Zlatni rez i kreacije prirode Zlatni rez, prema kojem su antički arhitekti podizali građevine i prema kojem moderni fotografi grade kompoziciju, predložila je sama priroda. Cikorija Živorodni gušter Ptičje jaje I među biljkama i među životinjama

Platonska tijela i zlatni rez Među platonskim telima postoje dva koja zauzimaju posebno mjesto - dodekaedar i ikosaedar, njegov dual. Njihova geometrija je u direktnoj vezi sa proporcijom zlatnog preseka. Lica dodekaedra su pravilna

Zlatni presek Razmotrimo serije N, P, P, S, T - 5, 8, 1, 2, 3 (vidi sliku 7). Prije svega, brojevi 5 i 8 su upečatljivi. Razlomak 5/8 je formula za čuveni zlatni omjer - 0,618. Nacrtajte liniju dugu 8 jedinica i stavite 5 na nju - ovo je proporcija zlatnog omjera (vidi sliku 8 - odnosi

Zlatni presek i zlatni prsten Rusije Jednom sam u knjizi Eriha fon Danikena (vidi) pročitao da su sveta mesta u staroj Grčkoj međusobno povezana proporcijom zlatnog preseka. Citiram lično provjerene podatke koji su dati u ovoj knjizi: 1. Delphi Line -

Zlatni omjer i spirala zlatnog omjera kao osnova Zemljinog informacionog polja Ukratko, templari su mi pomogli da shvatim šta znači puž. Jedna od misterija koja je donedavno mučila naučnike bila je sljedeća: odakle su templari došli tako dobro?

Zlatni odnos slike, ili ono što Luca Pacioli naziva Božanstvena proporcija Ovo je najznačajniji i najfascinantniji fenomen u igri. Najviše kockari proces igranja sa slikom pruža neuporedivo zadovoljstvo. Ali! Možete shvatiti prirodu slike

Zlatni odnos 616 = Uđite u centar Alfe i Omege - jezgro galaksije Mlečni put = Prvi put je napravljena direktna komunikacija kroz svemir = Zvezda ujedinjenog galaktičkog mozga - šestokraka zvezda - zvezda magičara = Transformacija svesti u duhovno kroz intelekt = "Numerički"

Formula za savršenstvo. Zlatni rez Čovjek dugo podsvjesno traži harmoniju u svemu - u prirodi oko sebe, u kućnim predmetima, nakitu, umjetničkim djelima. Teško je naći mjeru objektivne procjene ljepote, izraženu u konkretnim brojevima, ali dalje

Tokom renesanse, vajari su pokazali veliko interesovanje za forme pravilnih poliedara. arhitekata, umjetnika.
Leonardo da Vinci (1452-1519), na primjer, bio je oduševljen teorijom poliedara i često ih je prikazivao na svojim platnima. Ilustrovao je knjigu monaha Luce Paciolija "O božanskoj proporciji" pravilnim i polupravilnim poliedrima.
Pacioli je bio jedan od najvećih evropskih algebraista 15. stoljeća i, ne manje važno, izumio je princip takozvane dvostruke notacije, koji se i danas koristi u svim sistemima bez izuzetka. računovodstvo. Stoga se sa sigurnošću može nazvati "ocem modernog računovodstva". Međutim, prilično misteriozna i kontroverzna Paciolijeva ličnost i dalje izaziva žestoku debatu među istoričarima nauke.
Godine 1472. Pacioli pod imenom Fra Luca di Borgo San Sepolcro 1496. godine je pozvan da drži predavanja u Milanu, gdje je upoznao Leonarda da Vincija. Leonardo je, pročitavši Sumu, napustio rad na vlastitoj knjizi o geometriji i počeo pripremati ilustracije za Paciolijevo novo djelo, Božanska proporcija.
Leonardo da Vinci je predložio originalan način prostornog prikazivanja skraćenog ikosaedra.
Reprodukcija ovoga prelepa slika iz knjige koju je Leonardo ilustrirao njegov savremenik, franjevački redovnik i matematičar Luca Pacioli (1445-1514) "Božanska proporcija" ("De Devina Proportione"), objavljena 1509. godine, prikazana je na slici 1.

Paciolijeva knjiga, za koju je Leonardo napravio 59 ilustracija različitih poliedara, imala je veliki uticaj o razvoju geometrije tog vremena, posebno stereometrije poliedara.

Nije slučajno što je Leonardo bio uključen u proučavanje skraćenog ikosaedra. Titan renesanse, slikar, vajar, naučnik i izumitelj Leonardo da Vinci (1452-1519) simbol je nerazdvojivosti umjetnosti i nauke, a samim tim i njegovog interesovanja za tako lijepe stvari kao što su konveksni poliedri općenito i skraćeni ikosaedar posebno je prirodno. Slika 2.

Leonardo prethodi gravuri koja prikazuje skraćeni ikosaedar (sl. 17) sa latinskim natpisom Ycocedron Abscisus (krnji ikosaedar) Vacuus. Izraz vakuum odnosi se na činjenicu da su lica poliedra prikazana kao "prazna" - ne čvrsta. Strogo govoreći, ivice uopće nisu prikazane; one postoje samo u našoj mašti. Ali ivice poliedra nisu prikazane geometrijskim linijama (koje, kao što je poznato, nemaju ni širinu ni debljinu), već krute trodimenzionalne segmente. Obje ove karakteristike ove gravure čine osnovu metode prostornog predstavljanja poliedara, koju je Leonardo izmislio da ilustruje knjigu Luce Paciolija, a danas se naziva metoda krutih (ili čvrstih) ivica. Ova tehnika omogućava gledaocu, prvo, da precizno odredi koja od ivica pripada prednjoj, a koja stražnjoj strani poliedra (što je praktički nemoguće kada se ivice prikazuju geometrijskim linijama), i, drugo, da pogleda kroz geometrijsko tijelo, osjetiti ga u perspektivi, dubini, koji se gube pri korištenju tehnike čvrstih ivica. Tehnika koju je razvio Leonardo je briljantan primjer geometrijske ilustracije, nove metode grafička slika naučne informacije. Ovu tehniku ​​su kasnije više puta koristili umjetnici, vajari i naučnici.

Sastavni element modernog ekonomski sistem označava računovodstvo. Kao što pokazuje istorijska praksa, ideje o novcu i njegovom prometu neraskidivo su povezane sa postojećom ekonomskom strukturom. Razvojem državnosti javila se potreba za sistematizacijom i racionalizacijom finansijske transakcije. Ogroman doprinos Luca Pacioli, “otac” računovodstva, dao je svoj doprinos rješavanju ovog problema. Zatim ćemo saznati koja je zasluga ovog matematičara.

Luca Pacioli: biografija

Rođen je 1445. godine na Apeninima, u gradić Borgo Sansepolcro. Još kao dječak poslat je u lokalni manastir da uči kod umjetnika. Godine 1464. Luca Pacioli se preselio u Veneciju. Tamo je odgajao trgovačke sinove. U tom trenutku dolazi do njegovog prvog poznanstva finansijske aktivnosti. Godine 1470. Luca Pacioli (fotografija matematičara predstavljena je u članku) preselio se u Rim. Tamo je završio sastavljanje svog udžbenika komercijalne aritmetike. Nakon Rima, matematičar odlazi u Napulj na tri godine. Tamo se bavio trgovinom, ali, očigledno, bez uspjeha. Godine 1475-76, položio je monaški zavjet i pridružio se monahu Od 1477. godine Luca Pacioli je predavao 10 godina na Univerzitetu u Peruđi. Tokom njegove karijere, njegove nastavničke sposobnosti su više puta priznate povećanjem plate. Dok je radio na univerzitetu, stvorio je glavno djelo, čije je jedno od poglavlja bilo „Treatise on Records and Accounts“.

Godine 1488. matematičar je napustio odsjek i otišao u Rim. Sljedećih pet godina bio je u osoblju Pietra Valletarija (biskupa). Godine 1493. Pacioli se preselio u Veneciju. Ovdje je pripremio svoju knjigu za štampu. Nakon godinu dana odmora, Pacioli je prihvatio katedru na Univerzitetu u Milanu, gdje je počeo da predaje matematiku. Ovdje upoznaje Leonarda da Vincija i postaje njegov prijatelj. Godine 1499. preselili su se u Firencu. Tamo je Pacioli predavao matematiku dvije godine. Nakon toga odlazi u Bolonju. U ovom gradu skoro polovina je izdvojena za održavanje univerziteta. Prihvatanje jednog matematičara na tako profitabilnu i prestižnu poziciju ukazuje na njegovo priznanje.

Nekoliko godina kasnije, dio knjige koju je napisao Luca Pacioli, “Treatise on Accounts and Records”, objavljen je u Veneciji. Datum objavljivanja ovog djela je 1504. Do 1505. godine, matematičar se praktično povukao iz nastave i preselio se u Firencu. Ali 1508. ponovo odlazi u Veneciju. Tamo je držao javna predavanja. Međutim, njegovo glavno zanimanje u to vrijeme bila je priprema za objavljivanje njegovog prijevoda Euklida. Godine 1509. objavljena je još jedna knjiga koju je napisao Luca Pacioli, “O božanskoj proporciji”. Godine 1510. matematičar se vratio u rodnom gradu i postaje prior u lokalnom manastiru. Međutim, njegov život je bio opterećen brojnim intrigama zavidnih ljudi. To je bio razlog da četiri godine kasnije ponovo odlazi u Rim. Tamo je predavao na matematičkoj akademiji. Luca Pacioli se vratio u svoj rodni grad malo prije smrti - 1517. godine.

Doprinos matematičara razvoju metodologije

Da bismo u potpunosti razumjeli značaj knjige koju je napisao Luca Pacioli (Treatise on Accounts and Records), potrebno je cijeniti principe koje je on postavio u sistemu. Gotovo svi stručnjaci kažu da su kriteriji koje je predložio matematičar postojali prije njega. Na primjer, Luca Pacioli se ne može smatrati autorom dvostrukog unosa. Postojao je prije njega. U ovom slučaju postavlja se pitanje: kakav je doprinos matematičara u takvom slučaju? Za razliku od svojih savremenika, Pacioli je smatrao da je sve važno već ranije izmišljeno. Glavni zadatak naučnika vidio je u najefikasnijoj konstrukciji obuka. Pacioli nije mogao da zamisli naučnog stvaralaštva van pedagoškog procesa. Stoga je nastava postala integralni element njegov zivot.

Ideje koje je Luca Pacioli u potpunosti odredio njegov naučni pristup rješavanju matematičkih problema i srodnih disciplina. Ovu poziciju je kasnije prilično precizno odredio Galileo. Poznavanje matematike Luce Paciolija bilo je usko povezano sa proučavanjem harmonije svijeta. Istovremeno, ispravnost geometrijski oblici, kao i konvergencija ravnoteže, postali su za njega manifestacije ove harmonije. Naučnik nije jednostavno zabilježio one prakse koje su postojale ranije, već im je dao naučni opis. To je glavni značaj aktivnosti koje provodi Luca Pacioli. Traktat o računima i evidencijama je tako postao temelj za unapređenje bilansnog sistema.

Suština naučnog pristupa

Refleksija činjenica u vrijeme njihovog postojanja je najtačnija. Ali u isto vrijeme, takva tehnika ne doprinosi daljem razvoju praksi, jer je metoda spoznaje usmjerena na prošlost, tačna reprodukcija onoga što se već dogodilo i što se događa. Pristup koji je koristio Luca Pacioli omogućio je procjenu situacije ne samo u fazi njenog razvoja, već iu budućnosti, kao i sa stanovišta sistemnosti i integriteta. U svom radu matematičar nije uzeo u obzir mnogo, napravio je niz grešaka i opisao je zastarjeliji venecijanski sistem, a ne progresivni firentinski. Međutim, Traktat Luce Paciolija je pokazao da se naučni pristup može primijeniti i pri sastavljanju finansijskih izvještaja. Formiranje bilansa stanja uspio je pretvoriti u jedan od pravaca, što je zauzvrat navelo mnoge ljude (Leibniz, Cardano i druge) da se zainteresuju za teoriju računovodstva.

Implementacija matematičkog sistema

U svom Traktatu, Pacioli je postojeće metode dopunio idejama o kombinatorici. Bilansi stanja u to vrijeme koristili su razlomke zbog istovremenog korištenja nekoliko valuta. Ali tokom operacija jednostavno su zaokruženi. Međutim, glavni doprinos matematičara metodologiji smatra se njegovo uvođenje ideje o cjelovitosti računovodstvenog sistema i činjenice da konvergencija bilansa djeluje kao znak njegove harmonije. Potonja definicija se u to vrijeme smatrala ne samo estetskom, već i inženjerskom kategorijom. Procjena trgovinskog bilansa sa ove pozicije omogućila je da se preduzeće predstavi kao integralni sistem. Metoda koju je Luca Pacioli usavršio - dvostruki unos - po njegovom mišljenju, trebalo je koristiti ne samo za određeno trgovačko preduzeće, već za svaku organizaciju i za cijelu privredu u cjelini. To nam omogućava da zaključimo da je pristup koji je matematičar uveo predodredio ne samo razvoj finansijskog izvještavanja, već je postao temelj za formiranje i kasniju implementaciju ekonomske misli.

Luca Pacioli: "Traktat o računima i zapisima" (sažetak)

Prije svega, treba reći da je finansijski bilans matematičara predstavljen u obliku strogo uređenog niza operacija. Najpotpuniji odraz “proceduralnosti” može se vidjeti u principu vođenja tri računovodstvene knjige. Prvi - "Memorijal" - odražava hronološki slijed svih slučajeva. Šesto poglavlje Traktata opisuje postupak za njegovo sprovođenje. Vremenom je Spomen obilježje zamijenjeno primarnim dokumentima. Kao rezultat toga, došlo je do nedosljednosti između datuma izjave, transakcije i registracije činjenice.

Sljedeća knjiga je "The Journal". Namijenjen je isključivo za internu upotrebu. Bilježila je sve radnje koje su opisane u Spomenici, ali je istovremeno vodila računa o njihovom ekonomskom značenju (gubitak, dobit i sl.). Namijenjena je knjiženju i također je sastavljena hronološkim redom. Treća knjiga bila je "Glavna". Opisana je u 14. poglavlju Traktata. Bilježila je transakcije sistematskim, a ne hronološkim redoslijedom.

Jasnoća

Ovo je sljedeći princip koji je opisao Pacioli. Jasnoća je značila pružanje jasnih i potpunih informacija korisnicima o poslovnim aktivnostima preduzeća. Svi zapisi u knjigama, u skladu sa ovim principom, treba da budu sastavljeni na način da omogućavaju konceptualnu rekonstrukciju. Drugim riječima, transakcije moraju biti evidentirane na način da je naknadno moguće vratiti učesnike u radnju, predmete, vrijeme i mjesto činjenice. Da bi se postigla najveća jasnoća, neophodno je poznavanje jezika računovodstva. Matematičar je koristio venecijanski dijalekt kada je pisao knjigu i svuda je koristio matematičke koncepte. Pacioli je bio taj koji je stvorio preduslove za stvaranje računovodstvenog jezika koji je bio najrazumljiviji većini italijanskih finansijera.

Neodvojivost imovine vlasnika i preduzeća

Ovaj princip je bio sasvim prirodan za to vrijeme. Činjenica je da su mnogi trgovci tada delovali kao jedini vlasnici preduzeća, menadžeri i primaoci gubitaka i dobiti od trgovačke aktivnosti. U skladu s tim, računovodstvo se vodi u interesu vlasnika preduzeća. Međutim, 1840. Hipolit Vanier je formulisao drugačiji pristup. U skladu sa njim, računovodstvo se ne vodi u interesu vlasnika, već u interesu kompanije. Ovaj pristup odražavao je širenje dioničkog kapitala među širokim masama.

Kreditna i debitna

Jedan od najvažnijih Paciolijevih principa bio je dvostruko snimanje. Matematičar je zauzeo stav da svako treba da se odrazi i na zaduženje i na kredit. Ovaj pristup ima sljedeće ciljeve:

Pacioli je u svom radu mnogo pažnje posvetio prvom zadatku. Istovremeno, drugi i treći su ostali nerazvijeni. To dovodi do formiranja metode koja narušava ispravnost prometa. Činjenica je da je Pacioli pre svega bio naučnik, a potom i finansijer, pa je sistem dvostrukog ulaska razmatrao u okviru uzročno-posledične veze. Vjerovatno je matematičar vidio uzrok u zaduženju, a učinak u kreditu. Ovakav način gledanja na finansijski sistem prvenstveno je našao primenu u ekonomiji. Najsažetiju formulaciju ovog principa dao je Yezersky: bez rashoda ne može biti prihoda. Pacioli je prihvatio sljedeće kao glavne aspekte dualne notacije:

1. Iznos zaduženja će uvijek biti identičan iznosu kredita.
2. Vrijednost dugovanja uvijek će biti identična vrijednosti kreditnih salda.

Ovi principi su kasnije postali široko rasprostranjeni u računovodstvenim sistemima.

Predmet izvještavanja

Paciolijeva uloga je bila da izvrši kupoprodajni ugovor. Svođenje svih sporazuma na dokument ove vrste bilo je sasvim tipično za to vrijeme. Bez sumnje, današnja raznolikost oblika ekonomskog života ne može se uklopiti u okvire koncepta kupoprodaje (npr. ofset, trampa i sl.). Međutim, u Paciolijevo vrijeme ova ideja je bila vrlo progresivna. Pored toga, ovakav pristup je omogućio da se formuliše adekvatna definicija vrednosti za taj period ne samo kao fer cene, već i kao posledica troškova i situacije na tržištu.

Princip adekvatnosti

Njegova suština je da su svi troškovi koje preduzeće ima u korelaciji tokom vremena sa prihodima koje prima. Paciolijevo načelo adekvatnosti pretpostavlja, a ne uvodi ga direktno i eksplicitno. Prihodom se smatra samo primljeni novac. U to vrijeme koncepti profitabilnosti i deprecijacije tek su počeli da se formiraju. Sve ovo zajedno je doprinijelo stvaranju ideja kako o monetarnoj, tako io drugim oblicima profita. U skladu sa novim shvatanjem prihoda, možemo reći da on nastaje ne samo kao rezultat poslovnih transakcija, već i kao rezultat primene računovodstvene metodologije.

Održavanje ravnoteže

Pacioli je računovodstvo smatrao nečim vrijednim samo po sebi, te je u vezi s tim vrijednost izvještajnih rezultata djelovala kao relativan koncept. Rezultati zabeleženi u jednoj ili drugoj knjizi u velikoj meri zavise od metoda izveštavanja. Ova odredba je u skladu s idejom što preciznijeg evidentiranja poslovnih transakcija u bilansu stanja, budući da sve metode zahtijevaju prilično tačan prikaz činjenica, uprkos činjenici da zaključci često mogu biti direktno suprotni. Pacioli je ovo dobro shvatio. S tim u vezi, kao glavni rezultat finansijskog izvještavanja, vidi njegov uticaj na donošenje odluka u oblasti ekonomskog upravljanja.

Iskrenost

Ovo je posljednji princip koji je Pacioli proglasio u svom Traktatu. Osoba koja uravnotežuje ravnotežu mora biti potpuno iskrena. Ovo se ne bi trebalo odnositi samo na samog poslodavca. Računovođa mora biti prvenstveno iskren prema Bogu. S tim u vezi, oslanjanje na njega u gotovo svakom poglavlju za matematičara nije ni priznanje tradiciji ni ispunjenje monaške dužnosti, ali što je najvažnije Pacioli je smatrao namjerno iskrivljavanje računovodstvenih informacija ne samo finansijskim kršenjem. Za matematičara je to prvenstveno bio poremećaj božanske harmonije, koji je nastojao da shvati kroz proračune.

Nedostaci posla

Treba reći da je Paciolijevo djelo djelovalo prvenstveno kao teorijska knjiga. Kao takav, ne odražava mnoge elemente finansijskih izvještaja koji su postojali u to vrijeme. To posebno uključuje:

1. Održavanje dodatnih i paralelnih knjiga.
2. Računovodstvo industrijskih troškova.
3. Održavanje ravnoteže u analitičke svrhe. U to vrijeme, izvještavanje se već provodilo ne samo da bi se uskladile informacije i zatvorile knjige, već je djelovalo i kao upravljački i kontrolni alat.
4. Održavanje nostro i loro računa.
5. Osnove revizije i postupak provjere bilansa.
6. Metode kalkulacije koje se odnose na raspodjelu dobiti.
7. Procedura za rezervisanje sredstava i raspodelu rezultata u susednim periodima.
8. Potvrda izvještajnih informacija korištenjem metoda inventara.

Odsustvo ovih komponenti prvenstveno ukazuje na Paciolijev nedostatak komercijalnog iskustva. Vjerovatno je da nije uključio navedene detalje zbog činjenice da se jednostavno nisu uklapali u holistički sistem koji je stvorio.

Konačno

Paciolijev rad bio je jedan od prvih koji je koristio italijanski jezik kao sredstvo za izražavanje naučnih ideja. Principi i kategorije koje je formirao matematičar koriste se i danas. Paciolijeva glavna zasluga nije u tome što ih je snimio - uostalom, to bi ipak bilo učinjeno. Njegov doprinos je da je upravo zahvaljujući njegovoj knjizi računovodstvo podignuto na status nauke.

Trenutna stranica: 11 (ukupno 21 stranica) [dostupan odlomak za čitanje: 14 stranica]

Božanstvena proporcija

Potraga za našim porijeklom je sok tog slatkog voća koji donosi toliko zadovoljstva u misli filozofa.

Luca Pacioli (1445–1517)

Samo nekoliko velikih slikara u ljudskoj istoriji bili su i nadareni matematičari. Međutim, izraz "renesansni čovjek" u našem rječniku označava osobu koja je oličila renesansni ideal najšireg pogleda i obrazovanja. Tako su tri najpoznatija umjetnika renesanse - Italijani Piero della Francesca (oko 1412-1492) i Leonardo da Vinci i Nijemac Albrecht Dürer, također dali vrlo značajan doprinos matematici. Možda nije iznenađujuće što su matematička istraživanja sva tri bila povezana sa zlatnim rezom. Najaktivniji matematičar ovog briljantnog tria virtuoza bio je Piero della Francesca. Zapisi Antonija Marije Gracijanija, koji je bio u srodstvu sa Pjerovim praunucima i koji je kupio umetnikovu kuću, ukazuju da je Pjero rođen 1412. godine u Borgo Sansepolkrou u centralnoj Italiji. Njegov otac Benedetto bio je uspješan kožar i obućar. O Pjerovom djetinjstvu se gotovo ništa više ne zna, ali su nedavno otkriveni dokumenti koji jasno govore da je prije 1431. proveo neko vrijeme kao šegrt kod umjetnika Antonija D'Angiarija, čija djela do nas nisu stigla. Krajem 1430-ih Piero se preselio u Firencu, gdje je počeo da sarađuje sa umjetnikom Domenico Venezianom. U Firenci se mladi umjetnik upoznao sa radovima umjetnika rane renesanse– uključujući Fra Angelica i Masaccia – i sa skulpturama Donatela. Posebno jak utisak impresionirao ga veličanstvenim spokojem Fra Angelicovih djela na vjerske teme, a njegov vlastiti stil odražava taj utjecaj u svemu što je vezano za chiaroscuro i boju. U narednim godinama, Pierrot je neumorno radio u većini različitim gradovima– uključujući Rimini, Arezzo i Rim. Pierrotove figure odlikovale su se arhitektonskom strogošću i monumentalnošću, kao u "Kristovom bičevanju" (sada se slika čuva u National Gallery Marche u Urbinu; pirinač. 45), ili se činilo da su prirodni nastavak pozadine, kao u „Krštenju“ (trenutno u Nacionalnoj galeriji u Londonu; sl. 46). Prvi istoričar umetnosti Giorgio Vasari (1511–1574) u svojim „Životima najpoznatijih slikara, vajara i arhitekata“ piše da je Pjero od rane mladosti pokazao izuzetan matematičke vještine, i pripisuje mu zasluge za pisanje “brojnih” matematičkih rasprava. Neki od njih su nastali u starosti, kada umjetnik zbog nemoći više nije mogao slikati. U posvetnom pismu vojvodi Gvidobaldu od Urbina, Piero spominje jednu od svojih knjiga, napisanu „kako njegov um ne bi postao krut od neupotrebe“. Do nas su stigla tri Pierrotova djela o matematici: “ De Prospectiva pingendi"("O perspektivi u slikarstvu"), " Libellus de Quinque Corporibus Regularibus"("Knjiga o pet pravilnih poliedara") i " Trattato d’Abaco"("Traktat o računima").

Rice. 45

Rice. 46

Rasprava O perspektivi (sredina 1470. - 1480.) sadrži mnoge reference na Euklidove elemente i optiku, jer je Piero della Francesca odlučio da dokaže da je tehnika prenošenja perspektive u slikarstvu u potpunosti zasnovana na matematičkim i fizičkim svojstvima vizuelne perspektive. Na slikama samog umjetnika, perspektiva je prostrana posuda koja je u potpunosti u skladu s geometrijskim svojstvima figura sadržanih u njoj. Zapravo, za Pierrota, samo slikanje se prvenstveno svodilo na „prikazivanje tijela smanjene ili uvećane veličine na avionu“. Ovakav pristup je jasno vidljiv na primjeru „Bičevanja“ (sl. 45 i 47): ovo je jedna od rijetkih slika renesanse gdje je perspektiva građena i razrađena vrlo pažljivo. Kako piše savremeni umjetnik David Hockney u svojoj knjizi Tajno znanje ( David Hockney. Tajno znanje, 2001.), Pierrot slika figure „onakve kakve on vjeruje da bi trebale biti, a ne onakve kakvima ih on vidi“.

Povodom 500. godišnjice Pierove smrti, naučnici Laura Geatti sa Univerziteta u Rimu i Luciano Fortunati iz Nacionalnog istraživačkog vijeća u Pizi izvršili su detaljnu analizu bičavanja pomoću kompjutera. Digitalizirali su cijelu sliku, odredili koordinate svih tačaka, izmjerili sve udaljenosti i sastavili potpuna analiza perspektive zasnovane na algebarskim proračunima. To im je omogućilo da precizno odrede lokaciju "tačke nestajanja" gdje se ukrštaju sve linije koje vode do horizonta od posmatrača (slika 47), zahvaljujući čemu je Pierrot uspio postići "dubinu" koja ostavlja tako snažan utisak .

Rice. 47

Pierrotova knjiga o perspektivi, koju odlikuje jasnoća prezentacije, postala je standardni vodič za umjetnike koji pokušavaju slikati ravne figure i geometrijska tijela, i oni njegovi dijelovi koji nisu preopterećeni matematikom (i razumljiviji) uključeni su u većinu narednih radova o perspektivi. Vasari tvrdi da je Pierrot dobio solidno matematičko obrazovanje i da je stoga "bolje od bilo kojeg drugog geometra razumio kako najbolje crtati krugove u pravilnim tijelima, a on je bio taj koji je rasvijetlio ova pitanja" ( u daljem tekstu per. A. Gabričevski i A. Benediktov). Primjer kako je Pierrot pažljivo razvio metodu crtanja pravilnog pentagona u perspektivi može se vidjeti na Sl. 48.

I u svom Traktatu o Abakusu i u svojoj Knjizi o pet pravilnih poliedara, Pierrot postavlja (i rješava) mnoge probleme koji uključuju pentagon i pet Platonovih tijela. Izračunava bočne i dijagonalne dužine, površine i zapremine. Mnoga rješenja su također zasnovana na zlatnom omjeru, a neke od Pierrotovih tehnika svjedoče o njegovoj domišljatosti i originalnosti razmišljanja.

Rice. 48

Piero je, kao i njegov prethodnik Fibonači, napisao Raspravu o Abakusu uglavnom da bi svojim savremenicima biznismena pružio aritmetičke „recepte“ i geometrijska pravila. U svijetu trgovine u to vrijeme nije postojao jedinstven sistem težina i mjera, pa čak ni dogovori o veličinama i oblicima kontejnera, tako da je bilo nemoguće bez mogućnosti izračunavanja zapremine cifara. Međutim, Pierrotova matematička radoznalost odvela ga je daleko dalje od tema koje su svedene na svakodnevne potrebe. Stoga u njegovim knjigama nalazimo i "beskorisne" probleme - na primjer, izračunavanje dužine ivice oktaedra upisanog u kocku, ili prečnika pet malih krugova upisanih u krug većeg prečnika (Sl. 49) . Za rješavanje posljednjeg problema koristi se pravilan pentagon, a samim tim i zlatni rez.

Rice. 49

Pierrotovo algebarsko istraživanje uglavnom je uključeno u knjigu koju je objavio Luca Pacioli (1445–1517) pod naslovom „ Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita"("Kodeks znanja iz aritmetike, geometrije, proporcija i proporcionalnosti"). Pierova djela o poliedrima, napisana na latinskom, preveo je na talijanski isti Luca Pacioli - i ponovo uključen (ili, manje delikatno, jednostavno ukraden) u njegov poznata knjiga o zlatnom rezu zvanom “O božanskoj proporciji” (“ Divina Proportione»).

Ko je on bio, ovaj kontradiktorni matematičar Luca Pacioli? Najveći plagijator u istoriji matematike - ili još uvek veliki popularizator matematičke nauke?

Neopevani heroj renesanse?

Luca Pacioli je rođen 1445. godine u istom toskanskom gradu Borgo Sansepolcro gdje je rođen Piero della Francesca i držao svoju radionicu. Štaviše, osnovno obrazovanje Luca ga je dobio u Pierrotovoj radionici. Međutim, za razliku od drugih učenika koji su pokazali sklonost slikanju - neki od njih, na primjer, Pietro Perugino, bili su predodređeni da postanu veliki slikari - ispostavilo se da je Luca bio skloniji matematici. Pjero i Pacioli su i ubuduće održavali prijateljske odnose: dokaz za to je da je Pjero prikazao Paciolija u liku Svetog Petra od Verone (Petra Mučenika) na „oltaru Montefeltra“. Dok je još bio relativno mlad, Pacioli se preselio u Veneciju i tamo postao mentor trojici sinova bogatog trgovca. U Veneciji je nastavio svoje matematičko obrazovanje pod vodstvom matematičara Domenica Bragadina i napisao prvu knjigu o aritmetici.

Godine 1470. Pacioli je studirao teologiju i postao franjevački redovnik. Od tada je postalo uobičajeno zvati ga Fra Luca Pacioli. U narednim godinama mnogo je putovao, predavajući matematiku na sveučilištima u Perugi, Zadru, Napulju i Rimu. U to vrijeme, Pacioli je vjerovatno neko vrijeme podučavao i Gvidobalda Montefeltra, koji je 1482. godine trebao postati vojvoda od Urbina. Možda najbolji portret matematičara je slika Jacopa de Barbarija (1440–1515), koja prikazuje Luca Paciolija kako drži lekciju geometrije (slika 50, slika se nalazi u muzeju Capodimonte u Napulju). Desno na Paciolijevoj knjizi" Summa» počiva jedno od Platonovih tijela - dodekaedar. Sam Pacioli, u franjevačkom mantiju (također sličnom pravilnom poliedru, ako dobro pogledate), kopira crtež iz XIII knjige Euklidovih elemenata. Prozirni poliedar nazvan rombikuboktaedar (jedno od arhimedovih čvrstih tijela, poliedar sa 26 lica, od kojih je 18 kvadrata, a 8 jednakostraničnih trokuta), visi u zraku i do pola ispunjen vodom, simbolizira čistoću i vječnost matematike. . Umjetnik je uspio sa zadivljujućom vještinom prenijeti prelamanje i refleksiju svjetlosti u staklenom poliedru. Identitet Paciolijevog učenika prikazanog na ovoj slici bio je predmet kontroverzi. Konkretno, pretpostavlja se da je ovaj mladić sam vojvoda Guidobaldo. Engleski matematičar Nick MacKinnon iznio je zanimljivu hipotezu 1993. godine. U svom članku “Portret fra Luce Paciolija”, objavljenom u “ Mathematical Gazette“a na osnovu vrlo solidnog istraživanja, MacKinnon zaključuje da je ovo portret velikana njemački slikar Albrecht Dürer, koji je bio veoma zainteresovan i za geometriju i za perspektivu (a na njegov odnos sa Paciolijem vratićemo se malo kasnije). Zaista, lice učenika zapanjujuće liči na Direrov autoportret.

Rice. 50

Godine 1489. Pacioli se vratio u Borgo Sansepolcro, pošto je dobio neke privilegije od samog pape, ali ga je lokalni vjerski establišment dočekao s ljubomornim neprijateljstvom. Oko dvije godine mu je čak bilo zabranjeno da predaje. Godine 1494, Pacioli je otišao u Veneciju da štampa svoju knjigu " Summa“, koji je bio posvećen vojvodi Gvidobaldu. " Summa„po prirodi i obimu (oko 600 stranica) je istinski enciklopedijsko djelo, gdje je Pacioli objedinio sve što je u to vrijeme bilo poznato u oblasti aritmetike, algebre, geometrije i trigonometrije. Pacioli se u svojoj knjizi ne ustručava da probleme o ikosaedru i dodekaedru pozajmi iz “Traktata” Piera della Francesca i druge probleme u geometriji, kao i u algebri, iz radova Fibonaccija i drugih naučnika (međutim, obično izražava zahvalnost autoru, kako se i očekivalo). Pacioli priznaje da mu je glavni izvor Fibonači i kaže da tamo gdje nema referenci na nekog drugog, djela pripadaju Leonardu iz Pize. Zanimljiva rubrika" Summa» – računovodstveni sistem dvostrukog unosa, metoda koja vam omogućava da pratite odakle je novac došao i kuda je otišao. Ovaj sistem nije izmislio sam Pacioli, on je samo spojio tehnike venecijanskih trgovaca renesanse, ali se vjeruje da je ovo prva knjiga o računovodstvu u istoriji čovječanstva. Paciolijeva želja da "omogući biznismenu da odmah dobije informacije o svojoj imovini i finansijskim obavezama" mu je donijela nadimak "otac računovodstva", a računovođe širom svijeta su 1994. godine proslavile petstogodišnjicu " Summa„u Sansepolcrou, kako se ovaj grad sada zove.

Godine 1480. mjesto vojvode od Milana je zapravo preuzeo Ludovico Sforza. U stvarnosti, on je bio samo regent pravom vojvodi, koji je tada imao samo sedam godina; ovim događajem okončan je period političkih intriga i ubistava. Ludovico je odlučio da svoj dvor ukrasi umjetnicima i naučnicima i 1482. godine pozvao je Leonarda da Vincija u “koledž vojvodskih inženjera”. Leonardo je bio veoma zainteresovan za geometriju, posebno za njenu praktičnu primenu u mehanici. Prema njegovim riječima, "Mehanika je raj među matematičkim naukama, jer ona daje plodove matematike." A kasnije, 1496. godine, Leonardo je najvjerovatnije osigurao da vojvoda pozove Paciolija na dvor kao nastavnika matematike. Leonardo je nesumnjivo studirao geometriju od Paciolija i usadio mu ljubav prema slikarstvu.

Dok je bio u Milanu, Pacioli je završio rad na trotomnoj raspravi O božanskoj proporciji, koja je objavljena u Veneciji 1509. Prvi tom, " Compendio de Divina Proportione” (“Kompendij o božanskoj proporciji”), sadrži detaljan sažetak svih kvaliteta zlatnog omjera (koji Pacioli naziva “božanskom proporcijom”) i proučavanje Platonovih tijela i drugih poliedara. Na prvoj stranici “O božanskoj proporciji” Pacioli pomalo pompezno izjavljuje da je to “djelo neophodno za sve radoznale, jasne ljudske umove, u kojem svako ko voli da proučava filozofiju, perspektivu, slikarstvo, skulpturu, arhitekturu, muziku i druge matematičke discipline naći će vrlo suptilno, elegantno i šarmantno učenje i uživaće u raznim pitanjima koja utiču na sve tajne nauke.”

Pacioli je prvi tom svoje rasprave “O božanskoj proporciji” posvetio Ludoviku Sforci, a u petom poglavlju navodi pet razloga zašto, po njegovom mišljenju, zlatni rez ne treba nazivati ​​drugačije nego božanskom proporcijom.

1. “Ona je jedna, ujedinjena i sveobuhvatna.” Pacioli upoređuje jedinstvenost zlatnog preseka sa činjenicom da je „Jedan“ „najviši epitet samog Boga“.

2. Pacioli vidi sličnost između činjenice da definicija zlatnog preseka uključuje tačno tri dužine (AC, CB i AB na sl. 24), i postojanja Svetog Trojstva – Oca, Sina i Svetoga Duha.

3. Za Paciolija su neshvatljivost Boga i činjenica da je zlatni rez iracionalan broj ekvivalentni. Evo kako on piše: „Kao što se Gospod ne može pravilno definisati i ne može pojmiti rečima, tako se ni naša proporcija ne može preneti u razumljivim brojevima i izraziti bilo kojom racionalnom količinom, ona će zauvek ostati misterija, skrivena od svih, i matematičari to nazivaju iracionalnim.”

4. Pacioli upoređuje sveprisutnost i nepromjenjivost Boga sa samosličnošću, koja je povezana sa zlatnim rezom: njegova vrijednost je uvijek nepromijenjena i ne zavisi od dužine segmenta koji je podijeljen u odgovarajućoj proporciji, ili od veličine pravilnog pentagona, u kojem se računaju omjeri dužina.

5. Peti razlog pokazuje da je Pacioli imao čak više platonističkih pogleda na biće nego sam Platon. Pacioli tvrdi da je kao što je Bog dao život univerzumu kroz kvintesenciju koja se ogleda u dodekaedru, tako je zlatni rez dao život dodekaedru, jer je nemoguće izgraditi dodekaedar bez zlatnog preseka. Pacioli dodaje da je nemoguće upoređivati ​​druga platonska tijela (simbole vode, zemlje, vatre i zraka) jedno s drugim bez oslanjanja na zlatni rez.

U samoj knjizi, Pacioli neprestano brblja o kvalitetama zlatnog preseka. On uzastopno analizira 13 takozvanih “efekta” “božanske proporcije” i svakom od ovih “efekta” pripisuje epitete kao što su “inherentan”, “jedinstven”, “divan”, “vrhovni” itd. efekat” da se zlatni pravougaonici mogu upisati u ikosaedar (slika 22), on naziva “nerazumljivim”. On se zaustavlja na 13 „efekata“, zaključujući da „ova lista mora biti popunjena za spas duše“, budući da je za stolom tokom Tajne večere sjedilo 13 ljudi.

Nema sumnje da je Pacioli bio veoma zainteresovan za slikarstvo, a svrha stvaranja rasprave "O božanskoj proporciji" bila je delimično da se izoštri matematička osnova. likovne umjetnosti. Već na prvoj stranici knjige Pacioli izražava želju da umjetnicima otkrije “tajnu” harmonijskih formi kroz zlatni rez. Da bi osigurao atraktivnost svog rada, Pacioli je angažovao usluge najboljeg ilustratora o kojem je bilo koji pisac mogao sanjati: sam Leonardo da Vinci je dao knjizi 60 crteža poliedara, kako u obliku „skeleta” (slika 51) tako i u obliku čvrstih tela (Sl. 52). O zahvalnosti nije bilo reči – Pacioli je o Leonardu i njegovom doprinosu knjizi ovako pisao: „Najbolji slikar i majstor perspektive, najbolji arhitekta, muzičar, čovek obdaren svim mogućim vrlinama – Leonardo da Vinči, koji je izumeo i izvršio niz šematskih slika ispravnog geometrijska tijela" Sam tekst, doduše, ne ostvaruje zadate visoke ciljeve. Iako knjiga počinje senzacionalnim tiradama, ono što slijedi je prilično običan skup matematičkih formula, nemarno razvodnjenih filozofskim definicijama.

Rice. 51

Rice. 52

Druga knjiga rasprave „O božanskoj proporciji“ posvećena je uticaju zlatnog preseka na arhitekturu i njegovim manifestacijama u strukturi ljudskog tela. Paciolijeva rasprava je u velikoj mjeri zasnovana na djelu rimskog arhitekte Marka Vitruvija Poliona (oko 70–25. pne.). Vitruvije je napisao:

Centralna tačka ljudskog tela je, naravno, pupak. Uostalom, ako osoba leži licem prema dolje na leđima i raširi ruke i noge, a kompas mu se stavi na pupak, tada će njegovi prsti na rukama i nogama dodirnuti opisani krug. I kao što se ljudsko tijelo uklapa u krug, tako možete dobiti kvadrat iz njega. Uostalom, ako izmjerimo udaljenost od tabana do vrha glave, a zatim primijenimo ovu mjeru na ispružene ruke, ispostavit će se da je širina figure tačno jednaka visini, kao u slučaju ravne površine u obliku savršenog kvadrata.

Renesansni naučnici su ovaj odlomak smatrali dodatnim dokazom veze između prirodne i geometrijske osnove ljepote, što je dovelo do stvaranja koncepta Vitruvijskog čovjeka, kojeg je Leonardo tako lijepo prikazao (Sl. 53, crtež se trenutno čuva u Galerija Accademia u Veneciji). Slično, Paciolijeva knjiga počinje raspravom o proporcijama ljudskog tijela, "pošto se u ljudskom tijelu mogu pronaći proporcije svih vrsta, otkrivene voljom Svemogućeg kroz skrivene tajne prirode."

Rice. 53

U literaturi se često mogu naći izjave da je Pacioli navodno vjerovao da zlatni rez određuje proporcije svih umjetničkih djela, ali u stvarnosti to uopće nije tako. Kada se govori o proporcijama i eksternoj strukturi, Pacioli uglavnom misli na Vitruvijev sistem zasnovan na jednostavnim (racionalnim) razlomcima. Pisac Roger Hertz-Fischler prati porijeklo uobičajene zablude da je zlatni rez bio Paciolijev kanon proporcija: to seže do lažne izjave koju su u izdanju Istorije matematike iz 1799. dali francuski matematičari Jean Etienne Montucle i Jerome de Lalande ( Jean Etienne Montucla, Jerome de Lalande. Histoire de Mathématiques).

Treći tom rasprave "O božanskoj proporciji" ( kratka knjiga u tri dijela na pet pravilnih geometrijskih tijela), u suštini je doslovan prijevod na talijanski Pet pravilnih poliedra Piera della Francesca, napisan na latinskom. Činjenica da Pacioli nikada ne spominje da je samo prevodilac knjige izazvala je žestoku osudu istoričara umjetnosti Giorgia Vasarija. Vasari piše o Pieru della Francesca:

Smatran rijetkim majstorom u savladavanju teškoća pravilnih tijela, kao i aritmetike i geometrije, on, u starosti pogođen tjelesnim sljepoćom, a potom i smrću, nije stigao da objavi svoja hrabra djela i brojne knjige koje je napisao, a koje su i dalje čuva u Borgu, u svojoj domovini. Onaj koji je trebao svim silama da pokuša da uveća svoju slavu i slavu, jer je od njega naučio sve što je znao, pokušao je, poput zlikovac i zao čovek, da uništi ime Pjeroa, svog mentora, i da prigrabi za sebe počasti koje je trebalo da pripadne samo Pierrotu, puštajući pod svoje sopstveno ime, odnosno brata Luke iz Borga [Paciolija], sva dela ovog časnog starca, koji je pored gore navedenih nauka bio i odličan slikar. ( Per. M. Globacheva)

Dakle, može li se Pacioli smatrati plagijatorom? Vrlo vjerovatno, iako u " Summa“On i dalje odaje počast Pierrotu, nazivajući ga “monarhom u slikarstvu našeg vremena” i čovjekom koji je “čitaocu poznat iz brojnih radova o umjetnosti slikanja i snazi ​​linije u perspektivi”.

R. Emmett Taylor (1889–1956) objavio je knjigu 1942. godine pod naslovom „Ne postoji kraljev put. Luca Pacioli i njegovo vrijeme" ( R. Emmett Taylor. Nema kraljevskog puta: Luca Pacioli i njegova vremena). U ovoj knjizi Tejlor se sa velikom simpatijom odnosi prema Pacioliju i brani stav da, na osnovu stila, Pacioli verovatno nije imao nikakve veze sa trećim tomom rasprave O božanskoj proporciji, a ovo delo se samo njemu pripisuje.

Ne zna se da li je to tačno ili ne, ali je sigurno da nije tako štampano Paciolijevi radovi i Pierrotove ideje i matematičke konstrukcije, koji nisu objavljeni u štampi, vjerovatno ne bi stekli slavu koju su stekli kao rezultat. Štaviše, do vremena Paciolija, zlatni rez je bio poznat pod zastrašujućim nazivima kao što su „ekstremni i srednji omjer” ili „proporcija koja ima srednju vrednost i dva ekstrema”, a sam ovaj koncept bio je poznat samo matematičarima.

Objavljivanje "O božanskoj proporciji" 1509. godine izazvalo je novo izbijanje interesovanja za temu zlatnog preseka. Sada je koncept ispitan, kako kažu, sa novim pogledom: pošto je o tome objavljena knjiga, znači da je vrijedan poštovanja. Ispostavilo se da je sam naziv zlatnog presjeka obdaren teološkim i filozofskim značenjem ( božanstveno proporcija), a to je takođe učinilo zlatni rez ne samo matematičkim pitanjem, već temom u koju su intelektualci svih vrsta mogli da se udube, a ta raznolikost se vremenom samo širila. Konačno, pojavom Paciolijevog rada, umjetnici su počeli proučavati i zlatni rez, jer se sada o njemu govorilo ne samo u otvorenim matematičkim raspravama - Pacioli je o tome govorio na način da se ovaj koncept mogao koristiti.

Izvestan uticaj na čitalačku publiku imali su i Leonardovi crteži za raspravu „O božanskoj proporciji“, nacrtani (kako je rekao Pacioli) „njegom neopisivom levom rukom“. Ovo su vjerovatno bile prve slike poliedara u šematskom, skeletnom obliku, što je omogućilo njihovo lako zamišljanje sa svih strana. Moguće je da je Leonardo poliedre nacrtao iz drvenih modela, jer dokumenti Firentinskog vijeća bilježe da je grad kupio komplet Paciolijevih drvenih modela kako bi ih izložio javnosti. Leonardo nije samo crtao dijagrame za Paciolijevu knjigu, svuda u njegovim bilješkama vidimo skice svih vrsta poliedara. U jednom trenutku Leonardo daje približnu metodu za konstruisanje pravilnog pentagona. Spoj matematike i likovne umjetnosti dostiže vrhunac u " Trattato della pittura("Traktat o slikarstvu"), koji je sastavio Francesco Melzi, koji je, prema njegovim bilješkama, naslijedio Leonardove rukopise. Traktat počinje upozorenjem: „Niko ko nije matematičar ne treba da čita moja dela!“ – teško da možete naći takvu izjavu u savremenim udžbenicima likovne umjetnosti!

Crteži geometrijskih tijela iz rasprave “O božanskoj proporciji” također su inspirisali fra Giovannija da Veronu da stvori djela u tehnologiji intarzija. Intarzija je posebna vrsta intarzije od drveta na drvetu, izrada složenih ravnih mozaika. Oko 1520. Fra Giovanni je stvorio intarzirane ploče koje prikazuju ikosaedar, gotovo sigurno koristeći Leonardove šematske crteže kao model.

Putevi Leonarda i Paciolija ukrštali su se nekoliko puta čak i nakon završetka rasprave „O božanskoj proporciji“. U oktobru 1499. obojica su pobjegli iz Milana kada ga je zauzela francuska vojska kralja Luja XII. Zatim su se nakratko zaustavili u Mantovi i Veneciji i nastanili se neko vrijeme u Firenci. U periodu kada su bili prijatelji, Pacioli je stvorio još dva rada o matematici koja su proslavila njegovo ime - prevod na latinski Euklidovih elemenata i knjigu o matematičkoj zabavi koja je ostala neobjavljena. Paciolijev prijevod Elementa bila je verzija s komentarima zasnovana na ranijem prijevodu Giovannija Campana (1220–1296), koji je štampan u Veneciji 1482. (ovo je bio prvi štampano izdanje). Ostvarite objavljivanje zbirke zabavnih zadataka u matematici i izrekama" De Viribus Quantitatis"("O sposobnostima brojeva") Pacioli to nikada nije mogao učiniti za svog života - umro je 1517. Ovo djelo je plod suradnje Paciolija i Leonarda, a Leonardove vlastite bilješke sadrže dosta problema iz rasprave. De Viribus Quantitatis».

Naravno, fra Luca Pacioli nije bio slavljen originalnošću naučne misli, već svojim uticajem na razvoj matematike uopšte i na istoriju zlatnog preseka posebno, i ove njegove zasluge se ne mogu poreći.

G. Ya

Matematika harmonije: renesansa (XIV–XVI vijeka)
(uz 500. godišnjicu knjige Luce Paciolija "O božanskoj proporciji")

Božanstvena proporcija
Profesor Fra Luca Bartolomeo de' Pacioli
Veliki sanjar lutajućeg skladišta,
Nakon lutanja i trljanja žuljeva,
Stigao u Firencu. Prema Leonardu

Da Vinci. Dobri Bože! To je sastanak.
Prijatelji se grle, skoro zadavljeni
Jedno drugo, ali ne do tačke povrede.
Onda su odmah prionuli poslu.

Preko šolje vina, kada se malo ohladi,
Pacioli, pijan, rekao je vajaru,
Šta je u mudrosti Euklidovih elemenata?

Jedna proporcija mu je dala snagu.
Da Vinci se ozario neobičnim osmehom:
"Vidi, prijatelju, ona je harmonična."

Renesansa u istoriji evropske kulture je doba tranzicije iz srednjeg veka u
novo vreme, doba zaokreta ka živoj ljudskoj misli, potisnuto asketizmom
Srednje godine. Ovaj period karakteriše dubok i sudbonosan za Evropu
procesi: poljoprivredna revolucija i prelazak sa zanata na manufakturu; super
geografskim otkrićima i početak svjetske trgovine. U ovo vrijeme feudalno
fragmentacija
inferioran
centralizovano
vlasti
I
formiraju se
moderno
nacionalne države. Ovo doba se vezuje za početak štamparstva, „otkriće“
antika, procvat slobodne misli, pojava protestantizma i gubitak crkve
monopol u duhovnom životu. U to vrijeme prirodna nauka čini prve korake i procvjeta
umjetnosti i književnosti, matematika se brzo razvija.
Najčešće razlikovna karakteristika Renesansa - afirmacija ideala
harmonije čoveka i celovitosti univerzuma. Štaviše, za razliku od srednjeg vijeka, ovi
kategorije, doduše ne odmah, iako izbegavajući, počele su da se posmatraju kao samodovoljne
suštinu, a ne kroz prizmu božanskog apsoluta. S tim je povezana i inherentna kultura
Renesansni sekularni i humanistički karakter i sklonost ka kosmološkom i
prirodno-filozofska vizija svijeta. Važnu ulogu u ovoj viziji svijeta odigrali su
matematike, koja je nauku i umjetnost oslobodila okova srednjovjekovne skolastike i oštre
asketizam.
Za razliku od antike, renesansni naučnici nisu bježali od čisto praktičnog
zadataka. Praktično nije bilo čistih teorijskih matematičara. Ali čak i oni koji mogu
smatrani teoretičarima, bavili su se astronomijom, vojnim poslovima, anatomijom, mehanikom,
medicina, kartografija, optika i druga praktična pitanja.

1. Ideje o harmoniji u umjetnosti renesanse

Tokom renesanse javni autoritet umjetnosti naglo raste, ali to nije
dovelo do njenog suprotstavljanja nauci i zanatu, i smatrano je jednakim pravima
razne oblike ljudske aktivnosti u njihovom jedinstvu. U poređenju sa srednjim vijekom
u umjetnosti postoji oštar pomak u naglasku. Za srednjovekovnog čoveka
svijet oko nas je ogledalo, crteži i statue u hramovima i rukopisi su također
ogledala; pa se čak i enciklopedija znanja tada zvala “Speculum” (ogledalo). Pa šta
ogleda se u ovim ogledalima? Prema srednjovjekovnim idejama, odražavale su se
savršenstvo, neka apsolutna, neka bezgranična božanska suština.

1.1. Umetnost je kao ogledalo
Tokom renesanse, na Sveto pismo se više ne gleda kao na riznicu
božanske tajne, ovo je već odraz stvarnog, pravi zivot i postojanje prirode.
Leonardo da Vinči piše: „Ako želite da vidite da li se vaša slika u celini poklapa
predmet kopiran iz života, pa uzmi ogledalo... Na njegovoj površini stvari su slične
slika..." (Leonardo da Vinci, 1935, str. 114–115). Drugim riječima, slikar mora biti
kao ogledalo koje odražava svet oko nas, odnosno kako kaže Leonardo da Vinči
"Ne možete biti dobar slikar osim ako niste univerzalni majstor."
oponašajući svojom umjetnošću sve kvalitete oblika koje proizvodi priroda" (ibid.,
With. 88). Albrecht Durer je također imao slične stavove: „Naša vizija je kao
ogledalo" (Dürer, 1957, str. 26). Ali ovdje govorimo o vidljivim umjetnostima. Kako možeš biti drugačiji?
vrste umjetnosti? Da imaju ogledalo. I tu počinju metafore. Da, George
Puttenham u svojoj knjizi „Umjetnost engleska poezija" (1859) piše: "Um koji ima
mašta, kao ogledalo” (Gilbert, Kuhn, str. 182).
Međutim, misticizam i neupitni autoritet crkve nisu odmah zamijenjeni
priroda i razum. Crkva i dalje dugo vremena zadržao svoju moć nad duhovnim
život mislećih ljudi. Istovremeno, mnogi “preporoditelji” su u tome vidjeli kompromis
teologija je takođe poezija. Stoga je Petrarka napisao svom bratu Gerardu: „Poezija nikako nije
protivreči teologiji... S pravom možemo reći da je teologija isto što i poezija, ali
koji se odnose na Boga” (Gilbert, Kuhn, str. 186). Prema Albertiju i Leonardu da Vinčiju,
umetnik mora biti neka vrsta sveštenika, za pobožnost i vrlinu
tada su se smatrali integralnim atributima umjetnika. Sama umjetnost je razmatrana
božanski, a njegova uloga je prvenstveno bila da inspiriše ljude ljubavlju i
obožavanje boga.

1.2. Promjene u klasifikaciji umjetnosti
Ali u jednoj oblasti su se dogodile radikalne promjene. Radi se o o teologiji, u
koja je počela sve više da prodire u pojmove i ideje karakteristične za umjetnost.
Došlo je do postepene erozije teologije na pozadini sve veće uloge i prestiža umjetnosti.
To se ogledalo u činjenici da su se poezija, skulptura i slikarstvo počeli pozivati
kategorije slobodnih umjetnosti. Međutim, sekularni trend u umjetnosti napravio je svoj put
put izuzetno delikatno, pažljivo, bez „napada konjice“. Dobilo je na udaru
zahvaljujući postepenom prodoru u sferu religioznog duha interesovanja za nauku i
antičko naslijeđe. Pjesnici i umjetnici shvatili su da moraju neumorno dokazivati ​​svoje
mjesto na suncu u kampu slobodnih profesija. I to su uradili napornim radom,
istrajnost, inteligencija i „metodološko majstorstvo“ karakteristično za tradicionalnu
umjetnost koja dolazi iz srednjeg vijeka. Da podignu svoj autoritet, umjetnici i
pesnici su neumorno radili, jer u svesti čoveka sredinom drugog milenijuma
ukorijenjeno je uvjerenje da što je više rada uloženo u stvaranje djela, to će biti
Što je savršenije, to je originalnije i ljepše. Štaviše, u sporovima o tome koja umjetnost -
slika ili skulptura, slika ili poezija su važniji od drugog, argument u prilog
umjetnost koja zahtijeva više rada, i to vidljivog, opipljivog rada, odigranog
veoma važnu ulogu.

1.3. Uloga nauke i zanata

Kako se njihova umjetnička vještina povećavala, neke figure
umjetnost renesanse počela se udaljavati od strogog kopiranja prirode i pokušala
spojite svoju umjetničku viziju sa željom za idealnom formom i harmonijom
vašeg rada. Priroda je prestala da bude samo „model“, model za
kopiranje, ali pretvoreno u izvor skrivene božanske suštine, što mora
razotkriti.
Ali neki umjetnici i vajari krenuli su drugim putem. Ne samo da su riješili
ali su je i oduzeli. Osnova ljepote nije toliko Božji dar, koliko čovjekov izbor,
koji u prirodi bira najsjajnije opcije od najboljih i najljepših oblika.
„Moramo uzeti najbolje karakteristike od mnogih lijepih osoba - takvo je bilo uobičajeno
slogan" tog doba (Gilbert, Kuhn, str. 205).
Drugi način je također bio popularan. Na osnovu skupa specijalizovanih znanja u
oblasti perspektive, anatomije, matematike, psihologije, jačanje čula,
Renesansni umjetnici stvorili su drugu prirodu koju je stvorio čovjek, ali onu
odgovarao planu božanskog stvaranja. U ovom slučaju je odigrala odlučujuću ulogu
matematike. U nastavku ćemo detaljnije raspravljati o njegovom značaju u renesansi.



1.4. Stav prema harmoniji
Ako je za čovjeka srednjeg vijeka harmonija značila maksimalan stepen
slijedeći božansko jedinstvo, tada je za renesansnog čovjeka značila harmonija
potpuna podudarnost pojedinih elemenata umjetničkog djela međusobno i
na celinu. Da bi se izrazilo značenje ove korespondencije, razne
riječi i fraze: omjer, koordinacija, proporcionalnost, dogovor,
kombinacija, konzistentnost, proporcionalnost, kompozicija, raspored itd.
Koncept harmonije u konačnici pronalazi za renesansnog umjetnika
utjelovljenje u umjetnost projekta. Ova umjetnost se temelji na proučavanju mnogih stvarnih
objekata kako bi se stvorio savršeni uzorak. Ovako renesansa definiše
projekat Engleski likovni kritičar G. Vasari: „Projekat je kao forma ili ideja svega
stvari u prirodi; ovo je najupečatljiviji koncept u svojoj širini, jer ne samo na telima
ljudima i životinjama, ali i biljkama, zgradama, skulpturama i slikarstvom, pokazuje projekat
odnos celine prema odvojeni dijelovi i svaki dio drugom i cjelini... Od ovih
odnos, nastaje određeni koncept i sud” (Vasari, 1907, str. 205; cit. u:
Gilbert, Kuhn, str. 207). I tek nakon toga inicijalna skica ili projekat
oličen u umetnička stvarnost.
Ideja i praksa dizajna seže do ideja Vetruvija, koji je u svojoj
projekti su se zasnivali na proporcijama ljudskog tijela. Revivalisti gledaju
problem je širi. Uzimaju u obzir ne samo proporcije ljudskog tijela, već i bilo koje
proporcije koje se nalaze u prirodi. Ali velika moć umjetnost je često odvodila umjetnike
iz harmonijskih kanona. Na primjer, o tome piše američki istraživač J.
Simon, raspravljajući o radu Mikelanđela, koji je često odstupao u svom radu
na proporcije ljudskog tijela. Dürer misli isto. U trećoj od njegovih Četiri knjige
o proporcijama ljudskog tela“ kaže da umetnik ima moć da odstupi od zlatnog
srednji prema velikim i malim, debelim i tankim, mladim i starim,
debeli i mršavi, lijepi i ružni, tvrdi i meki, ali sve to mora biti
podložan svjesno odabranoj metodi i umjetnosti, na kojoj se čvrsto zasniva
prirode i nikada se ne ponavlja. Za Dürera, kanon, uzorak, model, projekat nije
dogma, već vodič za akciju slobodan čovek, imajući „prirodno
sklonost kreativnosti.
Dakle, u umjetnosti renesanse postojala je jasna tendencija ka traženju formalnog
regulatori kreativnog procesa. S jedne strane postaje kriterij istine
božanski izvor, a s druge strane, matematika počinje da igra ogromnu ulogu. Štaviše, ovo
“Kombinacija” se proširila ne samo na umjetnost, već i na druge oblasti
djelatnosti, prije svega zanatstvo i trgovina. Dakle, mornar koji posjeduje
matematičke vještine, stekao prednost u odnosu na svoje konkurente zahvaljujući
sposobnost izračunavanja koordinata broda na moru i trgovac koji je iskusan u računovodstvenim tehnikama
računovodstva, imao znatno veće šanse za uspjeh u trgovanju nego njegov bespomoćni u
matematički rivali. U isto vrijeme, tradicionalne ideje su tvrdile da je svemir
izgrađen od Boga prema jednom planu, u kojem je matematika igrala važnu ulogu.
Također je vrijedno napomenuti da su tokom renesanse harmonične predstave
odnose se ne samo na prirodu i proizvode kreativnog djelovanja, već i na cjelinu
raspon interakcija između čovjeka i prirode i ljudskih odnosa. Upečatljiv primjer
tako ekspanzivno razumijevanje harmonije je kreativnost Leona Battista
Alberti(1404 – 1472) - naučnik, humanista, pisac, jedan od osnivača novog
Evropska arhitektura i vodeći teoretičar renesansne umjetnosti.
Višestruko talentovan i obrazovan, dao je veliki doprinos teoriji
umjetnost i arhitektura, književnost i arhitektura, zanimala se za probleme etike i
pedagogije, studirao teoriju perspektive, kartografiju i kriptografiju.
Prema Albertiju, harmonija je najvažniji obrazac prirode, osnova svjetskog poretka.
Osoba uključena u svjetski poredak nalazi se u nemilosti njegovih zakona - harmonije i
savršenstvo. Sklad čovjeka i prirode određen je njegovom sposobnošću spoznaje
mira, do racionalnog postojanja u težnji ka dobru.
Alberti je stvorio originalnu humanističku teoriju, vraćajući se još do Platona i
Aristotelov koncept čovjeka zasnovan na ideji harmonije. Albertijeva etika -
svjetovne prirode - odlikuje se pažnjom na problem čovjekovog zemaljskog postojanja, njegovog
moralno poboljšanje.
Idealna osoba, prema Albertiju, harmonično kombinuje moć razuma i volje,
kreativna aktivnost i duševni mir. On je mudar i vođen u svojim postupcima
principa mjere, ima svijest o svom dostojanstvu. Sve ovo daje sliku
koju je stvorio Alberti, karakteristike veličine.
Odgovornost za moralno poboljšanje, koje ima i lično i
javni značaj, Alberti to stavlja na same ljude. Izbor između dobra i zla
zavisi od slobodne volje čoveka. Humanista je glavnu svrhu pojedinca vidio u
kreativnost, koja je bila shvaćena široko – od rada skromnog zanatlije do naučnih visina
I umjetnička djelatnost.
Alberti društvo misli kao harmonično jedinstvo svih svojih slojeva, koji
treba da olakša aktivnosti vladara. Razmišljanje o uslovima postignuća
društvenog sklada, Alberti u svojoj raspravi “O arhitekturi” crta idealan grad,
lijepa po svom racionalnom rasporedu i izgledu zgrada, ulica, trgova. Sve
životna sredina čovjeka ovdje je osmišljena tako da zadovoljava potrebe pojedinca,
porodice, društvo u cjelini.
Otelotvorenje ideja o idealnom gradu u rečima ili slikama je bilo
jedna od tipičnih karakteristika renesansne kulture u Italiji. Projekti takvih gradova
mnogi su odali počast svetle ličnosti ovo doba. Ovo je arhitekta Filaret, naučnik i
umjetnik Leonardo da Vinci, autori društvenih utopija 16. vijeka. Ovo poslednje se odrazilo
san
humanisti
O
harmoniju
čovjek
društvo,
O
vanjski
uslovi,
doprinosi stabilnosti i sreći svake osobe.

2. Matematičke studije
2.1. "Božanska proporcija" Luce Paciolija

1509. godine, odnosno prije 500 godina, po savjetu Leonarda da Vincija, Luca Pacioli je objavio
knjiga "O božanskoj proporciji" ("La Divina Proportione") sa podnaslovom "Esej,
vrlo korisno svakom pronicljivom i radoznalom umu, iz kojeg svaki
student filozofije, perspektive, slikarstva, skulpture, arhitekture, muzike ili
drugih matematičkih predmeta, naučit će najprijatnije, najduhovitije i nevjerovatne nastave
i zabavljaće se raznim pitanjima najtajnije nauke.” U knjizi je izričito navedeno
formulisano zakon zlatnog preseka. Knjiga je bila elegantna i poučna
ilustrovana slikama poliedara koje je napravio veliki Leonardo. U 2007
godine pojavio se ruski prevod „Božanske proporcije“ (Pacioli, 2007).
Franjevački redovnik Luca Pacioli bio je učenik umjetnika Piera della Francesca,
koji je napisao dvije knjige, od kojih se jedna zvala “O perspektivi u slikarstvu”. Ova knjiga
smatra pretečom deskriptivne geometrije. Od umjetnika Pacioli je dobio duboku
poznavanje umetnosti i matematike.
“La Divina Proportione” bila je zanosna himna zlatnoj proporciji. Među
Monah Luca Pacioli nije propustio da navede mnoge prednosti zlatnog preseka
“božanska suština” kao izraz božanskog trojstva boga sina, boga oca i boga
sveti duh. Pretpostavljalo se da je mali segment kada se segment deli na krajnji i srednji
odnos je personifikacija boga sina, veći segment je bog oca, a cijeli segment je
bog svetog duha.
Prvi dio "Božanske proporcije" posvećen je zlatnom rezu, drugi -
pravilni poliedri, treći - arhitektura. Zlatni omjer i ispravno
Pacioli poliedre smatra u skladu sa XIV knjigom Euklidovih elemenata.
Neposredno prije objavljivanja Božanstvene proporcije, Pacioli je objavio edit
Latinski prijevod"Počeo" sa svojim brojnim komentarima.
Slike poliedara na 59 stolova napravljene za svog prijatelja Leonarda da
Vinci, za kojeg je Pacioli, sa svoje strane, izračunao količinu metala,
neophodna za konjičku statuu (Juškevič, str. 288–289). Knjiga sadrži ne samo
pet pravilnih poliedara (u potpunosti u skladu sa Platonovim telima), ali i
poliedri dobijeni od njih "odsijecanjem" i "pričvršćivanjem" jedan za drugi. Šta
se tiče odeljka posvećenog arhitekturi, onda se ovde razmatraju proporcije
ljudskog tijela zasnovanog na cijelim brojevima u potpunom skladu sa Vetruvijevim mjerenjima.
“Božanska proporcija” za matematiku harmonije je fundamentalna
značenje. Zanimljivo je, međutim, da Pacioli smatra božansku proporciju" sa
kosmološke pozicije u pitagorejsko-platonskom duhu, bez vezivanja za njega
arhitektura, slikarstvo ili bilo koja druga umjetnost. O tome svjedoči i činjenica da
Pacioli u svom Traktatu o arhitekturi, koji čini posljednji dio knjige, govori o zlatu
ne spominje proporcije. Drugim riječima, za Paciolija je zlatni rez, prije svega,
Kristijanizirani matematičko-kosmički fenomen.
Pacioli
slavno
Ne
samo
matematičko-harmonijski
istraživanja.
Njegovo
Matematička dostignuća općenito su također od trajnog značaja.
Godine 1494. Pacioli je objavio na talijanski matematički rad pod
pod nazivom "Zbir aritmetike, geometrije, razlomaka, proporcija i proporcionalnosti"
(Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita). Ovaj esej ocrtava
pravila i tehnike za aritmetičke operacije nad cijelim brojevima i razlomcima, problemi na
složene kamate, rješavanje linearnih, kvadratnih i određenih vrsta bikvadratnih
jednačine. Možda je Paciolijeva najznačajnija inovacija bila njegova sistematičnost
koristeći sinkopiranu algebarsku notaciju - neku vrstu prethodnika
naknadni simbolički račun. Među problemima koji su privukli pažnju matematičara
narednih generacija, vrijedi napomenuti problem podjele opklade u nedovršenoj igri.
Luka je ovaj problem riješio na pogrešan način, ali je kasnije to postao kamen temeljac na kojem je trebalo brusiti
matematička umjetnost. U konačnici, ovaj zadatak je doprinio nastanku i
razvoj teorije verovatnoće.

2.2. Teorija simetrije i Leonardo da Vinci
Rašireno je mišljenje da pojam zlatni rez ( aurea sectio)
prvi je koristio Leonardo da Vinci. Da li je to zaista tako, ne možemo utvrditi
uspio. Možda Leonardo, istražujući strukturu poligona i poliedara,
naišao na zlatni rez, poznat mu iz Paciolijeve knjige. Ali za Leonarda, radije
Ukupno, zlatna proporcija bila je samo manifestacija jedne od vrsta simetrije. I poslednji
posvetio je veliku pažnju osmišljavanju svojih poznatih ansambala. Da, Herman Vajl
(Weil, 2007, str. 91–92, 100–101), napominje da najjednostavnije figure sa
moguće varijante rotacijske simetrije su pravilni poligoni,
koji su izgrađeni u dvodimenzionalnom prostoru. Leonardo da Vinci je ovo dobro razumeo.
(Weil, 2007, str. 91, 100). Broj takvih poligona određen je brojem lica,
teži ka beskonačnosti. Kada se dimenzija prostora poveća na 3, broj
poliedri nisu beskonačni. Ima ih samo pet. Obično se nazivaju Platonska tijela.
Ovo je pravilan tetraedar, kocka, oktaedar, kao i dodekaedar, čija su lica
dvanaest pravilnih pentagona i ikosaedar ograničen na dvadeset pravilnih
trouglovi. Weil primjećuje da je „postojanje prva tri poliedra
vrlo trivijalna geometrijska činjenica. Ali otkriće postojanja potonjeg
drugo, bilo je nesumnjivo jedno od najistaknutijih i najdivnijih otkrića napravljenih
kroz istoriju matematike” (Weil, 2007, str. 100). Razlika između ove dvije grupe
poliedar je da kocka i oktaedar imaju istu grupu
simetrija, jer ako uzmete središta strana kocke i na njih "razvučete" poliedar,
rezultat je oktaedar, i obrnuto, središta površina oktaedra su vrhovi kocke. Prema tome
Iz istog razloga, dodekaedar i ikosaedar imaju iste grupe simetrije (Vinberg, 2001,
With. 19–20).
Weil također primjećuje da je Leonardo da Vinci uvijek bio zabrinut problemom izbora
oblici centralne zgrade u arhitektonskim cjelinama, kao i kako se
da im se dodaju kapele i niše bez narušavanja simetrije jezgra ansambla.

2.3. Rješavanje jednačina četvrtog i trećeg stepena
Luca Pacioli je završio dionicu algebarske jednačine knjige "Sums"
primijetiti da za rješavanje kubnih jednadžbi x 3 + b= sjekira I x 3 + sjekira= b
umjetnost algebre još nije dala metodu, kao što još nije dala metodu za rješavanje kvadrature
krug. Ove Paciolijeve riječi poslužile su kao polazna tačka za talijanske algebraiste u
rješavanje kubnih jednačina. Otkriće ovog rješenja bilo je veliko matematičko
dostignuće renesanse koje je zadržalo svoj značaj do danas. Ako
Ako govorimo o matematici harmonije, onda je rješenje takve jednadžbe povezano s
teorija jednadžbi koja generalizuje ideju zlatnog preseka. Prvenstveno se radi o
kubične jednadžbe Padovan-Gazalea i Alekseja Stahova (Gazale, 2002, str. 147; Stakhov,
2003, str. 10).
Prvi koji je riješio jednu vrstu kubne jednadžbe x 3 + sjekira= b (a,b>0)
Profesor Univerziteta u Bolonji Scipione del Ferro (1456–1526), ​​a nakon njega
nezavisno od njega, rodom iz Breše, Nicola Tartaglie (1500–1557), koji je odlučio i
druge vrste kubnih jednadžbi. Tartaglia formulu je objavio Giralomo Cardano.
(1501–1576) u svojoj čuvenoj raspravi "Velika umjetnost" (1545). I mada ona
pojavljuje se u istoriji matematike pod imenom Cardano, ali pravi autor jeste
Tartaglia. Inače, druga dostignuća inventivnog uma povezana su s imenom Cardano -
pogonsko vratilo i Cardano rešetka: možda zato što ju je neko izmislio, a on
objavljeno?
Zanimljivo je da je Cardanovu formulu koristio M. Ghazaleh (Ghazaleh, 2002, str. 158) kada je
proračun srebrnog presjeka koji je predložio arhitekta Padovan. Za jednačinu
x 3 + sjekira= b Cardanova formula je:
3
2
3
2
 a
 b
b
 a
 b
b
3
3
x=
  +   +
−
  +   − .
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2
Zamjena u ovaj izraz a= −1 i b= 1, možemo naći rješenje jednačine
3
str− str−1 = 0:
3
2
3
2
 −1
 1 
1
 −1
 1 
1
3
3
str=

 +   +
−

 +   −
=
 3 
 2 
2
 3 
 2 
2

23
1
23
1

3
3
=
+ −
− ≈
108
2
108
2
3
≈
,
0 461479103 + 5
,
0
3
−
,
0 461479103 − 5
,
0
≈
≈ 9
,
0 86991206 + 3
,
0 377226751 ≈ 3
,
1 24717957,
što je, do deset značajnih cifara, isto kao i vrijednosti izračunate po
uzastopne iteracije izraza
3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ ... → str
Kao što je primijetio Karl B. Boyer (1989, str. 282), a nakon njega Midhad Ghazaleh
(Gazaleh, 2002, str. 160), godina izdavanja Cardano (1545) metode za rješavanje kubnih
jednačine su označile početak moderno doba u matematici. Dodajmo sami da je ovo
datum je takođe predznak razvoja teorije jednačina visokog reda,
vezano za zlatni rez i Fibonačijeve brojeve.
Cardano je u svoju knjigu uključio još jedno otkriće njegovog učenika Lodovika
(Luigi) Ferrari: opšte rešenje jednačine četvrtog stepena.
Italijanski matematičari Del Ferro, Tartaglia i Ferrari riješili su problem, sa
koju najbolji matematičari svijeta nisu mogli riješiti nekoliko stoljeća. Istovremeno oni
otkrili da se "čudni" korijeni iz negativnih brojeva ponekad pojavljuju u rješenju.
Nakon analize situacije, evropski matematičari su ove korijene nazvali "imaginarnim brojevima" i
razvijena pravila za rukovanje njima koja dovode do ispravnog rezultata. Dakle unutra
matematika je po prvi put uključila kompleksne brojeve.
Najvažniji korak ka novoj matematici napravio je Francuz François Viète (1540–1603). On
konačno formulisao simbolički metajezik aritmetike – literalna algebra.
Još jedno veliko otkriće 16. stoljeća - izum Johna Napiera
logaritmi, koji su uvelike pojednostavili složene proračune
I konačno, već u samom krajem XVI stoljeće Fleming Simon Stevin (1548–1620)
objavljuje knjigu „Deseto“ o pravilima rada sa decimalnim razlomcima, nakon čega se decimalni
sistem postiže konačnu pobjedu u tom području razlomci brojeva. Stevin takođe
proglasio potpunu jednakost racionalnih i iracionalnih brojeva, čime je odlučio
jedan od najhitnijih problema koji je zbunjivao mudre Grke u antičko doba
matematičari i okrenuli vektor svojih istraživanja ka geometriji.

2.4. Teorija prospekta
Euklid je u odeljku "Optika" svojih "Principa" prvi put formulisao pravila
posmatračku perspektivu, a takođe je izveo zakone refleksije zraka iz ravnih, konkavnih
i konveksna ogledala. Doktrina perspektive je kasnije izložena u raspravi „Deset knjiga
o arhitekturi" starogrčkog naučnika i arhitekte Vitruvija, koji je skicirao
pravila za građenje perspektive, kao i izradu arhitektonskih i građevinskih planova
crteži koji sadrže plan i fasadu zgrada.
Tokom renesanse počinje nova faza u razvoju teorije perspektive. Leon
Battista Alberti je u svojim raspravama “O slikarstvu” i “O arhitekturi” izložio matematičke
teorija proporcija, zasnovana na proporcijama ljudskog tijela. U obećavajućem
konstrukcije, Alberti je primenio metodu konstruisanja slika koje se nalaze jedna za drugom
prijatelj jednakih i paralelnih segmenata zatvorenih između dve prave,
koji se ukrštaju na liniji horizonta.
Leonardo da Vinci je takođe dao veliki doprinos teoriji perspektive. U „Traktatu o
slikarstva" napisao je da perspektiva pripada "mašinskim naukama", koje to nisu
treba ga zanemariti svaki slikar.
Leonardo
Da
Vinci
deli
perspektiva
on
tri
osnovni
dijelovi:
1. Linearna perspektiva, koja uzima u obzir zakon cifara koji se smanjuju kako se oni smanjuju
udaljenosti od posmatrača.
2. Vazdušna i kolor perspektiva, koja se manifestuje u boji objekata,
u zavisnosti od njihove udaljenosti od posmatrača.
3. Perspektiva jasnoće obrisa objekata u zavisnosti od strukture
prostor i stepen osvetljenosti njegovih delova.
Prvi dio teorije perspektive se kasnije razvio u egzaktnu nauku -
linearne perspektive, koja je kasnije postala sastavni dio deskriptivne
geometrija.
Izvanredni njemački naučnik, matematičar, graver i umjetnik Albrecht Durer
(1471–1528) u svom djelu “Priručnik za mjerenje šestarom i pravilima”,
objavljen 1523. godine, opisao je grafičku metodu konstruisanja perspektive objekata iz
korištenjem ortogonalnih projekcija, što se u obrazovnoj literaturi naziva
"Durerova metoda" Juškevič napominje da ovo djelo sadrži ogromno
statistički materijal koji sadrži mjerenja različitih dijelova tijela muškaraca i žena
različite građe (Juškevič, 1977, str. 324). Čini se da su ovi rezultati bili
prvi ozbiljan korak ka uspostavljanju antropometrije i racionalističke
estetika. Napomenimo i da Direrova dostignuća u ovoj oblasti tek čekaju dostojnu
procjene.

3. Značaj matematičko-harmoničkih istraživanja u renesansi
Tokom ovog perioda, matematika je po prvi put otišla dalje od naslijeđa koje je ostavilo
Grci i matematičari Istoka.
1. Algebra i aritmetika su dobile snažan razvoj, konačno su se probili
granice geometrije. Po prvi put je praktično formiran koncept realnog broja. Sve
"loši" brojevi su postali prirodni ili, kako je Stephen napisao, "nema apsurda
iracionalni, nepravilni, neizrecivi ili glupi brojevi” (Juškevič, 1977, str. 325).
2. Opseg ideja vezanih za harmoniju značajno se proširio. Koncept
harmonija dobija sve sekularniji karakter, postaje sve humanističkija,
ne samo na prirodu, već i na pojedinca i čovjeka
društva u cjelini.
3. Koncept harmonije za kreativnu osobu renesansnih nalaza
utjelovljenje u umjetnost projekta, na osnovu proučavanja mnogih stvarnih objekata sa
sa ciljem stvaranja savršenog uzorka.
3. Prvi put od vremena Euklida nastavljen je razgovor o zlatnom rezu,
Platonska tijela i pravilni poliedri.
4. U djelima Leonarda da Vincija, po svemu sudeći, prvi put se postavlja pitanje raznih
vrste simetrije arhitektonskih objekata.
5. Ozbiljno matematičko dostignuće tog doba bilo je otkriće metoda rješenja
jednačine trećeg i četvrtog stepena. S jedne strane, ovo je postalo pokretačka snaga za
razvoj algebre, a s druge strane, postavio je temelje algebarske teorije harmonije, u kojoj
važno mjesto zauzima rješavanje jednačina visokih stupnjeva.

Književnost
Weil G. Simetrija. Prevod sa engleskog M.: Izdavačka kuća LKI., 2007.
Vinberg E. B. Simetrija polinoma. Serija: Biblioteka “Matematičko obrazovanje”.
M.: MCMNO, 2001.
Gazale M. Gnomon. Od faraona do fraktala. Prevod sa engleskog Moskva-Iževsk: Institut
Računarska istraživanja, 2002.
Gilbert K., Kuhn G. Istorija estetike. Prevod sa engleskog M.: Izdavačka kuća strane književnosti,
1960.
Durer A. Dnevnici, pisma, rasprave. Umjetnost: M.-L.: 1957, knj.
Juškevič A. P. Istorija matematike (priredio A. P. Yushkevich) u tri toma. Tom 1. C
antičkih vremena do početka modernog doba. M., Nauka, 1977.
Leonardo da Vinci. Odabrani radovi. M.-L..: Academia. 1935. T. 2.
Luca Pacioli. O božanskoj proporciji. Reprint ed. 1508 s prijevodnim dodatkom
A. I. Shchetnikova. M.: Ruska avangardna fondacija, 2007.
Luca Pacioli. Traktat o računima i evidenciji. M.: Finansije i statistika, 1994.
Sokolov Ya. Luca Pacioli. Čovek i mislilac. U knjizi: Pacioli Luca. Traktat o računima i
evidencije. M.: Finansije i statistika, 1994.
Shchetnikov A. I. Luca Pacioli i njegova rasprava “O božanskoj proporciji”. Matematički
Obrazovanje, br. 1 (41), 2007, str. 33–44.
Boyer C., Merzbach U. Istorija matematike. New York: John Wiley & Sons, 1989.
Vasari G. On Technique. Ed. G. B. Brown. London, 1907.