni konjunkciju spoljašnjih planeta - Jupitera i Saturna (položaj u kojem dva nebeska tela imaju iste nebeske koordinate). Uopšteno govoreći, Kepler je ovo shvatio: ako upišete jednakostranični trokut u krug (tako da njegovi vrhovi leže na krugu), a zatim u ovaj trokut upišete još jedan krug (tako da dodiruje sredine stranica, pogledajte sl. 58), odnos poluprečnika većeg kruga prema poluprečniku manjeg bit će približno isti kao omjer dimenzija orbite Saturna i dimenzija orbite Jupitera. Nastavljajući razmišljati u istom duhu, Kepler je odlučio da je za postizanje orbite Marsa (sljedeće planete bliže Suncu) potrebno u mali krug upisati sljedeću geometrijsku figuru, odnosno kvadrat. Međutim, istovremeno prave veličine Nije išlo. Kepler nije odustajao, a kako je već zakoračio na put platonskog načina razmišljanja – bio je uvjeren da “Bog geometrizuje” – prirodno je napravio sljedeći geometrijski korak i okrenuo se trodimenzionalnim tijelima. Kao rezultat ove mentalne vježbe, Kepler je prvo pribjegao geometrijskim čvrstim tijelima povezanim sa zlatnim rezom.

Rice. 58
Odgovor na prva dva pitanja koja su Keplera zaokupljala dat je u njegovoj prvoj raspravi pod naslovom “ Mysterium Cosmographicum("Kosmografska zagonetka"), koja je objavljena 1597. Navedeno puno ime naslovna strana knjige (sl. 59; iako je datum izdavanja 1596. godine, knjiga je objavljena tek god. sljedeće godine) glasi: „Preliminarni uvod u kosmografske spekulacije, koji sadrži univerzalnu misteriju divnih proporcija nebeskih sfera, i istinite i autentične uzroke njihove veličine, broja i periodičnog kretanja nebesa, dokazane od strane pet pravilnih geometrijskih tijela. ”

Rice. 59
Odgovor na pitanje zašto postoji tačno šest planeta Kepleru je dao vrlo jednostavan: jer postoji tačno pet pravilnih Platonovih tijela. Ako uzmemo u obzir da oni definiraju praznine između planeta, dobijamo šest praznina, računajući vanjsku sfernu granicu - nebesa sa fiksnim zvijezdama. Štaviše, Keplerov model je dizajniran da odgovori na pitanje veličine orbita. Evo kako piše sam naučnik:
Zemaljska sfera je mjera svih drugih orbita. Nacrtajte dodekaedar oko njega. Sfera koja ga okružuje biće sfera Marsa. Opišite tetraedar oko Marsa. Sfera koja ga okružuje biće sfera Jupitera. Opišite kocku oko Jupitera. Sfera koja ga okružuje biće saturnova sfera. Sada postavite ikosaedar u Zemljinu orbitu. Sfera upisana u njemu biće sfera Venere. Upišite oktaedar u orbitu Venere. Sfera upisana u njemu biće sfera Merkura. Toliko o opravdanju broja planeta.
Na sl. 60 prikazuje dijagram iz “ Mysterium Cosmographicum“, ilustrujući Keplerov kosmološki model. Kepler opširno objašnjava zašto povlači specifične paralele između Platonovih čvrstih tijela i planeta na osnovu njihovih geometrijskih, astroloških i metafizičkih svojstava. On je rasporedio geometrijska tijela na osnovu njihovog odnosa prema sferi, sugerirajući da razlika između sfere i ostalih geometrijskih tijela odražava razliku između kreatora i kreacije. Na sličan način karakterizira se kocka jedan i jedini ugao - desno. Za Keplera je to simboliziralo usamljenost, koja se povezuje sa Saturnom itd. Uopšteno govoreći, astrologija je bila toliko važna za Keplera jer je „Čovjek kruna Univerzuma i svega stvorenog“, a metafizički pristup je opravdavan činjenicom da „ matematička svojstva su uzroci fizički, budući da je Bog od samog početka vremena sadržavao u sebi matematičke objekte kao jednostavne božanske apstrakcije koje su služile kao prototipovi za različite količine na nivo materijala" Položaj Zemlje je odabran da odvoji tijela koja mogu stajati uspravno (kocka, tetraedar i dodekaedar) od tijela koja „lebde“ (oktaedar i ikosaedar).

Rice. 60
Udaljenosti između planeta dobijene ovim modelom u nekim su se slučajevima potpuno poklapale sa stvarnošću, au drugima su se primjetno razlikovale, iako razlika nije bila veća od 10%. Kepler je bio nepokolebljivo uvjeren u ispravnost svog modela i pripisivao je nedosljednosti greškama u orbitalnim mjerenjima. Poslao je kopije svoje knjige raznim astronomima na njihove komentare i sugestije; među njima je bio i jedan od najistaknutijih naučnika tog vremena, Danac Tycho Brahe (1546–1601). Jedan primjerak je čak pao u ruke i velikom Galileu Galileju (1564–1642), koji je Kepleru rekao da je i on uvjeren u ispravnost Kopernikovog modela, ali je sa ožalošćenjem priznao da „velikom broju ljudi, jer je to broj budala“, Kopernik „izgleda dostojan predmet za ismijavanje i zviždanje“.

Nepotrebno je reći da je Keplerov kosmološki model, zasnovan na platonskim čvrstim materijama, bio ne samo potpuno pogrešan, već i sulud čak i po standardima naučnikovih savremenika. Otkriće Urana (sljedeća planeta nakon Saturna, računajući od Sunca) 1781. godine i Neptuna (sljedeća planeta nakon Urana) 1846. godine zabili su posljednji ekser u lijes ove mrtvorođene ideje. Međutim, važnost Keplerovog modela u istoriji nauke ne može se potceniti. Kao što je astronom Owen Gingerich primijetio u članku posvećenom biografiji Keplera: “Rijetko se u istoriji dogodilo da je tako pogrešna knjiga usmjerila dalji tok nauke u tako ispravnom smjeru.” Kepler se oslanjao na pitagorejsku ideju univerzuma, a matematičari bi to nazvali velikim korakom naprijed. On se razvio matematički model Univerzum, koji se, s jedne strane, zasnivao na opservacijskim podacima dostupnim u to vrijeme, as druge strane, mogao bi biti opovrgnuto naknadna zapažanja. Ovo su neophodne komponente „naučne metode“ – organizovanog pristupa objašnjavanju uočenih činjenica na osnovu modela prirode. Idealno naučna metoda počinje prikupljanjem činjenica, zatim se predlaže model, a onda se ono što predviđa testira kroz umjetne eksperimente ili daljnja opažanja. Ponekad se ovaj proces opisuje u tri riječi: indukcija, dedukcija, verifikacija. Godine 1610. Galileo je svojim teleskopom otkrio još četiri nebeska tijela u Sunčevom sistemu. Kada bi se dokazalo da su to planete, Keplerovoj teoriji bi zadat udarac smrtni udarac tokom naučnikovog života. Međutim, na Keplerovo veliko oduševljenje, ispostavilo se da su nova tijela sateliti Jupitera, slični našem Mjesecu, a ne nove planete koje kruže oko Sunca.

Moderne fizičke teorije, koje imaju za cilj da objasne postojanje svih elementarnih (subatomskih) čestica i osnovnih interakcija među njima, takođe se zasnivaju na matematičkoj simetriji i u tom smislu su veoma slične Keplerovoj teoriji, koji se oslanjao na simetrične kvalitete Platonska tijela za objašnjenje broja i svojstava planeta. Keplerov model imao je još jedan zajednička karakteristika sa modernom fundamentalnom teorijom Univerzuma: obje teorije po svojoj prirodi redukcionistički, odnosno nastoje da objasne mnoge pojave malim brojem fizičkih zakona. Na primjer, Keplerov model izvodi i broj planeta i svojstva njihovih orbita iz Platonovih tijela. Isto tako, moderne teorije - kao što je teorija struna - oslanjaju se na fundamentalne entitete (stringove) koji su vrlo mali (više od milijardu milijardi puta manji od atomskog jezgra), iz kojih su izvedena sva svojstva elementarnih čestica. Žice - poput žice violine - vibriraju i proizvode različite "tonove", a sve poznate elementarne čestice samo utjelovljuju te tonove.

Dok je bio u Grazu, Kepler se zainteresovao za zlatni omjer, što je dovelo do još jednog zanimljivog rezultata. U oktobru 1597. godine, naučnik je svom bivšem učitelju Mestlinu pisao o sljedećoj teoremi: „Ako je na segmentu podijeljenom u ekstremnom i srednjem omjeru konstruiran pravokutni trokut tako da pravi ugao leži na okomici povučenoj u tački podjele, onda manji krak će biti jednak većem segmentu podijeljenom segmentu." Crtež za ovu teoremu je prikazan na Sl. 61. Segment AB podijeljen je točkom C u zlatnom omjeru. Kepler konstruiše pravougli trougao A.D.B. sa hipotenuzom AB tako da pravi ugao D leži na okomici povučenoj iz tačke zlatnog presjeka C. Zatim to dokazuje BD(kratki krak pravouglog trougla) jednak je AC (duži segment segmenta podijeljen u zlatnom omjeru). Osim upotrebe zlatnog presjeka, takav trokut je značajan i po tome što ga je istraživač piramida Friedrich Reber citirao 1855. godine kako bi dokazao jednu od lažnih teorija koje su sugerirale korištenje zlatnog presjeka u izgradnji piramida. Reber nije znao za Keplerova djela, ali je koristio sličnu strukturu da potvrdi svoje mišljenje o najvažnijoj ulozi "božanske proporcije" u arhitekturi.

Publikacija " Mysterium Cosmographicum„postao je razlog Keplerovog poznanstva sa Tychoom Braheom; Mjesto sastanka, koji je održan 4. februara 1600. godine, bio je Prag, u to vrijeme rezidencija Svetog rimskog cara. Kao rezultat ovog sastanka u oktobru iste 1600. godine, Kepler se preselio u Prag i postao pomoćnik Tiha Brahea (zbog svoje luteranske vjere bio je prisiljen napustiti katolički Graz). Nakon Braheove smrti 24. oktobra 1601. Kepler je postao dvorski matematičar.

Tycho je ostavio mnogo zapažanja, posebno vezanih za orbitu planete Mars, a Kepler je, oslanjajući se na te podatke, otkrio prva dva zakona kretanja planeta, nazvana po njemu. Prvi Keplerov zakon kaže da orbite poznatih planeta oko Sunca nisu kružnice, već elipse sa Suncem u jednom od žarišta (slika 62; radi jasnoće, elipsa je izdužena mnogo više nego što zapravo jeste). Elipsa ima dvije tačke, takozvana žarišta, tako da je zbir udaljenosti bilo koje tačke elipse do oba fokusa uvijek konstantan. Keplerov drugi zakon kaže da se planeta najbrže kreće kada je najbliža Suncu (ova tačka se naziva perihel), a najsporije u svojoj najdaljoj tački (afel), tako da se linija koja povezuje planetu sa Suncem traga (briše) jednaka oblasti za jednake vremenske periode (Sl. 62). Pitanje šta čini Keplerove zakone validnim je bila glavna nerazjašnjena misterija u nauci skoro sedamdeset godina nakon što je Kepler objavio svoje zakone. Bio je potreban genij Isaka Njutna (1642–1727) da zaključi da se planete drže u orbiti gravitacijom. Newton je objasnio Keplerove zakone koristeći jednačine gdje su zakoni koji opisuju kretanje tijela kombinovani sa zakonom univerzalne gravitacije. Pokazao je da eliptične orbite s promjenjivom brzinom (prema Keplerovim zakonima) obezbjeđuju jedinu Moguće rješenje ove jednačine.

Rice. 61

Rice. 62
Keplerovi herojski napori da izračuna orbitu Marsa (mnoge stotine listova aritmetičkih proračuna i njihovih interpretacija, koje je on sam nazvao „moja vojna kampanja protiv Marsa“), prema mnogim istraživačima, označavaju rođenje moderne nauke. Konkretno, u jednom trenutku Kepler je otkrio kružnu orbitu koja se poklapa sa gotovo svim opservacijama Tychoa Brahea. Međutim, u dva slučaja ova orbita je predvidela položaje koji su se razlikovali od posmatranja za oko četvrtinu ugaonog prečnika punog meseca. Kepler je o tome napisao: „Da sam samo pretpostavio da možemo zanemariti ovih osam minuta [luka], svoju hipotezu bih uključio u odgovarajuće 16. poglavlje. Ali kako ih je nedopustivo zanemariti, ispada da je ovih osam minuta ukazalo na put ka potpunoj reformi astronomije.”

Keplerove godine u Pragu urodile su bogatim plodovima i u astronomiji i u matematici. Godine 1604. otkrio je "novu" zvijezdu, sada poznatu kao Keplerova supernova. Supernova je snažna eksplozija, u kojem zvijezda čiji je kraj blizu odbacuje svoje vanjske školjke koje se kreću brzinom od desetina hiljada kilometara u sekundi. U našoj matičnoj galaksiji, Mliječnom putu, takva epidemija bi se, prema naučnicima, trebala dogoditi u prosjeku jednom u stotinu godina. Zaista, Tycho Brahe je otkrio supernovu 1572. (Tycho Braheova Supernova), a Kepler je otkrio svoju 1604. godine. Međutim, od tada, iz nepoznatih razloga, nije bilo druge supernove u Mliječnom putu (osim jedne koja se očito dogodila 1660-ih, ali je ostala neotkrivena). Astronomi se šale da je ovaj nedostatak supernova najvjerovatnije posljedica činjenice da nije bilo velikih astronoma još od Tiha Brahea i Keplera.

U junu 2001. godine posjetio sam Prag, u kući u kojoj je Kepler živio, u ulici Charles 4. Danas je to prometna trgovačka ulica, a iznad broja 4 stoji zarđala ploča na kojoj piše da je Kepler ovdje živio od 1605. do 1612. godine, lako. propustiti. Vlasnik prodavnice koja se nalazi neposredno ispod Keplerovog stana nije ni znao da ovde živi jedan od najvećih astronoma u istoriji. Istina, u dosadnom dvorištu nalazi se mala armilarna kugla na kojoj je uklesano Keplerovo ime, a pored poštanskih sandučića visi još jedna spomen ploča. Međutim, Keplerov stan uopšte nije obeležen i nije otvoren za javnost – sada je to samo stambeni stan, kojih ima mnogo gornji spratovi iznad prodavnica, a u njemu živi obična porodica.

Keplerovi matematički radovi uneli su nekoliko svetlih dodira u istoriju zlatnog preseka. U tekstu pisma koje je Kepler napisao 1608. učitelju iz Lajpciga, nalazimo da je otkrio vezu između Fibonačijevih brojeva i zlatnog preseka. On takođe izveštava o ovom otkriću u eseju gde proučava zašto pahulje imaju šestokraki oblik. Kepler piše:

Od dva pravilna geometrijska tijela - dodekaedra i ikosaedra... ova dva pravilna poliedra i, u stvari, struktura najpravilnijeg petougla ne mogu se izgraditi bez božanske proporcije, kako to nazivaju savremeni geometri. Dizajniran je na način da dva manja člana progresije zajedno čine treći, a posljednja dva, ako se zbroje, čine onaj koji neposredno slijedi za njima, i tako redom ad beskonačno, ako ne prekršimo i nastavite ovu proporciju... Što se više udaljavamo od prvog broja, primjer postaje savršeniji. Neka najmanji brojevi budu 1 i 1... zbrojite ih i zbir je 2, dodajte ovaj broj zadnjem od 1 i dobijete 3, dodajte mu 2 i dobijete 5, dodajte tri i dobijete 8; 5 do 8–13; 8 do 13–21. Kao 5 do 8, tako 8 do 13 - otprilike, - i kao 8 do 13, tako 13 do 21 - otprilike.
Drugim riječima, Kepler je otkrio da omjer uzastopnih Fibonačijevih brojeva konvergira zlatnom omjeru. U stvari, otkrio je još jedno zanimljivo svojstvo Fibonačijevih brojeva - da se kvadrat bilo kojeg člana niza razlikuje za najviše 1 od proizvoda dva susjedna člana niza. Na primjer, pošto je Fibonačijev niz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34..., onda ako uzmemo u obzir 32 = 9, onda je 9 samo 1 različit od proizvoda dva člana niz pored 3: 2 × 5 = 10. Isto tako, 132 = 169 se razlikuje za 1 od 8 × 21 = 168, itd. Ova kvaliteta Fibonačijevih brojeva dovodi nas do iznenađujućeg paradoksa, koji je prvi otkrio veliki izumitelj matematičke zagonetke, Sam Loyd (1841–1911).

Razmotrimo kvadrat sa stranicom 8 (sa površinom 82 = 64) na Sl. 63. Sada ga iseći na četiri dijela duž označenih linija. Od ova četiri komada možete napraviti pravougaonik (slika 64) sa stranicama 13 i 5 - to jest, površine 65! Otkud dodatni kvadrat?! Odgovor na ovaj paradoks je da se dijelovi slagalice zapravo ne uklapaju savršeno duž dugačke dijagonale pravokutnika, već dugi, uski paralelogram koji nije vidljiv zbog debele linije koja označava dugu dijagonalu na Sl. 64, a njegova površina je taman dovoljna za površinu jedne jedinice kvadrata. Naravno, 8 je Fibonačijev broj, a njegov kvadrat 82 = 64 razlikuje se za 1 od proizvoda dva susedna Fibonačijeva broja (3 × 5 = 65): osobina koju je Kepler otkrio.

Rice. 63

Rice. 64
Možda ste već primijetili da Kepler zlatni rez naziva "božanskom proporcijom, kako je nazivaju moderni geometri." Sva Keplerova naučna istraživanja obojena su kombinacijom racionalnog rasuđivanja i kršćanskih vjerovanja. Kepler je bio kršćanski prirodnjak i smatrao je svojom dužnošću razumjeti ne samo strukturu Univerzuma, već i namjere njegovog Stvoritelja. Svoju hipotezu o Sunčevom sistemu izgradio je pod uticajem snažne žudnje za brojem 5, preuzetu od Pitagorejaca, a o zlatnom preseku napisao je ovako:
Posebnost ovog odnosa je u tome što se sličan odnos može izgraditi od cjeline i većeg dijela, i ono što je ranije bilo veći dio sada postaje manje, a ono što je ranije bilo cjelina sada postaje veći dio, a njihov zbir ima omjer od celine. To se događa ad infinitum, a božanska proporcija je uvijek očuvana. Vjerujem da je ova geometrijska proporcija poslužila kao ideja Stvoritelju kada je stvorio slično od sličnog na svoju sliku i priliku - a to se također dešava ad infinitum. Vidim broj pet u skoro svim cvjetovima koji utiru put voću, odnosno stvaranju, i koji postoje ne radi sebe, već radi toga da ih prati voće. Gotovo svi cvjetovi voćaka mogu biti uključeni ovdje; Limune i pomorandže vjerovatno treba isključiti, iako nisam vidio njihove cvjetove i sudim samo po plodovima ili bobicama koje su podijeljene ne na pet, već na sedam, jedanaest ili devet segmenata. Međutim, otelotvorenje broja pet u geometriji, odnosno pravilan petougao, je konstruisano kroz božansku proporciju, koju bih (verovatno smatrao) prototipom Kreacije. Štaviše, [to] se takođe posmatra između kretanja Sunca (ili, kako pretpostavljam, Zemlje) i Venere, koja se nalazi na vrhuncu generativne snage odnosa 8 i 13, što, kako ćemo čuti, dolazi veoma blizu božanske proporcije. Konačno, prema Koperniku, Zemljina sfera se nalazi na pola puta između sfera Marsa i Venere. Razmjer između njih može se dobiti iz dodekaedra i ikosaedra, od kojih su oba u geometriji izvedena iz božanske proporcije - međutim, čin stvaranja se odvija na našoj Zemlji.

Sada razmotrimo kako slike muškarca i žene proizlaze iz božanske proporcije. Po mom mišljenju, reprodukcija biljaka i razmnožavanje životinja sastoje se od istog odnosa kao geometrijska proporcija, proporcija izražena dijelovima segmenta, ili aritmetička ili brojčano izražena proporcija.

Jednostavno rečeno, Kepler je zaista vjerovao da je zlatni omjer Božje osnovno oruđe za stvaranje svemira. Iz ovog odlomka također slijedi da je Kepler znao za manifestacije zlatnog preseka i Fibonačijevih brojeva u rasporedu biljnih latica.

Relativno miran i profesionalno plodan period života u Pragu završio se za Keplera 1611. godine, kada ga je zadesio niz nedaća. Najprije mu je sin Fridrih umro od malih boginja, a potom i supruga Barbara od zarazne groznice koju su donijeli austrijski okupatori. Na kraju je car Rudolf abdicirao s trona u korist svog brata Matije, poznatog po netolerantnom odnosu prema protestantima. Stoga je Kepler bio prisiljen preseliti se u Linz, na teritoriju moderne Austrije.

Kruna Keplerovog rada u Lincu bilo je objavljivanje njegovog drugog velikog djela o kosmologiji 1619. Harmony Mundi"("Harmonija svijeta").

Podsetimo se da su za Pitagoru i Pitagorejce muzika i harmonija bili prvi argument u prilog činjenici da se kosmički fenomeni mogu opisati matematički. Tonove suglasnika generirale su samo one žice čije su dužine odgovarale prostim razlomcima. Omjer 2:3 zvučao je kao kvinta, 3:4 kao kvart itd. Vjerovalo se da sličan harmonijski raspored planeta također stvara “muziku sfera”. Kepler je bio veoma upoznat sa ovim konceptom, pošto je pročitao skoro celu knjigu oca Galilea Galileija, Vincenza, Dijalozi o drevnim i moderna muzika“, iako se nije slagao sa nekim od Vincenzovih ideja. Pošto je takođe bio uveren da je stvorio kompletan model Sunčevog sistema, čak je mogao da izračuna i male "motive" za različite planete(Sl. 65).

Rice. 65
Budući da je Kepler vjerovao da je “prije početka stvari geometrija bila vječna koliko i božanski um”, Harmonija svijeta je u velikoj mjeri bila posvećena geometriji. Jedan aspekt ovog rada bio je posebno važan za istoriju zlatnog preseka – mislim na Keplerovo istraživanje u oblasti geometrijskog parketa.

Parket u geometriji je uzorak ili struktura koja se sastoji od "pločica" jednog ili više oblika koje u potpunosti prekrivaju ravninu bez ostavljanja praznina - poput mozaika pločica na podu. U 8. poglavlju ćemo vidjeti da su neki od matematičkih pojmova koji se vide u takvim "parketima" usko povezani sa zlatnim rezom. Iako Kepler nije bio svjestan svih matematičkih zamršenosti parketa, njegovo interesovanje za odnose između različitih geometrijskih figura i poštovanje pravilnog pentagona, koji najjasnije utjelovljuje božanske proporcije, omogućili su mu da stvori zanimljiv rad o parketu. Keplera je posebno zanimala kongruencija („pristajanje“ jedne na druge) geometrijskih figura i tijela kao što su poliedri i poligoni. Na sl. 66 prikazuje primjer iz “Harmonije svijeta”. Ovaj uzorak parketa sastoji se od četiri figure - i sve su povezane sa zlatnim rezom: to su pravilni peterokuti, pentagrami, dekagoni i dvostruki desetouglovi. Za Keplera, ovo je oličenje "harmonije", budući da na grčkom ta riječ znači "usaglašenost jedno s drugim".

Rice. 66
Zanimljivo je da su se za parket prije Keplera interesovale još dvije osobe, koji su također igrali važnu ulogu u historiji zlatnog preseka (i već spomenuti na stranicama naše knjige): Abu-l-Wafa i umjetnik Albrecht Durer . Obojica su razmatrali uzorke figura sa simetrijom od pet zraka (primjer iz Dürerovih skica prikazan je na slici 67).

Rice. 67
Peta knjiga “Harmonije svijeta” sadrži najviše značajan rezultat Keplerova astronomska istraživanja - Treći zakon planetarnog kretanja. Ovdje su bile u potpunosti izražene sve njegove bolne misli o veličini orbita različitih planeta i periodima njihove revolucije oko Sunca. Dvadeset pet godina rada koncentrisano je u neverovatno jednostavnom zakonu: kvadrati perioda okretanja planeta oko Sunca povezani su kao kocke velikih poluose orbita planeta, a ovaj odnos je isto za sve planete (velika poluosa je polovina duge ose elipse, vidi sl. 62). Kepler je otkrio ovaj fundamentalni zakon, koji je poslužio kao Njutnovo polazište za formulisanje zakona univerzalne gravitacije kada je Harmonija sveta već bila štampana. Ne mogavši ​​da obuzda svoje likovanje, naučnik je objavio: “Ukrao sam zlatne posude Egipćana da bih sagradio oltar svome gospodaru daleko od Egipta.” Suština zakona prirodno proizlazi iz zakona univerzalne gravitacije: što je planeta bliže Suncu, to je veća sila gravitacije, zbog čega su planete koje su joj bliže prinuđene da se brže rotiraju, inače će pasti u sunce.

Rice. 68
Godine 1626. Kepler se preselio u Ulm i završio rad na Rudolfovim tablicama - u to vrijeme to su bile najdetaljnije i najpreciznije astronomske tablice u istoriji. Kada sam bio na Univerzitetu u Beču u junu 2001. godine, pokazano mi je prvo izdanje tabela pohranjenih u biblioteci opservatorije (do danas je sačuvano 147 primjeraka). Na prednjoj strani knjige (sl. 68) simbolično je prikazana istorija astronomije, a u donjem levom uglu nalazi se možda jedini Keplerov autoportret (sl. 69). Prikazuje Keplera kako radi uz svjetlost svijeća ispod vinjete na kojoj su navedene njegove glavne publikacije.

Rice. 69
Kepler je umro u podne 15. novembra 1630. i sahranjen je u Regensburgu. Ni nakon smrti, sudbina ga nije ostavila na miru, kao da mu buran život nije bio dovoljan: ratovi su mu zbrisali grob s lica zemlje. Na svu sreću, sačuvana je skica nadgrobnog spomenika, koju je izradio Keplerov prijatelj, a sadrži i epitaf naučnika:
Izmjerio sam nebesa, sada mjerim senke Zemlje.

Moj duh je živeo na nebu, ali ovde leži senka mog tela.
Danas je možda nemoguće zamisliti naučnika tako originalnog i plodnog kao što je Kepler. Mora se shvatiti da je ovaj čovjek pretrpio nezamislive patnje: posebno je 1617–1618. izgubio troje djece za manje od šest mjeseci. Možda je engleski pjesnik John Donne (1572–1631) to najbolje rekao o njemu u svojoj brošuri “Ignacije i njegova konklava”: Kepler je “učinio svojom dužnošću da vidi da se ništa novo ne događa na nebesima bez njegovog znanja”.

Tokom renesanse, vajari su pokazali veliko interesovanje za forme pravilnih poliedara. arhitekata, umjetnika.
Leonardo da Vinci (1452-1519), na primjer, bio je oduševljen teorijom poliedara i često ih je prikazivao na svojim platnima. Ilustrovao je knjigu monaha Luce Paciolija "O božanskoj proporciji" pravilnim i polupravilnim poliedrima.
Pacioli je bio jedan od najvećih evropskih algebraista 15. vijeka i, ne manje važno, izumio je princip takozvanog dvostrukog unosa, koji se i danas koristi u svim računovodstvenim sistemima bez izuzetka. Stoga se sa sigurnošću može nazvati "ocem modernog računovodstva". Međutim, prilično misteriozna i kontroverzna Paciolijeva ličnost i dalje izaziva žestoku debatu među istoričarima nauke.
Godine 1472. Pacioli pod imenom Fra Luca di Borgo San Sepolcro 1496. godine je pozvan da drži predavanja u Milanu, gdje je upoznao Leonarda da Vincija. Leonardo je, pročitavši Sumu, napustio rad na vlastitoj knjizi o geometriji i počeo pripremati ilustracije za Paciolijevo novo djelo, Božanska proporcija.
Leonardo da Vinci je predložio originalan način prostornog prikazivanja skraćenog ikosaedra.
Reprodukcija ovoga prelepa slika iz knjige koju je Leonardo ilustrirao njegov savremenik, franjevački redovnik i matematičar Luca Pacioli (1445-1514) "Božanska proporcija" ("De Devina Proportione"), objavljena 1509. godine, prikazana je na slici 1.

Paciolijeva knjiga, za koju je Leonardo napravio 59 ilustracija različitih poliedara, imala je veliki utjecaj na razvoj geometrije tog vremena, posebno stereometrije poliedara.

Nije slučajno što je Leonardo bio uključen u proučavanje skraćenog ikosaedra. Titan renesanse, slikar, vajar, naučnik i izumitelj Leonardo da Vinci (1452-1519) simbol je nerazdvojivosti umjetnosti i nauke, a samim tim i njegovog interesovanja za tako lijepe stvari kao što su konveksni poliedri općenito i skraćeni ikosaedar posebno je prirodno. Slika 2.

Leonardo prethodi gravuri koja prikazuje skraćeni ikosaedar (sl. 17) sa latinskim natpisom Ycocedron Abscisus (krnji ikosaedar) Vacuus. Izraz vakuum odnosi se na činjenicu da su lica poliedra prikazana kao "prazna" - ne čvrsta. Strogo govoreći, ivice uopće nisu prikazane; one postoje samo u našoj mašti. Ali ivice poliedra nisu prikazane geometrijskim linijama (koje, kao što je poznato, nemaju ni širinu ni debljinu), već krute trodimenzionalne segmente. Obje ove karakteristike ove gravure čine osnovu metode prostornog predstavljanja poliedara, koju je Leonardo izmislio da ilustruje knjigu Luce Paciolija, a danas se naziva metoda krutih (ili čvrstih) ivica. Ova tehnika omogućava gledaocu, prvo, da precizno odredi koja od ivica pripada prednjoj, a koja stražnjoj strani poliedra (što je praktički nemoguće kada se ivice prikazuju geometrijskim linijama), i, drugo, da pogleda kroz geometrijsko tijelo, osjetiti ga u perspektivi, dubini, koji se gube pri korištenju tehnike čvrstih ivica. Tehnika koju je razvio Leonardo je briljantan primjer geometrijske ilustracije, novog načina grafičkog predstavljanja naučnih informacija. Ovu tehniku ​​su kasnije više puta koristili umjetnici, vajari i naučnici.

Sveta geometrija. Energetski kodovi harmonije Prokopenko Iolanta

Zlatni odnos. Božanstvena proporcija

Geometrija ima dva blaga: jedno od njih je Pitagorina teorema, drugo je podjela segmenta u srednjem i ekstremnom omjeru.

I. Kepler

Postoje stvari koje je gotovo nemoguće objasniti. Na primjer, dođete do prazne klupe i trebate sjesti na nju. Gdje ćeš sjediti? Možda baš u centru. Možda sa samog ruba. Ali najvjerovatnije ćete instinktivno odabrati poziciju u kojoj ćete podijeliti klupu na dva dijela, međusobno povezana u omjeru 1:1,62. Jednom potpuno jednostavnom radnjom podijelili ste prostor prema „zlatnom omjeru“.

Zlatni omjer je podjela količine (na primjer, segmenta) na dva dijela na način da je omjer većeg dijela prema manjem jednak omjeru cijele količine i njenog većeg dijela. Približna vrijednost zlatnog preseka je 1,6.

Uprkos svom gotovo mističnom porijeklu, PHI broj je na svoj način odigrao jedinstvenu ulogu. Uloga cigle u temelju izgradnje čitavog života na zemlji. Sve biljke, životinje, pa čak i ljudska bića su obdareni fizičkim proporcijama približno jednakim korijenu omjera PHI broja prema 1. Ova sveprisutnost PHI u prirodi... ukazuje na povezanost svih živih bića. Ranije se vjerovalo da je PHI broj unaprijed odredio Stvoritelj Univerzuma. Antički naučnici su jednu tačku šest stotina osamnaest hiljaditih nazvali „božanskom proporcijom“.

Beskonačan niz brojeva:

Naučnici su vekovima pokušavali da utvrde tačno značenje "zlatnog preseka". Pitagora je stvorio školu u kojoj su se proučavale tajne „zlatnog preseka“, Euklid je njome stvorio geometriju, Aristotel je primenio na etički zakon, Leonardo da Vinči i Mikelanđelo će ga veličati u svojim delima. Kakva je to božanska proporcija, čija se snaga i prava suština do danas ne mogu utvrditi? Zlatni presek se može videti svuda: u cvetnim pupoljcima, u ljudskom telu, u uvojcima školjki. Šta je ovo etička dogma? Mistična tajna? Fenomen? Ili svi zajedno?

Proporcije zlatnog preseka, koje je u naučnu upotrebu uveo Pitagora, i danas se koriste u umetnosti, matematici i svakodnevnom životu. Na primjer, reditelj Sergej Ejzenštajn izgradio je svoj film "Bojni brod Potemkin" prema pravilima zlatnog omjera. U prva tri dijela radnja se odvija na brodu. Preostala dva su u Odesi. Trenutak prijelaza akcije u Odesu tačno se poklapa sa tačkom zlatnog preseka.

Zlatni presek i vizuelni centri

Proučavajući Keopsove piramide, pokazalo se da su egipatski majstori koristili božanske proporcije prilikom stvaranja samih piramida, kao i hramova, bareljefa, nakita i predmeta za domaćinstvo iz Tutankamonove grobnice.

Fasada jednog od sedam svjetskih čuda, Partenona, također ima zlatne proporcije. Tokom iskopavanja ovog hrama pronađeni su kompasi koje su koristili arhitekti antičkog svijeta.

Tajne zlatnog omjera u antici bile su dostupne samo inicijatima. Njihova tajna se ljubomorno čuvala i otkrivala samo u posebnim slučajevima.

U doba renesanse pojačava se interes za zlatni rez, posebno u umjetnosti i arhitekturi. Veliki naučnik i umjetnik Leonardo da Vinci posebnu je pažnju posvetio božanskim proporcijama. Čak je počeo da piše i knjigu o geometriji, ali ga je prednjačio monah Luca Pacioli, koji je zlatnom preseku dao novo ime - "božanska proporcija". U njegovoj knjizi, koja se zvala "Božanska proporcija", rečeno je da je mali segment zlatnog preseka personifikacija Boga Sina. Veliki segment je Bog Otac, a cijela veličina je jedinstvo, ovo je Bog Duh Sveti. Božanska suština božanske proporcije...

Šema Partenona

Proučavanje proporcija ljudskog tijela

Leonardo da Vinci je zauzvrat skovao naziv "zlatni rez". On je u svom istraživanju mnogo pažnje posvetio zlatnoj podjeli. Više puta praveći presek stereometrijskog tela sa pentagonima, dobijao je pravougaonike sa odnosom širine i visine u zlatnom podelu. Odatle potiče i najpopularniji naziv za klasičnu proporciju - zlatni rez.

Iz knjige Zašto ptica pjeva? autor Mello Anthony De

ZLATNO JAJE U Svetom pismu čitamo: I reče Bog: Jedan seljak je imao gusku koja je nosila zlatno jaje svaki dan. Ali njegovoj pohlepnoj ženi to nije bilo dovoljno: samo jedno jaje dnevno? Tako je ubila gusku, nadajući se da će dobiti sva jaja odjednom. Tolika je dubina Reči

Iz knjige Alhemija od Canselier Eugenea

Iz knjige Talismani i srećke koje će donijeti novac i sreću autora Blava Ruschela

Zlatni prsten Rukopis kovača Kurumči o zlatnom prstenu kaže sledeće: Iz očeva i knjiga znamo da je zlato svete suze boga Sunca, koje je on prolio na Zemlju, videći glad i patnju naših predaka. Od suza Boga Sunca spasio je naš narod

Iz knjige Matematika za mistike. Tajne svete geometrije od Chesso Renna

Poglavlje #9 Fibonači, zlatni odnos i pentakl Fibonačijev niz nije samo uzorak slučajnih brojeva koji je izmislio ovaj italijanski matematičar. To je plod razumijevanja prostornih odnosa koji se odvijaju u prirodi i naknadno primljeni

Iz knjige Put kući autor

Štampanje sa suglasničkim slovima, zlatni omjer. Razmotrimo serije N, P, R, S, T - 5, 8, 1, 2, 3. Prije svega, brojevi 5 i 8 su upadljivi formula čuvenog zlatnog omjera - 0,618. Nacrtajte liniju dugu 8 jedinica i na nju stavite 5 jedinica - ovo je zlatni omjer

Iz knjige Sveta geometrija. Energetski kodovi harmonije autor Prokopenko Iolanta

Zlatni rez i zlatni prsten Rusije U knjizi Ericha von Dänikena (vidi) pročitao sam da sveta mesta u staroj Grčkoj su međusobno povezani proporcijom zlatnog omjera. Citiram lično provjerene podatke koji su dati u ovoj knjizi (vidi slike 55 i 56): 1. Linija

Iz knjige Rus' se otkriva autor Žikarencev Vladimir Vasiljevič

Zlatni omjer i spirala Zlatnog omjera kao osnova Zemljinog informacionog polja Iz navedenog se mogu izvući dalekosežni zaključci. Evo ih. Znamo da sva živa bića i biljke nose proporciju zlatnog preseka. Dakle, cijela životinja i cjelina

Iz knjige Igranje u praznini. Mitologija mnogih lica autor Demčog Vadim Viktorovič

Pentagram i zlatni rez Prema Pitagori, pentagram (ili hygieia) je matematičko savršenstvo koje skriva zlatni rez. Zrake pentagrama dijele jedna drugu u tačnom matematičkom omjeru, koji je jednak zlatnom

Iz knjige JA SAM Vječnost. Književni razgovori sa Stvoriteljem (zbirka) autor Klimkevič Svetlana Titovna

Zlatni rez i kreacije prirode Zlatni rez, prema kojem su antički arhitekti podizali građevine i prema kojem moderni fotografi grade kompoziciju, predložila je sama priroda. Cikorija Živorodni gušter Ptičje jaje I među biljkama i među životinjama

Iz knjige Velika knjiga tajno znanje. Numerologija. Grafologija. Hiromantija. Astrologija. Proricanje sudbine autor Schwartz Theodor

Platonska tijela i zlatni rez Među platonskim telima postoje dva koja zauzimaju posebno mjesto - dodekaedar i ikosaedar, njegov dual. Njihova geometrija je u direktnoj vezi sa proporcijom zlatnog preseka. Lica dodekaedra su pravilna

Iz autorove knjige

Zlatni presek Razmotrimo serije N, P, P, S, T - 5, 8, 1, 2, 3 (vidi sliku 7). Prije svega, brojevi 5 i 8 su upečatljivi. Razlomak 5/8 je formula za čuveni zlatni omjer - 0,618. Nacrtajte liniju dugu 8 jedinica i stavite 5 na nju - ovo je proporcija zlatnog omjera (vidi sliku 8 - odnosi

Iz autorove knjige

Zlatni presek i zlatni prsten Rusije Jednom sam u knjizi Eriha fon Danikena (vidi) pročitao da su sveta mesta u staroj Grčkoj međusobno povezana proporcijom zlatnog preseka. Citiram lično provjerene podatke koji su dati u ovoj knjizi: 1. Delphi Line -

Iz autorove knjige

Zlatni omjer i spirala zlatnog omjera kao osnova Zemljinog informacionog polja Ukratko, templari su mi pomogli da shvatim šta znači puž. Jedna od misterija koja je donedavno mučila naučnike bila je sljedeća: odakle su templari došli tako dobro?

Iz autorove knjige

Zlatni odnos slike, ili ono što Luca Pacioli naziva Božanstvena proporcija Ovo je najznačajniji i najfascinantniji fenomen u igri. Za najstrastvenije igrače, proces igranja imidžom pruža neuporedivo zadovoljstvo. Ali! Možete shvatiti prirodu slike

Iz autorove knjige

Zlatni odnos 616 = Uđite u centar Alfe i Omege - jezgro galaksije Mlečni put = Prvi put je napravljena direktna komunikacija kroz svemir = Zvezda ujedinjenog galaktičkog mozga - šestokraka zvezda - zvezda magičara = Transformacija svesti u duhovno kroz intelekt = "Numerički"

Iz autorove knjige

Formula za savršenstvo. Zlatni rez Čovjek dugo podsvjesno traži harmoniju u svemu - u prirodi oko sebe, u kućnim predmetima, nakitu, umjetničkim djelima. Teško je naći mjeru objektivne procjene ljepote, izraženu u konkretnim brojevima, ali dalje

Računovodstvo je sastavni element savremenog ekonomskog sistema. Kao što pokazuje istorijska praksa, ideje o novcu i njegovom prometu neraskidivo su povezane sa postojećom ekonomskom strukturom. Razvojem državnosti javila se potreba za sistematizacijom i racionalizacijom finansijske transakcije. Ogroman doprinos Luca Pacioli, “otac” računovodstva, dao je svoj doprinos rješavanju ovog problema. Zatim ćemo saznati koja je zasluga ovog matematičara.

Luca Pacioli: biografija

Rođen je 1445. godine na Apeninima, u gradiću Borgo Sansepolcro. Još kao dječak poslat je u lokalni manastir da uči kod umjetnika. Godine 1464. Luca Pacioli se preselio u Veneciju. Tamo je odgajao trgovačke sinove. U tom trenutku dogodilo se njegovo prvo upoznavanje sa finansijskim aktivnostima. Godine 1470. Luca Pacioli (fotografija matematičara predstavljena je u članku) preselio se u Rim. Tamo je završio sastavljanje svog udžbenika komercijalne aritmetike. Nakon Rima, matematičar odlazi u Napulj na tri godine. Tamo se bavio trgovinom, ali, očigledno, bez uspjeha. Godine 1475-76, položio je monaški zavjet i pridružio se monahu Od 1477. godine Luca Pacioli je predavao 10 godina na Univerzitetu u Peruđi. Tokom njegove karijere, njegove nastavničke sposobnosti su više puta priznate povećanjem plate. Dok je radio na univerzitetu, stvorio je glavno djelo, čije je jedno od poglavlja bilo „Treatise on Records and Accounts“.

Godine 1488. matematičar je napustio odsjek i otišao u Rim. Sljedećih pet godina bio je u osoblju Pietra Valletarija (biskupa). Godine 1493. Pacioli se preselio u Veneciju. Ovdje je pripremio svoju knjigu za štampu. Nakon godinu dana odmora, Pacioli je prihvatio katedru na Univerzitetu u Milanu, gdje je počeo da predaje matematiku. Ovdje upoznaje Leonarda da Vincija i postaje njegov prijatelj. Godine 1499. preselili su se u Firencu. Tamo je Pacioli predavao matematiku dvije godine. Nakon toga odlazi u Bolonju. U ovom gradu skoro polovina je izdvojena za održavanje univerziteta. Prihvatanje jednog matematičara na tako profitabilnu i prestižnu poziciju ukazuje na njegovo priznanje.

Nekoliko godina kasnije, dio knjige koju je napisao Luca Pacioli, “Treatise on Accounts and Records”, objavljen je u Veneciji. Datum objavljivanja ovog djela je 1504. Do 1505. godine, matematičar se praktično povukao iz nastave i preselio se u Firencu. Ali 1508. ponovo odlazi u Veneciju. Tamo je držao javna predavanja. Međutim, njegovo glavno zanimanje u to vrijeme bila je priprema za objavljivanje njegovog prijevoda Euklida. Godine 1509. objavljena je još jedna knjiga koju je napisao Luca Pacioli, “O božanskoj proporciji”. Godine 1510. matematičar se vratio u svoj rodni grad i postao prior u lokalnom manastiru. Međutim, njegov život je bio opterećen brojnim intrigama zavidnih ljudi. To je bio razlog da četiri godine kasnije ponovo odlazi u Rim. Tamo je predavao na matematičkoj akademiji. Luca Pacioli se vratio u svoj rodni grad malo prije smrti - 1517. godine.

Doprinos matematičara razvoju metodologije

Da bismo u potpunosti razumjeli značaj knjige koju je napisao Luca Pacioli (Treatise on Accounts and Records), potrebno je cijeniti principe koje je on postavio u sistemu. Gotovo svi stručnjaci kažu da su kriteriji koje je predložio matematičar postojali prije njega. Na primjer, Luca Pacioli se ne može smatrati autorom dvostrukog unosa. Postojao je prije njega. U ovom slučaju postavlja se pitanje: kakav je doprinos matematičara u takvom slučaju? Za razliku od svojih savremenika, Pacioli je smatrao da je sve važno već ranije izmišljeno. On je glavni zadatak naučnika vidio u najefikasnijej izgradnji kursa obuke. Pacioli nije zamišljao naučnu kreativnost dalje od toga pedagoški proces. Stoga je poučavanje postalo sastavni element njegovog života.

Ideje koje je Luca Pacioli u potpunosti odredio njegov naučni pristup rješavanju matematičkih problema i srodnih disciplina. Ovu poziciju je kasnije prilično precizno odredio Galileo. Poznavanje matematike Luce Paciolija bilo je usko povezano sa proučavanjem harmonije svijeta. Istovremeno, ispravnost geometrijskih figura, kao i konvergencija ravnoteže, postali su za njega manifestacije ove harmonije. Naučnik nije jednostavno zabilježio one prakse koje su postojale ranije, već ih je dao naučni opis. To je glavni značaj aktivnosti koje provodi Luca Pacioli. Traktat o računima i evidencijama je tako postao temelj za unapređenje bilansnog sistema.

Suština naučnog pristupa

Refleksija činjenica u vrijeme njihovog postojanja je najtačnija. Ali u isto vrijeme, takva tehnika ne doprinosi daljem razvoju praksi, jer je metoda spoznaje usmjerena na prošlost, tačna reprodukcija onoga što se već dogodilo i što se događa. Pristup koji je koristio Luca Pacioli omogućio je procjenu situacije ne samo u fazi njenog razvoja, već iu budućnosti, kao i sa stanovišta sistemnosti i integriteta. U svom radu matematičar nije uzeo u obzir mnogo, napravio je niz grešaka i opisao je zastarjeliji venecijanski sistem, a ne progresivni firentinski. Međutim, Traktat Luce Paciolija je pokazao da se naučni pristup može primijeniti i pri sastavljanju finansijskih izvještaja. Formiranje bilansa stanja uspio je pretvoriti u jedan od pravaca, što je zauzvrat navelo mnoge ljude (Leibniz, Cardano i druge) da se zainteresuju za teoriju računovodstva.

Implementacija matematičkog sistema

U svom Traktatu, Pacioli je postojeće metode dopunio idejama o kombinatorici. Bilansi stanja u to vrijeme koristili su razlomke zbog istovremenog korištenja nekoliko valuta. Ali tokom operacija jednostavno su zaokruženi. Međutim, glavni doprinos matematičara metodologiji smatra se njegovo uvođenje ideje o cjelovitosti računovodstvenog sistema i činjenice da konvergencija bilansa djeluje kao znak njegove harmonije. Potonja definicija se u to vrijeme smatrala ne samo estetskom, već i inženjerskom kategorijom. Procjena trgovinskog bilansa sa ove pozicije omogućila je da se preduzeće predstavi kao integralni sistem. Metoda koju je Luca Pacioli usavršio - dvostruki unos - po njegovom mišljenju, trebalo je koristiti ne samo za određeno trgovačko preduzeće, već za svaku organizaciju i za cijelu privredu u cjelini. To nam omogućava da zaključimo da je pristup koji je matematičar uveo predodredio ne samo razvoj finansijskog izvještavanja, već je postao temelj za formiranje i kasniju implementaciju ekonomske misli.

Luca Pacioli: "Traktat o računima i zapisima" (sažetak)

Prije svega, treba reći da je finansijski bilans matematičara predstavljen u obliku strogo uređenog niza operacija. Najpotpuniji odraz “proceduralnosti” može se vidjeti u principu vođenja tri računovodstvene knjige. Prvi - "Memorijal" - odražava hronološki slijed svih slučajeva. Šesto poglavlje Traktata opisuje postupak za njegovo sprovođenje. Vremenom je Spomen obilježje zamijenjeno primarnim dokumentima. Kao rezultat toga, došlo je do nedosljednosti između datuma izjave, transakcije i registracije činjenice.

Sljedeća knjiga je "The Journal". Namijenjen je isključivo za internu upotrebu. Bilježila je sve radnje koje su opisane u Spomenici, ali je istovremeno vodila računa o njihovom ekonomskom značenju (gubitak, dobit i sl.). Namijenjena je za objave i također je sastavljena kronološkim redom. Treća knjiga bila je "Glavna". Opisana je u 14. poglavlju Traktata. Bilježila je transakcije sistematskim, a ne hronološkim redoslijedom.

Jasnoća

Ovo je sljedeći princip koji je opisao Pacioli. Jasnoća je značila pružanje jasnih i potpunih informacija korisnicima o poslovnim aktivnostima preduzeća. Svi zapisi u knjigama, u skladu sa ovim principom, treba da budu sastavljeni na način da omogućavaju konceptualnu rekonstrukciju. Drugim riječima, transakcije moraju biti evidentirane na način da je naknadno moguće vratiti učesnike u radnju, predmete, vrijeme i mjesto činjenice. Da bi se postigla najveća jasnoća, neophodno je poznavanje jezika računovodstva. Matematičar je koristio venecijanski dijalekt kada je pisao knjigu, i svuda se koristio matematički koncepti. Pacioli je bio taj koji je stvorio preduslove za stvaranje računovodstvenog jezika koji je bio najrazumljiviji većini italijanskih finansijera.

Neodvojivost imovine vlasnika i preduzeća

Ovaj princip je bio sasvim prirodan za to vrijeme. Činjenica je da su mnogi trgovci tada delovali kao jedini vlasnici preduzeća, menadžeri i primaoci gubitaka i dobiti od trgovačkih aktivnosti. U skladu s tim, računovodstvo se vodi u interesu vlasnika preduzeća. Međutim, 1840. Hipolit Vanier je formulisao drugačiji pristup. U skladu sa njim, računovodstvo se ne vodi u interesu vlasnika, već u interesu kompanije. Ovaj pristup odražavao je širenje dioničkog kapitala među širokim masama.

Kreditna i debitna

Jedan od najvažnijih Paciolijevih principa bio je dvostruko snimanje. Matematičar je zauzeo stav da svako treba da se odrazi i na zaduženje i na kredit. Ovaj pristup ima sljedeće ciljeve:

Pacioli je u svom radu mnogo pažnje posvetio prvom zadatku. Istovremeno, drugi i treći su ostali nerazvijeni. To dovodi do formiranja metode koja narušava ispravnost prometa. Činjenica je da je Pacioli pre svega bio naučnik, a potom i finansijer, pa je sistem dvostrukog ulaska razmatrao u okviru uzročno-posledične veze. Vjerovatno je matematičar vidio uzrok u zaduženju, a učinak u kreditu. Ovakav način gledanja na finansijski sistem prvenstveno je našao primenu u ekonomiji. Najsažetiju formulaciju ovog principa dao je Yezersky: bez rashoda ne može biti prihoda. Pacioli je prihvatio sljedeće kao glavne aspekte dualne notacije:

1. Iznos zaduženja će uvijek biti identičan iznosu kredita.
2. Vrijednost dugovanja uvijek će biti identična vrijednosti kreditnih salda.

Ovi principi su kasnije postali široko rasprostranjeni u računovodstvenim sistemima.

Predmet izvještavanja

Paciolijeva uloga je bila da izvrši kupoprodajni ugovor. Svođenje svih sporazuma na dokument ove vrste bilo je sasvim tipično za to vrijeme. Bez sumnje, današnja raznolikost oblika ekonomskog života ne može se uklopiti u okvire koncepta kupoprodaje (npr. ofset, trampa i sl.). Međutim, u Paciolijevo vrijeme ova ideja je bila vrlo progresivna. Pored toga, ovakav pristup je omogućio da se formuliše adekvatna definicija vrednosti za taj period ne samo kao fer cene, već i kao posledica troškova i situacije na tržištu.

Princip adekvatnosti

Njegova suština je da su svi troškovi koje preduzeće ima u korelaciji tokom vremena sa prihodima koje prima. Paciolijevo načelo adekvatnosti pretpostavlja, a ne uvodi ga direktno i eksplicitno. Prihodom se smatra samo primljeni novac. U to vrijeme koncepti profitabilnosti i deprecijacije tek su počeli da se formiraju. Sve ovo zajedno je doprinijelo stvaranju ideja kako o monetarnoj, tako io drugim oblicima profita. U skladu sa novim shvatanjem prihoda, možemo reći da on nastaje ne samo kao rezultat poslovnih transakcija, već i kao rezultat primene računovodstvene metodologije.

Održavanje ravnoteže

Pacioli je računovodstvo smatrao nečim vrijednim samo po sebi, te je u vezi s tim vrijednost izvještajnih rezultata djelovala kao relativan koncept. Rezultati zabeleženi u jednoj ili drugoj knjizi u velikoj meri zavise od metoda izveštavanja. Ova odredba je u skladu s idejom što preciznijeg evidentiranja poslovnih transakcija u bilansu stanja, budući da sve metode zahtijevaju prilično tačan prikaz činjenica, uprkos činjenici da zaključci često mogu biti direktno suprotni. Pacioli je ovo dobro shvatio. S tim u vezi, kao glavni rezultat finansijskog izvještavanja, vidi njegov uticaj na donošenje odluka u oblasti ekonomskog upravljanja.

Iskrenost

Ovo je posljednji princip koji je Pacioli proglasio u svom Traktatu. Osoba koja uravnotežuje ravnotežu mora biti potpuno iskrena. Ovo se ne bi trebalo odnositi samo na samog poslodavca. Računovođa mora biti prvenstveno iskren prema Bogu. S tim u vezi, oslanjanje na njega u gotovo svakom poglavlju za matematičara nije ni priznanje tradiciji ni ispunjenje monaške dužnosti, ali što je najvažnije Pacioli je smatrao namjerno iskrivljavanje računovodstvenih informacija ne samo finansijskim kršenjem. Za matematičara je to prvenstveno bio poremećaj božanska harmonija, što je nastojao da shvati kroz proračune.

Nedostaci posla

Treba reći da je Paciolijevo djelo djelovalo prvenstveno kao teorijska knjiga. Kao takav, ne odražava mnoge elemente finansijskih izvještaja koji su postojali u to vrijeme. To posebno uključuje:

1. Održavanje dodatnih i paralelnih knjiga.
2. Računovodstvo industrijskih troškova.
3. Održavanje ravnoteže u analitičke svrhe. U to vrijeme, izvještavanje se već provodilo ne samo da bi se uskladile informacije i zatvorile knjige, već je djelovalo i kao upravljački i kontrolni alat.
4. Održavanje nostro i loro računa.
5. Osnove revizije i postupak provjere bilansa.
6. Metode kalkulacije koje se odnose na raspodjelu dobiti.
7. Procedura za rezervisanje sredstava i raspodelu rezultata u susednim periodima.
8. Potvrda izvještajnih informacija korištenjem metoda inventara.

Odsustvo ovih komponenti prvenstveno ukazuje na Paciolijev nedostatak komercijalnog iskustva. Vjerovatno je da nije uključio navedene detalje zbog činjenice da se jednostavno nisu uklapali u holistički sistem koji je stvorio.

Konačno

Paciolijev rad bio je jedan od prvih koji je korišten talijanski jezik kao sredstvo za izražavanje naučnih ideja. Principi i kategorije koje je formirao matematičar koriste se i danas. Paciolijeva glavna zasluga nije u tome što ih je snimio - uostalom, to bi ipak bilo učinjeno. Njegov doprinos je da je upravo zahvaljujući njegovoj knjizi računovodstvo podignuto na status nauke.

Trenutna stranica: 11 (ukupno 21 stranica) [dostupan odlomak za čitanje: 14 stranica]

Božanstvena proporcija

Potraga za našim porijeklom je sok tog slatkog voća koji donosi toliko zadovoljstva u misli filozofa.

Luca Pacioli (1445–1517)

Samo nekoliko velikih slikara u ljudskoj istoriji bili su i nadareni matematičari. Međutim, izraz "renesansni čovjek" u našem rječniku označava osobu koja je oličila renesansni ideal najšireg pogleda i obrazovanja. Tako su tri najpoznatija umjetnika renesanse - Italijani Piero della Francesca (oko 1412-1492) i Leonardo da Vinci i Nijemac Albrecht Dürer, također dali vrlo značajan doprinos matematici. Možda nije iznenađujuće što su matematička istraživanja sva tri bila povezana sa zlatnim rezom. Najaktivniji matematičar ovog briljantnog tria virtuoza bio je Piero della Francesca. Zapisi Antonija Marije Gracijanija, koji je bio u srodstvu sa Pjerovim praunucima i koji je kupio umetnikovu kuću, ukazuju da je Pjero rođen 1412. godine u Borgo Sansepolkrou u centralnoj Italiji. Njegov otac Benedetto bio je uspješan kožar i obućar. O Pjerovom djetinjstvu se gotovo ništa više ne zna, ali su nedavno otkriveni dokumenti koji jasno govore da je prije 1431. proveo neko vrijeme kao šegrt kod umjetnika Antonija D'Angiarija, čija djela do nas nisu stigla. Krajem 1430-ih Piero se preselio u Firencu, gdje je počeo da sarađuje sa umjetnikom Domenico Venezianom. U Firenci se mladi umjetnik upoznao sa radovima ranih renesansnih umjetnika – uključujući Fra Angelica i Masaccia – i sa skulpturama Donatela. Posebno ga je dojmila veličanstvena vedrina Fra Angelicovih djela na vjerske teme, a njegov vlastiti stil odražava taj utjecaj u svim aspektima chiaroscura i kolorita. U narednim godinama, Piero je neumorno radio u raznim gradovima, uključujući Rimini, Arezzo i Rim. Pierrotove figure ili su se odlikovale arhitektonskom strogošću i monumentalnošću, kao u "Kristovom bičevanju" (sada se slika čuva u Nacionalnoj galeriji Marche u Urbinu; slika 45), ili su se činile prirodnim nastavak pozadine, kao u „Krštenju“ (trenutno se nalazi u Nacionalnoj galeriji u Londonu; sl. 46). Prvi istoričar umetnosti Giorgio Vasari (1511–1574), u svojim Životima najpoznatijih slikara, vajara i arhitekata, piše da je Pjero od rane mladosti pokazao izuzetne matematičke sposobnosti i pripisuje mu pisanje „brojnih“ matematičkih rasprava. Neki od njih su nastali u starosti, kada umjetnik zbog nemoći više nije mogao slikati. U posvetnom pismu vojvodi Gvidobaldu od Urbina, Piero spominje jednu od svojih knjiga, napisanu „kako njegov um ne bi postao krut od neupotrebe“. Do nas su stigla tri Pierrotova djela o matematici: “ De Prospectiva pingendi"("O perspektivi u slikarstvu"), " Libellus de Quinque Corporibus Regularibus"("Knjiga o pet pravilnih poliedara") i " Trattato d’Abaco"("Traktat o računima").

Rice. 45

Rice. 46

Rasprava O perspektivi (sredina 1470. - 1480.) sadrži mnoge reference na Euklidove elemente i optiku, jer je Piero della Francesca odlučio da dokaže da je tehnika prenošenja perspektive u slikarstvu u potpunosti zasnovana na matematičkim i fizičkim svojstvima vizuelne perspektive. Na slikama samog umjetnika, perspektiva je prostrana posuda koja je u potpunosti u skladu s geometrijskim svojstvima figura sadržanih u njoj. Zapravo, za Pierrota, samo slikanje se prvenstveno svodilo na „prikazivanje tijela smanjene ili uvećane veličine na avionu“. Ovakav pristup je jasno vidljiv na primjeru „Bičevanja“ (sl. 45 i 47): ovo je jedna od rijetkih slika renesanse gdje je perspektiva građena i razrađena vrlo pažljivo. Kako piše savremeni umjetnik David Hockney u svojoj knjizi Tajno znanje ( David Hockney. Tajno znanje, 2001.), Pierrot slika figure „onakve kakve on vjeruje da bi trebale biti, a ne onakve kakvima ih on vidi“.

Povodom 500. godišnjice Pierove smrti, naučnici Laura Geatti sa Univerziteta u Rimu i Luciano Fortunati iz Nacionalnog istraživačkog vijeća u Pizi izvršili su detaljnu analizu bičavanja pomoću kompjutera. Digitalizirali su cijelu sliku, odredili koordinate svih tačaka, izmjerili sve udaljenosti i sastavili kompletnu perspektivnu analizu zasnovanu na algebarskim proračunima. To im je omogućilo da precizno odrede lokaciju "tačke nestajanja" gdje se ukrštaju sve linije koje vode do horizonta od posmatrača (slika 47), zahvaljujući čemu je Pierrot uspio postići "dubinu" koja ostavlja tako snažan utisak .

Rice. 47

Pierrotova knjiga o perspektivi, koju odlikuje jasnoća prezentacije, postala je standardni vodič za umjetnike koji pokušavaju crtati ravne figure i geometrijska tijela, a oni njezini dijelovi koji nisu preopterećeni matematikom (i koji su razumljiviji) uključeni su u većinu narednih radova. na perspektivu. Vasari tvrdi da je Pierrot dobio solidno matematičko obrazovanje i da je stoga "bolje od bilo kojeg drugog geometra razumio kako najbolje crtati krugove u pravilnim tijelima, a on je bio taj koji je rasvijetlio ova pitanja" ( u daljem tekstu per. A. Gabričevski i A. Benediktov). Primjer kako je Pierrot pažljivo razvio metodu crtanja pravilnog pentagona u perspektivi može se vidjeti na Sl. 48.

I u svom Traktatu o Abakusu i u svojoj Knjizi o pet pravilnih poliedara, Pierrot postavlja (i rješava) mnoge probleme koji uključuju pentagon i pet Platonovih tijela. Izračunava bočne i dijagonalne dužine, površine i zapremine. Mnoga rješenja su također zasnovana na zlatnom omjeru, a neke od Pierrotovih tehnika svjedoče o njegovoj domišljatosti i originalnosti razmišljanja.

Rice. 48

Piero je, kao i njegov prethodnik Fibonači, napisao Raspravu o Abakusu uglavnom da bi svojim savremenicima biznismena pružio aritmetičke „recepte“ i geometrijska pravila. U svijetu trgovine u to vrijeme nije postojao jedinstven sistem težina i mjera, pa čak ni dogovori o veličinama i oblicima kontejnera, tako da je bilo nemoguće bez mogućnosti izračunavanja zapremine cifara. Međutim, Pierrotova matematička radoznalost odvela ga je daleko dalje od tema koje su svedene na svakodnevne potrebe. Stoga u njegovim knjigama nalazimo i "beskorisne" probleme - na primjer, izračunavanje dužine ivice oktaedra upisanog u kocku, ili prečnika pet malih krugova upisanih u krug većeg prečnika (Sl. 49) . Za rješavanje posljednjeg problema koristi se pravilan pentagon, a samim tim i zlatni rez.

Rice. 49

Pierrotovo algebarsko istraživanje uglavnom je uključeno u knjigu koju je objavio Luca Pacioli (1445–1517) pod naslovom „ Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita"("Kodeks znanja iz aritmetike, geometrije, proporcija i proporcionalnosti"). Pierova djela o poliedrima, napisana na latinskom, preveo je na talijanski isti Luca Pacioli - i ponovo uključena (ili, manje delikatno, jednostavno ukradena) u njegovu čuvenu knjigu o zlatnom rezu pod naslovom "O božanskoj proporciji" (" O božanskoj proporciji” („O božanskoj proporciji”) Divina Proportione»).

Ko je on bio, ovaj kontradiktorni matematičar Luca Pacioli? Najveći plagijator u istoriji matematike - ili još uvek veliki popularizator matematičke nauke?

Neopevani heroj renesanse?

Luca Pacioli je rođen 1445. godine u istom toskanskom gradu Borgo Sansepolcro gdje je rođen Piero della Francesca i držao svoju radionicu. Osim toga, Luca je svoje osnovno obrazovanje stekao u Pierrotovoj radionici. Međutim, za razliku od drugih učenika koji su pokazali sklonost slikanju - neki od njih, na primjer, Pietro Perugino, bili su predodređeni da postanu veliki slikari - ispostavilo se da je Luca bio skloniji matematici. Pjero i Pacioli su i ubuduće održavali prijateljske odnose: dokaz za to je da je Pjero prikazao Paciolija u liku Svetog Petra od Verone (Petra Mučenika) na „oltaru Montefeltra“. Dok je još bio relativno mlad, Pacioli se preselio u Veneciju i tamo postao mentor trojici sinova bogatog trgovca. U Veneciji je nastavio svoje matematičko obrazovanje pod vodstvom matematičara Domenica Bragadina i napisao prvu knjigu o aritmetici.

Godine 1470. Pacioli je studirao teologiju i postao franjevački redovnik. Od tada je postalo uobičajeno zvati ga Fra Luca Pacioli. U narednim godinama mnogo je putovao, predavajući matematiku na sveučilištima u Perugi, Zadru, Napulju i Rimu. U to vrijeme, Pacioli je vjerovatno neko vrijeme podučavao i Gvidobalda Montefeltra, koji je 1482. godine trebao postati vojvoda od Urbina. Možda najbolji portret matematičara je slika Jacopa de Barbarija (1440–1515), koja prikazuje Luca Paciolija kako drži lekciju geometrije (slika 50, slika se nalazi u muzeju Capodimonte u Napulju). Desno na Paciolijevoj knjizi" Summa» počiva jedno od Platonovih tijela - dodekaedar. Sam Pacioli, u franjevačkom mantiju (također sličnom pravilnom poliedru, ako dobro pogledate), kopira crtež iz XIII knjige Euklidovih elemenata. Prozirni poliedar nazvan rombikuboktaedar (jedno od arhimedovih čvrstih tijela, poliedar sa 26 lica, od kojih je 18 kvadrata, a 8 jednakostraničnih trokuta), visi u zraku i do pola ispunjen vodom, simbolizira čistoću i vječnost matematike. . Umjetnik je uspio sa zadivljujućom vještinom prenijeti prelamanje i refleksiju svjetlosti u staklenom poliedru. Identitet Paciolijevog učenika prikazanog na ovoj slici bio je predmet kontroverzi. Konkretno, pretpostavlja se da je ovaj mladić sam vojvoda Guidobaldo. Engleski matematičar Nick MacKinnon iznio je zanimljivu hipotezu 1993. godine. U svom članku “Portret fra Luce Paciolija”, objavljenom u “ Mathematical Gazette” i na osnovu vrlo solidnog istraživanja, MacKinnon zaključuje da je riječ o portretu velikog njemačkog slikara Albrechta Dürera, kojeg su jako zanimale i geometrija i perspektiva (a na njegov odnos s Paciolijem vratit ćemo se malo kasnije). Zaista, lice učenika zapanjujuće liči na Direrov autoportret.

Rice. 50

Godine 1489. Pacioli se vratio u Borgo Sansepolcro, pošto je dobio neke privilegije od samog pape, ali ga je lokalni vjerski establišment dočekao s ljubomornim neprijateljstvom. Oko dvije godine mu je čak bilo zabranjeno da predaje. Godine 1494, Pacioli je otišao u Veneciju da štampa svoju knjigu " Summa“, koji je bio posvećen vojvodi Gvidobaldu. " Summa„po prirodi i obimu (oko 600 stranica) je istinski enciklopedijsko djelo, gdje je Pacioli objedinio sve što je u to vrijeme bilo poznato u oblasti aritmetike, algebre, geometrije i trigonometrije. Pacioli se u svojoj knjizi ne ustručava da probleme o ikosaedru i dodekaedru pozajmi iz “Traktata” Piera della Francesca i druge probleme u geometriji, kao i u algebri, iz radova Fibonaccija i drugih naučnika (međutim, obično izražava zahvalnost autoru, kako se i očekivalo). Pacioli priznaje da mu je glavni izvor Fibonači i kaže da tamo gdje nema referenci na nekog drugog, djela pripadaju Leonardu iz Pize. Zanimljiva rubrika" Summa» – računovodstveni sistem dvostrukog unosa, metoda koja vam omogućava da pratite odakle je novac došao i kuda je otišao. Ovaj sistem nije izmislio sam Pacioli, on je samo spojio tehnike venecijanskih trgovaca renesanse, ali se vjeruje da je ovo prva knjiga o računovodstvu u istoriji čovječanstva. Paciolijeva želja da "omogući biznismenu da odmah dobije informacije o svojoj imovini i finansijskim obavezama" mu je donijela nadimak "otac računovodstva", a računovođe širom svijeta su 1994. godine proslavile petstogodišnjicu " Summa„u Sansepolcrou, kako se ovaj grad sada zove.

Godine 1480. mjesto vojvode od Milana je zapravo preuzeo Ludovico Sforza. U stvarnosti, on je bio samo regent pravom vojvodi, koji je tada imao samo sedam godina; ovim događajem okončan je period političkih intriga i ubistava. Ludovico je odlučio da svoj dvor ukrasi umjetnicima i naučnicima i 1482. godine pozvao je Leonarda da Vincija u “koledž vojvodskih inženjera”. Leonardo je bio veoma zainteresovan za geometriju, posebno za njenu praktičnu primenu u mehanici. Prema njegovim riječima, "Mehanika je raj među matematičkim naukama, jer ona daje plodove matematike." A kasnije, 1496. godine, Leonardo je najvjerovatnije osigurao da vojvoda pozove Paciolija na dvor kao nastavnika matematike. Leonardo je nesumnjivo studirao geometriju od Paciolija i usadio mu ljubav prema slikarstvu.

Dok je bio u Milanu, Pacioli je završio rad na trotomnoj raspravi O božanskoj proporciji, koja je objavljena u Veneciji 1509. Prvi tom, " Compendio de Divina Proportione” (“Kompendij o božanskoj proporciji”), sadrži detaljan sažetak svih kvaliteta zlatnog omjera (koji Pacioli naziva “božanskom proporcijom”) i proučavanje Platonovih tijela i drugih poliedara. Na prvoj stranici “O božanskoj proporciji” Pacioli pomalo pompezno izjavljuje da je to “djelo neophodno za sve radoznale, jasne ljudske umove, u kojem svako ko voli da proučava filozofiju, perspektivu, slikarstvo, skulpturu, arhitekturu, muziku i druge matematičke discipline naći će vrlo suptilno, elegantno i šarmantno učenje i uživaće u raznim pitanjima koja utiču na sve tajne nauke.”

Pacioli je prvi tom svoje rasprave “O božanskoj proporciji” posvetio Ludoviku Sforci, a u petom poglavlju navodi pet razloga zašto, po njegovom mišljenju, zlatni rez ne treba nazivati ​​drugačije nego božanskom proporcijom.

1. “Ona je jedna, ujedinjena i sveobuhvatna.” Pacioli upoređuje jedinstvenost zlatnog preseka sa činjenicom da je „Jedan“ „najviši epitet samog Boga“.

2. Pacioli vidi sličnost između činjenice da definicija zlatnog preseka uključuje tačno tri dužine (AC, CB i AB na sl. 24), i postojanja Svetog Trojstva – Oca, Sina i Svetoga Duha.

3. Za Paciolija su neshvatljivost Boga i činjenica da je zlatni rez iracionalan broj ekvivalentni. Evo kako on piše: „Kao što se Gospod ne može pravilno definisati i ne može pojmiti rečima, tako se ni naša proporcija ne može preneti u razumljivim brojevima i izraziti bilo kojom racionalnom količinom, ona će zauvek ostati misterija, skrivena od svih, i matematičari to nazivaju iracionalnim.”

4. Pacioli upoređuje sveprisutnost i nepromjenjivost Boga sa samosličnošću, koja je povezana sa zlatnim rezom: njegova vrijednost je uvijek nepromijenjena i ne zavisi od dužine segmenta koji je podijeljen u odgovarajućoj proporciji, ili od veličine pravilnog pentagona, u kojem se računaju omjeri dužina.

5. Peti razlog pokazuje da je Pacioli imao čak više platonističkih pogleda na biće nego sam Platon. Pacioli tvrdi da je kao što je Bog dao život univerzumu kroz kvintesenciju koja se ogleda u dodekaedru, tako je zlatni rez dao život dodekaedru, jer je nemoguće izgraditi dodekaedar bez zlatnog preseka. Pacioli dodaje da je nemoguće upoređivati ​​druga platonska tijela (simbole vode, zemlje, vatre i zraka) jedno s drugim bez oslanjanja na zlatni rez.

U samoj knjizi, Pacioli neprestano brblja o kvalitetama zlatnog preseka. On uzastopno analizira 13 takozvanih “efekta” “božanske proporcije” i svakom od ovih “efekta” pripisuje epitete kao što su “inherentan”, “jedinstven”, “divan”, “vrhovni” itd. efekat” da se zlatni pravougaonici mogu upisati u ikosaedar (slika 22), on naziva “nerazumljivim”. On se zaustavlja na 13 „efekata“, zaključujući da „ova lista mora biti popunjena za spas duše“, budući da je za stolom tokom Tajne večere sjedilo 13 ljudi.

Nema sumnje da je Pacioli bio veoma zainteresovan za slikarstvo, a svrha stvaranja rasprave “O božanskoj proporciji” bila je delimično da se izbrusi matematička osnova likovne umetnosti. Već na prvoj stranici knjige Pacioli izražava želju da umjetnicima otkrije “tajnu” harmonijskih formi kroz zlatni rez. Da bi osigurao atraktivnost svog rada, Pacioli je angažovao usluge najboljeg ilustratora o kojem je bilo koji pisac mogao sanjati: sam Leonardo da Vinci je dao knjizi 60 crteža poliedara, kako u obliku „skeleta” (slika 51) tako i u obliku čvrstih tela (Sl. 52). O zahvalnosti nije bilo reči – Pacioli je o Leonardu i njegovom doprinosu knjizi ovako pisao: „Najbolji slikar i majstor perspektive, najbolji arhitekta, muzičar, čovek obdaren svim mogućim vrlinama – Leonardo da Vinči, koji je izumeo i izveo niz šematskih slika pravilnih geometrijskih tijela " Sam tekst, doduše, ne ostvaruje zadate visoke ciljeve. Iako knjiga počinje senzacionalnim tiradama, ono što slijedi je prilično običan skup matematičkih formula, nemarno razvodnjenih filozofskim definicijama.

Rice. 51

Rice. 52

Druga knjiga rasprave „O božanskoj proporciji“ posvećena je uticaju zlatnog preseka na arhitekturu i njegovim manifestacijama u strukturi ljudskog tela. Paciolijeva rasprava je u velikoj mjeri zasnovana na djelu rimskog arhitekte Marka Vitruvija Poliona (oko 70–25. pne.). Vitruvije je napisao:

Centralna tačka ljudskog tela je, naravno, pupak. Uostalom, ako osoba leži licem prema dolje na leđima i raširi ruke i noge, a kompas mu se stavi na pupak, tada će njegovi prsti na rukama i nogama dodirnuti opisani krug. I kao što se ljudsko tijelo uklapa u krug, tako možete dobiti kvadrat iz njega. Uostalom, ako izmjerimo udaljenost od tabana do vrha glave, a zatim primijenimo ovu mjeru na ispružene ruke, ispostavit će se da je širina figure tačno jednaka visini, kao u slučaju ravne površine u obliku savršenog kvadrata.

Renesansni naučnici su ovaj odlomak smatrali dodatnim dokazom veze između prirodne i geometrijske osnove ljepote, što je dovelo do stvaranja koncepta Vitruvijskog čovjeka, kojeg je Leonardo tako lijepo prikazao (Sl. 53, crtež se trenutno čuva u Galerija Accademia u Veneciji). Slično, Paciolijeva knjiga počinje raspravom o proporcijama ljudskog tijela, "pošto se u ljudskom tijelu mogu pronaći proporcije svih vrsta, otkrivene voljom Svemogućeg kroz skrivene tajne prirode."

Rice. 53

U literaturi se često mogu naći izjave da je Pacioli navodno vjerovao da zlatni rez određuje proporcije svih umjetničkih djela, ali u stvarnosti to uopće nije tako. Kada se govori o proporcijama i eksternoj strukturi, Pacioli uglavnom misli na Vitruvijev sistem zasnovan na jednostavnim (racionalnim) razlomcima. Pisac Roger Hertz-Fischler prati porijeklo uobičajene zablude da je zlatni rez bio Paciolijev kanon proporcija: to seže do lažne izjave koju su u izdanju Istorije matematike iz 1799. dali francuski matematičari Jean Etienne Montucle i Jerome de Lalande ( Jean Etienne Montucla, Jerome de Lalande. Histoire de Mathématiques).

Treći tom rasprave O božanskoj proporciji (kratka knjiga u tri dijela o pet pravilnih geometrijskih tijela) u suštini je doslovan prijevod na talijanski Pet pravilnih poliedara Piera della Francesca, napisan na latinskom. Činjenica da Pacioli nikada ne spominje da je samo prevodilac knjige izazvala je žestoku osudu istoričara umjetnosti Giorgia Vasarija. Vasari piše o Pieru della Francesca:

Smatran rijetkim majstorom u savladavanju teškoća pravilnih tijela, kao i aritmetike i geometrije, on, u starosti pogođen tjelesnim sljepoćom, a potom i smrću, nije stigao da objavi svoja hrabra djela i brojne knjige koje je napisao, a koje su i dalje čuva u Borgu, u svojoj domovini. Onaj koji je trebao svim silama da pokuša da uveća svoju slavu i slavu, jer je od njega naučio sve što je znao, pokušao je, poput zlikovac i zao čovek, da uništi ime Pjeroa, svog mentora, i da prigrabi za sebe počasti koje je trebalo da pripadne samo Pierrotu, objavljujući u svoje ime, naime brat Luca od Borgo [Pacioli], sva dela ovog časnog starca, koji je, pored gore navedenih nauka, bio odličan slikar. ( Per. M. Globacheva)

Dakle, može li se Pacioli smatrati plagijatorom? Vrlo vjerovatno, iako u " Summa“On i dalje odaje počast Pierrotu, nazivajući ga “monarhom u slikarstvu našeg vremena” i čovjekom koji je “čitaocu poznat iz brojnih radova o umjetnosti slikanja i snazi ​​linije u perspektivi”.

R. Emmett Taylor (1889–1956) objavio je knjigu 1942. godine pod naslovom „Ne postoji kraljev put. Luca Pacioli i njegovo vrijeme" ( R. Emmett Taylor. Nema kraljevskog puta: Luca Pacioli i njegova vremena). U ovoj knjizi Tejlor se sa velikom simpatijom odnosi prema Pacioliju i brani stav da, na osnovu stila, Pacioli verovatno nije imao nikakve veze sa trećim tomom rasprave O božanskoj proporciji, a ovo delo se samo njemu pripisuje.

Ne zna se da li je to tačno ili ne, ali je sigurno da nije tako štampano Paciolijevi radovi i Pierrotove ideje i matematičke konstrukcije, koji nisu objavljeni u štampi, vjerovatno ne bi stekli slavu koju su stekli kao rezultat. Štaviše, do vremena Paciolija, zlatni rez je bio poznat pod zastrašujućim nazivima kao što su „ekstremni i srednji omjer” ili „proporcija koja ima srednju vrednost i dva ekstrema”, a sam ovaj koncept bio je poznat samo matematičarima.

Objavljivanje "O božanskoj proporciji" 1509. godine izazvalo je novo izbijanje interesovanja za temu zlatnog preseka. Sada je koncept ispitan, kako kažu, sa novim pogledom: pošto je o tome objavljena knjiga, znači da je vrijedan poštovanja. Ispostavilo se da je sam naziv zlatnog presjeka obdaren teološkim i filozofskim značenjem ( božanstveno proporcija), a to je takođe učinilo zlatni rez ne samo matematičkim pitanjem, već temom u koju su intelektualci svih vrsta mogli da se udube, a ta raznolikost se vremenom samo širila. Konačno, pojavom Paciolijevog rada, umjetnici su počeli proučavati i zlatni rez, jer se sada o njemu govorilo ne samo u otvorenim matematičkim raspravama - Pacioli je o tome govorio na način da se ovaj koncept mogao koristiti.

Izvestan uticaj na čitalačku publiku imali su i Leonardovi crteži za raspravu „O božanskoj proporciji“, nacrtani (kako je rekao Pacioli) „njegom neopisivom levom rukom“. Ovo su vjerovatno bile prve slike poliedara u šematskom, skeletnom obliku, što je omogućilo njihovo lako zamišljanje sa svih strana. Moguće je da je Leonardo poliedre nacrtao iz drvenih modela, jer dokumenti Firentinskog vijeća bilježe da je grad kupio komplet Paciolijevih drvenih modela kako bi ih izložio javnosti. Leonardo nije samo crtao dijagrame za Paciolijevu knjigu, svuda u njegovim bilješkama vidimo skice svih vrsta poliedara. U jednom trenutku Leonardo daje približnu metodu za konstruisanje pravilnog pentagona. Spoj matematike i likovne umjetnosti dostiže vrhunac u " Trattato della pittura("Traktat o slikarstvu"), koji je sastavio Francesco Melzi, koji je, prema njegovim bilješkama, naslijedio Leonardove rukopise. Traktat počinje upozorenjem: „Niko ko nije matematičar ne treba da čita moja dela!“ – teško da možete naći takvu izjavu u savremenim udžbenicima likovne umjetnosti!

Crteži geometrijskih tijela iz rasprave “O božanskoj proporciji” također su inspirisali fra Giovannija da Veronu da stvori djela u tehnologiji intarzija. Intarzija je posebna vrsta drvene intarzije na drvo, koja stvara složene ravne mozaike. Oko 1520. Fra Giovanni je stvorio intarzirane ploče koje prikazuju ikosaedar, gotovo sigurno koristeći Leonardove šematske crteže kao model.

Putevi Leonarda i Paciolija ukrštali su se nekoliko puta čak i nakon završetka rasprave „O božanskoj proporciji“. U oktobru 1499. obojica su pobjegli iz Milana kada ga je zauzela francuska vojska kralja Luja XII. Zatim su se nakratko zaustavili u Mantovi i Veneciji i nastanili se neko vrijeme u Firenci. U periodu kada su bili prijatelji, Pacioli je stvorio još dva rada o matematici koja su proslavila njegovo ime - prevod na latinski Euklidovih elemenata i knjigu o matematičkoj zabavi koja je ostala neobjavljena. Paciolijev prijevod Elementa bila je verzija s komentarima zasnovana na ranijem prijevodu Giovannija Campana (1220–1296), koji je štampan u Veneciji 1482. (ovo je bio prvi štampano izdanje). Ostvarite objavljivanje zbirke zabavnih matematičkih zadataka i izreka " De Viribus Quantitatis"("O sposobnostima brojeva") Pacioli to nikada nije mogao učiniti za svog života - umro je 1517. Ovo djelo je plod suradnje Paciolija i Leonarda, a Leonardove vlastite bilješke sadrže dosta problema iz rasprave. De Viribus Quantitatis».

Naravno, fra Luca Pacioli nije bio slavljen originalnošću naučne misli, već svojim uticajem na razvoj matematike uopšte i na istoriju zlatnog preseka posebno, i ove njegove zasluge se ne mogu poreći.

Preporučujemo čitanje

• Jakovenko, Igor Aleksandrovič Odlomak koji karakteriše Jakovenka, Igora Aleksandroviča
• Zavjera o vašem mužu: kako ga odvojiti od njegove ljubavnice i vratiti porodici
• Krstarica "Bogatyr": fotografija, model, crteži, oružje
• Ernst nepoznate skulpture Ernst nepoznati radovi slike